Download Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán

[r]

ONTHIONLINE.NET

kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT -

-Mơn thi Tốn bảng A

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

-Bài (4 điểm)

1 Tìm trục hồnh điểm kẻ đến đồ thị hàm số

2  

x x y

hai tiếp tuyến tạo với góc 450.

2 Tính thể tích vật thể sinh phép quay quanh trục Ox hình giới

hạn bởi: y log2x; x + y = 3; y = Bài (4 điểm)

1 Tìm m để hệ

 

 

    

   

   

0 7

0 2

2

m x m x

m x m x

có nghiệm

2 Giải phương trình x2  2x 3 x3

Bài (4 điểm)

1 Giải phương trình cos6x – cos4x + 4cos3x + = Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:

6 13 cos

cos cos

1 cos

cos

cos 

 

 



C B

A C

B A

Bài (4 điểm)

1 Giải phương trình x 3log3x 5log5x 3x2

2 Tính x

x x

x

1

lim

0

  



Bài (4 điểm)

1 Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết qua đường thẳng

  

   

   

0 2

0

2

z y x

z y x

có hai mặt phẳng vng góc với tiếp xúc với mặt cầu

2 Với a, b, c dương ≤   R, chứng minh rằng:

1

1

1 1

1

 

 

  

 

         

  

 

  

  

  

  

 

b a

c a

c b c

b a b

a c a

c b c

b a

Mơn: tốn - bảng A

(đáp án có trang)

Bà

i ý

Nội dung Điể

m

I

 TXĐ D = R\{1}

M  Ox  M(x0; 0), đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương

trình: y = k(x – x0) ()

() tiếp tuyến đồ thị hệ:

 

 

      

 



  

k x

x x

x x k x

x

2

0

1

có nghiệm

  

 0

2 2

1

1 x x x

x x x

x

 

 

  xx01x 2x00      

  

 

1

2

0

0 Voix

x x x x

 Với x0 =  k = 0,

Với x0 =

2

0 

x x

 k =  2

1

 

x x

 Để thỏa mãn u cầu tốn thì: 2

1 45

k k

k k tg

  

 

2

0

1



x x

= ± x0 32

  M1(32 2; 0), M2(3 2; 0)

0.5đ

0.5đ 0.5đ

0.5đ

2

Giao điểm đồ thị hàm số y log2x, đường thẳng x +y = -

là A(2; 1)  V = 

  

  

  

 

 xdx x dx

3

2

2

1

2

log

=V1+ V2

 V1=

dx x



2

1

log

= dx

x e

2

1 ln

log

= =log2e.2ln2 1

 V2 =

 x dx

 

3

2

2

3

= = 

3

 V=[

1

+log2e.2ln2 1] (đvtt)

0.5đ

0.5đ 0.5đ 0.5đ y

Bà

i ý

Nội dung Điể

m

II

 

 

    

   

   

) (

7

) (

2

2

m x m x

m x m x

 1 = (m – 2)2 ≥ 2 = (m – 7)2 ≥  m = m = hệ

phương trình vơ nghiệm  Với 

 

 

7

m m

m0thì tập nghiệm (1) D1  R+ tập

nghiệm (2) D2  R- nên hệ phương trình vơ nghiệm

 Với m < tập nghiệm D1= (m; 2) tập nghiệm D2= (-7; -m)

 hệ phương trình ln có nghiệm

 Hệ phương trình ln có nghiệm với m <

0.5đ

0.5đ 0.5đ 0.5đ

2

 x2  x3 x x30 x x3x x3 10



13

3

3 2   

  

      

 x

x x x x x



17

2 1

3 2   

  

      

 x

x x x x

x

Kết luận: 13 1 

x

17 3 

x

nghiệm

0.5đ 0.5đ 0.5đ

0.5đ

III

2cos23x4cos3x3 coss4x0 2cos3x12sin22x0

 

  

0 sin

1 cos

x x



     

  

2 3

  

l x

k x

KL: Nghiệm x =  + 2k

0.5đ 0.5đ

0.5đ 0.5đ

2

 đặt cosAcosBcosC= 1+ 4sin 2sin 2sin C B A

= t  1< t ≤

3

 Xét f(t) = t t

1



(1;

], có f’(t) =

1

t



>  hàm số đồng biến (1;

3

]  t  (1;

3

] f(1) < f(t) ≤ f(2

) = 13

 Vậy

13 cos

cos cos

1 cos

cos

cos 

 

 



C B

A C

B A

Dấu xảy khi: cosAcosBcosC= 2

3

hay tam giác

0.5đ

0.5đ 0.5đ

0.5đ

IV

 Pt  log x 5log x 3=

2

 

x x

với x >

i m

 Hàm số y =

2

 

x x

có y’=  32

5

 

x < nghịch biến (5; + )   phương trình có nghiệm x =

0.5đ 0.5đ

2

 L = x

x x x x x 3

lim 3

0         = x x x x lim3   

 + x

x x lim3  

 = L

1 + L2

 L1 = x

x x x lim3   

 =  1

2

1 lim3

0   

 x x

x x

x

=

 L2 = x

x x lim3    =           3 lim 3 x x x x x =  Vậy L =

0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ V            ) ( 2 ) ( 2 Q z y x P z y x

ta nhận thấy     ) ( ) ( Q I P I

(P)  (Q)

  hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng phân giác  mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu hai mặt phẳng phân giác góc sinh (P) (Q) Nên phương trình mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là:

|2x + 4y – z -3| = |x – 2y -2z -1|       -3z -x -z 4y x

 Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/) =

2

1  

=

 Phương trình mặt cầu cần lập là:      

16 1

12    

 y z

x

0.5đ

0 5đ 0.5đ 0.5đ

2 Giả sử a ≥ b ≥ c >

0 1 1 1 1                                                           b a c b a c a c b a c b c b a c b a 1 1 1 1 1 1                                                         b a b a c c a c a c b b c b c b a a                

  1

Bà

i ý

Nội dung Điể

m

 

     

 

     

 

     

1

1

1

1 1

1

1

1 1

1

1

1 1

1

1

    

 

 

  

 

    

 

 

  

 

    

 

 

  

 

  

 



  

 



  

 



    

   



    

   



    

   



a b c b b

a b a a c a c

b a b a a

c a c c b c b

a c a c c

b c b b a b a

Điều với a ≥ b ≥ c >  > 1,   R dấu xảy a = b = c >