KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT CẤP TỈNH ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Khóa ngày 25 thng 11 năm 2008 Môn: TOÁN Câu Nội dung 1 Điều kiện: x > -1 Biến đổi về phương trình: ( ) 4 x 1 4+ = Do đó: x = 2 1− 2 1/ Gọi S 1 , S 2 , S 3 lần lượt là diện tích các tam giác BMN,CNP, AMP. Ta có: ABN ABC S BN S BC = Mà: BC BN NC 1 k 1 1 BN BN k k + + = = + = Vậy: ABN k S S k 1 = + Ta có: NBM NBA S MB S AB = Mà: AB AM MB 1 k MB MB + = = + Vậy: NBM ABN 1 S S k 1 = + Nên: NBM 2 k S S (k 1) = + hay 1 2 k S S (k 1) = + Vì S 1 , S 2 , S 3 có vai trò như nhau nên: S 1 = S 2 = S 3 2 k S (k 1) = + Diện tích tam giác MNP bằng: MNP S S= − 2 3k S (k 1)+ = 2 3k 1 S (k 1) − ÷ + 2/ Diện tích tam giác MNP nhỏ nhất khi hàm y = 2 3k 1 (k 1) − + với k > 0 đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: y’ = 3 3(k 1) (k 1) − + ( k >0) Lập bảng biến thiên , từ đó suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất N P M A B C khi k = 1, khi đó y = 1 4 . Do đó: Diện tích tam giá MNP đạt GTNN bằng S 4 khi k = 1. 3 Ta có: ( ) 7 7 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 a b a b 7a b 21a b 35a b 35a b 21a b 7ab + − − = + + + + + = 7ab( a + b) ( ) 4 3 2 2 3 4 a 2a b 3a b 2ab b+ + + + = 7ab( a +b ) ( ) 2 2 2 a ab b+ + Theo giả thiết ta suy ra: 2 2 a ab b+ + chia hết cho 3 7 . Chọn: a = 1, 2 2 a ab b+ + = 3 7 ta được: 2 b b 342 0+ − = Giải phương trình ta được: b = 18 hoặc b = -19 ( loại) Vậy cặp ( a, b) = ( 1, 18) thoả điều kiện bài toán. 4 Đặt u = z 11 , v = 5 y 2 ( Đk: u > 0, v > 0 ) ta có hệ phương trình: x 4 2 x 1 u v 71 u v 21 u v 16 − − = + = + = ⇔ x 4 2 x u v 71 (1) u 21 v (2) u (16 v)u (3) = + = − = − Vì u > 0 nên 21- v 2 > 0 suy ra: 0 < v < 21 Từ (1), (2), (3) suy ra: 4 2 (v 71) (16 v)(21 v ) 0+ − − − = ⇔ 4 3 2 v v 16v 21v 265 0− + + − = Đặt f(v) = 4 3 2 v v 16v 21v 265− + + − Ta có: f(0) = -265 < 0 , f(4) = 267 > 0 nên f(0).f(4) < 0 f'(v) = 3 2 4v 3v 32v 21− + + f’’(v) = 2 12v 6v 32 0− + > với mọi v (0; 21)∈ Vậy f(v) là hàm tăng trên (0; 21 ) Do đó: f(v) = 0 có nghiệm duy nhất thuộc khoảng (0; 21 ). Nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 2 5 Ta có: f (a) f (b) a b− ≥ − với mọi a, b thuộc [a; b]. (1) Mà: f(a), f(b) thuộc [a; b] nên: f (a) f (b) a b− ≤ − . (2) Từ (1) và (2) suy ra: f (a) f (b) a b− = − Do đó: f(a) = a, f(b) = b hoặc f(a) = b, f(b) = a. * Nếu f(a) = a, f(b) = b thì: . f (x) f (a) f (x) a x a− = − ≥ − ⇔ f(x) – a ≥ x - a ⇔ f(x) ≥ x với mọi x [ ] a;b∈ . f (b) f (x) b f (x) b x− = − ≥ − ⇔ b - f(x) ≥ b - x ⇔ f(x) ≤ x với mọi x [ ] a;b∈ Do đó: f(x) = x với mọi x [ ] a;b∈ * Nếu f(a) = b, f(b) = a thì: . f (x) f (a) f (x) b x a− = − ≥ − ⇔ b - f(x) ≥ x - a ⇔ a + b – x ≥ f(x) với mọi x [ ] a;b∈ . f (x) f (b) f(x) a x b− = − ≥ − ⇔ f(x) – a ≥ b - x ⇔ a + b – x ≤ f(x) với mọi x [ ] a;b∈ Do đó: f(x) = a + b - x với mọi x [ ] a;b∈ Kết luận: f(x) = x hoặc f(x) = a + b - x 6 Ta có: P(x, y) = 3 2 3 x 3xy y− + = ( ) ( ) 3 2 3 y x 3 y x x x− − − − = ( ) ( ) 2 3 3 y 3y x y x y− + − + − Vậy: P(x, y) = P( y - x, -x ) = P( -y, x - y ) Do đó: (x, y) là một nghiệm nguyên của phương trình P(x, y) = n ( n nguyên dương) thì ( y-x, -x) và (-y, x – y) cũng là nghiệm . Rõ rang: 3 nghiệm này phân biệt. Thật vậy: vì nếu chúng trùng nhau thì x =y = 0 Khi đó: n = 0 Vô lí ! 7 1/ Nội tiếp tứ diện ABCD trong một hình chữ nhật AECF.GBHD ( xem hình). Gọi: x, y, z là ba kích thước hình hộp chữ nhật. V là thể tích hình tứ diện ABCD. Ta có: hình hộp chữ nhật AECF.GBHD chia thành 5 khôi chóp: ABCD và bốn khối chóp có thể tích bằng nhau là G.ABD, F.ADC, H.BDC, E.ABC. Do đó: hhcn G.ABD V V 4.V= + 3 Hay x.y.z = V + 4. 1 1 . 3 2 .x.y.z ⇔ V = 1 xyz 3 Theo định lý Pitago ta có hệ phương trình xác định x, y, z : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y b y z c z x a + = + = + = Suy ra: 2 2 2 2 2 2 a b c x y z 2 + + + + = Giải hệ phương trình trên ta được: 2 2 2 2 a b c x 2 + − = ; 2 2 2 2 c b a y 2 + − = ; 2 2 2 2 a c b x 2 + − = Vậy: V = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 b a c b c a c a b 3 2 + − + − + − 2/ Tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện cũng chính là tâm I của hình cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật. Suy ra: I chính là trung điểm của đường chéo hình hộp chữ nhật. Bán kính R = 2 2 2 2 2 2 x y z 2(a b c ) 2 4 + + + + = B H D G I E C A F 4 . KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT CẤP TỈNH ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Khóa ngày 25 thng 11 năm 2008 Môn: TOÁN Câu Nội dung 1 Điều kiện: x > -1 Biến. 2a b 3a b 2ab b+ + + + = 7ab( a +b ) ( ) 2 2 2 a ab b+ + Theo giả thi t ta suy ra: 2 2 a ab b+ + chia hết cho 3 7 . Chọn: a = 1, 2 2 a ab b+ + = 3 7 ta được: 2 b b 342 0+ − = Giải. 1) − + với k > 0 đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: y’ = 3 3(k 1) (k 1) − + ( k >0) Lập bảng biến thi n , từ đó suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất N P M A B C khi k = 1, khi đó y = 1 4 . Do đó: