Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.... ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT.[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT (Thời gian làm bài 180’- Không kể thời gian phát đề) MÔN THI: TOÁN Bài ( điểm) Cho hàm số f(x) = x2sin x0 x2 x=0  Chứng minh    x sin xdx = f’(0) Bài ( điểm) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh miền y=x2-6x+5 y=0 quay quanh trục oy Bài ( điểm) Tìm m để bất phương trình: mx2 + mx + m -2  có nghiệm x(1;2) Bài ( điểm) Giải và biện luận phương trình: 4x+1+2(m-1)x-1=(m+1) x  3x  theo tham số m Bài ( điểm) Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = - Bài ( điểm) Chứng minh tam giác ABC có: 1 cos A  cos B  cos C      thì sin A sin B sin C Bài ( điểm) 3x  lim Tìm giới hạn: x 0 sin x Bài ( điểm) Giải và biện luận theo m bất phương trình: x  (m  1) x  m  ( x  m) log ( x  3) Bài ( điểm) x2  y  và đường tròn (C): x2+y2=9 Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H): Viết phương trình tiếp tuyến (H) kẻ qua điểm M(3;1) Viết phương trình tiếp tuyến chung (H) và (C) Bài 10 ( điểm) Cho elip (E): x2  y  và hai đường thẳng (d1): x-ky=0, (d2): kx+y=0 (d1) cắt elip (E) A và C, (d2) cắt elip (E) B và D Tìm giá trị lớn và nhỏ diện tích tứ giác ABCD Lop10.com ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT MÔN THI : TOÁN Bài điểm x  lim x sin x 0 x x x sin f’(0)= lim x 0 -∆x ∆x sin vì ∆x và x x 0 x 0 (1)    x sin xdx    x sin xdx   0,25  x sin xdx Đặt x=-t thì dx=-dt , với x=-/4 thì t=/4, với x=0 thì t=0     0,25  0,50    0,25 lim (-∆x)= lim (∆x)=0   f’(0)=0 x x sin  lim x 0 Mặt khác: 0,25  x sin xdx  -    t sin  t dt +   x sin xdx  4     4 4 =    t sin tdt    x sin xdx     x sin xdx    x sin xdx  (2) 0,25 0,25 Từ (1) và (2) suy diều phải chứng minh Bài 2 điểm y O A -4 Vẽ đồ thị hàm số y=x2-6x+5 Cung AB có phương trình x = y   Cung BC có phương trình x = y    Voy     y   3 dy    ( y   3) dy 0 4 C x 0,5 B 0,5 0,5 4 0  12  y  4dy  8 ( y  4) 4  4 = 64 Bài Gián tiếp loại bỏ f(x) = mx2 + mx + m -2 <0, x(1;2)  m(x2+x+1)<2  m< x(1;2) x  x 1 Lop10.com 0,5 điểm 0,5 0,5 Xét g(x) =  2(2 x  1)   hàm số nghịch biến x(1;2), g’(x) = ( x  x  1) x  x 1 0,5 khoảng (1 ;2)  m  Min g ( x)  1;  0,5 Vậy m > thì bất phương trình có nghiệm x(1;2) Bài điểm Điều kiện 4x2-3x-10  4x  x 1 0,25 m1 m3 Theo cách đặt ta tính x = m<1 m=3 0,25 0,25 Nghiệm t2 thỏa mãn  0,25 t2-(m-1)+2(m-1)=0 0t2 t1=2 t2=m-1 Giải ta 0,25 t0 t2 điều kiện Phương trình trở thành Kết luận: x  4x  4x  - (m+1) +2(m-1) = x 1 x 1 Phương trình  Đặt t = x1 0,25 m  2m  m  2m  0,25 thì PT vô nghiệm 1m3 thì PT có nghiệm x = m  2m  m  2m  Bài x Nhận thấy sin =0  x=k2 (kZ) không phải nghiệm PT x x x x PT  2cosxsin +2cos2xsin +2cos3xsin +2cos4xsin =-sin 9x 9x 2t =0  =t  x= 2 2t x= (tZ)  sin KL: x 0,50 0,50 điểm 1    cosA+cosB+cosC+ sin A sin B sin C =  sin điểm 0,25 (tZ) Bài Ta có 0,25 A B C 3 1    1   sin sin         1    2  sin A sin B sin C    sin A sin B sin C  Lop10.com  1+  3  1  1    1         sin A sin B sin C    sin A sin B sin C          3  1     1     44 A B C  A B C  16.8 cos cos cos cos cos   cos 2 2 2   3    1  3  2 3 A B C   cos cos cos 2 A B C 44 sin sin sin 2 A B C 3 sin sin    2 sin A sin B sin C 1 1 1      A B C sin A sin B sin C cos cos cos 2 A B C 3 cos cos cos  2 1,0 0,5 sin Dấu ‘=’ xảy 0,5  A=B=C  ∆ABC Bài điểm  e x ln   3x 1 x ln  lim  lim 2  x 0 sin x x 0  x ln sin x cos x   Ta có :  ln 0,5 Bài Điều kiện x>-3 Bất PT  (x-m)x-1+log3(x+3)  Đặt f(x)= x-1+log3(x+3) f(x) đồng biến (-3;+) f(0)=0, nên x0  f(x)  f(0)=0 hay f(x) cùng dấu với x Do đó BPT  1,5 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 (x-m)x0 x>-3 Từ đó suy Nếu m0 thì nghiệm BPT là: -3<x0 xm Nếu -3<m<0 thì nghiệm BPT là: Nếu m=-3 thì nghiệm là x0 Nếu m<-3 thì nghiệm là x0 Lop10.com -3<xm x0 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài Phương trình đường thẳng qua M có dạng : a(x-3)+b(y-1)=0 (a2+b20)  ax+by-3a-b=0 đường thẳng này tiếp xúc với (H)   9a2-b2=(3a+b)2 3a+b0 2b(b+3a)=0  b=0 chọn a=1,b=0 PT tiếp tuyến là : x-3=0 3a+b0 điểm 0,25 0,25 0,5 0,25 Xét tiếp tuyến cùng phương với oy có PT : x-a=0 9=a2 a=3  a=3 a0 Có hai tiếp tuyến chung thỏa mãn bài toán là x-3=0 và x+3=0 Xét tiếp tuyến không cùng phương với oy có PT y=kx+b  kx-y+b=0 Để đường thẳng tiếp xúc với (H) và (C)  hệ sau có nghiệm: 9k2-1=b2 2 b=3 k   9k2=b +12 Hệ vô nghiệm 9k +9=b b0 KL: có tiếp tuyến chung là: x-3=0 và x+3=0 Để đường thẳng tiếp xúc với (H) và (C) thì Bài 10 0,25 0,25 0,25 điểm Tọa độ giao điểm (d1) và (E) là nghiệm hệ : x2  y2  x  ky x  ky   AC2 = y 4 k2 16(k  1) 4 k2 0,50 16(k  1)  4k 0,50 Tọa độ giao điểm (d2) và (E) là nghiệm hệ : x2  y2  y   kx y  kx  x  BD2 =  4k Vì (d1)  (d2) nên AC  BD  4S2 = AC2.BD2 = Đặt x=k20, xét f(x)= 16 (1  k ) (4  k )(1  4k ) ( x  1)(9 x  9) 16 (1  x) , f’(x)= (4  x)(1  x) (1  x) ( x  4) f’(0)=0  x=1 Chú ý rằng: lim f ( x)  x   Bảng biến thiên: 0,25 x f’(x) f(x) Từ bảng biến thiên  Max f ( x)  0;   4 x=0  k=0 Lop10.com 25 + + 0,25 Min f ( x)  0;   x=1  k=1 25 Vậy Max SABCD=4 k=0, Min SABCD= 16 k=1 Lop10.com 0,50