Tải Đề thi Olympic môn Toán lớp 8 - Phòng GD Đức Thọ tỉnh Hà Tĩnh - Năm học 2012 - 2013

[r]

phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic tốn năm học 2012-2013 Đề thi thức Thời gian làm 120 phút

C©u 1: Cho biÓu thøc

 

   

     

2 2 2

4xy 1

A :

y x y x y 2xy x

a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A đợc xác định b) Rút gọn A

c) Nếu x, y số thực tháa m n · 3x2y22x 2y 1, h y t×m giá trị nguyên đà ơng A ?

Lời giải: a) ĐKXĐ A là:

  

  



   

 

  

  

  

 

2

2

2 2

y x

y x

y 2xy x

y

1

0

y x y 2xy x

b)        

     

   

    

2

2 2

y x y x

4xy 2y 4xy

A : 2x 2xy

y x y x y x y x y x 2y

c) ĐK cần: Từ điều kiện            

2 2 2

3x y 2x 2y 2x 2xy x 2xy y x y

     

 2x22xy x y 22 x y   1 2x22xy x y 1  22

 

 2x22xy 2 x y 1  2

Do < A  nên giá trị A cần tìm A 1;2 ĐK đủ: Với A =  

2

x y 1

   

XÐt x y 1    xy (loại x y)

Xột x y   1 x y thay vào 3x2y22x 2y 1 đợc    

2 2

3 y 2 y 2 y 2  2y1

 2

2

3

y

2y 2

4y 12y 4y 12y 2y

2y 3

y

 

 

  



             



  

 

 

3 2

y x

2

 

  

;

3 2

y x

2

  

  

Víi A =  

2

x y x y x y

          

thay vào 3x2y22x 2y 1 đợc

 2  

3 y 1 y 2 y 1  2y1

 

2

y (lo¹i)

1

4y 6y 2y 2y 3 x

2 y

2   

        

 



VËy A =

x;y 3; ; 3;

2 2

        

 

     

   

 

A =

x;y 1; 2     

 

 

Câu 2: a) Giải phơng trình sau

  

  

2 2

x 17 x 15 x 13 x 11

2008 2010 2012 2014

Lời giải: a) Phơng trình tơng đơng

   

      

2 2

x 17 x 15 x 13 x 11

1 1

2008 2010 2012 2014

 

     

          

 

2 2

2

x 2025 x 2025 x 2025 x 2025 1 1

x 2025

2008 2010 2012 2014 2008 2010 2012 2014

V×



1

2008 2012 vµ 

1

2010 2014 nªn    

1 1

0 2008 2010 2012 2014

Do ta có x2 2025 0 x45 Tập nghiệm phơng trình là: S  45;45 b) Từ giả thiết x2y2z2xy yz zx   2x22y22z2 2xy 2yz 2zx  0

     

 x y 2 y z 2 z x  0 x y  y z z x 0 x y z

Do x2012y2012z2012 32013 3x201232013  x3 Vậy x = y = z = 3; x = y = z = -3

C©u 3: a) Cho phơng trình

4x

m

x , với m tham số Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng b) Chứng minh a b c thỡ a3b3c3 a4b4c4

Lời giải: a) ĐKXĐ: x  Ta cã         

            

 4x

m 4x x m 4x x m m

x

     

 4x x m 3    m 3  x m 1  m

NÕu m = = nên phơng trình vô nghiệm

Nếu m



 m x

m 1 §Ĩ phơng trình có nghiệm dơng

+)

    





   

  

            

   

  

   

 

  

2

2

m

1 m

1 9

m m m 2 0 m m 0 m

m m 4

m m  m1 3

2 2  m < -2; m > Vậy giá trị m cần tìm m < -2; m > 1 b) Ta dễ dàng chứng minh đợc a4b4a b ab3 

ThËt vËy                

4 3 3 3

a b a b ab a a b b a b a b a b

        

            

 

 

 

2 2

2 2 2 b 3b

a b a ab b a b a

2

đúng với a, b Chứng minh tơng tự ta có b4c4b c bc3  c4a4c a ca3 

Do

 4 4 4  4 4  4 4  4 4  4 4 4

3 a b c a b b c c a a b c

     

a b ab3  3b c bc3  3c a ca3  3a4b4c4 a a b c3   b a b c3   c a b c3  

  

 a b c a  3b3c3

MỈt kh¸c           

4 4

a b c a b c a b c

Do             

4 4 3

a b c a b c a b c a b c a3b3c3 a4b4c4

DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c =

a) Chøng minh r»ng ACO BOD OCD BOD

b) Kẻ OI CD (I CD), gọi K giao điểm cđa AD vµ BC Chøng minh r»ng IK // AC c) Gọi E giao điểm OD với IK Chøng minh r»ng IE = BD

Lêi gi¶i: a) XÐt ACO vµ BOD cã

 

  

  

 

 



0

CAO OBD 90 (gt) AOC BDO (cïng phô BOD)  ACO  BOD (g – g)

 CO AO CO OD CO OD

OD BD AO BD OB BD (V× AO = OB)

XÐt OCD vµ BOD cã

 

   

  



CO OD

OB BD

COD OBD 90 (gt)  OCD  BOD (c – g – c) b) Ta cã ACO  BOD  ACO BOD

OCD  BOD  DCO BOD Do ACODCO Xét CAO (CAO 900) CIO (CIO 900) có:

 



 

  

ACO DCO

CO chung  CAO = CIO (C¹nh hun – gãc nhän)  CA = CI Chøng minh t¬ng tù ta cịng cã DBO = DIO (C¹nh hun – gãc nhän) DB = DI

Mặt khác

 

CA AB (gt)

DB AB (gt)  CA // DB   

DK DB DI

AK CA CI (Hệ định lí TaLets)

Từ ta có 

DK DI

AK CI suy IK // AC (Định lí đảo định lí TaLes)

c) Theo c©u b) ta có IK // AC mà AC // BD nên IK // BD  IED BDE (so le)

Mặt khác DBO = DIO (Cạnh huyền – góc nhọn)  BDE IDE  Do IED IDE  IED cân I  IE = ID mà ID = BD (Theo câu b) Vậy IE = BD

C©u 5: Cho



      

   n  2013 

2 n 2014

2 2

2 2 2

S

2013 2013 2013 2013 2013

So s¸nh S víi 1006

Lêi gi¶i: Ta cã

       

  

     

    2   2

x y x y

x x 2x x x 2x

y y y y y y y y

Lần lợt thay x 2; 22; 23; ; 22014 vµ y bëi 2013; 20132;

2

2

2013 ; …; 201322013 đợc

       

    2013  2014 

2 2014 2015

2 2 2 2

2 2 2

S

2013 2013 2013 2013 2013 2013

  



2014

2015

2

1

1006 2013 1 1006 VËy  S

1006

Lêi giải: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân H nÃ

A B

O K

I C

y D x