Trường THCS Mỹ Hưng ĐỀ THI ƠLYMPIC MƠN TỐN LỚP (120 Phút) (năm học 2013 – 2014) C©u : (6 điểm) a) Giải phương trình : 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chøng minh r»ng : A= a b c bca acb abc Câu : (5 điểm) a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm số nguyên n dÓ n5 + chia hÕt cho n3 + Câu (3 điểm ) a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 9 a b c b Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 Bài : ( im ) Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động AC Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA t¹i O Chøng minh r»ng : a ) OA.OB = OC.OH b ) Góc OHA có số đo không ®ỉi c ) Tỉng BM.BH + CM.CA kh«ng ®ỉi ThuVienDeThi.com Đáp án – hướng dẫn chấm C©u : (6 ®) a) (3 ®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,5 §KX§ : x 4; x 5; x 6; x 7 0,5 Phương trình trở thành : 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 18 1,75 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; ( 0,25) b) (3 đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 yz xz x y ; ( 1,5đ ) ;b ;c 2 yz xz x y 1 y x x z y z ( ) ( ) ( ) ( 0,75 ) Thay vào ta A= 2x 2y 2z 2 x y z x z y Tõ ®ã suy A (2 2) hay A ( 0,25đ ) Tõ ®ã suy a= C©u : (2®) a) Gäi số phải tìm a b , ta cã a+b chia hÕt cho 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2ab b ) 3ab = =(a+b) (a b) 3ab 0,5 V× a+b chia hÕt cho nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; Do vËy (a+b) (a b) 3ab chia hÕt cho ThuVienDeThi.com b ) ( 3đ ) n5 + n3 + n5 + n2 – n2 + n3 + n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + (n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1) n – n2 – n + n(n – 1) n2 – n + Hay n2 – n n2 – n + (n2 – n + 1) – n2 – n + n2 – n + XÐt hai trêng hỵp: + n2 – n + = n2 – n = n(n – 1) = n = 0, n = thư l¹i thÊy t/m ®Ị bµi + n2 – n + = - n2 – n + = , giá trị n thoả mÃn Cõu b c 1 a a a a c 1 a Từ: a + b + c = ( 1đ ) b b b a b 1 c 1 c c 1 a b a c b c a b c b a c a c b 32229 Dấu xảy a = b = c = ( 0,5 đ ) b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = hc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1đ) ( 0,5 đ ) ThuVienDeThi.com O Câu ( đ ) OB OH OA.OB = OC.OH ( đ ) OC OA OB OH OA OH b) (1) OC OA OC OB chung (2) OHA vµ OBC cã O Tõ (1) vµ (2) OHA ~ OBC (c.g.c) OHA OBC (kh«ng ®æi) ( đ ) a) BOH ~ COA (g-g) c) VÏ MK BC ; BKM ~ BHC (g.g) H A B M K C BM BK BM.BH = BK.BC BC BH (3) CKM ~ CAB (g.g) CM CK CM.CA CB CA = BC.CK (4) Céng tõng vÕ cđa (3) vµ (4) ta có: BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK = BC(BK + CK) = BC2 (không đổi) ( ) ThuVienDeThi.com ... ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 18 1,75 18( x+7)- 18( x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; ( 0,25)... Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; Do vËy (a+b) (a b) 3ab chia hÕt cho ThuVienDeThi.com b ) ( 3đ ) n5 + n3 + n5 + n2 – n2 + n3 + n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + (n – 1)(n... n2 – n + XÐt hai trêng hỵp: + n2 – n + = n2 – n = n(n – 1) = n = 0, n = thử lại thấy t/m đề bµi + n2 – n + = - n2 – n + = , kh«ng có giá trị n thoả mÃn Cõu b c 1 a a a a c 1