De luyen thi hoc sinh gioi toan 9 nam 2012

Đường phân giác của góc cắt đường.. tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C[r]

Giáo viên: Phạm Thị Phương - Trường THCS Lùng Vai

Kì thi HSG lớp 9

Câu 1 a) Giải hệ phương trình:  

 

2

1 3

2 1

x y x y

y x y x

    

 

   

 

b) Giải phương trình:

 

3 7

2 1

x x

x x



 



Câu 2

a) Chứng minh không tồn ba số nguyên thỏa mãn đẳng thức: x4  y4 7z4 5

b) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức:

x14  x 14 y3

Câu 3

Cho hình bình hành ABCD với Đường phân giác góc cắt đường

tròn ngoại tiếp tam giác BCD O khác C Kẻ đường thẳng (d) qua A vuông góc với CO Đường thẳng (d) cắt đường thẳng CB, CD E, F.

a) Chứng minh .

b) Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.

c) Gọi giao điểm OC BD I Chứng minh .

Câu 4 Với x, y số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 

3

3

3 3

4 8

x y

P

x y y x y

 

  

Câu

a) Chứng minh n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với n N

b) Cho phương trình mx2 -2(m-2) x + m – = Tìm giá trị m để nghiệm x 1, x2

của phương trình thỏa mãn điều kiện x2

1 + x22 = 1

-HÕt -Giáo viên: Phạm Thị Phương - Trường THCS Lùng Vai

Câu 1 a) Đặt x – = a, y – = b ta có

 

 

2

4 4 0(1)

2 1 (2)

             

a b b a b

b a a b a

Từ (2) ta có

a b

a 2a 2



  thay vào (1) ta có  

2

2 a

a b 4b 4 a 0 a 0

a 2a 2

      

 

=> b = => x = 1; y =

b)    

2

2

3 7

3 (4 8 4) ( 14 49)

2 1

x

x x x x x x x

x x



        



x5 – 4x4 +6x3 – 16x2 + 25x – 12=

 ( x- 1)2(x-3)( x2 + x+ 4) = ==> x = x =

Câu 2a) x4 + y4 + z4 = 8z4 + 5 => x, y, z lẻ có số lẻ

Với x, y, z lẻ => x4 + y4 + z4 chia dư mà 8z4 + chia dư ( vơ lí)

Với x, y, z có số lẻ => x4 + y4 + z4 chia dư mà 8z4 + chia dư ( vơ lí) Vậy khơng tồn

tại ba số x, y, z thoả mãn đẳng thức b) ( x + 1) 4 – ( x – 1)4 = y3

 y3 = 8x(x2 +1)

Nếu x > => 8x(x2 +1) > (2x)3 8x(x2 +1) < ( 2x + 1)3 => (2x)3 < y3 < (2x+1)3

=> khơng có giá trị y nguyên thoả mãn

Tương tự với x < ta có kết Với x = => y = ( thoả mãn)

Câu K F E I O D C B A

a)Tam giác CEF cân C nên CO trung trực EF CEF CFE BAE , OE = OF

=> Tam giác BAE cân B => BE = BA = DC => Tam giác DAF cân D => DA = DF = BC Tứ giác BCDO nội tiếp =>OBE ODC

=>OBEODC

b) OBEODC=> OC = OE mà OE = OF

=> O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF c) CI cắt AD K KD // BC =>

IB BC BC AD FD

IB.BE.EI ID.DF.FI

ID DK DC AB BE  

=> Đpcm

Câu IV Ta có

a b

a b ab ab

2



   

 

3

3 3

3 3

4

8

1 1

x y

P

x y y x y y x

x y

   

       

 

   

    Đặt

x y

a ;b ab 1

y x

Giáo viên: Phạm Thị Phương - Trường THCS Lùng Vai

2 2

3 2

1 2 1 2 1 2 1 4

2 4 2 2 2 3

1 8 1 ( 1) (1 )(1 ) (1 1)(1 1 2 1)

2 2

P

a b b a b b

a b a a a b b b b

       

     

            

   

2

2 2 2

1 4 2( 1)

1

1 2 (1 ) (1 )

a a a

P

a b b a b b a b b

  

      

        

1 Min 1 x