Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 20142015 Trường THCS Cao Dương41983

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Bài (6 điểm) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học 2014-2015 Thời gian: 150 phút  x 1 x  x  3  x    :     1.Cho biểu thức: A =   x 1 x 1 x 1    x 1 với x  0; x  a Rút gọn A b Tìm x để A nguyên Chứng minh với số nguyên a ta có a3 + 11a  Bài (4 điểm) Giải phương trình: x   x   x  16  x  12  xy  x  y   Cho số dương x,y,z thoả mãn  yz  y  z   zx  z  x  15  Tính giá trị biểu thức P = x + y + z Bài (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 3xy – x – y + = Cho số dương a,b,c thoả mãn a + b + c  2015.Chứng minh 5a  b 5b  c 5c  a    2015 ab  3a bc  3b ca  3c Bài (6 điểm) Cho đường trịn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngồi đường tròn, M di động đường thẳng d, kẻ tiếp tuyến MA MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB I a) Chứng minh tích OI.OM khơng đổi b) Tìm vị trí M để  MAB c) Chứng minh M di động d AB ln qua điểm cố định Bài 5(1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: (x + y)4 = 40y + ThuVienDeThi.com PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Bài Bài (6 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2014-2015 Mơn thi: Tốn Nội dung Điểm a  x  ( x  3)( x  1)  x   x  : A =     x 1 = =   ( x  1)( x  1)  ( x  1) x  2đ x 1 b Vì x   x   x    x 1 Đồng thời 4 A4 x 1    A  1;2;3;4 A x 0,5 x 1 9(TM) 0 A0 1(loại) 0,5 (TM) 0(TM) Kết luận: x  9; ;0 0,5 Ta có a3 + 11a = a3 – a + 12a = a.(a – 1).(a + 1) + 12a Chứng minh a.(a – 1).(a + 1)  a.(a – 1).(a + 1)   a.(a – 1).(a + 1)  mà 12a  a    a.(a – 1).(a + 1) + 12a  Vậy a3 + 11a  a   Điều kiện x  Đặt x   a, x   b (a > 0, b  0) 0,5đ   Bài (4 điểm) 0,5 1đ 0,5đ 0,25đ  a  b  2x Ta có a + b = 2ab + a2 + b2 - 12  a  b   a  b  12   a  b  a  b  3   a + b - = (vì a > 0, b  nên a + b + > 0) ThuVienDeThi.com 0,75đ  x4  x4 40  0,5đ x4  4 x4  x   16  x   x   x  1  x  5(TM ) Kết luận x =  xy  x  y  ( x  1)( y  1)     yz  y  z   ( y  1)( z  1)   zx  z  x  15 ( z  1)( x  1)  16    [(x + )(y + 1)(z + 1)] = 476 Vì x,y,z số dương nên (x + )(y + 1)(z + 1) = 24 24 24  x 1   ; y 1   ; z 1  16 0,5đ ; y = 0,5; z = 43  P=x+y+z= 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ  x= Bài (3 điểm) 0,5đ Giải phương trình nghiệm nguyên x2 + 2y2 + 3xy - x - y + =   (x + y)(x + 2y - 1) = - Vì x,y nguyên nên x + y x + 2y - ước - Ta có bảng sau: x+y -3 -1 x + 2y -1 -3 x -8 -6 y -3 5 Kết luận nghiệm (x; y) (4; 3), (-8;5), (-6; 5), (4; -3) Chứng minh 5a  b  2a  b(1)  5a  b  6a  2a b  3a b  ab 2 ab  3a  a  a b  ab  b   a  b  a  b   Mà a > 0, b > nên a + b > (a – b)2   (a – b)2(a + b)   (1) ln Chứng minh tương tự ta có: 5b  c  2b  c(2) bc  3b 5c  a  2c  a (3) ca  3a 0,75đ -1 -3 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25 đ ThuVienDeThi.com Cộng vế bất đẳng thức chiều (1), (2), (3) ta 5a  b 5b  c 5c  a  abc   ab  3a bc  3b ca  3c Mà a + b + c  2015  Bất đẳng thức chứng minh 0,25đ 0,25đ Bài A O I K B (d) M H Vẽ hình đến câu a a) Vì MA, MB hai tiếp tuyến đường trịn (O,R)  OB  MB Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: MA = MB MO tia phân giác góc AMB   AMB cân M có OM đường phân giác đồng thời đường cao  OM  AB   OMB vng B có OI đường cao  OB2 = OI.OM  OI.OM = R2 không đổi 0,5đ b)  AMB cân M (CMT) Để  AMB góc AMB = 600  góc BMO = 300   OBM vng B có OB = 0,5 OM  OM = 2.OB = 2R Kết luận d) Kẻ OH  d, H  d  H cố định, OH cắt AB K Chứng minh OIK OHM đồng dạng   OH.OK = OI OM = R2 không đổi Mà O, H cố định nên OH không đổi  OK không đổi, K  OH cố định  K cố định Kết luận 0,5đ ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 1đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài (1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: (x + y)4 = 40y + (1) Vì x  1, y  nên (1) viết dạng: x  y 3  40 y  x y Chứng minh 40 y  40 y  40 x <  40 x y x y Suy 2(x + y)2 < 20 suy x + y  2(x + y)2  x  y 3  Đồng thời x + y ước 40y + số lẻ nên x + y lẻ  x+y=3  40y + = 34 = 81  y =  x = Vậy (x,y) = (1;2) Người duyệt đề Cao Dương, ngày 18 tháng 10 năm 2014 Người đề Lê Thị Thuỷ ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ Xác nhận nhà trường ThuVienDeThi.com ...PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Bài Bài (6 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2014-2015 Mơn thi: Tốn Nội dung Điểm a  x  ( x  3)( x  1)... =  x = Vậy (x,y) = (1;2) Người duyệt đề Cao Dương, ngày 18 tháng 10 năm 2014 Người đề Lê Thị Thuỷ ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ Xác nhận nhà trường ThuVienDeThi.com ... MO tia phân giác góc AMB   AMB cân M có OM đường phân giác đồng thời đường cao  OM  AB   OMB vng B có OI đường cao  OB2 = OI.OM  OI.OM = R2 không đổi 0,5đ b)  AMB cân M (CMT) Để  AMB