phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 8 năm học 2012-2013 Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Cho biểu thức = + ữ + + 2 2 2 2 2 2 4xy 1 1 A : y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị của A đợc xác định b) Rút gọn A c) Nếu x, y là các số thực thỏa mãn + + = 2 2 3x y 2x 2y 1 , hãy tìm các giá trị nguyên đơng của A ? Lời giải : a) ĐKXĐ của A là: + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 y x 0 y x y 2xy x 0 y 0 1 1 0 y x y 2xy x b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = = + + + 2 2 2 2 2 y x y x 4xy 2y 4xy A : . 2x 2xy y x y x y x 2y y x y x c) ĐK cần: Từ điều kiện ( ) + + = + + + + + = 2 2 2 2 2 3x y 2x 2y 1 2x 2xy x 2xy y 2 x y 1 2 ( ) ( ) ( ) + + + + = + + + = 2 2 2 2 2x 2xy x y 2 x y 1 2 2x 2xy x y 1 2 ( ) + = + 2 2 2x 2xy 2 x y 1 2 . Do đó 0 < A 2 nên giá trị A cần tìm là { } A 1;2 ĐK đủ: Với A = 1 ( ) 2 x y 1 1 + = Xét x y 1 1 x y + = = (loại vì x y) Xét x y 1 1 x y 2 + = = thay vào + + = 2 2 3x y 2x 2y 1 đợc ( ) ( ) 2 2 3 y 2 y 2 y 2 2y 1 + + = ( ) 2 2 2 3 2 y 2y 3 2 2 4y 12y 7 0 4y 12y 9 2 2y 3 2 2y 3 2 3 2 y 2 + = = + = + = = = = 3 2 2 1 y x 2 2 + = = ; 3 2 2 1 y x 2 2 = = Với A = 2 ( ) 2 x y 1 0 x y 1 0 x y 1 + = + = = thay vào + + = 2 2 3x y 2x 2y 1 đợc ( ) ( ) 2 2 3 y 1 y 2 y 1 2y 1 + + = ( ) 2 y 0 (loại) 1 4y 6y 0 2y 2y 3 0 x 3 2 y 2 = = = = = Vậy A = 1 khi ( ) 2 1 3 2 2 1 3 2 x;y ; ; ; 2 2 2 2 + ữ ữ ữ ữ A = 2 khi ( ) 3 1 x;y ; 2 2 ữ Câu 2: a) Giải phơng trình sau + = + 2 2 2 2 x 17 x 15 x 13 x 11 2008 2010 2012 2014 b) Tìm các số x, y, z biết + + = + + 2 2 2 x y z xy yz zx và + + = 2012 2012 2012 2013 x y z 3 Lời giải : a) Phơng trình tơng đơng + = + 2 2 2 2 x 17 x 15 x 13 x 11 1 1 1 1 2008 2010 2012 2014 ( ) + = + + = ữ 2 2 2 2 2 x 2025 x 2025 x 2025 x 2025 1 1 1 1 x 2025 0 2008 2010 2012 2014 2008 2010 2012 2014 Vì > 1 1 2008 2012 và > 1 1 2010 2014 nên + > 1 1 1 1 0 2008 2010 2012 2014 Do đó ta có = = 2 x 2025 0 x 45 . Tập nghiệm của phơng trình là: { } = S 45;45 b) Từ giả thiết + + = + + + + = 2 2 2 2 2 2 x y z xy yz zx 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0 ( ) ( ) ( ) + + = = = = = = 2 2 2 x y y z z x 0 x y y z z x 0 x y z Do đó 2012 2012 2012 2013 2012 2013 x y z 3 3x 3 x 3+ + = = = . Vậy x = y = z = 3; x = y = z = -3 Câu 3: a) Cho phơng trình = + 4x 1 m 3 x 1 , với m là tham số. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng b) Chứng minh rằng nếu + + a b c 3 thì + + + + 3 3 3 4 4 4 a b c a b c Lời giải : a) ĐKXĐ: x 1. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = + + 4x 1 m 3 4x 1 x 1 m 3 4x 1 x m 3 m 3 x 1 ( ) ( ) ( ) = + + = +4x 1 x m 3 m 3 x m 1 m 2 Nếu m = 1 thì 0 = 3 nên phơng trình vô nghiệm Nếu m 1 thì + = m 2 x m 1 . Để phơng trình có nghiệm dơng thì +) ( ) ( ) + + > + + > + > ữ + > + > 2 2 2 m 2 1 m 1 9 1 9 m 1 m m 2 0 m m 0 m m 2 m 1 0 4 4 2 4 m 2 0 m 1 + > 1 3 m 2 2 m < -2; m > 1. Vậy giá trị m cần tìm là m < -2; m > 1 b) Ta dễ dàng chứng minh đợc + + 4 4 3 3 a b a b ab . Thật vậy ( ) ( ) ( ) ( ) + + 4 4 3 3 3 3 3 3 a b a b ab a a b b a b 0 a b a b 0 ( ) ( ) ( ) + + + + ữ 2 2 2 2 2 2 b 3b a b a ab b 0 a b a 0 2 4 đúng với mọi a, b Chứng minh tơng tự ta cũng có + + 4 4 3 3 b c b c bc và + + 4 4 3 3 c a c a ca Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 a b c a b b c c a a b c ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + = + + + + + + + + 3 3 3 3 3 3 4 4 4 3 3 3 a b ab b c bc c a ca a b c a a b c b a b c c a b c ( ) ( ) + + + + 3 3 3 a b c a b c . Mặt khác ( ) ( ) + + + + + + 4 4 4 a b c 3 a b c a b c Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + 4 4 4 3 3 3 a b c a b c a b c a b c + + + + 3 3 3 4 4 4 a b c a b c Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Câu 4: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy điểm C trên tia Ax, điểm D trên tia By sao cho ã = 0 COD 90 a) Chứng minh rằng ACO BOD và OCD BOD b) Kẻ OI CD (I CD), gọi K là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng IK // AC c) Gọi E là giao điểm của OD với IK. Chứng minh rằng IE = BD Lời giải : a) Xét ACO và BOD có A B O K I C y D x E ã ã ã ã ã = = = 0 CAO OBD 90 (gt) AOC BDO (cùng phụ BOD) ACO BOD (g g) = = = CO AO CO OD CO OD OD BD AO BD OB BD (Vì AO = OB) Xét OCD và BOD có ã ã = = = 0 CO OD OB BD COD OBD 90 (gt) OCD BOD (c g c) b) Ta có ACO BOD ã ã =ACO BOD OCD BOD ã ã =DCO BOD . Do đó ã ã =ACO DCO Xét CAO ( ã = 0 CAO 90 ) và CIO ( ả = 0 CIO 90 ) có: ã ã = ACO DCO CO chung CAO = CIO (Cạnh huyền góc nhọn) CA = CI. Chứng minh tơng tự ta cũng có DBO = DIO (Cạnh huyền góc nhọn) DB = DI Mặt khác CA AB (gt) DB AB (gt) CA // DB = = DK DB DI AK CA CI (Hệ quả của định lí TaLets) Từ đó ta có = DK DI AK CI suy ra IK // AC (Định lí đảo định lí TaLes) c) Theo câu b) ta có IK // AC mà AC // BD nên IK // BD ả ã =IED BDE (so le) Mặt khác DBO = DIO (Cạnh huyền góc nhọn) ã ả =BDE IDE . Do đó ả ả =IED IDE IED cân tại I IE = ID mà ID = BD (Theo câu b). Vậy IE = BD Câu 5: Cho + = + + + + + + + + + + + 2 n 2013 2 3 n 1 2014 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S 2013 1 2013 1 2013 1 2013 1 2013 1 So sánh S với 1 1006 Lời giải : Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) + = = = + + + 2 2 x y 1 x y 1 x x 2x x x 2x y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 Lần lợt thay x bởi 2; 2 2 ; 2 3 ; ; 2 2014 và y bởi 2013; 2013 2 ; 2 2 2013 ; ; 2013 2 2013 đợc = + + + = 2 2013 2014 2 2 3 2014 2015 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S 2013 1 2013 1 2013 1 2013 1 2013 1 2013 1 = < 2014 2015 2 1 2 1 1006 1006 2013 1 . Vậy < 1 S 1006 Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn . phòng gd- đt đức thọ đề thi olympic toán 8 năm học 201 2-2 013 Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Cho biểu thức . x 11 1 1 1 1 20 08 2010 2012 2014 ( ) + = + + = ữ 2 2 2 2 2 x 2025 x 2025 x 2025 x 2025 1 1 1 1 x 2025 0 20 08 2010 2012 2014 20 08 2010 2012 2014 Vì > 1 1 20 08 2012 và > 1. 1 2010 2014 nên + > 1 1 1 1 0 20 08 2010 2012 2014 Do đó ta có = = 2 x 2025 0 x 45 . Tập nghiệm của phơng trình là: { } = S 45;45 b) Từ giả thi t + + = + + + + = 2 2 2 2 2 2 x