Đường phân giác của góc cắt đường.. tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C[r]
(1)Giáo viên: Phạm Thị Phương - Trường THCS Lùng Vai
Kì thi HSG lớp 9
Câu 1
a)
Giải hệ phương trình:
2
1
3
2
1
x
y
x y
y
x
y x
b)
Giải phương trình:
3
7
2
1
x
x
x
x
Câu 2
a) Chứng minh không tồn ba số nguyên
thỏa mãn đẳng thức:
x
4
y
4
7
z
4
5
b) Tìm tất cặp số nguyên
thỏa mãn đẳng thức:
x
1
4
x
1
4
y
3Câu 3
Cho hình bình
hành ABCD với
Đường phân giác góc
cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác BCD O khác C Kẻ đường thẳng (d) qua A vuông góc với CO
Đường thẳng (d) cắt đường thẳng CB, CD E, F.
a) Chứng minh
.
b) Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
c) Gọi giao điểm OC BD I Chứng minh
.
Câu 4
Với x, y số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức:
3
3
3 3
4
8
x
y
P
x
y
y
x y
Câu
a)
Chứng minh n
4+ 6n
3+ 11n
2+ 6n chia hết cho 24 với n
N
b)
Cho phương trình mx
2-2(m-2) x + m – = Tìm giá trị m để nghiệm x
1, x
2của phương trình thỏa mãn điều kiện x
21
+ x
22= 1
(2)-HÕt -Giáo viên: Phạm Thị Phương - Trường THCS Lùng Vai
Câu 1 a) Đặt x – = a, y – = b ta có
2
4
4
0(1)
2
1
(2)
a b
b
a b
b a
a
b a
Từ (2) ta có
a
b
a
2a 2
thay vào (1) ta có
2
2
a
a b
4b 4
a 0
a 0
a
2a 2
=> b = => x = 1; y =
b)
2
2
3
7
3 (4
8
4)
(
14
49)
2
1
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x5 – 4x4 +6x3 – 16x2 + 25x – 12=
( x- 1)2(x-3)( x2 + x+ 4) = ==> x = x =
Câu 2a) x4 + y4 + z4 = 8z4 + 5 => x, y, z lẻ có số lẻ
Với x, y, z lẻ => x4 + y4 + z4 chia dư mà 8z4 + chia dư ( vơ lí)
Với x, y, z có số lẻ => x4 + y4 + z4 chia dư mà 8z4 + chia dư ( vơ lí) Vậy khơng tồn
tại ba số x, y, z thoả mãn đẳng thức b) ( x + 1) 4 – ( x – 1)4 = y3
y3 = 8x(x2 +1)
Nếu x > => 8x(x2 +1) > (2x)3 8x(x2 +1) < ( 2x + 1)3 => (2x)3 < y3 < (2x+1)3
=> khơng có giá trị y nguyên thoả mãn
Tương tự với x < ta có kết Với x = => y = ( thoả mãn)
Câu K F E I O D C B A
a)Tam giác CEF cân C nên CO trung trực EF CEF CFE BAE , OE = OF
=> Tam giác BAE cân B => BE = BA = DC => Tam giác DAF cân D => DA = DF = BC Tứ giác BCDO nội tiếp =>OBE ODC
=>OBEODC
b) OBEODC=> OC = OE mà OE = OF
=> O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF c) CI cắt AD K KD // BC =>
IB
BC
BC
AD
FD
IB.BE.EI ID.DF.FI
ID
DK
DC
AB
BE
=> Đpcm
Câu IV Ta có
a b
a b ab
ab
2
3
3 3
3 3
4
8
1 1
x y
P
x y y x y y x
x y
Đặt
x
y
a
;b
ab 1
y
x
(3)Giáo viên: Phạm Thị Phương - Trường THCS Lùng Vai
2 2
3 2
1
2
1
2
1
2
1
4
2 4
2 2
2 3
1 8
1 ( 1)
(1 )(1 )
(1
1)(1
1
2 1)
2
2
P
a
b
b
a b
b
a
b
a
a a
b
b
b
b
2
2 2 2
1 4 2( 1)
1
1 2 (1 ) (1 )
a a a
P
a b b a b b a b b