ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT MÔN : TOÁN Thời gian làm : 180 phút ĐỀ BÀI Câu (4đ) : Cho hàm số y = x3 – ( 2m + ) x2 + (m2 – 3m + ) x + 1)Khảo sát hàm số m=1 2)Xác định m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu hai phía trục tung Câu (4đ): m x y m x m y m 1)Cho hệ phương trình : a) Xác định m để hệ có nghiệm b) Tìm m nguyên để nghiệm hệ nghiệm nguyên 2) Giải phương trình : ( ) X ( ) X Câu (4đ): 1)Giải phương trình : cos3 x + sin2x = 8cosx 2)Cho ∆ABC thoả mãn điều kiện : acosA + bcosB + ccosC 2p = asinB + bsinC + csinA 9R ( Trong p nửa chu vi , R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC ) Chứng minh ∆ABC tam giác Câu 4(4đ) : Trong mp(oxy) cho đường trịn (C) có phương trình : x2 + y2 – 6x + 2y +6 = điểm A(1;3) 1)Xác định tâm I bán kính R đường trịn ( C ) ; chứng tỏ A nằm ngồi đường trịn C 2)Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) , biết tiếp tuyến qua A Câu 5(4đ) : 1) Tính tích phân : I= x ( e sinx + eX x2 )dx 1 2) Cho a,b,c > a + b + c = 2006 Tìm giá trị lớn biểu thức : DeThiMau.vn P= a b 4c a 1 b 1 c 1 BẢNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Thời gian : 180 phút MƠN : TỐN Câu : ( 4đ) 1) (2,5đ) Khi m=1 hàm số trở thành y= x3 – 3x2 + ( 0,25đ ) • TXĐ : (0,25đ ) • Chiều biến thiên : R x y = 3x2 – 6x =0 ⇔ 3x( x-2 ) = ⇔ x Dùng phương pháp khoảng xét dấu y ta : + + x - Hàm số đồng biến khoảng ( - ∞ ; ) U(2;+ ∞) Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;2 ) Vậy hàm số đặt giá trị cực đại x= yCĐ = y (0) = Hàm số đạt giá trị cực tiểu x=2 yCT = y(2) = •Dáng điệu đồ thị : + ) y = 6x-6 = ⇔ x=1 Lập bảng xét dấu ( 0,25đ ) -∞ x y Đồ thị +∞ - Lồi Điểm uốn I(1;2) +) Lim y = ± ∞ + Lõm ( 0,25 ) DeThiMau.vn (0,5đ) x→± ∞ • Bảng biến thiên : ( 0,5đ ) +∞ Điểm uốn =2 CĐ =4 x y -∞ y • Đồ thị + Cực tiểu =0 - - +∞ + -∞ +) Cắt trục oy điểm (0;4) +) Cắt trục ox điểm ( -1 ; ) ( ; ) (0,25đ) -1 ( 0,25đ • Nhận xét : Đồ thị nhận điểm uốn I(1;2) làm tâm đối xứng 2)(1,5đ) Ta có y = 3x2 – 2(2m+1)x + ( m2 – 3m + ) (0,25đ) Đồ thị có hai điểm CĐ CT hai phía thục tung ⇔ y = có hai DeThiMau.vn nghiệm trái dấu (0,5đ) ⇔ 3(m2 – 3m +2 ) < ⇔ 1 ( )x = Khi phương trình trở thành : t + t =6 t ⇔ t2 – 6t + = t ⇔ t ( ) X ( Thoả mãn ) ⇔ ( ) X ⇔ x= ± Vậy phương trình có hai nghiệm : x= ± Câu : ( 4đ) 1) (2đ) 4cos3 x + sin2x = 8cosx ⇔4cos3 x + sinxcosx – 8cosx = ⇔ 2cosx [ cos2x + sinx –4 ] = ⇔2cosx [ 2(1-sin2x) +3 sinx – ] = DeThiMau.vn (0,5đ) ⇔cosx [ 2sin2x - sinx + ] = cos x ⇔ sin x sin x x / k ( loại ) ⇔ x / k 2 ( k Z ) x 3 / k 2 ( 1đ ) Vậy phương trình cho có nghiệm : x= /2 + k x= /4 + k2 ( k Z ) x= /4 + k2 (0,5đ) 2)(2đ) • Ta có : sin 2A + sin2B + sin2C = 2sin(A+B)cos(A-B) + 2sinCcosC = 2sinCcos(A-B) + 2sinC(- cos (A+B) ) = 2sinC [ cos(A-B) – cos(A+B) ] = 2sinC ( - ) sin(A)sin(-B) = 4sinAsinBsinC Khi : acosA + bcosB + ccosC asinB + bsinC + csinA = 2p 9R 2RsinAcosA + 2RsinBcosB + 2RsinCcosC = b c a 9R a + b + c R 2R 2R2 R (sin2A + 2sin2B + sin2C) a+b+c = ab + bc + ca 9R ⇔ ⇔⇔ ⇔ a+b+c = ab + bc + ca 2R24sinAsinBsinC 9R a b c 2R 2R 2R a b c ab bc ca 9R 8R ⇔ ⇔ DeThiMau.vn a+b+c (0,25đ) ⇔ ( 0,75đ) (a+b+c) (ab + bc + ca ) = 9abc Theo bất đẳng thức Cơsi ta có : a+b+c ≥ 3 abc ab + bc + ca ≥ 3 (abc ) => ( a=b+c) ( ab + bc + ca ) ≥ 9abc ( 0,5đ) Dấu “=” xảy (0,5đ) Câu : (1đ) (1) 1) (C) có ⇔ ÄABC ⇔ a=b=c phương trình : (x-3)2 + (y+1)2 = => (C) có tâm I(3;-1) bán kính R=2 Khoảng cách IA = ( 1) (1 3) 20 R (1đ) => nằm A ngồi đường trịn 2) đường thẳng (d) qua A(1;3) có phương trình : a(x-1) + b(y-3) = ( a2 + b2 ≠ ) Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d) : | 2a – 4b | h= 2 a b Đường thẳng (d) tiếp tuyến với (C) ⇔ h = R | 2a – 4b | =2 ⇔ (1đ) ( C ) (0,5đ) a b ⇔ ⇔ b(3b-4a) = (a;b) = (1;0) => Tiếp tuyến : x=1 (0,5đ) ⇔ (a;b) = (3;4) => 3x + 4y – 15 = Vậy qua A(1;3) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn ( C ) Phương trình chúng : x=1 3x + 4y – 15 = Câu : (4đ) 2 DeThiMau.vn 1) 2đ) ( 1 I (e x sin x e x x )dx e x sin xdx e x x dx I1 I 2 1 1 1 Với I e sin xdx x2 1 x I e x dx 1 *) Tính I1 : Đặt t=-x => dt = -dx Khi x = t = -1 Khi x = -1 t = 1 t Vậy I e ( sin t )( dt ) e sin tdt I t2 1 1 => I1 = *)Tính I2 : u x du xdx Đặt x dv e x dx v e Khi I e x x - -1 =e- =e- e e -2 xde x 1 - e x dx (2xex -1 1 1 = e - - ( 2e + ) e e + 2e - e Vậy I = I2 = e - e =-e =e- e 1 1 - xe x dx +2 ex -1 e DeThiMau.vn 2) ( 2đ ) Tacó P 1 a b 4(c 1) ) 6( a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: 1 1 x,y,z,t > ta có : ( x + y + z + t ) ( ) ≥ 16 x y z t Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương : x , y , z , t ta có : x+y+z+t≥ 4 xyzt (2) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho số 1 1 ≥4 x y z t (0,5 đ ) 4 (3) xyzt Nhân ( ) ( ) vế với vế ta (1) Dấu “=” xảy ⇔ x áp dụng (1) với x = a +1 , y = b +1 , z = (a +1 + b +1 + c 1 + = y = z = c 1 c 1 ,t= ta có : 2 t c 1 1 2 )( ) ≥16 a 1 b 1 c 1 c 1 1 ) ≥16 a b c 1 16 1 ⇔ ≥ a b c 2009 ⇔ 2009 ( (1đ ) 1 1 , , , ta có : x y z t 16 Vậy P ≤ => P ≤ 2009 12083 2009 DeThiMau.vn 2005 a 2005 a b c 2006 b Dấu “=” xảy ⇔ c 1 ⇔ 1 a b 2007 c 2005 a 12083 2005 Vậy MaxP = b 2009 2007 c ) DeThiMau.vn ( 0,5đ ... DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Thời gian : 180 phút MÔN : TOÁN Câu : ( 4đ) 1) (2,5đ) Khi m=1 hàm số trở thành y= x3 – 3x2 + ( 0,25đ ) • TXĐ : (0,25đ ) • Chiều biến thi? ?n : R x ... điệu đồ thị : + ) y = 6x-6 = ⇔ x=1 Lập bảng xét dấu ( 0,25đ ) -∞ x y Đồ thị +∞ - Lồi Điểm uốn I(1;2) +) Lim y = ± ∞ + Lõm ( 0,25 ) DeThiMau.vn (0,5đ) x→± ∞ • Bảng biến thi? ?n : ( 0,5đ ) +∞... (1;0) => Tiếp tuyến : x=1 (0,5đ) ⇔ (a;b) = (3;4) => 3x + 4y – 15 = Vậy qua A(1;3) kẻ hai tiếp tuyến với đường trịn ( C ) Phương trình chúng : x=1 3x + 4y – 15 = Câu : (4đ) 2 DeThiMau.vn 1) 2đ)