Lời giải đề tuyển sinh đại học năm 2013 môn: Toán Khối A44788

LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A Câu 1.a điểm Lời giải Điểm Cho hàm số y = (1), với m tham số thực Khảo sát biến thiên hàm số (1) m = −x3 + 3x2 + 3mx − m = hàm số y = −x3 + 3x2 − 1, Tập xác định  D=R Đạo hàm y′ = −3x2 + 6x; Do y′ = ⇐⇒  lim y = +∞; x→−∞ =⇒ y = −1 x=2 =⇒ y = lim y = −∞; x→+∞ Bảng biến thiên x −∞ y′ x=0 − 0 +∞ +∞ + − y −1 +∞ Hàm số nghịch biến (−∞; 0); (2; +∞); Hàm số đồng biến (0; 2) Điểm cực đại (2; 3) Điểm cực tiểu (0; −1) Đồ thị −1 −1 1.b điểm Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞) Ta có: y′ = −3x2 + 6x + 3m Hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞) y′ ≤ 0, ∀x > Hay là: m + ≤ x2 − 2x + = (x − 1)2 , ∀x > (∗) Do (x − 1)2 = nên (∗) ⇔ m + ≤ ⇔ m ≤ −1 x>0 điểm Vậy m ≤ −1 giá trị cần tìm √ Giải phương trình + + tan x = 2 sin x + π4 Điều kiện: x = π2 + kπ, k ∈ Z sin x Phương trình ⇔ + cos x = (sin x + cos x) ⇔ sin x + cos x − cos x (sin x + cos x) =   π sin x + cos x = x = − + mπ  ⇔ ⇔ (sin x + cos x) (1 − cos x) = ⇔  π cos x = x = ± + 2nπ Kết hợp với điều kiện ta có x = − π4 + kπ, x = ± π3 + m2π; k, m ∈ Z nghiệm phương trình DeThiMau.vn điểm  √  x+1+√ x − − y4 + = y (1) Giải hệ phương trình:  x2 + 2x (y − 1) + y2 − 6y + = (2) Điều kiện x ≥ Viết lại phương trình thứ hai dạng: (x + y − 1)2 = 4y ⇒ y ≥ √ Đặt u = x − ≥ ⇒ x = u4 + 1, phương trình thứ trở thành: √ u + u4 + = y + y4 + ⇔ u = y √ ( hàm số f (t) = t + t + đồng biến [0; +∞)) √ ⇒ x − = y ⇔ x = y4 + Thay vào PT thứ hai hệ ta phương trình: y4 + y điểm = 4y ⇔ y=0 y y3 + = (∗) Phương trình (*) có nghiệm y = ( g (y) = y y3 + đồng biến [0; +∞) g (1) = 4) Vậy hệ có hai nghiệm (1; 0) , (2; 1) x2 − ln x dx Tính tích phân: I = x2      u = ln x  du = dx  x ⇒ Đặt x2 − 1   dx = − dx   dv = v = x+ x2 x x Suy I= x+ ln x − x x+ x dx = ln − x 2 1+ x2 dx 5 = ln − ln − x − x 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, ABC = 30o , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ c đến mặt phẳng (SAB) = điểm Gọi H trung điểm BC √ Do ∆SBC ⇒ SH ⊥ BC mà (SBC) √ ⊥ (ABC), BC = (SBC) ∩ (ABC) a a a ⇒ SH ⊥ (ABC), SH = Từ góc ABC = 30o ⇒ AB = , AC = 2 √2 √ a.a 3.a a3 SH.SABC = = VSABC = 3.2.2.2.2 16 √ √ √ 13 3a2 a 39 SB.AB sin A ta có SA = a SASB = = = 4.2.2 16 √ 3.VSABC 39a = ⇒ d(C,SAB) = SSAB 13 S B H C A DeThiMau.vn điểm Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, ABC = 30o , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ c đến mặt phẳng (SAB) Từ A dựng Az vuông góc với (ABC) để có hệ Axyz hình vẽ, gọi I hình chiếu vng góc S xuống BC, giả thiết nên SI song song với Az, ta có: A (0; 0; 0) , B √ a ; 0; , a C 0; ; I √ a a ; ;0 , 4 √ a2 0; 0; √ √ a a a ; ; 4 S √ √ | a a | a3 1− →− → − → , nên VSABC = |AS[AB, AC]| = = (đvtt) 6 16 √ 3a2 a2 − → − → Lại có,[AS, AB] = 0; , ;− − →− →− → |0 + 3a8 + 0| |AC [AS, AB]| (dvcd) = = a 13 nên: d (C, (SAB)) = − →− → 4 9a 3a |[AS, AB]| + 16 + 64 − → − → Từ [AB, AC] = điểm Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn (a + c)(b + c) = 4c2 Tìm √ giá trị nhỏ biểu thức 32a3 32b3 a + b2 P= + − (b + 3c)3 (a + 3c)3 c Đặt a = cx; b = cy; x + y = s; xy = p với x; y > 0, ta có: x + y + xy = ⇔ p = − s 2 Đồng thời p ≤ s4 ; s > cho nên: − s ≤ s4 ⇔ s ≥ Lại nhận thấy x; m > ta có: x3 = m3 + 3m2 (x − m) + (x − m)2 (x + 2m) ≥ m3 + 3m2 (x − m) Vậy nên đặt a b + b + 3c a + 3c = x y + y+3 x+3 x y+3 = 32 y x+3 = 32 32a3 (b + 3c) 32b3 (a + 3c) = m có : ≥ 32m3 + 96m2 x −m y+3 ≥ 32m3 + 96m2 y −m x+3 Cộng theo vế lại có: 32a3 (b + 2c) + 32b3 (a + 2c)3 ≥ 1+3 ≥ 64m3 = 2y 2x + y+3 x+3 2x 2y + −1 y+3 x+3 DeThiMau.vn Như vậy: P ≥ −2 + =6 x y + − y+3 x+3 x2 + y2 (x + y)2 − 2xy + (x + y) xy + (x + y) + (x + y)2 − 2xy − − s2 − 2p + 3s − s2 − 2p − p + 3s + s2 + 5s − − s2 + 2s − − =3 s+6 =6 Xét hàm số f (s) = √ √ s2 + 5s − − s2 + 2s − − = 3s − s2 + 2s − − có: s+6 s+1 (s − 2) (s + 4) + f (s) = − √ = √ > ∀x ≥ √ 2 s + 2s − s + 2s − + s + s2 + 2s − Vậy hàm số đồng biến, có √ P ≥ f (s) ≥ f (2) = − 7a điểm √ Tóm lại, giá trị lớn − đạt x = y = tức a = b = c > Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x + y + = A(−4; 8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD, Tìm tọa độ B,C biết N(5; −4) Gọi I tâm hình chữ nhật Ta có điểm A, B,C, D nằm đường tròn tâm I có đường kính AC, BD −→ −→ Gọi C(t; −2t − 5) Ta có: AN = (9; −12); NC = (t − 5; −2t − 1) −→ −→ Ta có tam giác ANC vng N nên AN.NC = ⇒ 9(t − 5) − 12(−2t − 1) = ⇔ t = Do C(1; −7); I − 32 ; 21 Trong tam giác BDM có IC đường trung bình nên IC DM, BN⊥DM nên BN⊥IC − → Ta có đường thẳng BN qua N có VTPT IC = 25 ; − 15 , nên phương trình BN là: 15 (x − 5) − (y + 4) = hay x − 3y − 17 = − → − → Gọi B(3a + 17; a) Ta có AB = (3a + 21; a − 8); CB = (3a + 16; a + 7) → − →− Do tam giác ABC vuông B nên AB.CB = ⇒ (3a + 21)(3a + 16) + (a − 8)(a + 7) = ⇔ a2 + 11a + 28 = ⇔ a = −4 a = −7 Với a = −4 ⇒ B(5; −4) (loại trùng N) Với a = −7 ⇒ B(−4; −7) ′ C D A D −4 −2 −2 −4 B −6 N I C −8 DeThiMau.vn M 8a điểm 9a điểm x−6 y+1 z+5 = = điểm A(1; 7; 3) −3 −2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với ∆ Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ cho √ AM = 30 − Ý 1: Vì (P) ⊥∆ ⇒ → n (−3; −2; 1) vec tơ pháp tuyến (P) Phương trình mặt phẳng (P) −3 (x − 1) − (y − 7) + (z − 3) = Hay 3x − 2y − z − 14 = √ Ý 2: M ∈ ∆ ⇒ M (6 − 3t; −1 − 2t; −2 + t) Ta có AM = 30 ⇔ AM = 120 ⇔ (5 − 3t)2 + (−8 − 2t)2 + (−5 + t)2 = 120 ⇔ t = t = − 37 17 Suy có hai điểm thỏa mãn M (3; −3; −1) , M 51 ;−7;− Gọi S tập hợp tất só tự nhiên gồm chữ số phân biệt chọn chữ số 1;2;3;4;5;6;7 Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác xuất để số chọn số chẵn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : Số số tự nhiên có chữ số phân biêt số 1,2,3,4,5,6,7 số cách chọn số số 1,2,3,4,5,6,7 có phân biệt thứ tự nên số phần tử S A37 = ∗ ∗ = 210 phần tử Chọn số ngẫu nhiên từ S, xác suất để số chọn số chẵn 3/7 (xác suất để chọn chữ số hàng đơn vị số chẵn 1,2,3,4,5,6,7) (Ý thứ dùng phép đếm, số chọn abc thì: số cách chọn c số cách chọn b số cách chọn a Vậy số cách chọn abc chẵn 3*5*6=90 Vậy xác suất để chọn số abc chẵn 90/210=3/7.) 7b điểm √ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = Đường tròn (C) có bán kính R = 10 √ cắt ∆ hai điểm A B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình (C) Gọi I tâm đường trịn (C), M giao điểm hai tiếp tuyến A, B H trung điểm AB Đặt : AIB = ϕ Ta có : AB2 = IA2 + IB2 − 2IA.IB cos ϕ ⇒ cos ϕ = − 53 Lại có : √ AB2 = HA2 + HB2 − 2.HA.HB cos (π − ϕ) ⇒ 32 = 2HA2 (1 + cos ϕ) = 45 HA2 ⇒ HA = 10 √ √ 2 = 32; IM = IA2 − AB = Lúc : HM = AH − AB 2 Mà H ∈ tia Oy nên : H(0; m), m > √ √ = 32 ⇒ m = (do m > 0) hay H(0; 8) d (H; d) = HM ⇒ |−m| Đường thẳng qua H vng góc với d có dạng : x + y − = nên tọa độ điểm M : M(4; 4) thời M, I, H thằng hàng M nằm I, H nên : Do : MH MI = đồng    xI =  − = −4 (xI − 4) −−→ − → ⇒ I (5; 3) ⇒ MH = −4MI ⇒  y =3  − = −4 (y − 4) I I Hay PT đường trịn cần tìm : (x − 5)2 + (y − 3)2 = 10 M A H I B DeThiMau.vn 8b điểm 9b điểm Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 3y + z − 11 = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 2z − = Chứng minh (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) (S) √ Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 1) , bán kính R = 14 |2.1 + 3.(−2) + − 11| √ √ Ta có d(I; (P)) = = 14 = R , suy (P) tiếp xúc với (S) 4+9+1 Đường thẳng l qua I vng góc với (P) có PT : x = + 2t; y = −2 + 3t; z = + t Gọi H tiếp điểm (P) (S) H phải thuộc l thuộc (P) , tham số t ứng với giao điểm l (P) nghiệm PT: 2(1 + 2t) + 3(−2 + 3t) + + t − 11 = ⇐⇒ t = Thay giá trị t vào PT l ta đến kết luận : tiếp điểm cần tìm H(3; 1; 2) √ Cho số phức z = + 3i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo số phức w = (1 + i)z5 √ π π Số phức z viết lại z = + i = cos + sin i 2 3 5π 5π + sin i Theo công thức Moiver ta có z5 = 25 cos 3√ √ √ Vậy suy (1 + i)z = (1 + i)(16 − 16 3i) = 16 + 16 + (16 − 16 3)i √ √ Phần thực (1 + i)z5 16 + 16 Phần ảo (1 + i)z5 16 − 16 DeThiMau.vn ...3 điểm  √  x+1+√ x − − y4 + = y (1) Giải hệ phương trình:  x2 + 2x (y − 1) + y2 − 6y + = (2) Điều kiện x ≥ Viết lại phương trình thứ... tam giác vng A, ABC = 30o , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ c đến mặt phẳng (SAB) = điểm Gọi H trung điểm BC √ Do ∆SBC ⇒ SH ⊥... giác vuông A, ABC = 30o , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ c đến mặt phẳng (SAB) Từ A dựng Az vng góc với (ABC) để có hệ Axyz