Đề thi Olympic môn Toán lớp 7 - Phòng GD Đức Thọ tỉnh Hà Tĩnh

Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA.. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng c Từ M kẻ tia Mx sao cho MA là tia phân giác của BMx.. Gọi D là giao điểm của Mx với AC.

phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 7 năm học 2012-2013

Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1: a) Thực hiện phép tính

12 5 6 2 10 3 5 2

2 3 4 9 5 7 25 49 A

125.7 5 14

2 3 8 3



 b) Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dơng n thì n 2 n 2 n n

3  2  3 2

   chia hết cho 10

Lời giải: a)

2 3 4 9 5 7 25 49 2 3 3 2 3 5 7 5 7 7 A

2 3 3 2 3 5 7 5 7 2 125.7 5 14

2 3 8 3





3  2  3 2 3 9 2 4 3 2 1 3 9 1 2 4 1

10.3 10.2 10 3 2 

Câu 2: Tìm x, biết a) x 1 4  3,2 2

     b) x 7 x 1  x 7 x 11 0



Vậy giá trị cần tìm là x = 7

3;

5 x 3





x 1

10



 Với x 7 x 1  0 x Với 7 x 710 1 x 7 1 x 8

Vậy giá trị cần tìm là x6;7;8

Câu 3: a) Số A đợc chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1: :

5 4 6 Biết rằng tổng các bình phơng của ba số đó bằng 24309 Tìm

số A

b) Cho x, y, z là các số hữu tỉ khác 0, sao cho 2x 2y z 2x y 2z x 2y 2z

Tính giá trị bằng số của biểu thức x y y z z x    

M

8xyz



Lời giải: a) Gọi 3 số đợc chia ra từ số A lần lợt là x; y; z

Theo bài ra ta có

32400

2

2 x

4

25

;

2

2 y

32400 y 18225 y 135 9

16

2

2 z

1

36

Với x = 72; y = 135; z = 30 thì A = 237 Với x = -72; y = -135; z = -30 thì A = -237

b) Từ giả thiết ta có: 2x 2y z 2x y 2z x 2y 2z 3 x y z 

3

 

  2x 2y z

z

 

    ; 2x y 2z 3 x z 2y

y

 

x

Do đó x y y z z x     2x.2y.2z

Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA.

Chứng minh rằng

a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng c) Từ M kẻ tia Mx sao cho MA là tia phân giác của BMx Gọi D là giao điểm của Mx với AC Chứng minh rằng MB > MD

Lời giải: a) Xét AMC và EMB có

AM ME (gt)

AMC EMB (đối đỉnh)

MC=MB (gt)















 AMC = EMB (c – g – c)

 AC = EB và CAM BEM mà CAM ; BEM

là hai góc ở vị trí so le nên AC // BE

b) Nối I với M và K với M

Xét AMI và EMK có

AM EM (gt)

MAI MEK (so le)

AI=EK (gt)















 AMI = EMK (c – g – c)

 AMI EMK mà EMK KMA 1800 (Hai góc kề bù)  AMI KMA 1800 Vậy ba điểm I, M, K thẳng hàng

c) Ta có MDCAMD (Góc ngoài của AMD)  MDCAMB (Vì theo giả thiết AMBAMD mà

AMBDCM (Góc ngoài của AMC) Từ đó suy ra MDCDCM  MC > MD (Quan hệ cạnh và góc trong

DMC) Mặt khác MC = MB (gt) Vậy MB > MD (đpcm)

Câu 5: Cho tam giác ABC có  0

B60 ,  0

C45 Trong ABC , vẽ tia Bx sao cho  0

CBx 15 Đờng vuông góc với AB tại A cắt Bx ở I Tính ICB

Lời giải: Lấy điểm M trên BC sao cho BM = BA

 ABM cân tại B có  0

ABM60 nên ABM đều

ABIABM IBM 60  15 45

 ABI vuông cân tại A nên AI = AB  AI = AM

BAC 180  ABC ACB 75

MACBAC BAM 75  60 15

 MACIAC

Xét AIC và AMC có

AI AM

AC chung

IAC MAC











 AIC = AMC ((c – g – c)  ACI ACM 450 ICB 900

Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn

A

D I

M K

E x

A

B

0

15

0

15

0

45