Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)ONTHIONLINE.NET
thi h c sinh gi i l p 12 thpt
Đề ọ ỏ ớ
mơn tốn
(Th i gian l m b i 180 phút)ờ à à
Câu 1: (5 i m)đ ể
Cho h m s y= x + ố m
x −1 (Cm)
1 Kh o sát v v ả ẽ đồ ị th h m s m = 1ố
2 Tìm m để (Cm) c t tr c Ox t i hai i m phân bi t, m ti p ắ ụ đ ể ệ ế n t i ó vng góc v i nhau.ế đ
Câu 2: (3 i m)đ ể
1 Gi i phả ương trình sau: x - 22006 + x - 12006 = 1
2 Gi i b t phả ấ ương trình sau: x log2
2 x - 2x log2 x - log22 x + log2 x
-
Câu 3: (4 i m):đ ể
1 Tìm m để ấ b t phương trình sau nghi m úng ệ đ x-2;4
- x2 + 2x + 4
√− x2
+2x+8 + m
2 Tính ∫❑
sin 2x
√2 sin(Π
4+x) dx
Câu 4: (5 i m).đ ể
1 T s 1, 2, 3, 4, 5, l p ố ậ s t nhiên có ba ch ố ự ữ s khác Tính t ng t t c s ó?ố ổ ấ ả ố đ
2 Cho Parabol (P): y2 = 8x Tìm qu tích t t c i m M cho ỹ ấ ả đ ể
t M ta k ẻ hai ti p n t i (P) vng góc v i nhau.ế ế ớ
Câu 5: (3 i m).đ ể
Cho l ng tr tam giác ABC Aă ụ 1B1C1 đứng có t t c c nh b ng a ấ ả ằ
G i M, N l n lọ ầ ượ àt l trung i m c a c nh BBđ ể ủ v CCà 1, I l tr ng tâm ọ
tam giác ABC Đường th ng d qua I c t ABẳ ắ v MN l n ầ ượ ạt t i P v Q
Tính độ đ d i o n PQ theo a
H t _ế
Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT mơn tốn
(2)Câu 1: (5.0 i m).đ ể
1 m = h m s tr th nh y = x + ố
x −1
3đ
TX : D = R Đ 1; y’ = 1
x −1¿2' ¿
−1
¿
, y’ =
x=0
¿
x=2
¿ ¿ ¿ ¿
¿
0,5đ
y’ > <=> x (- ; 0) U (2; + ) y’ < x(0;1) U (1; 2)
H m s ố đồng bi n kho ng (- ế ả ; 0) v (2; + ) H m s ngh ch bi n kho ng (0;1) v (1; 2)à ố ị ế ả 0,5đ
ycđ = y (0) = - , yct = y (2) =
0,5đ
lim
x →1± y =
lim
x →1± (x+
1
x −1) =
Đường th ng x = l ti m c n ẳ ệ ậ đứng c a ủ đồ ị th h m số
lim
x → ∞ (y - x) = x → ∞lim (
1
x −1) = T y = x l ti m c n xiên c a Đ ệ ậ ủ đồ
th h m s ị ố
lim
x → ±∞ y = x → ±∞lim (x+
1
x −1) =
0,5đ
B ng bi n thiên:ả ế
y’
y
th :
Đồ ị
th h m s không c t tr c Ox, c t tr c Oy t i i m (0; - 1)
Đồ ị ố ắ ụ ắ ụ đ ể
1 +
1
- y
x
0.5đ
0.5đ
(3)O
2 B i tốn tìm m để:
¿
x+ m
x −1=0
y '(x1).y '(x2)=−1
¿{
¿ (1) x2 - x + m = (3) có N
opb x1, x2 khác
¿
Δ>0
1−1+m≠0
¿{
¿
¿
m<1/4
m≠0
¿{
¿ 0,5đ
(2)
x1−1¿2 ¿
1−m
¿ ¿
[1− m
(x2−1)] = -1 m = 1/5 (Theo L Viet PT (3)) Đ
0,75đ
KL: m =
5 l giá tr c n tìm.à ị ầ
0,25đ
Câu 2: (3 i m)đ ể
1 Gi i phả ương trình: x -12006 + x -22006 = 1 1.5đ
Nh n xét: x = v x = l hai nghi m c a phậ à ệ ủ ương trình 0.5đ
+ x > => x -1 > => x -12006 > => VT > = VP => PTVN.
+ x < => x -1 > => x -22006 > => VT > = VF => PTVN
+ < x < =>0 < 0 < x -2 x -1 < < => VT < x -2 + x -1 = x - + - x = = VF => PTVN
0.75đ KL: Phương trình ã cho có hai nghi m l x = v x = 2đ ệ à 0.25đ
2 K: x > 0Đ
1.5đ
-
+
1
+
0
- - +
có N0pb x1, x2 khác (1) 2,0đ
(4)BPT <=> (x + 1) log2
2 x - (2x + 5) log2 x + > <=> (log2 x - 2) (log2 x -
x+1 ) > (*)
0.5đ
TH1: ¿
log2x ≤x3
+1⇔log2x −x3
+1≤0=log22−23
+1⇔x≤2 Log2x ≥2⇔x ≥4
¿
2>
x+1⇔x>
1
2:(∗)⇔¿
(Vì h m s y = logà ố x -
3
x+1 đồng bi n (0; + ế ))
=> x ¿∪¿ 0.5đ
TH2: <
x+1 <=> x <
1
2 : (*) <=>
¿x≥2 x≤4
¿ ¿
=> x (0;
2 )
TH3: =
x+1 <=> x =
1
2 : (*) <=> (log2 x - 2)2 > 0, x > => x = 1/2
t/m
V y b t phậ ấ ương trình có t p nghi m l : (0;2ậ ệ 4;+) 0.5đ
Câu 3: (4 i m)đ ể
1 Xét f(x) = - x2 + 2x + v i x ớ -2;4 2,0 đ
Ta có: x0 = 1-2;4, f(1) = 9, f(-2) = 0, f(4) =
=> T p giá tr c a f(x) ậ ị ủ -2;4 l (à 0;9
1,0đ t: t =
Đặ √− x2
+2x+8 , < t <
=> B i tốn <=>à tìm m để t2 + 4t + m - > 0, t 0;3
0.5đ
Xét g(t) = t2 + 4t + m - o n đ 0;3
Ta có: t0 = 0;3, g(t) đồng bi n o n ế đ 0;3, g(0) = m - 8,
(5)2 I =
sinx+cosx¿2−1 ¿
¿sinx+cosx
¿ ¿
∫¿
2,0đ
= - cosx + sinx + C1 -
1
√2∫ dx sin(x+Π
4 )
0.5đ
J = ∫dx
sin(xΠ
4 )
=∫
sin(x+Π
4) Sin2
(x+Π
4 )
dx
0.5đ
= ∫
− dcos(x+Π
4 )
(1−cos(x+Π
4 ))(1+cos(x+
Π
4 ))
=¿
2ln
cos(x+Π
4)−1 cos(x+Π
4)+1
+C2
0.5đ
Suy ra: I = - cosx + sinx -
2√2ln
cos(x+Π
4 )−1 cos(x+Π
4 )+1
+C
0.5đ
Câu 4: (5 i m)đ ể
1 - T s 1, 2, 3, 4, 5, l p ố ậ A63 = 120 s t nhiên có ố ự 2,5đ
ch s khác ữ ố
- Tính t ng s l p ổ ố ậ được: 0.5đ
Có A52 s có ch s ố ữ ố đứng h ng đơn v ị Có A5
2 s có ch s ố ữ ố đứng h ng ở à đơn vị
Có A5
2 s có ch s ố ữ ố đứng h ng ở à đơn vị
(6)Có A5
2 s có ch s ố ữ ố đứng h ng ở à đơn vị
Có A52 s có ch s ố ữ ố đứng h ng đơn vị
=> T ng ch s h ng ổ ữ ố đơn v l : ị
A5
2 (1 + + +4 + + 6) = 420
1,0đ
Tương t : ự T ng ch s h ng ch c l : 420 ổ ữ ố ụ T ng ch s h ng tr m l : 420 ổ ữ ố ă
0.5đ
V y t ng s t nhiên có ba ch s khác l p ậ ổ ố ự ữ ố ậ đượ ừc t số ã cho l :
đ
420 100 + 420.10 + 420 = 46620 0.5đ
2 G i M (xọ 0; y0), hai ti p n vng góc v i c a (P) qua M l dế ế ủ 1v dà 2,5 đ
Gi s PT dả l : A (x - xà 0) + B (y - y0) = (A2+B2 0)
<=> Ax + By - (Ax0 + By0) =
0.5đ
=> Phương trình d2 l : Bx - Ay - (Bxà - Ay0) =
0.5đ
Theo gi thi t: dả ế 1, d2 ti p xúc v i (P) nên ta có h phế ệ ương trình
0.5đ
4B2 = 2A (-Ax
0 - By0) (1)
4A2 = 2B (-Bx
0 - Ay0) (2)
T h phừ ệ ương trình suy A.B 0.5đ
T (2) ta có: yừ = 4A
+2B2x0
2 AB =
B2x0+2A
AB thay v o (1) ta x0 = -2
0.5đ
V y qu tích c n tìm l ậ ỹ ầ đường th ng x = -2 ẳ 0.5đ
Câu 5: (3 i m)đ ể
P
(7)0,25 đ
Theo gi thi t l ng tr có hai áy l hai tam giác ả ế ă ụ đ c nh a, ba m tạ ặ bên l ba hình vng c nh a
0.25đ
- D ng PQ: K qua I ự ẻ đường th ng song song CB c t AB t i F Trongẳ ắ m t ph ng (ABAặ ẳ 1B1), đường th ng FM c t ẳ ắ đường th ng ABẳ 1t i P
IF // BC // MN => Trong m t ph ng (IFMN) ặ ẳ đường th ng IP c t MNẳ ắ t i Q V y P, Q l hai i m c n xác ậ đ ể ầ định
1,0đ
- Tính PQ: Đường A1B1 c t PF t i J Do M l i m BBắ đ ể nên BF = B1J
I l tr ng tâm tam giác ọ ABC nên BF =
2 AF = a/3
=> B1J =
2 AF => 4PM = 3FP (vì M l trung i m c a FJ v J đ ể ủ à
trung i m PF) => PQ = PI đ ể 0.5đ
- M t khác: FP = MF = ặ √BM2
+BF2=2a√13
3
FI =
3 BC =
a
3 , MI = √BM
2
+BI2=a√7
2√3
=> Cos IFM = IF
2
+FM2−IM2
2 IF IM =
−1
√13
0.5đ
=> IP2 = IF2 + FP2 - 2IF.FP cos IFM = 57a
9 ⇔IP=
a√57
C1 B
1
A1
M
N Q
C B
I F
(8)=> PQ =
4 PI =
a√57
4 V y PQ = ậ
a√57
0.5đ