HINH HOC TRONG KG OXYZ

T ìm t ọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất.[r]

1/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

2

1

4 :

   

 

 y z

x d

1

3

2 :

z y

x

d    

Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d2 Giải

Giả sử mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d1, d2 hai điểm A B ta ln có IA + IB ≥ AB AB ≥d d d 1, 2 dấu xảy I trung điểm AB AB đoạn vng góc chung hai đường thẳng d1, d2

Ta tìm A, B :

'

AB u

AB u

 

 

  

 

  Ad1, Bd2 nên: A( 4+ 3t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’)  AB(….)… A(1; 2; -3) B(3; 0; 1)I(2; 1; -1)

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) bán kính R=

Nên có phương trình là: x22 (y1)2 (z1)2 6 2/ Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: ( ) :1

1

x y z

d   ( 2) : 1

2 1

x y z

d    



Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )d1 N thuộc (d2) cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng  P : – x y  z  2010  độ dài đoạn MN bằng

Giải

+ M N, ( ), (d1 d2) nên ta giả sử M t t( ; ; ),1 1 t1 N( ; ;1  t t2 2 t2)NM (t12t21;t1t2; 2t1t21) 

+ MN song song mp(P) nên: n NMP 01.(t12t21) 1.( t1t2) 1(2 t1t21)0

  ( 1; ;31 1)

t t NM t t t

      

+ Ta có:

1

2 2

1 1 1

1

2 ( 1) (2 ) (3 1) 4

7 t

MN t t t t t

t   

           

  

+ Suy ra: M(0; 0; 0),N( 1; 0; 1) ( ;4 8; ), ( ;1 3; ) 7 7 7

M N

+ Kiểm tra lại thấy hai trường hợp khơng có trường hợp M( ).P

KL: Vậy có hai cặp M, N thoả mãn

3/ Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ

Giải Ta có AB    1; 4; 3

Phương trình đường thẳng AB:

1 4

x t

y t

z t

   

      

Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D hình chiếu vng góc C cạnh AB, gọi tọa độ điểm

Vì ABDC=>-a-16a+12-9a+9=0<=> 21 26 a

Tọa độ điểm 49 41; ; 26 26 26

D 

 

4/ Cho hai đường thẳng có phương trình:

1

2

:

3

x z

d   y   2

3

:

1

x t

d y t

z t

   

      

Viết phương trình đường thẳng cắt d1 d2 đồng thời qua điểm M(3;10;1) Giải

Gọi đường thẳng cần tìm d đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 d2 điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) B(3+b;7-2b;1-b)

Do đường thẳng d qua M(3;10;1)=> MAk MB

MA3a1;a11; 2  a,MBb; 2 b3;b

 

3 1

11 3 11

4 2

a kb a kb a

a kb k a k kb k

a kb a kb b

    

  

  

          

        

  

=> MA2; 10; 2  

Phương trình đường thẳng AB là:

3 10 10

x t

y t

z t

   

 

    

5/ Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2),

D( 4; -1; 2) mặt phẳng (P) có phương trình:x yz20 Gọi A’là hình chiêú A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) mặt cầu qua điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm bán kính đường trịn (C) giao (P) (S)

Giải Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0)

* Giả sử phương trình mặt cầu ( S) qua A’, B, C, D là:

a b c d 0 ,

0 d cz by ax z y

x2 2 2     2 2 2 

Vì A',B,C,D S nên ta có hệ:

        

 

 

 

   

     

    

    

    

   

1 d

1 c

1 b

2 a

0 21 d c b a

0 29 d c b a

0 14 d c b a

0 d b a

Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x2 y2 z2 5x2y2z10

(S) có tâm      

1 ; ;

I , bán kính

2 29 R

+) Gọi H hình chiếu I lên (P) H tâm đường tròn ( C) +) Gọi ( d) đường thẳng qua I vng góc với (P)

Suy phương trình d:                      t ; t ; t H t z t y t / x

Do H d (P) nên:

6 t t t t t                     ; ; H 36 75

IH  , (C) có bán kính

6 186 31 36 75 29 IH R

r 2    

6/ Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho  P :x2yz50 đường thẳng 3 : )

(d x  y  z , điểm A( -2; 3; 4) Gọi  là đường thẳng nằm (P) qua giao điểm (

d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm  điểm M cho khoảng cách AM ngắn

Giải

Chuyển phương trình d dạng tham số ta được:

           3 t z t y t x Gọi I giao điểm (d) (P) I2t3;t1;t3

Do I P 2t32(t1)(t3)50t1I1;0;4

* (d) có vectơ phương a(2;1;1), mp( P) có vectơ pháp tuyến n1;2;1  a,n 3;3;3

 Gọi u vectơ phương  u1;1;1

            u z u y u x

: Vì MM1u;u;4u, AM1u;u3;u

AM ngắn AM AMuAM.u01(1u)1(u3)1.u0

3 u

 Vậy 

      16 ; ; M

7/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

1 1

2 1

x y z

 



d2:

1

1

x y z

  mặt phẳng (P): x - y - 2z + = Viết phương trình tắc đường

thẳng , biết  nằm mặt phẳng (P)  cắt hai đường thẳng d1 , d2 Giải

Gọi A = d1(P) suy A(1; ; 2) ; B = d2 (P) suy B(2; 3; 1)

Đường thẳng  thỏa mãn toán qua A B

Một vectơ phương đường thẳng  u(1; 3; 1)

Phương trình tắc đường thẳng  là:

1

x y z

 

B' Y

X

Z

N D'

C'

A'

C

D A

B M

8/ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :

1

x y z

  điểm

M(0 ; - ; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M song song với đường thẳng  đồng

thời khoảng cách đường thẳng  mặt phẳng (P)

Giải

Giả sử n a b c( ; ; ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b =

Đường thẳng  qua điểm A(1; 3; 0) có vectơ phương u(1;1; 4) Từ giả thiết ta có

2 2

/ /( ) (1)

| |

( ; ( )) (2)

n u a b c

P

a b

d A P

a b c

    



 

 

 

 

 

 

  

Thế b = - a - 4c vào (2) ta có 2 2

(a5 )c (2a 17c 8ac)a - 2ac8c 0

 a v a

c  c  

Với a

c  chọn a = 4, c =  b = - Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16 =

Với a

c   chọn a = 2, c = -  b = Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + =

9/ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh Gọi M trung điểm đoạn AD, N tâm hình vng CC’D’D Tính bán kính mặt cầu qua điểm B, C’, M, N

Giải Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ

Ta có M(1 ;0 ;0), N(0 ;1 ;1)B(2 ;0 ;2), C’(0 ;2 ;2)

Gọi phương tình mặt cầu qua điểm M,N,B,C’ có dạng

x2 + y2 + z2 +2Ax + 2By+2Cz +D = Vì mặt cầu qua điểm nên ta có

5

1

5

2 2

2

8 4

1

8 4

2 A

A D

B C D B

A C D

C

B C D

D 

  

  

 

       

 



 

   

 

 

     





 



Vậy bán kính R = 2

15

A B C D 

10/ Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; ; 2) mặt phẳng

(Q): x + 2y + 3z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B vng góc với (Q)

Ta có AB(1;1;1),nQ(1; 2;3),  AB n; Q  (1; 2;1)

Vì AB n; Q 0

 

  

nên mặt phẳng (P) nhận AB n; Q

 

 

làm véc tơ pháp tuyến

Vậy (P) có phương trình x - 2y + z - =

11/ Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d

4

x y z

 

  hai điểm A(1; -1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I đường thẳng d cho IA +IB đạt giá trị nhỏ

Giải

Véc tơ phương hai đường thẳng là: u1 

(4; - 6; - 8) u2



( - 6; 9; 12) +) u1

 u2



phương

+) M( 2; 0; - 1)  d1; M( 2; 0; - 1)  d2 Vậy d1 // d2

*) Véc tơ pháp tuyến mp (P) n 

= ( 5; - 22; 19) (P): 5x – 22y + 19z + =

2) AB 

= ( 2; - 3; - 4); AB // d1

Gọi A1 điểm đối xứng A qua d1 Ta có: IA + IB = IA1 + IB  A1B

IA + IB đạt giá trị nhỏ A1B

Khi A1, I, B thẳng hàng  I giao điểm A1B d Do AB // d1 nên I trung điểm A1B

*) Gọi H hình chiếu A lên d1 Tìm H 36 33 15; ; 29 29 29

 

 

 

A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95; ; 28 29 29 29

 



 

 

I trung điểm A’B suy I 65; 21; 43 29 58 29

 

 

 

 

12/ Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :

D1 :

2

1

x y z

 

 , D2 :

2

x t

y z t

   

    

Viết phương trình mặt cầu có đường kính đoạn vng góc chung D1 D2 Giải

Các véc tơ phương D1 D2 u1 

( 1; - 1; 2) u2



( - 2; 0; 1) Có M( 2; 1; 0)  D1; N( 2; 3; 0)  D2

Xét u u  1; 2.MN = - 10  Vậy D1 chéo D2

Gọi A(2 + t; – t; 2t)  D1 B(2 – 2t’; 3; t’)  D2

2

AB u AB u

 

 

 

 

  

1 ' t t 

      

 A 4; ; 3

 



 

Đường thẳng  qua hai điểm A, B đường vng góc chung D1 D2 Ta có  :

2

x t

y t

z t    

     

PT mặt cầu nhận đoạn AB đường kính có dạng:

2 2

11 13

6 6

x y z

     

     

     

     

13/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d d’ có phương trình :

d : x y z 

 

1

vµ d’ :

1

2

    

 z

y x

.Chứng minh hai đường thẳng vng góc với Viết phương trình mặt phẳng ()đi qua d vng góc với d’

Giải

.Đường thẳng d qua điểm M(0;2;0) có vectơ phương u(1;1;1) Đường thẳng d’đi qua điểm M'(2;3;5) có vectơ phương u'(2;1;1)

Ta có MM (2;1;5),  u;u' (0;3;3),  u;u'.MM'120 d d’ chéo

Mặt phẳng ()đi qua điểm M(0;2;0) có vectơ pháp tuyến u'(2;1;1) nên có phương

tr×nh:2x(y2)z0 hay 2xyz20

14/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d d’ có phương trình :

d : x y z 

 

1

vµ d’ :

1

2

    

 z

y x

Viết phương trình mặt phẳng () qua d tạo với d’ góc 30 Giải

.Đường thẳng d đi qua điểm M(0;2;0) có vectơ phương u(1;1;1)

Đường thẳng d’đi qua điểm M'(2;3;5) có vectơ phương u'(2;1;1) Mp() phải qua điểm M có vectơ pháp tuyến n vng góc với u

2 60 cos ) ' ;

cos(n u  0 Bởi đặt n(A;B;C) ta phải có :

    

  

 

  

2

2

0

2

2 B C

A

C B A

C B A



  

  

   

   

   

 

0

) (

3

2 2 A2 AC C2

C A B C

C A A A

C A B

Ta cã 2A2ACC20(AC)(2AC)0 VËy AC hc 2AC

Nếu AC,ta chọn A=C=1, B2, tức n(1;2;1) mp()có phương trình

0 ) (

2   

 y z

x hay x2yz40

Nếu 2AC ta chọn A1,C2, B1, tức n(1;1;2) mp()có phương trình

0 )

(   

 y z

x hay xy2z20

15/ Cho điểm A2;5;3 đường thẳng :

2

x y z

d     Viết phương trình mặt phẳng   chứa

d cho khoảng cách từ A đến   lớn

Giải Gọi K hình chiếu A d K cố định;

Vậy AHmax AK   mặt phẳng qua K vng góc với AK Gọi   mặt phẳng qua A vuông góc với d   : 2xy2z150

3;1; 4 K



  mặt phẳng qua K vng góc với AK   :x4y  z

16/ Cho mặt phẳng  P :x2y2z 1 đường thẳng 1: ,

2

x y z

d    



5

:

6

x y z

d    

 Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường

thẳng MN cách (P) khoảng

Giải Gọi M1 ;3 ; , t  t t N5 '; '; 5 ' t t   t 

 

 ;  2 1 0; d M P   t   t t

Trường hợp 1: t 0 M1;3; , MN 6 ' 4; ' 3; ' 5t t  t   

 

' 5; 0;

P P

MN n MN n  t  N 

   

Trường hợp 2: t 1 M3;0; , N 1; 4;0

17/ Cho đường thẳng (d) :

x t

y

z t

  

      

mp (P) : x + 2y + 2z + = (Q) : x + 2y + 2z + = a Viết phương trình hình chiếu (d) (P)

b Lập ph.trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng (d) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q) Giải

VËy (d’) cã PTCT : x y z

10

  



a + Đường thẳng (d) qua M(0; -1; 0) vµ cã VTCP ud 1;0; 1  

+ Mp (P) cã VTPT : nP 1; 2; 2 

Mp (R) chøa (d) vµ vu«ng gãc víi (P) cã VTPT :

 

R d P

n u ; n  2; 3; 2   

Thay x, y, z tõ Pt cđa (d) vµo PT cđa (P) ta cã :

t - - 2t + = hay t =1 Suy (d) c¾t (P) K(1; -1; -1)

Hình chiếu (d) (d) (P) qua K có VTCP :

 

d' R P

u n ; n  10; 2; 7   

b LÊy I(t; -1; -t) thuéc (d) , ta cã : d1 = d(I, (P)) =

1 t 

; d2 = d(I, (Q)) = t

3 

Do mỈt cầu tâm I tiếp xúc với (P0 (Q) nên : R = d1 = d2  | - t | = | - t |  t =

x 32 y 12 z 32

     

18/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) đường thẳng d có

phương trình

2 (t R)

x t

y t

z t

 

 

  

    

Tìm d điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến A B nhỏ

Giải A(0;2), I(-2 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’

Pt đường thẳng IA : 2

x t

y t

   

 

 

, I'IA => I’(2 ; 2t t2),

2 ' '( 3;3)

2

AI  I A t I

 

(C’): x 32y324

2. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t)d, AB//d

Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB  A’B (MA+ MB)min = A’B, A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB

MA=MB <=> M(2 ; ; 4)

19/ Trong không gian với hệ toạ độ vng góc Oxyz, cho hai đường thẳng:

( ) ; ( ') 3

1

x y x y z

x y z x y

      

 

   

      

 

.Chứng minh hai đường thẳng () (') cắt

nhau Viết phương trình tắc cặp đường thẳng phân giác góc tạo () (') Giải

Chứng minh hệ có nghiệm nhất, ()(') = A 1;0;3

2

 



 

 

(0; 1; 0) ( )

M    , Lấy N ( '), cho: AM = AN => N AMN

 cân A, lấy I trung điểm MN => đường phân giác góc tạo () (')

chính đg thẳng AI

Đáp số: 1 2

1 3

2 2

( ) : ; ( ) :

1 2 1 2

14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30

x z x z

y y

d d

   

   

   

     

20/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2

( ) :S x y z 2x6y4z 2 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v(1;6; 2)



, vuông góc với mặt

phẳng( ) : x4y z 11 0 tiếp xúc với (S)

Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) bán kính R=4 Véc tơ pháp tuyến ( ) n(1; 4;1)



Vì ( )P ( ) song song với giá v nên nhận véc tơ n  p   n v (2; 1; 2) làm vtpt Do (P):2x-y+2z+m=0

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d I( ( ))P 4 ( ( )) 21 m

d I P

m   

   

Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 2x-y+2z-21=0

21/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d) có

phương trình: (P): 2xy 2z = 0; (d):

1

x y z

 



1 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) khoảng

và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính

2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ

nhất

Giải:

1/ ( ; ) | 2 2 | | |

3

t t t t

d I            

2

7

t t

         Có hai tâm mặt cầu: 8; ; 7; 17;

3 3 vµ 3

I  I   

   

Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường trịn có bán kính nên mặt cầu có bán kính R = Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

2 2 2

2 17

25 25

3 3 vµ 3

x y z x y z

           

           

           

           

2/ Đường thẳng () có VTCP u  ( 1;2;1); PTTQ: 2

x y x z

   



   

Mặt phẳng (P) có VTPT n (2; 1; 2) 

Góc đường thẳng () mặt phẳng (P) là: sin | 2 | 3

  

  

 Góc mặt phẳng (Q) mặt phẳng (Q) cần tìm cos

9

   

Giả sử (Q) qua () có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z 2) = (m2+ n2 > 0)

 (2m + n)x + my + nz + m 2n = Vậy góc (P) (Q) là:

2

| |

cos

3

3

m

m n mn

  

 

m2 + 2mn + n2 =  (m + n)2 = m = n

Chọn m = 1, n = 1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + yz + =

22/ Trong không gian với hệ toạ Oxyz cho hai im A(1;4;2),B(-1;2;4)

và đường thẳng  :

1

x y z

 

 Tìm toạ độ điểm M  cho:

2 28

MA MB 

1

: (1 ; ; )

x t

ptts y t M t t t

z t

   

        

  

Ta cã: MA2MB22812t248t480 t 2

Từ suy ra: M (-1 ;0 ;4)

23/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d víi

d : x y z

2 1

 

 

 Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm M,

cắt vuụng gúc với đường thẳng d tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua d

Giải:

Gọi H hình chiếu vng góc M d, ta có MH đường thẳng qua M, cắt vng góc với d.d có phương trình tham số là:

x 2t y t z t

   

       

Vì H  d nên tọa độ H (1 + 2t ;  + t ;  t).Suy :MH= (2t  ;  + t ;  t) Vì MH  d d có vectơ phương u = (2 ; ; 1), nên :

2.(2t – 1) + 1.( + t) + ( 1).(t) =  t =

3 Vì thế, MH 

= 1; 4;

3 3

 

 

 

 

3 (1; 4; 2)

MH

u MH  

Suy ra, phương trình tắc đường thẳng MH là: x y z

1

 

 

 

Theo trªn cã ( ;7 1; 2) 3

H   mà H trung điểm MM’ nên toạ độ M’(8; 5; 4)   24/ Trong khụng gian oxyz cho hai đường thẳng d1 :

1

x y z

  ; d2

1

1

x t

y t

z t

   

      

và điểm M(1;2;3)

1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua d2 2.Tìm Ad B1; d2 cho AB ngắn

Giải:

1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua d2

+ Phương trình mặt phẳng chứa M d1 … Là (P) x + y – z = + Mp(Q) qua M vng góc với d2 có pt 2x – y - z + = + Tìm giao d2 với mp(Q) H(-1 ;0 ;1)

Gọi A(t;t;2t) B(-1-2t1 ;-t1 ;1+t1) AB ngắn đoạn vng góc chung hai đường thẳng d1 d2



2 AB v AB v

 

 

 

  

  …….tọa độ ; ; 35 35 35

A 

 

1 17 18 ; ; 35 35 35

B  

 

25/ Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + = hai đường thẳng

d1:

1

2

x y z

  , d2:

2

1

x y z

 



Viết phương trình đường thẳng d vng góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2 Giải:

Phương trình tham số d1 d2 là:

1 2

: ; :

2

x t x m

d y t d y m

z t z m

    

 

 

    

 

     

 

Giả sử d cắt d1 M(-1 + 2t ; + 3t ; + t) cắt d2 N(2 + m ; - + 5m ; - 2m) MN

(3 + m - 2t ; - + 5m - 3t ; - - 2m - t) Do d  (P) có VTPT nP(2; 1; 5) 



nênk MN: k np 

  2

3

2

m t k

m t k

m t k

  

 

    



     

có nghiệm

Giải hệ tìm

1 m t

  

 

Khi điểm M(1; 4; 3) Phương trình d:

1

x t

y t

z t

   

      

thoả mãn tốn

26/ Trong khơng gian toạ độ cho đường thẳng d:

2 1

x y z

 

 mặt phẳng (P): x + y + z +

= Gọi M giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng (P),

vng góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới  42 Giải:

Ta có phương trình tham số d là:

2

x t

y t

z t

   

   

    

 toạ độ điểm M nghiệm hệ

3 2

2

x t

y t

z t

x y z

  

    



   

     

(tham số t)

(1; 3; 0)

M

 

Lại có VTPT của(P) nP(1;1;1) 

, VTCP d ud(2;1; 1)

Lại có N(P) MN = 42 ta có hệ:

2 2

2

2 11

( 1) ( 3) 42

x y z

x y z

x y z

                 

Giải hệ ta tìm hai điểm N(5; - 2; - 5) N(- 3; - 4; 5) Nếu N(5; -2; -5) ta có pt : 5

2

x y z

  



Nếu N(-3; -4; 5) ta có pt :

2

x y z

  



27/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt cầu (S) : x12y2z22 9 Lập phương trình mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng a :

2

1 

  y z

x

và cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính

Giải:

KL : Có mặt phẳng : (P1) : x2y2z53 50 (P2) : x2y2z53 50 28/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng

         : z t y t x

điểm A(1,0,1)

Tìm tọa độ điểm E F thuộc đường thẳng để tam giác AEF tam giác

Giải:

+ Đường thẳng điquaM0(0,0,1) có vtcp (1,2,0) 

u ; 0 (1,0, 2); 0 , (4,2,2)

          u A M A M

+ Khoảng cách từ A đến là AH =

5 , ) , (             u u A M A d

+ Tam giác AEF

5   

AE AF AH Vậy E , F thuộc mặt cầu tâm A , BK R =

5

đường thẳng , nên tọa độ E , F nghiệm hệ :

                 32 ) ( ) ( 2 2 z y x z t y t x (S) có tâm J(1,0,2) bán kính R =

+ đt a có vtcp (1,2,2) 

u , (P) vng góc với đt a nên (P) nhận ulàm vtpt Pt mp (P) có dạng : x2y2zD0

+ (P) cắt (S) theo đường trịn có bk r = nên d( J , (P) ) = R2r2 

nên ta có :

t =

2 1

suy tọa độ E F :

   

    

 

  

 



   

    

 

  

 

1

2

5 2

1

2

5 2

z y x

z y x

29/ Trong khơng gian cho điểm A(-4;-2;4) đường thẳng (d) có phương trình: x = -3 + 2t; y = - t; z = -1 + 4t; t  R Viết phương trình đường thẳng () qua A; cắt vng góc với (d)

Giải:

( ;1 ; )

d B B t t t

         , Vt phương ud (2; 1; 4) 

d

AB u   t

 

=> B(-1;0;3)

Pt đg thẳng

1

:

3

x t

AB y t

z t

   



   

   

30/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường trịn ngoại

tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) Giải:

Ta có: AB(2; 2; 2), AC(0; 2; 2) Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là:

1 0,

xy  z y  z

Vectơ pháp tuyến mp(ABC) n AB AC, (8; 4; 4). Suy (ABC):

2xy  z

Giải hệ:

1 0

3

2 1

x y z x

y z y

x y z z

    

 

 

    

 

      

 

Suy tâm đường trịn I(0; 2;1)

Bán kính 2

( 0) (0 2) (1 1)

RIA       

31/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết

phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = cho MA =

MB = MC

Giải:

Ta có AB(2; 3; 1),  AC   ( 2; 1; 1)n(2; 4; 8) vtpt (ABC)

Suy pt (ABC) (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = hay x + 2y – 4z + = M(x; y; z) MA = MB = MC  …

M thuộc mp: 2x + 2y + z – = nên ta có hệ, giải hệ x = 2, y = 3, z = -7

32/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – = hai

đường thẳng : (d) x y z

1

  

 

 (d’)

x 2t y t z t

   

      

Viết phương trình tham số đường thẳng () nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường

   

  MM ' u, u ' d d , d '

11 u, u '

 

 

 

 

 

    

33/ Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho hai đường thẳng :

(d) x t y 2t z 5t

  

      

(d’) x t y 2t z 3t

  

   

   

a CMR hai đường thẳng (d) (d’) cắt

b Viết phương trình tắc cặp đường thẳng phân giác góc tạo (d) (d’) Giải:

a) + Đường thẳng (d) qua M(0 ;1 ;4) có VTCP u 1; 2;5  + Đường thẳng (d’) qua M’(0 ;-1 ;0) có VTCP u ' 1; 2; 3    Nhận thấy (d) (d’) có điểm chung I 1; 0;3

2

 



 

  hay (d) (d’) cắt (ĐPCM)

b) Ta lấy v u u ' 15; 15; 15

7 7

u '

 

    

 



 



Ta đặt : a u v 15; 2 15;5 15

7 7

 

      

 

  

b u v 15; 2 15;5 15

7 7

 

      

 

  

Khi đó, hai đường phân giác cần tìm hai đường thẳng qua I nhận hai véctơ a, b  

làm VTCP chúng có phương trình :

Mặt phẳng (P) cắt (d) điểm A(10 ; 14 ; 20) cắt (d’) điểm B(9 ; ; 5)

Đường thẳng ∆ cần tìm qua A, B nên có phương trình :

x t y 8t z 15t

   

      

+ Đường thẳng (d) qua M(-1;3 ;-2) có VTCP u 1;1; 2 

+ Đường thẳng (d’) qua M’(1 ;2 ;1) có VTCP u ' 2;1;1   Ta có :

 MM '2; 1;3  

  1 2 1 1 1 2

MM ' u, u '   2; 1;3 ; ;   8   

1 15

x t

2

15

y 2 t

7

3 15

z t

2

  

   

  

  



 



  

  

 

 

 

     

 



1 15

x t

2

15

y 2 t

7

3 15

z t

2

  

   

  

  



 



  

  

 

 

 

     

 



34/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) hai đường thẳng ( ) :

1

x y z

d   

 

1

( ') :

1

x y z

d    

Chứng minh: điểm M, (d), (d’) nằm mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng Giải:

*(d) qua M1(0; 1; 0) có vtcp u1(1; 2; 3)  

(d’) qua M2(0;1; 4) có vtcp u2(1; 2;5) 

*Ta có u u 1; 2    ( 4; 8; 4)O , M M1 2 (0; 2; 4) Xét u u  1; 2.M M1 2 16 14 0

 (d) (d’) đồng phẳng

*Gọi (P) mặt phẳng chứa (d) (d’) => (P) có vtpt n(1; 2; 1) qua M1 nên có phương trình x2y z  2

*Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ ta có đpcm

35/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng:

(P): 2x – y + z + = 0, (Q): x – y + 2z + = 0, (R): x + 2y – 3z + =

và đường thẳng 1 :

2 

 x

=

1  y

= z

Gọi 2 giao tuyến (P) (Q)

Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với (R) cắt hai đường thẳng 1, 2 Giải:

*1 có phương trình tham số

2

x t

y t

z t

   

   

  

*2 có phương trình tham số

2

x s

y s

z s    

     

*Giả sử d  1 A d;   2 B

(2 ; ;3 ) B(2+s;5+3s;s)

A t t t

   

*AB(s2 ;3t s t 6;s3 )t , mf(R) có vtpt n(1; 2; 3)

*d( )R AB n& phương

1

s t s t  s t

  

23 24 t  

*d qua (1 ; 23; ) 12 12

A có vtcp n(1; 2; 3) 

=> d có phương trình

23

1

8

12 12

1

z

x y 

 



36/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đường thẳng d có phương trình

    

 

  

t z

t y

t x

3 1

2 1

Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn

Giải:

Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H n (P)

Giả sử điểm I hình chiÕu cđa H lªn (P), ta cã AH HI=> HI lớn AI Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ ph¸p tuyÕn

) ; ;

( t t t

H d

H    H hình chiếu A d nên AH d AH.u 0 (u (2;1;3)là véc tơ phương d) H(3;1;4) AH(7;1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) =

 7x + y -5z -77 =

37/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm B0;3; , M4; 0; 3  Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa B M, cắt trục Ox Oz, điểm A C cho thể tích khối

tứ diện OABC (O gốc toạ độ)

Giải:

Do điểm A và C lần lượt nằm trục Ox, Oy và khác gốc O nên: a  C c

A ;0;0, 0;0; với ac0

Mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C nằm trục tọa độ nên có phương trình dạng:

1   

c z y a x

(phương trình theo đoạn chắn)

Theo giả thiết M4;0; 3  P 4c 3a ac

a c

        (1)

1 1

.3

3 2

OABC OAC

ac

V  OB S  ac    ac  (2) Từ (1) (2) ta có hệ

4

6

3

4 6

2 a

ac ac a

c a c a c c

  

   

   

  

   

      

   

Vậy có hai mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu toán là:

 1  2

2

: 1; :

4 3 3

x y z x y z

P    P   

38/ Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + = hai đường thẳng

d1:

1

2

x y z

  , d2:

2

1

x y z

 



Viết phương trình đường thẳng d vng góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2 Giải:

Phương trình tham số d1 d2 là:

1 2

: ; :

2

x t x m

d y t d y m

z t z m

    

 

 

    

 

     

 

Giả sử d cắt d1 M(-1 + 2t ; + 3t ; + t) cắt d2 N(2 + m ; - + 5m ; - 2m) MN

(3 + m - 2t ; - + 5m - 3t ; - - 2m - t) Do d  (P) có VTPT nP(2; 1; 5) 



nênk MN:k np 

3 2

3

2

m t k

m t k

m t k

  

 

    



     

có nghiệm

Giải hệ tìm

1 m t

  

 

Khi điểm M(1; 4; 3) Phương trình d:

1

x t

y t

z t

   

      

thoả mãn toán

39/ Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d:

2 1

x y z

 

 mặt phẳng

(P): x + y + z + = Gọi M giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng  nằm

mặt phẳng (P), vng góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới  42 Giải:

Ta có phương trình tham số d là:

2

x t

y t

z t

   

   

    

toạ độ điểm M nghiệm hệ

3 2

2

x t

y t

z t

x y z

  

    



   

     

(tham số t)

(1; 3; 0)

M

 

Lại có VTPT của(P) nP(1;1;1) 

, VTCP d ud(2;1; 1) 

Vì  nằm (P) vng góc với d nên VTCP u  u nd, P(2; 3;1) Gọi N(x; y; z) hình chiếu vng góc M , đóMN x( 1;y3; )z



Ta có MN vng góc với u



nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 = Lại có N(P) MN = 42 ta có hệ:

2 2

2

2 11

( 1) ( 3) 42

x y z

x y z

x y z

     

   

 

    



Giải hệ ta tìm hai điểm N(5; - 2; - 5) N(- 3; - 4; 5)

Nếu N(5; -2; -5) ta có pt : 5

2

x y z

  

Nếu N(-3; -4; 5) ta có pt :

2

x y z

  



40/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(1;1;1),cắt đường thẳng  

2 1

2 :

   

 y z

x

d

vuông góc với đường thẳng  d2 :x22t;y5t;z2t (tR) Giải:

* VTCP d2 v 2;5;1 VTPT mp(P) qua M vng góc với d2 Pt mp(P) là: 2x5yz20

* Gọi A giao điểm d1 mp(P) nên A23t;t;12t

Thay vào phương trình mp(P) t1 A5;1;3

* Đường thẳng d cần lập pt có VTCP u3;1;1doMA6;2;2 Vậy phường trình đường thẳng d là:

1 1

1

1

    

 y z

x

(vì d ≠ d2)

41/ Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 đồng thời cắt

hai

đường thẳng  

1

1

1 :

z y x

d 

   

 d2 :x1t;y 1;zt, với tR Giải:

* Điểm M d1 , nên toạ độ M 12t1;1t1;t1

điểm N d2 , nên toạ độ N 1t;1;t Suy MN t2t12;t1;tt1

* Với M,N d mặt phẳng (P) có VTPT n1;1;1 Suy ra:

    * 1 1 1

2 ;

.n k R t t t t t k

MN P

mp

d          

* Giải ta

    

 



2

1 t

t

, 

  

 

  

5 ; ;

M

* Vậy phuơng trình đường thẳng (d) là:

5

3

1

   

 y z

x 42/ Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng:

(P1): x - 2y + 2z - = , (P2): 2x + y - 2z - = đường thẳng (d):

3

1

2 

   

 y z

x

Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I  (d) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2) Giải:

(P1): x - 2y + 2z - = (P2): 2x + y - 2z - = Giả sử I (x0 ; y0 ; z0)  (d):

3

1

2 

   

 y z

x

 I (-2 - t ; 2t ; + 3t) tâm mặt cầu (S)

            13 16 10 3 t t t t

 I1 = (11 ; 26 ; -35) ; I2 (-1 ; ; 1) R1 = 38 ; R2 =

Vậy, có hai mặt cầu cần tìm:

(S1): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382 (S2): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 22

43/ Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z + = mặt phẳng

(P): x - 2y + 2z - = 0.Tìm điểm M  (S), N (P) cho MN có độ dài nhỏ

Giải:

Tìm M  (S) , N  (P) ?

(S): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = Tâm I (-1 ; ; 1), bán kính R =

(P): x - 2y + 2z - =  d I; P  = (P)(S)Ø

Giả sử tìm N0 (P)N0 hình chiếu vng góc I (P)    d P

N  

 0 , với:  

           ) ; ; ( ) ( ) ( ) ; ; ( d u P d I d                t z t y t x d 2 :         ; ; N  ( ) )

(d S {M1 ; M2}         ; ;

M , 

      ; ; M M1M0 = < M2M0 =

M0  (S) để M0N0 nhỏ  M0  M1

Vậy, điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu toán

       ; ;

M , 

      ; ; N

44/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x y 2z 1 0, đường thẳng

 

5

:

1

x t

d y t

z t            

Lập phương trình đường thẳng   nằm mặt phẳng (P), cắt vng góc với đường thẳng (d)

Giải:

+) nP(3; 1;2), ud (1;3; 1)

+) Đường thẳng (d’) cần tìm qua A nhận n u P, d   ( 4;5;10) VTCP( ') :d

15 28

4 10

x y z

 



45/ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng(P) qua A, cắt trục tọa độ I, J, K mà A trực tâm tam giác IJK

Giải:

Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ( ) :P x y z1

a b c

(4 ;5; 6), (4;5 ;6) (0; ; ), ( ;0; )

IA a JA b

JK b c IK a c

   

   

 

  

4 6

4



  

 

   

  



a b c

b c

a c



77 77

5 77

6 a b c 

   

      

46/ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0)

Chứng minh đường thẳng AB CD chéo Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng Oxy cắt đường thẳng AB, CD

Giải:

Gọi (P) mặt phẳng qua AB (P)  (Oxy)  (P): 5x – 4y =

(Q) mặt phẳng qua CD (Q)  (Oxy)  (Q): 2x + 3y – = Ta có (D) = (P)(Q)  Phương trình d

47/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d d’ có phương trình : d :x y  z

  

1

vµ d’ :

1

2

    

 z

y x

Chứng minh hai đường thẳng vng góc với Viết phương trình mt phng ()i qua

d vuông góc với d’

Giải:

.Đường thẳng d qua điểm M(0;2;0) có vectơ phương u(1;1;1) Đường thẳng d’ qua điểm M'(2;3;5) có vectơ phương u'(2;1;1)

Ta có MM (2;1;5),  u;u' (0;3;3),  u;u'.MM'120 d d’ chéo Mặt phẳng ()đi qua điểm M(0;2;0) có vectơ pháp tuyến u'(2;1;1) nên có phương trình:2x(y2)z0 hay 2x yz20

48/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d d’ có phương trình : d : z

y

x 

  

1

vµ d’ :

1

2

    

 z

y x

Viết phương trình mặt phẳng () qua d tạo với d’ góc

30

Giải:

.Đường thẳng d qua điểm M(0;2;0) có vectơ phương u(1;1;1) Đường thẳng d’đi qua điểm M'(2;3;5) có vectơ phương u'(2;1;1) Mp() phải qua điểm M có vectơ pháp tuyến n vng góc với u

2 60 cos ) ' ;

    

  

 

  

2

2

0

2 2

C B A

C B A

C B A



  

  

   

   

   

 

0

) (

3

2 2 A2 AC C2

C A B C

C A A A

C A B

Ta cã 2A2ACC20(AC)(2AC)0 VËy AC hc 2AC

Nếu AC,ta chọn A=C=1, B2, tức n(1;2;1) mp()có phương trình

0 ) (

2   

 y z

x hay x2yz40

Nếu 2AC ta chọn A1,C2, B1, tức n(1;1;2) mp()có phương trình

0 )

(   

 y z

x hay xy2z20

49/ Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:

1 1

x y z

  mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + = Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) qua điểm A(2; - 1;0)

Giải:

Gọi I tâm (S)  I(1+t;t – 2;t)

Ta có d(I,(P)) = AI  t = 1; t = 7/13 (S1): (x – 2)

2

+ (y + 1)2 + (z – 1)2 = 1; (S2): (x – 20/13)

+ (y + 19/13)2 + (z – 7/13)2 = 121/139

50/ Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;2;3) hai đường thẳng 1: 3

1

x y z

d     



1

:

1

x y z

d     

 Chứng minh đường thẳng d1; d2 điểm A nằm mặt phẳng

Xác định toạ độ đỉnh B C tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH d2 chứa đường trung tuyến CM tam giác ABC

Giải:

d1 qua M0(2;3;3) có vectơ phương a(1;1; 2) 

d2 qua M1(1;4;3) có vectơ phương b(1; 2;1) 

Ta có a b, 0 va a b M M  ,  0 10

(d1,d2) : x + y + z – =  A  (d1,d2) B(2 + t;3 + t;3 - 2t); 5; 5;3

2

t t

M   t

  d2 t = - ==> M(2;2;4) C( 1+t;4-2t;;3+t) : ACa  t =  C(1;4;2)

51/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G vng góc với OG

b/ Mặt phẳng (P) câu (1) cắt trục Ox,Oy,Oz A,B,C.CMR: ABC tam giác

Giải:

( )

) ( ) ê P (1;1;1; )

a Do OG P n n n OG

 

( ) :1(P x 1) 1(y 1) 1(z 1) 0hay P( ) :x y z

          

0

) ì Ox : (3; 0; 0)

0

y

b V A

z  

 

Tương tự : B(0;3; 0) àv C(0;3; 0)

Ta có: AB=BC=CA=3 2 ABC tam giác

52/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm I( 0;0;1) K( 3;0;0)

Viết phương trình mặt phẳng qua I, K tạo với mặt phẳng (xOy) góc 300

Giải:

Giả sử mặt phẳng cần có dạng :

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) : 1( , , 0)

( ) ( ) ( ) :

3

1

( ) ( ; ;1) (0; 0;1) os30

3 .

( ) :

3

2

xOy xOy

xOy

x y z

a b c a b c

x y z

Do I c v K a

b n n

n v n c b

b n n

x y z

 



  





   

         

       

   

 

 

 

Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d):

( ) :P x y z 70 ;

2 5 0

( ) :

2 3 0

x y z d

x z

   

 

   

Giải:

Đường thẳng ( )d cần tìm giao tuyến mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q)

chứa (d) có VTCP n( )P



( ) ( ) ( ) ( )

ó : (1; 4; 2) M(-2;0;-1) (d) (6; 1; 5)

( ) : 6( 2) 5( 1)

6

ình hình chiê u ( ) :

7

d Q d P

Ta c u v n u n

Q x y z hay x y z

x y z

H d

x y z

 

       

 

         

   



 

 

    

   

53/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng ( ), (d1 d2)và mặt phẳng (P) có phương trình:

1

1 2

( ) : ( ) :

2 1

x y z x y z

d      v d    

 , ( ) : 2P x y5z 1 0

a/ CM: ( ) (d v1 d2)chéo tính khoảng cách chúng

       

1

1

( ) ( ) 1 1 2 2

( ) ( )

1 2

) ó : (2;3;1) ; (1;5; 2) ( 1;1; 2) ; (2; 2;0)

(3; 3; 2) 62 éo

d d

d d

a Ta c u u v M d M d

M M u u M M d v d ch nhau

      

 

         

 

   

1

1

1

.MN 62

ó : ( )

195

u u Ta c d d d

u u

   

  

      

 

1 1

2 2 2

2 2

( )

) (2 1; 1; 2)

( 2; 2; ) ( 3; 3; 2)

2 3 2

( ) (2; 1; 5)

2

1

: ( ) :

2

P

b GS d A A t t t v d B

B t t t AB t t t t t t

t t t t t t

Do P n AB

x y z

KQ

         

            

      

         

 

  

   

 



 

54/ Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp( ) :2 x y2z150 điểm J(-1;-2;1) Gọi I điểm đối

xứng J qua ( ) Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết cắt ( ) theo đường trịn có chu vi 8π

Giải:

Gọi I(a;b;c) ta có:

( )

2

1

IJ ( 1; 2; 1) IJ n

2

2

a b

a b c

a b c Do

c b



 



  

         

  

 

  

Nhưng trung điểm M IJ lại nằm ( ) nên ta có : b= -4 I (-5;-4;5)

Ta tính khoảng cách từ I đến ( ) IO’=3

Vì C=2πR0=8π nên R0=4 => RIA IO'2AO'2  4232 5 Vậy: ( ) :(C x5)2 (y4)2(z5)2 25

55/ Tìm tập hợp tâm mặt cầu qua gốc tọa độ tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình là: (P): x+2y-4=0 (Q): x+2y+6=0

Giải:

Ta nhận thấy (P) song song với (Q) nên 2R= d( (P), (Q))

Lấy M(0;2;0) thuộc (P) ta có: d( (P), (Q))= d( M, (Q)) = 5R Lúc PT mặt cầu có dạng: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=5

Vì C qua O(0;0;0) nên: a2b2c2   5 I ( ) :S x2y2z2 5 Mặt khác: Mặt phẳng song song cách (P) (Q) có PT: (α): ( 4) ( 6)

2

x y x y

x y

    

   

Do 2 2 2

2

( )

( ) ( ) :

( )

x y

I

I S

I S x y z



   

 



  

 

   

  ( Cố định )

56/ Trong kg Oxyz cho mặt cầu (S) qua điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0)Và mặt cầu (S’) qua điểm: '( ; 0; 0),1 '(0; ; ),1 '(1;1; 0), '(0;1;1)

2 2

A B C D Tìm độ dài bán kính đường trịn giao

tuyến mặt cầu

Giải:

Lần lượt ta lập PT mặt cầu với dạng tổng quát chung là: x2  y2 z22ax2by2czd 0

 Với (S) ta có:

2 2

1

1

; 0(1)

1 2

3 2

c d

a d

a b c d x y z x y z

b d

a b c d

   

    

            



   

     



 Với (S’)

2 2

1

0

1 7

0 ; ; 2 0(2)

2 4 2

2 2

2 2

a d

b c d a c b d x y z x y z

a b d b c d 

   



    

             

 

   



    



Từ (1) (2) ta thấy mặt phẳng chứa đường trịn giao tuyến có PT:

( ) : 9 xy9z40 Vậy PT đường tròn giao tuyến cần tìm là:

2 2 2

9

( ) : 1 1 1 3

( ) ( ) ( )

2 2

x y z

C

x y z

   

  

     

 

57/ Trong hệ trục TĐ Oxyz cho đường thẳng có PT:

1

5 2

( ) : à ( ) : 2

0

x t x s

d y t v d y

z z s

  

 

 

   

 

   

 

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d1 I cách d2 khoảng Biết mặt cầu (S) có bán kính

Vì I thuộc d1 nên I( t;-t;0)

2

2

2

( 2;0;1)

( ) ó (5 ; 2;0) ( )

(5; 2; 0)

6 30 45

( 2;5 ; 4) ( )

5 (0; 0;0)

5 (5; 5; 0)

d u IM

u

d c IM t t d I d

Qua M u

t t

u IM t t t d I d

t I

t I

 

  

  

      



 



 

           

 

  

    



  



  

Vậy có PT mặt cầu thõa mãn đk toán là:

2 2

1

2 2

2

( ) : 25

( ) : ( 5) ( 5) 25

S x y z

S x y z

  

    

58/ Trong hệ trục TĐ Oxyz cho điểm: A(0;-1;1) B( 1;2;1) Viết PT mặt cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung đường thẳng AD đường thẳng chứa trục Ox

Giải:

Lập PT đường thẳng qua AB ta có:

( ) : 1 3

1

x t

AB y t

z   

   

  

Gọi M t t( ; 3 1;1)(AB)

Và N(s;0s0) thuộc Ox MN (ts t;3 1;1) Sử dụng :

Ox

MN AB

MN

  



 Ta tìm

1 t s Ta tìm : ( ; 0;1) ,1 ( ; 0; 0)1 ( ; 0; )1

3 3

M N O trung điểm MN v

2

MN

R 

Vậy: ( 3)2 ( 1)2

2

x y  z 