Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 2013201442122

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎi TOÁN Năm học 2013-2014 Thời gian: 150 phút PHÒNG GD&ĐT THANH OAI Bài (5 điểm) Cho biểu thức: P = x x 1 x x 1    x 1 x 1     x  .  x x x x  x   x 1 x   với x > 0; x  1 Tìm điều kiện xác định rút gọn P Tính P x =    Tìm x để P < 21 Bài (4 điểm) Cho x, y số thực dương thoả mãn: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + Giải phương trình: 2 x  2 x  2 x  2 x  Bài (4 điểm) a b c    Tính giá trị biểu thức bc ca ab a2 b2 c2   Q= bc ca ab Cho Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + = Bài (6 điểm) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O, R) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE tới đường trịn (B,C tiếp điểm, D nằm A E) Gọi H giao điểm AO BC Chứng minh điểm A, B, O, C thuộc đường tròn Chứng minh AH.AO = AD.AE Tiếp tuyến D (O) cắt AB, AC M N Biết OA = 6cm; R = 3,6cm Tính chu vi  AMN Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB,AC I K Chứng minh MI + NK  IK Bài (1 điểm) Cho x, y  R, x  0, y  Chứng minh:  x y x2 y2    3   y x  y x ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP PHÒNG GD&ĐT THANH OAI Năm học 2013-2014 Mơn thi: Tốn Nội dung Bài Bài 1 (5 điểm) P = ( x  1)( x  x  1) x ( x  1) = =  2( x  x  1) x ( x  1)( x  x  1) x ( x  1) Điểm   x  1   x  1  x  1 x  1 x x 1 1đ 2( x  x  1) 21 21   x > 0, x  2 x   ( x  4)(4 x  1) < Lập bảng xét dấu Kết luận < x < x  P< (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 =   x2 + y2 + + 2xy + 2x + 2y + 5x + 5y + + = - y2  (x + y +1)2 + 5(x + y +1) + = - y2  A2 + 5A + = - y2 Vì - y2  nên A2 + 5A +   (A + 1)(A + 4)  Bài (4 điểm) A 1   A    -4  A  1 Vậy maxA = -1, minA= -4 ĐK < x  Đặt  x = a,  x = b  a2 + b2 = (a > 0, b > 0)  a2 2a  b2 b 2đ 0,5đ Tĩnh x = = Thay x = tính P =  1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ  0,5đ 0,5đ 0,5đ (2  ab)  (a  b)(2  ab) Vì a > 0, b >  + ab >  a - b =  a2 - 2ab - b2 =  2ab =  ab =   2  x 2  x    x    x   x  (TM) ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ Ta có a + b + c  a + b + c = vào giả thiết ta có Bài (4 điểm) a b c     3  (vơ lí) a b c Khi a + b + c  ta có 0,5đ b c   a    (a  b  c)  a  b  c bc ca ab a2 a (b  c) b(c  a ) b2 c ( a  b) c2        abc bc bc ca ca ab ab 0,5đ 2  a  b  c +a+b+c=a+b+c bc ca ab 2  a  b  c =  Q = bc ca ab 0,5đ Giải phương trình nghiệm nguyên 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + =   (2x + y + 1)(x + y + 1) = -1 2x + y + x + y + ước -1 2 x  y     x  2, y  4 TH 1:   x  y   1 0,5đ 0,75đ 2 x  y   1   x  2, y  TH 2:  x  y   0,5 đ Kết luận (x,y) = (2; -4) (-2; 2) 0,5 đ 0,25 đ Bài I B M E 1,25đ D A H O N 0,75đ C K ThuVienDeThi.com 0,75đ 0,25đ 0,5đ Chứng minh OB  AB, OC  AC (theo tính chất tiếp tuyến)  OBA  OCA  90  B C thuộc đường trịn đường kính OA  điểm A, B,O, C thuộc đường tròn 0,25đ 0,75đ Chứng minh OB  AB Chứng minh OA  BC H  AB2 = AH.AO (1) Chứng minh ABD đồng dạng với AEB 0,5đ AB AD  AB2 = AE.AD (2)  AE AB Từ (1) (2)  AH.AO = AE.AD  Tính AB = 4,8cm Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt suy AB = AC, MD = MB, ND = NC  Chu vi  AMN là: AM + AN + MN = AM +AN + MD +DN = AM +AN + MB + NC = AB + AC = 2AB = 9,6cm Chứng minh IK//BC Và AB = AC  AI = AK   AIK cân A  AIK  AKI OI = OK = Theo t/c hai tiếp tuyến cắt suy ra: NMI MNO  ONK  MNK IK 0,5đ NMO  OMI  0,5đ Tứ giác MNKI có IMN  MNK  NKO  KIM  360  2IMO  2ONK  NKO  360  IMO  ONK  NKO  180 Đồng thời NOK có: NOK  ONK  NKO  180  IMO  NOK  MIO đồng dạng với OKN MI OI IK    MI NK  OI OK  OK NK MI  NK  MI NK  Áp dụng BĐT Cosi:  MI  NK  IK ThuVienDeThi.com IK IK   x y x2 y2    3   (1) y x  y x Bài (1điểm)  x y x2 y2     3    o y x  y x x y Đặt a =   a2 = (2) a  y x y x y  a     2  x y x y x a  2 x2 y2  2 y2 x2 BĐT (2) trở thành a2 - 3a +   (a - 2)(a + 1)  Lập bảng xét dấu suy ra:   a  0,5đ a  Từ   a nằm miền nghiệm bất phương trình xét a  2 Vậy a thoả mãn a2 - 3a +   (1) Vậy  x y x2 y2       y2 x2  y x 0,5đ Lưu ý: HS làm cách khác cho điểm tối đa Chứng minh hình phải có lập luận, chặt chẽ cho điểm tối đa Người duyệt đề Cao Dương, ngày 30 tháng 10 năm 2013 Người đề Lê Thị Thuỷ ThuVienDeThi.com Xác nhận nhà trường ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP PHÒNG GD&ĐT THANH OAI Năm học 2013-2014 Mơn thi: Tốn Nội dung Bài Bài 1 (5 điểm) P = ( x  1)( x  x  1) x... luận, chặt chẽ cho điểm tối đa Người duyệt đề Cao Dương, ngày 30 tháng 10 năm 2013 Người đề Lê Thị Thuỷ ThuVienDeThi.com Xác nhận nhà trường ThuVienDeThi.com ... Bài I B M E 1,25đ D A H O N 0,75đ C K ThuVienDeThi.com 0,75đ 0,25đ 0,5đ Chứng minh OB  AB, OC  AC (theo tính chất tiếp tuyến)  OBA  OCA  90  B C thuộc đường trịn đường kính OA  điểm