Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp tỉnh năm học 2009 2010 môn Toán39739

SỞ GD VÀ ĐT ĐỒ NG THÁP KỲ Trư ng THPT Cao lãnh THI CHỌ N HỌ C SINH GIỎ I LỚ P 12 THPT CẤ P TỈ NH NĂM HỌ C 2009 - 2010 ĐỀ THI MÔN: TỐN Thờ i gian làm bài: 180 phút (khơng kể thờ i gian phát đề ) Ngày thi: 21 tháng năm 2009 (Đề thi gồ m có: 01 trang) Câu 1: (3.0 điể m) 1.1 Cho hàm số (C) Cho điể m A (0;a) Xác đị nh a đẻ từ A kẻ đư ợ c hai tiế p tuyế n tớ i (C) cho hai tiế p điể m tư ng ứ ng nằ m hai phía trụ c ox 1.2 Giả i phư ng trình nghiệ m nguyên dư ng sau: x6 z 15x z 3x y z y2 Câu 2: (3.0 điể m) sin x sin 2 x sin 2 x sin x 2.2 Chứ ng minh rằ ng mọ i tam giác ABC ta ln có: 2.1 Giả i phư ng trình: tg A 3 tg B 3 tg C tg A B tg 3 tg C 3 Câu 3: (3.0 điể m) 3.1 Giả i bấ t phư ng trình x2 3.2 Tìm m để phư ng trình: m 2x 3x x 2x 3x x x(2 x) (2) có nghiệ m x 0; Câu 4: (3.0 điể m) 4.1 Cho đa thứ c P (x) = x5 + x4 – 9x3 + ax2 +bx + c Biế t rằ ng P (x) chia hế t cho (x - 2)(x + 2)(x + 3) Hãy tìm đa thứ c ấ y 4.2 Cho dãy số (un) xác đị nh bở i: 1 vớ i Xác đị nh số hạ ng tổ ng quát (un) theo n Câu 5: (3.0 điể m) 5.1 Cho tam giác ABC Xét tậ p hợ p gồ m năm đư ng thẳ ng song song vớ i AB, sáu đư ng thẳ ng song song vớ i BC bả y đư ng thẳ ng song song vớ i CA Hỏ i đư ng thẳ ng tạ o hình bình hành, hình thang? 2 n n 5.2 Vớ i n số nguyên dư ng, ng minh hệ thứ c: C n1 C2n C n2 n C nn Câu 6: (2.0 điể m) a b c Cho a, b, c ;3 Chứ ng minh rằ ng: a b b c c a Câu 7: (3.0 điể m) 7.1 Trên mặ t phẳ ng vớ i hệ trụ c toạ độ Đêcac vng góc Oxy cho đư ng thẳ ng d1 : x y 0; d : x y 0; d : x Tìm toạ độ đỉ nh củ a hình vng ABCD biế t rằ ng A C thuộ c d3, B thuộ c d1, D thuộ c d2 7.2 Cho hình chóp tam giác đề u SABC có đư ng cao SO = đáy ABC có cạ nh bằ ng Các điể m M, N theo thứ tự trung điể m củ a cạ nh AC, AB Tính thể tích hình chóp SAMN bán kính mặ t cầ u nộ i tiế p hình chóp đó./.Hế t DeThiMau.vn SỞ GD VÀ ĐT ĐỒ NG THÁP KỲ Trư ng THPT Cao lãnh THI CHỌ N HỌ C SINH GIỎ I LỚ P 12 THPT CẤ P TỈ NH NĂM HỌ C 2009 - 2010 HƯ Ớ NG DẪ N CHẤ M ĐỀ THI CHÍNH THỨ C MƠN: TỐN Ngày 21-9-2009 (Hư ng dẫ n chấ m biể u điể m gồ m có trang) Đáp án Điể m 3.0 Câu 2.0 1.1 Phư ng trình tiế p tuyế n 0.25 Phư ng trình tiế p tuyế n qua A (0;a) có ng y =kx+a (1) có nghiệ m 0.25 Điề u kiệ n có hai tiế p tuyế n qua A: 0.25 Thay (3) vào (2) rút gọ n ta đư ợ c: 0.25 Để (4) có nghiệ m 0.25 Hồnh độ tiế p điể m 0.5 Để hai tiế p điể m nằ m hai phía củ a trụ c ox : là: nghiệ m củ a (4) Tung độ tiế p điể m Vậ y 0.25 1.0 1.2 Giả i phư ng trình nghiệ m nguyên dư ng 0.25 (1) 0.25 Áp Dụ ng BDT Cauchy cho số ; ta đđư ợ c: VT x2 y2 x3 thoả mãn đkiệ n toán 3x z y x y x VP Dấ u “=” xả y khi: x 0.25 Từ phư ng trình: x 0.25 3.0 2.0 Vậ y nghiệ m nguyên dư ng củ a phư ng trình là: x, y, z 0.5 y , y y2 5 3, 2,9 Câu 2.1 Giả i phư ng trình lư ợ ng giác sin x sin 2 x PT 1.0 sin 2 x sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin 2 x sin x sin 2 x x 3 0.5 x 1.0 2.2 CMR 0.25 B C 3 sin x cos x tan A 2k 2k , k A Z tan B C DeThiMau.vn z B C tg 3 B C tg tg 3 A A 3.tg 3 tg tg 0.25 0.25 0.25 3.0 1.5 A B C tg tg 3 A B tg tg 3 Câu tg A B C tg tg 3 C A B C tg tg tg tg 3 3 tg ĐS 1.5 x2 3.1 Giả i bấ t phư ng trình *BPT có tậ p nghiệ m S=(- ;1/2] 3.2 Tìm tham số m ĐS Do đó, ycbt 2x 3x {1} t2 có nghiệ m t t bpt m 3x m [1,2] x t 1;2 3.0 1.5 ĐS Câu 4.1 Tìm đa thứ c Vậ y đa thứ c phả i tìm P (x) = x5 + x4 – 9x3 - x2 +20x - 12 1.5 4.2 CMR ĐS Suy ra: 3.0 1.0 0.5 Câu 5.1 Số hình bình hành là: C 52 C 62 0.5 2.0 0.5 Số hình thang là: C 52 C 61 C 71 C 62 C 51 C 71 C 72 C 61 C 51 1575 (hìnhh) 5.2 CMR Đặ t S vế trái hệ thứ c cầ n ng minh, lư u ý C n0 C nn C nk C nn 0.5 Ta thấ y: S 0.75 0.25 2.0 0.25 Từ x n tan 2008 n n C n1 x n 2007 n C n2 2n x n tan 502 C 52 C 72 C 62 C 72 , x max g(t) g(2) n C nn tan 3 Vậ y m 675 (hình) n C nn k n R So sánh hệ số củ a x khai triể n nhị thứ c Newton củ a 2n C n2 x x x ta suy ra: C n1 Từ (1) (2) có đpcm Câu a b c Đặ t F a, b, c Giả sử a a b b c c a C nn C 2nn max a, b, c 0.5 0.5 Ta có: F a, b, c 0.25 3.0 Để ý rằ ng F a, b, ab 0.5 F a, b, ab b a a b x2 x b c a b b c c a Đặ t x b a a x a b 1 x a b a b 2x ab c a c b c a b b a b , ta thấ y BĐT ( 2) đúng, từ (1), (2) có bấ t đẳ ng thứ c cầ n ng minh Đẳ ng thứ c xả y và hoán vị a , b, c 3;1; Câu DeThiMau.vn 1.5 0.5 7.1 Tìm tọ a độ Ta có: B (b;3b 4) 0.5 Suy b d 3b d d1 ; D d ;6 d b d d Vì A, C d // Oy nên B D đố i xứ ng qua d3 Do B (2; 2), D(4;2), dẫ n tớ i tâm hình vng ABCD I (3; 2) 0.25 1.5 Mặ t khác A(3; a ) d IA IB nên a a hoặ c a = Bài tốn có hai nghiệ m hình: A (3; 3), B (2; 2), C (1; 3), D (4; 2); A(1; 3), B (2; 2), C (3; 3), D (4; 2) 7.2 Tính thể tích tìm bán kính mặ t cầ u nộ i tiế p 0.5 * Ta có: VSAMN 0.5 * Gọ i r bán kính mặ t cầ u nộ i tiế p hình chóp SAMN Sử dụ ng công thứ c: 0.5 S SAMN 0.25 SO.S AMN r S AMN S ASN S SMN , ta tính đư ợ c: r 2 Chú ý: Nế u họ c sinh có hư ng giả i quyế t khác mà hợ p lơgích vẫ n chấ m điể m tố i đa hư ng dẫ n Sai phầ n khơng chấ m phầ n dư i DeThiMau.vn ... ĐT ĐỒ NG THÁP KỲ Trư ng THPT Cao lãnh THI CHỌ N HỌ C SINH GIỎ I LỚ P 12 THPT CẤ P TỈ NH NĂM HỌ C 2009 - 2010 HƯ Ớ NG DẪ N CHẤ M ĐỀ THI CHÍNH THỨ C MƠN: TOÁN Ngày 21-9 -2009 (Hư ng dẫ n chấ m biể... ta tính đư ợ c: r 2 Chú ý: Nế u họ c sinh có hư ng giả i quyế t khác mà hợ p lơgích vẫ n chấ m điể m tố i đa hư ng dẫ n Sai phầ n khơng chấ m phầ n dư i DeThiMau.vn ... t 1;2 3.0 1.5 ĐS Câu 4.1 Tìm đa thứ c Vậ y đa thứ c phả i tìm P (x) = x5 + x4 – 9x3 - x2 +20x - 12 1.5 4.2 CMR ĐS Suy ra: 3.0 1.0 0.5 Câu 5.1 Số hình bình hành là: C 52 C 62 0.5 2.0 0.5 Số hình