Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học: 2012 - 2013

Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đường tròn cắt TT’ ở M a Tính độ dài AM theo các bán kính của hai đường tròn O và O’.. GV: LÊ MINH HẢO..[r]

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN XÍN MẦN TRƯỜNG PTDTBT THCS NÀN MA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học : 2012-2013(Thời gian 180 phút) Bài (1 điểm) Tính : A  56  477  54  2012 Bài 3: (2 điểm) Tìm x biết: 2 2011  x   2011  x x  2012   x  2012  2011  x   2011  x x  2012   x  2012  2 1 Bài 3(2 điểm) Chứng minh a a2+b2  2ab b a4+b4+1  ab(a+b+1) Bài 4(2 điểm)  x  x  x x x  Cho biÓu thøc A        x    2 x  x 1 a) Rót gän biÓu thøc A b) Tìm giá trị x để A = - Bài 4(3 điểm) Cho hai nửa đường tròn ( O;R1 ) và ( O’;R2 ) tiếp xúc ngoài A Tiếp tuyến chung ngoài TT’có tiếp điểm với đường tròn ( O ) T với đường tròn ( O’ ) T’, Cắt đường tròn nối tâm OO’ S Tiếp tuyến chung A hai nửa đường tròn cắt TT’ M a) Tính độ dài AM theo các bán kính hai đường tròn ( O )và ( O’ ) Chứng minh: SO.SO’ = SM2 ST.ST’ = SA2 b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp  TAT’ tiếp xúc với OO’ A và đường tròn ngoại tiếp  OMO’tiếp xúc với SM M GV: LÊ MINH HẢO Lop1.net Đáp án Câu Điểm A  56  477  54  2012 0,25 A  56  477  54  53 A  56  477  ( 53  1) A  56  53  53  0,25 A  56  53  A  53  53  A  ( 53  2) 0,5 A  53  2011  x   2011  x x  2012   x  2012   2 2011  x   2011  x x  2012   x  2012  2 Đặt a = x – 2012  2011-x=2011-(a+2012)=-(1+a) 0,25 a  1  a  1a  a  a  1  a  1a  a 2  0,25 a2  a 1  1 3a  3a   a2+a+1= 3a2+3a+1  a2+a=0  a(a+1)=0  a=0 a=-1  x=2012 x=2011 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a b a2+b2  2ab  a2-2ab +b2   (a-b)2  luôn đúng dấu xảy a=b Ta có: a4+ b4  2a2b2 b4+1  b2 1+ a4  a2 Từ (1);(2);(3) ta có (a4+ b4)+( b4+1)+(1+ a4)  2a2b2+2 b2+2 a2 2(a4+ b4+1)  2(a2b2+ b2+ a2) Tương tự ta có: a2b2+ b2+ a2  a2b+ab2+ab=ab(a+b+1) Lop1.net (1) (2) (3) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) (5) 0,25 Từ (4);(5) ta có a4+b4+1  ab(a+b+1) ĐK: x  và x  a  x  x  x x  x  A     2 x   x  x      x 1  x  x  x 1   x  x  A    x   x 1 x 1     x  x  1   x   2  A x 1 x    0,25    x 1        A   x 1 b Ta có A=-4  - x -1=-4  x =3  x=9 GT: ( O ) và ( O’ ) tiếp xúc ngoài A TT’ tiếp tuyến chung TT’xOO’=S Tiếp tuyến chung A hai nửa đường tròn cắt TT’ M KL : a AM=? SO.SO’ = SM2 và ST.ST’ = SA2 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp  TAT’ tiếp xúc với OO’ A và đường tròn T ngoại tiếp  OMO’tiếp xúc với SM M M T’ ’’ S O A O ’ Lop1.net 0,5 MO, MO’ là tia phân giác hai góc kề bù AMT và A , AMT’ nên OMO =  90o Tam giác OMO’ vuông M có MA  OO’ nên: a b MA2 = OA.OA’, Suy ra: MA = OA.OA '  R.R ' SO' SM  hay SO.SO '= SM  SO’M ~  SMO suy ra: SM SO ST SA  hay ST.ST' = SA  SAT~  ST’A suy ra: SA ST ' MA = MT = MT’ nên MA là bán kính đường tròn ngoại tiếp  TAT’ và OO’ Do đó đường tròn ngoại tiếp  TAT’ tiếp xúc với OO’ A Do đó đường tròn ngoại tiếp  TAT’ tiếp xúc với OO’ A Gọi M’ là trung điểm OO’ thì M’M//OT  SM M’M M mà M’M là bán kính đường tròn ngoại tiếp  OMO’ Lop1.net 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 MA A