Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp tỉnh Quảng Nam năm học 2015 2016 môn thi: Toán26777

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi : TỐN Thời gian : 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 02/10/2015 Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x  x  3x  3(x  2) (x  x  2)y  x  b) Giải hệ phương trình:  (x  4x  1)y  (2x  x)y  x  Câu (3,0 điểm) u1  u n 1  4u n  9n  12 (n  1, 2,3, ) a) Cho dãy số (un) xác định bởi:  Tìm số hạng tổng quát dãy số (un)  x1  b) Cho dãy số (xn) xác định bởi:   x n 1   2x n (n  1, 2,3, ) Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Câu (3,0 điểm) a) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên gồm chữ số cho số có ba chữ số 1, chữ số cịn lại đơi khác hai chữ số chẵn không đứng cạnh ? b) Cho đồ thị (C) : y  2x  đường thẳng d: y = x + m (m tham số) Tìm m để x 1 đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Chứng minh tích hệ số góc hai tiếp tuyến với (C) hai điểm số không đổi Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R) a) Gọi A1, B1, C1 hình chiếu vng góc A, B, C BC, CA, AB Gọi p1 nửa chu vi tam giác A1B1C1 S diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: S = R.p1 b) M điểm di động cạnh BC (M khác B M khác C), đường trung trực đoạn thẳng MB cắt đường thẳng AB E, đường trung trực đoạn thẳng MC cắt đường thẳng AC F Xác định vị trí điểm M cạnh BC cho diện tích tam giác OEF nhỏ Câu (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm di động đường thẳng AB (M khác A M khác B) Gọi E giao điểm hai đường thẳng MC AD, N hình chiếu vng góc A đường thẳng MC, I giao điểm hai đường thẳng AN BE Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàng Câu (3,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c không nhỏ thỏa mãn a  b  c2  12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    a  b  c2  4c  - Hết - ThuVienDeThi.com  (a  2b)(a  2c) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN 12 THPT Câu Đáp án Câu a) Giải phương trình: x  x  3x  3(x  2) (1) (4.0) Đặt t  x  3x , t  PT (1) trở thành: t2 + t – =  t = –3 (loại) t = (thỏa t  0) Điểm 2.0 x  3x   x  3x    x = –1 x = Ghi chú: Điều kiện t ≥ thay cho điều kiện x ≤ x ≥ (0.5) b) Giải hệ phương trình … Ký hiệu hệ phương trình cho (I) + (x ; y) = (0 ; 0) nghiệm (I) + Mọi cặp số (x ; 0) (0 ; y) với x0, y0 nghiệm (I) + Trường hợp x  0, y  0:  x y  xy  2y  x  (I)    x y  4x y  y  2x y  xy  x   x(xy  1)  2y  xy  2 2  x (xy  1)  xy(xy  1)  y  5x y  (x  y )  x     x     x         y  y  x x2  a  2b  1 Đặt a  x  , b  (b ≠ 0), hệ trở thành: (II)  2 y x a  ab  b  Giải hệ (II) được: (a ; b) = (3 ; –1) (a ; b) = (–7 ; 4) 1  + Với (a ; b) = (3 ; –1) thì: x; y    1;  4   1 + Với (a ; b) = (–7 ; 4) thì: x; y    ;    29  * Một cách giải khác: +y=0x=0 (0.25) + Trường hợp y  0: x   x  x   y  (1)  Biến đổi được:  (1.0)  x  4x   (2x  1) x   x   (2)    y y  + Với t = thì: x   x  x  (3) y Thay (3) vào (2), khai triển rút gọn được: 4x2 + 3x – =  x = –1 x = 1/4 x = –1  y = 1/4 x = 1/4  y = –4/29 (1)  0.5 0.5 0.25 0.5 0.25 2.0 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (0.25) (0.25) (0.25) (0.25) (0.25) ThuVienDeThi.com ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN 12 THPT Câu Đáp án Câu a) Giải phương trình: x  x... 0.25 0.5 0.25 2.0 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (0.25) (0.25) (0.25) (0.25) (0.25) ThuVienDeThi.com