Đề thi Olympic môn Toán lớp 7 - Phòng GD Đức Thọ tỉnh Hà Tĩnh

phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 7 năm học 2012-2013 Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: a) Thực hiện phép tính ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 = + + b) Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dơng n thì n 2 n 2 n n 3 2 3 2 + + + chia hết cho 10 Lời giải : a) ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 12 4 12 4 10 3 10 3 6 3 12 5 12 5 9 3 9 3 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .7 A 2 .3 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .2 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 = = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 12 4 10 3 12 5 9 3 2 .3 3 1 5 .7 1 7 2 6 1 2 7 2 .3 3 1 5 .7 1 8 4 9 2 3 6 = = = + = + + b) Ta có ( ) ( ) n 2 n 2 n n n n n n n n 3 2 3 2 3 .9 2 .4 3 2 .1 3 9 1 2 4 1 + + + = + = + + ( ) n n 1 n n 1 10.3 10.2 10. 3 2 = = chia hết cho 10 Câu 2: Tìm x, biết a) ( ) 1 4 2 x 3,2 3 5 5 + = + b) ( ) ( ) x 1 x 11 x 7 x 7 0 + + = Lời giải : a) ( ) 1 7 x 2 x 1 4 2 1 4 14 1 3 3 x 3,2 x x 2 3 5 5 3 5 5 3 1 5 x 2 x 3 3 = = + = + + = = = = Vậy giá trị cần tìm là x = 7 3 ; 5 x 3 = b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 1 x 11 x 1 10 10 x 7 0 x 7 x 7 0 x 7 1 x 7 0 x 7 1 + + + + = = = = Với ( ) x 1 x 7 0 x 7 + = = . Với ( ) 10 x 7 1 x 8 x 7 1 x 7 1 x 6 = = = = = . Vậy giá trị cần tìm là { } x 6;7;8 Câu 3: a) Số A đợc chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1 : : 5 4 6 . Biết rằng tổng các bình phơng của ba số đó bằng 24309. Tìm số A b) Cho x, y, z là các số hữu tỉ khác 0, sao cho 2x 2y z 2x y 2z x 2y 2z z y x + + + + = = . Tính giá trị bằng số của biểu thức ( ) ( ) ( ) x y y z z x M 8xyz + + + = Lời giải : a) Gọi 3 số đợc chia ra từ số A lần lợt là x; y; z. Theo bài ra ta có 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z 24309 32400 2 3 1 4 9 1 4 9 1 2701 5 4 6 25 16 36 25 16 36 3600 + + = = = = = = = + + 2 2 x 32400 x 5184 x 72 4 25 = = = ; 2 2 y 32400 y 18225 y 135 9 16 = = = 2 2 z 32400 z 900 y 30 1 36 = = = Với x = 72; y = 135; z = 30 thì A = 237. Với x = -72; y = -135; z = -30 thì A = -237 b) Từ giả thiết ta có: ( ) 3 x y z 2x 2y z 2x y 2z x 2y 2z 3 z y x x y z + + + + + + = = = = + + 2x 2y z 3 x y 2z z + = + = ; 2x y 2z 3 x z 2y y + = + = ; x 2y 2z 3 y z 2x x + + = + = Do đó ( ) ( ) ( ) x y y z z x 2x.2y.2z M 1 8xyz 8xyz + + + = = = Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng c) Từ M kẻ tia Mx sao cho MA là tia phân giác của ã BMx . Gọi D là giao điểm của Mx với AC. Chứng minh rằng MB > MD Lời giải : a) Xét AMC và EMB có ã ã AM ME (gt) AMC EMB (đối đỉnh) MC=MB (gt) = = AMC = EMB (c g c) AC = EB và ã ã CAM BEM= mà ã CAM ; ã BEM là hai góc ở vị trí so le nên AC // BE b) Nối I với M và K với M Xét AMI và EMK có ả ã AM EM (gt) MAI MEK (so le) AI=EK (gt) = = AMI = EMK (c g c) ả ã AMI EMK= mà ã ã 0 EMK KMA 180+ = (Hai góc kề bù) ả ã 0 AMI KMA 180+ = . Vậy ba điểm I, M, K thẳng hàng c) Ta có ã ã MDC AMD> (Góc ngoài của AMD) ã ã MDC AMB> (Vì theo giả thiết ã ã AMB AMD= mà ã ã AMB DCM> (Góc ngoài của AMC). Từ đó suy ra ã ã MDC DCM> MC > MD (Quan hệ cạnh và góc trong DMC). Mặt khác MC = MB (gt). Vậy MB > MD (đpcm) Câu 5: Cho tam giác ABC có $ 0 B 60= , $ 0 C 45= . Trong ã ABC , vẽ tia Bx sao cho ã 0 CBx 15= . Đờng vuông góc với AB tại A cắt Bx ở I. Tính ả ICB Lời giải : Lấy điểm M trên BC sao cho BM = BA ABM cân tại B có ã 0 ABM 60= nên ABM đều AM = AB. Mặt khác ả ã ả 0 0 0 ABI ABM IBM 60 15 45= = = ABI vuông cân tại A nên AI = AB AI = AM Ta lại có ã ã ã 0 0 BAC 180 ABC ACB 75= = ã ã ã 0 0 0 MAC BAC BAM 75 60 15= = = ã ả MAC IAC= Xét AIC và AMC có ả ã AI AM AC chung IAC MAC = = AIC = AMC ((c g c) ả ã ả 0 0 ACI ACM 45 ICB 90 = = = Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn A B C D I M K E x A B M C I x 0 15 0 15 0 45 . phòng gd- đt đức thọ đề thi olympic toán 7 năm học 201 2-2 013 Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: a) Thực hiện phép. .9 5 .7 25 .49 2 .3 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .7 A 2 .3 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .2 125 .7 5 .14 2 .3 8 .3 = = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 12 4 10 3 12 5 9 3 2 .3 3 1 5 .7 1 7 2 6 1 2 7 2 .3 3 1 5 .7 1 8 4. ) ( ) x 1 x 1 x 11 x 1 10 10 x 7 0 x 7 x 7 0 x 7 1 x 7 0 x 7 1 + + + + = = = = Với ( ) x 1 x 7 0 x 7 + = = . Với ( ) 10 x 7 1 x 8 x 7 1 x 7 1 x 6 = = = = = .