Đề thi tuyển sinh đại học năm 2013 môn Toán Khối B (đề chính thức)45272

ΒΟ⊗ ΓΙΑ∧Ο DΥ∉Χ ςΑ¬ ∇Α¬Ο ΤΑ∉Ο −−−−−−−−−− ∇Εℵ ΧΗ⊆ΝΗ ΤΗ√∧Χ ∇Εℵ ΤΗΙ ΤΥΨΕ⊕Ν ΣΙΝΗ ∇Α∉Ι ΗΟ∉Χ ΝΑ⊇Μ 2013 Μον: ΤΟΑ∧Ν; Κηο〈ι Β Τηι γιαν λαm βαι: 180 πηυτ, κηονγ κε∑ τηι γιαν πηατ 〉ε◊ −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Ι ΠΗΑℵΝ ΧΗΥΝΓ ΧΗΟ ΤΑℑΤ ΧΑ⇔ ΤΗ⊆ ΣΙΝΗ (7,0 〉ιε∑m) Χαυ (2,0 〉ιε∑m) Χηο ηαm σο〈 y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx (1), ϖι m λα τηαm σο〈 τηχ α) Κηαο σατ σ βιε〈ν τηιεν ϖα ϖε⌡ 〉ο◊ τη∫ χυα ηαm σο〈 (1) κηι m = −1 β) Τm m 〉ε∑ 〉ο◊ τη∫ ηαm σο〈 (1) χο ηαι 〉ιε∑m χχ τρ∫ A ϖα B σαο χηο 〉νγ τηανγ AB ϖυονγ γοχ ϖι 〉νγ τηανγ y = x + Χαυ (1,0 〉ιε∑m) Γιαι πηνγ τρνη sin 5x + cos2 x = Χαυ (1,0 〉ιε∑m) Γιαι ηε πηνγ τρνη Χαυ (1,0 〉ιε∑m) Τνη τχη πηαν 2x2 + y − 3xy + 3x − 2y + = (x, y ∈ R) √ √ 4x2 − y + x + = 2x + y + x + 4y √ x − x2 dx I= Χαυ (1,0 〉ιε∑m) Χηο ηνη χηοπ S.ABCD χο 〉αψ λα ηνη ϖυονγ χανη a, mατ βεν SAB λα ταm γιαχ 〉ε◊υ ϖα ναm τρονγ mατ πηανγ ϖυονγ γοχ ϖι mατ πηανγ 〉αψ Τνη τηεο a τηε∑ τχη χυα κηο〈ι χηοπ S.ABCD ϖα κηοανγ χαχη τ 〉ιε∑m A 〉ε〈ν mατ πηανγ (SCD) Χαυ (1,0 〉ιε∑m) Χηο a, b, c λα χαχ σο〈 τηχ δνγ Τm για τρ∫ λν νηα〈τ χυα βιε∑υ τηχ − P =√ a + b + c2 + (a + b) (a + 2c)(b + 2c) ΙΙ ΠΗΑℵΝ ΡΙΕℜΝΓ (3,0 〉ιε∑m): Τη σινη χη 〉χ λαm mοτ τρονγ ηαι πηα◊ν (πηα◊ν Α ηοαχ πηα◊ν Β) Α Τηεο χηνγ τρνη Χηυα∑ν Χαυ 7.α (1,0 〉ιε∑m) Τρονγ mατ πηανγ ϖι ηε τοα 〉ο Oxy, χηο ηνη τηανγ χαν ABCD χο ηαι 〉νγ χηεο ϖυονγ γοχ ϖι νηαυ ϖα AD = 3BC ∇νγ τηανγ BD χο πηνγ τρνη x + 2y − = ϖα ταm γιαχ ABD χο τρχ ταm λα H(−3; 2) Τm τοα 〉ο χαχ 〉νη C ϖα D Χαυ 8.α (1,0 〉ιε∑m) Τρονγ κηονγ γιαν ϖι ηε τοα 〉ο Oxyz, χηο 〉ιε∑m A(3; 5; 0) ϖα mατ πηανγ (P ) : 2x + 3y − z − = ςιε〈τ πηνγ τρνη 〉νγ τηανγ 〉ι θυα A ϖα ϖυονγ γοχ ϖι (P ) Τm τοα 〉ο 〉ιε∑m 〉ο〈ι ξνγ χυα A θυα (P ) Χαυ 9.α (1,0 〉ιε∑m) Χο ηαι χηιε〈χ ηοπ χηα βι Ηοπ τη νηα〈τ χηα ϖιεν βι 〉ο ϖα ϖιεν βι τρανγ, ηοπ τη ηαι χηα ϖιεν βι 〉ο ϖα ϖιεν βι τρανγ Λα〈ψ νγαυ νηιεν τ mοι ηοπ ρα ϖιεν βι, τνη ξαχ συα〈τ 〉ε∑ ϖιεν βι 〉χ λα〈ψ ρα χο χυνγ mαυ Β Τηεο χηνγ τρνη Νανγ χαο Χαυ 7.β (1,0 〉ιε∑m) Τρονγ mατ πηανγ ϖι ηε τοα 〉ο Oxy, χηο ταm γιαχ ABC χο χηαν 〉νγ χαο ηα 17 ; − , χηαν 〉νγ πηαν γιαχ τρονγ χυα γοχ A λα D(5; 3) ϖα τρυνγ 〉ιε∑m χυα χανη τ 〉νη A λα H 5 AB λα M(0; 1) Τm τοα 〉ο 〉νη C Χαυ 8.β (1,0 〉ιε∑m) Τρονγ κηονγ γιαν ϖι ηε τοα 〉ο Oxyz, χηο χαχ 〉ιε∑m A(1; −1; 1), B(−1; 2; 3) ϖα x+1 y−2 z −3 〉νγ τηανγ ∆ : = = ςιε〈τ πηνγ τρνη 〉νγ τηανγ 〉ι θυα A, ϖυονγ γοχ ϖι −2 ηαι 〉νγ τηανγ AB ϖα ∆ Χαυ 9.β (1,0 〉ιε∑m) Γιαι ηε πηνγ τρνη x2 + 2y = 4x − log (x − 1) − log√3(y + 1) = −−−−−−Ηε〈τ−−−−−− Τη σινη κηονγ 〉χ σ δυνγ ται λιευ Χαν βο χοι τηι κηονγ γιαι τηχη γ τηεm Ηο ϖα τεν τη σινη: ; Σο〈 βαο δανη: DeThiMau.vn B ÁP ÁN – THANG I M THI TUY N SINH I H C N M 2013 Mơn: TỐN; Kh i B ( áp án - thang m g m 04 trang) GIÁO D C VÀ ÀO T O ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ CHÍNH TH C Câu (2,0 m) áp án i m a (1,0 m) Khi m = −1 ta có y = x3 − x • T p xác đ nh: D = 0,25 • S bi n thiên: - Chi u bi n thiên: y ' = x − 6; y ' = ⇔ x = ±1 Các kho ng đ ng bi n: (−∞; − 1) (1; + ∞); kho ng ngh ch bi n: (−1; 1) - C c tr : Hàm s đ t c c ti u t i x = 1, yCT = −4; đ t c c đ i t i x = −1, yC = 0,25 - Gi i h n: lim y = − ∞; lim y = + ∞ x→−∞ x→+∞ - B ng bi n thiên: x −∞ −1 y' + − + +∞ y 0,25 −4 −∞ • +∞ th : y 0,25 −1 x O −4 b (1,0 m) Ta có y ' = x − 6(m + 1) x + 6m; y ' = ⇔ x = ho c x = m i u ki n đ đ th hàm s có hai m c c tr m ≠ Ta có A(1;3m −1), B(m; −m3 + 3m2 ) H s góc c a đ ng th ng AB vng góc v i đ 0,25 0,25 ng th ng AB k = −(m −1)2 ng th ng y = x + ch k = −1 0,25 ⇔ m = ho c m = V y giá tr m c n tìm m = ho c m = Trang 1/4 DeThiMau.vn 0,25 Câu (1,0 m) áp án Ph ng trình cho t ng v i sin x + cos x = 0,25 ⇔ cos ⎛⎜ x + ⎞⎟ = cos x 2⎠ ⎝ 0,25 ⇔ 5x + 0,25 = ± x + k (k ∈ ) ⎡x = − + k ⎢ ⇔⎢ ⎢x = − + k ⎢⎣ 14 (1,0 m) ng đ i m (k ∈ ) 0,25 2 ⎪⎧ x + y − xy + x − y + = ⎨ ⎪⎩ x − y + x + = x + y + x + y (1) i u ki n: x + y ≥ 0, x + y ≥ T (1) ta đ • V i y = x + 1, thay vào (2) ta đ 0,25 (2) c y = x + ho c y = x + c 3x − x + = 3x +1 + x + ⇔ 3( x − x) + ( x +1− 3x +1) + ( x + − x + 4) = 0,25 1 ⎛ ⎞ ⇔ ( x − x) ⎜ + + ⎟=0 x +1+ 3x +1 x + + x + ⎠ ⎝ ⇔ x − x = ⇔ x = ho c x = Khi ta đ • V i y = x + 1, thay vào (2) ta đ 0,25 c nghi m ( x; y ) (0;1) (1;2) c − x = x +1 + x + ⇔ 3x + ( x +1 −1) + ( x + − 2) = ⎞ ⎛ ⇔ x ⎜ 3+ + ⎟ = ⇔ x = Khi ta đ x + + x + + ⎝ ⎠ i chi u u ki n ta đ (1,0 m) 0,25 c nghi m ( x; y ) (0; 1) c nghi m ( x; y ) c a h cho (0;1) (1;2) t t = − x ⇒ tdt = − xdx Khi x = t = 2, x = t = Suy I = ∫ 0,25 t dt 0,25 t3 = = (1,0 m) 0,25 2 −1 0,25 S I A D K H B a Mà (SAB) vng góc v i (ABCD) theo giao n AB, nên SH ⊥ (ABCD) 0,25 a3 Do VS ABCD = SH S ABCD = 0,25 G i H trung m c a AB, suy SH ⊥ AB SH = C Do AB || CD H∈AB nên d ( A,( SCD )) = d ( H ,( SCD)) G i K trung m c a CD I hình chi u vng góc c a H SK Ta có HK⊥CD Mà SH⊥CD ⇒ CD⊥(SHK) ⇒ CD ⊥ HI Do HI ⊥(SCD) Suy d ( A,( SCD)) = HI = Trang 2/4 DeThiMau.vn SH HK SH + HK = a 21 0,25 0,25 Câu (1,0 m) áp án i m 2 Ta có: (a + b) (a + 2c)(b + 2c) ≤ (a + b) a + b + 4c = a + b + 2ab + 4ac + 4bc ≤ 2(a + b + c ) 2 t t = a + b + c + 4, suy t > P ≤ − t 2(t − 4) Xét f (t ) = 9t −(t − 4)(4t + 7t − 4t − 16) , v i t > Ta có f '(t ) = − + − = t 2(t − 4) t (t − 4) t (t − 4)2 0,25 0,25 V i t > ta có 4t + 7t − 4t − 16 = 4(t − 4) + t (7t − 4) > Do f '(t ) = ⇔ t = B ng bi n thiên: t +∞ f '(t ) + f (t ) −∞ − 0,25 c P≤ 5 Khi a = b = c = ta có P = V y giá tr l n nh t c a P 8 T b ng bi n thiên ta đ 7.a (1,0 m) B 0,25 G i I giao m c a AC BD ⇒ IB = IC C Mà IB ⊥ IC nên ΔIBC vuông cân t i I ⇒ ICB = 45o BH ⊥ AD ⇒ BH ⊥ BC⇒ ΔHBC vuông cân t i B I 0,25 ⇒ I trung m c a đo n th ng HC H A D Do CH ⊥ BD trung m I c a CH thu c BD nên t a ⎧2( x + 3) − ( y − 2) = ⎪ đ m C th a mãn h ⎨ x − ⎛ y + ⎞ ⎪⎩ + ⎜⎝ ⎟⎠ − = Do C (−1;6) CH 10 IC IB BC = = = ⇒ ID = 3IC ⇒ CD = IC + ID = IC 10 = = ID ID AD ⎡t = Ta có D (6 − 2t ; t ) CD = suy (7 − 2t )2 + (t − 6)2 = 50 ⇔ ⎢ ⎣t = Do D (4;1) ho c D(−8;7) 0,25 Ta có 8.a (1,0 m) 0,25 (P) có véct pháp n n = (2;3; −1) 0,25 ng th ng Δ qua A vng góc v i (P) nh n n làm véct ch ph ng, nên có ph ng trình x−3 y −5 z = = −1 9.a (1,0 m) 0,25 0,25 G i B m đ i x ng c a A qua (P), suy B thu c Δ Do B (3 + 2t ;5 + 3t ; −t ) 0,25 ⎛ 10 + 3t ⎞ ⎛ −t ⎞ Trung m c a đo n th ng AB thu c (P) nên 2(3 + t ) + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − = ⇔ t = −2 ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ Do B (−1; −1; 2) 0,25 S cách ch n viên bi, m i viên t m t h p là: 7.6 = 42 0,25 S cách ch n viên bi đ , m i viên t m t h p là: 4.2 = 0,25 S cách ch n viên bi tr ng, m i viên t m t h p là: 3.4 = 12 0,25 Xác su t đ viên bi đ c l y có màu là: p = Trang 3/4 DeThiMau.vn +12 10 = 42 21 0,25 Câu áp án Ta có H ∈ AH AH ⊥ HD nên AH có ph x + y − = Do A(3 − 2a; a ) Do M trung m c a AB nên MA = MH 7.b (1,0 m) A N M B 8.b (1,0 m) H D C i m ng trình: Suy (3 − 2a)2 + (a −1)2 = 13 ⇔ a = ho c a = − Do A khác H nên A(−3;3) Ph ng trình đ ng th ng AD y − = G i N m đ i x ng c a M qua AD Suy N ∈ AC t a đ m N th a mãn h ⎧1 + y − = ⎪ ⇒ N (0;5) ⎨ ⎪⎩1.x + 0.( y −1) = ng th ng AC có ph ng trình: x − y + 15 = ng th ng BC có ph ng trình: x − y − = ⎧2 x − y − = Suy t a đ m C th a mãn h : ⎨ ⎩ x − y + 15 = Do C (9;11) Ta có AB = ( −2;3;2 ) , vect ch ph ng c a Δ u = (−2;1;3) ng th ng vng góc v i AB Δ, có vect ch ph ng v = ⎡⎣ AB, u ⎤⎦ Suy v = ( 7; 2; ) i u ki n: x > 1; y > −1 H cho t ⎧ x2 − 2x − = ⇔⎨ ⎩y = x−2 ⎡ x = −1, y = −3 ⇔⎢ ⎣ x = 3, y = i chi u u ki n ta đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x − y + z −1 = = ⎧ x + y = x −1 ng v i ⎨ ⎩log3 ( x −1) = log3 ( y +1) ng th ng qua A, vng góc v i AB Δ có ph 9.b (1,0 m) 0,25 ng đ ng trình là: 0,25 0,25 0,25 0,25 c nghi m ( x; y ) c a h cho (3;1) - H t - Trang 4/4 DeThiMau.vn 0,25 ... 0,25 S I A D K H B a Mà (SAB) vuông góc v i (ABCD) theo giao n AB, nên SH ⊥ (ABCD) 0,25 a3 Do VS ABCD = SH S ABCD = 0,25 G i H trung m c a AB, suy SH ⊥ AB SH = C Do AB || CD H∈AB nên d ( A,(... Trang 2/4 DeThiMau.vn SH HK SH + HK = a 21 0,25 0,25 Câu (1,0 m) áp án i m 2 Ta có: (a + b) (a + 2c) (b + 2c) ≤ (a + b) a + b + 4c = a + b + 2ab + 4ac + 4bc ≤ 2(a + b + c ) 2 t t = a + b + c + 4,... ⇔ t = B ng bi n thi? ?n: t +∞ f '(t ) + f (t ) −∞ − 0,25 c P≤ 5 Khi a = b = c = ta có P = V y giá tr l n nh t c a P 8 T b ng bi n thi? ?n ta đ 7.a (1,0 m) B 0,25 G i I giao m c a AC BD ⇒ IB = IC