Đề thi Giáo viên giỏi toán THCS năm 1011-2012

www.dayvahoc.info PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ www.dayvahoc.info ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang Câu 1: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: 1) 24 + x  12 - x  2)  x + 5 x +  x + 8 x +   40 Câu 2: (4,0 điểm) Cho phương trình: x  2(m  1) x  2m  (1) (với ẩn x ) 1) Giải phương trình (1) m =1 2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m 3) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 ; x2 Tìm giá trị m để x1 ; x2 độ dài hai cạnh tam giác vng có cạnh huyền 12 Câu 3: (4,0 điểm)  1) Cho x  2011  x Tính giá trị biểu thức 2) Tính tổng S=  y   2011  y  2011 T  x 2011  y 2011 4  15 240  14399    1 3 119  121 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có Â > 900 Vẽ đường trịn (O) đường kính AB đường trịn (O’) đường kính AC Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai D, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E 1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đường tròn 2) Gọi F giao điểm hai đường tròn (O) (O’) (F khác A) Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng FA phân giác góc EFD 3) Gọi H giao điểm AB EF Chứng minh BH.AD = AH.BD Câu 5: (2,0 điểm) Cho x, y, z ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: x y z    x  x  yz y  y  zx z  3z  xy -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: .Chữ kí giám thị 2: www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) Giải phương trình 6x  = + x  x2 x  1 x Cho hệ phương trình: x - 3y - = x2 + y2 - 2x - 2y - = Gọi (x1; y1) (x2; y2) hai nghiệm hệ phương trình Hãy tìm giá trị biểu thức M = (x1- x2)2 + (y1 - y2)2 Câu 2: (4,0 điểm) Số đo hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phương trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m -1)x + m = (m  0) Hãy xác định giá trị m để số đo đường cao ứng với cạnh huyền tam giác là: Câu 3: (4,0 điểm) Tìm số nguyên dương n cho x = 2n + 2003 y = 3n + 2005 số phương Tìm nghiệm ngun dương phương trình: 2x + 7xy + 6y = 60 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH vẽ đường trịn tâm O đường kính AH Đường tròn cắt cạnh AB, AC D E a Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật điểm D, O, E thẳng hàng b Các tiếp tuyến đường tròn tâm O kẻ từ D E cắt cạnh BC tương ứng M N Chứng minh M, N trung điểm đoạn HB, HC c Cho AB = 8cm, AC = 9cm Tính diện tích tứ giác MDEN Câu 5: (2,0 điểm) 4x y x2 y2   3 Chứng minh rằng: (x  y )2 y x với x, y khác -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang ĐỀ BÀI  3x  x   Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P =    x x 2 x 1    2 :  x 1 x 2  1 Tìm điều kiện x để P có nghĩa, rút gọn P Tìm số tự nhiện x để số tự nhiên P Tính giá trị P với x   10   10 27 27 Câu 2: (4,0 điểm) Cho phương trình x2 + 5mx - 4m = Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt; Với điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 Chứng minh x12 + 5mx2 - 4m > 0; x  5mx1  12m đạt giá trị nhỏ Tìm m để biểu thức  m2 x1  5mx  12m m2 Câu 3: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình  x3  x   1 x 1   x2  y  2x2 y  2) Giải hệ phương trình  2   x  y 1  xy   x y  Câu 4: (6,0 điểm) Từ điểm S nằm ngồi đường trịn tâm (O), kẻ tiếp tuyến ST SK cát tuyến SAB (A nằm S B; Với A, B nằm cung tròn chứa điểm T) Từ A kẻ đường thẳng vng góc với OT cắt TK TB C D Chứng minh CA = CD Câu 5: (2,0 điểm) 1) Với số thực a ta gọi phần nguyên a số nguyên lớn không vượt a ký hiệu  a  Chứng minh với số nguyên dương n , biểu thức  1 n  3 n    27     không biểu diễn dạng lập phương số nguyên dương 2) Với x, y, z số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy  yz  zx  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  3x  y  z 6( x2  5)  6( y  5)  z  -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức M  Biết rằng: a  x y xz  1  2a  1  2a  49 13  ( z  y )(2 x  y  z ) ( x  z) Giải phương trình  x  x   x  x  13 Câu 2: (4,0 điểm) Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - = (1) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình (1) mà khơng phụ thuộc vào m Tìm giá trị nhỏ P = x21+ x22 (với x1, x2 nghiệm phương trình (1)) Câu 3: (4,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: A= 3 + 5 + 7 + .+ 97  99 B = 35 + 335 + 3335 + + 3333     35 99 sè 2) Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun 2x2 + 2x = 4y3 + z2 + Câu 4: (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt (O), (O’) điểm thứ hai C, D Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) điểm thứ hai E, F Chứng minh ba đường thẳng AB, CE DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Cho PQ tiếp tuyến chung (O) (O’) (P  (O), Q  (O’)) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng PQ Câu 5: (2,0 điểm) 1) Cho biểu thức: B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2012 Tính giá trị B với x = 1 1 1 + + =4 y x z 1 1 Chứng ming rằng: + + 2x  y  z x  2y  z x  y  2z 2) Cho số x, y, z dương thoả mãn -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) Gọi a nghiệm nguyên dương phương trình x  x   Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức A 2a  2(2a  2a  3)  2a Tìm số hữu tỉ a b thoả mãn ab  ab   20 Câu 2: (4,0 điểm) ( x  1)( y  1)  xy  Giải hệ phương trình  x y   x2 1  y2 1    Câu 3: (4,0 điểm) 1) Cho a, b, c số dương thoả mãn đẳng thức a2 + b2 - ab = c2 Chứng minh phương trình x2 - 2x + (a - c)(b - c) = có hai nghiệm phân biệt Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: (y + 2)x2 + = y2 Câu 4: (6,0 điểm) Từ đỉnh A hình vng ABCD, ta kẻ hai tia tạo với góc 45o Một tia cắt cạnh BC E cắt đường chéo DB P Tia cắt cạnh CD F cắt đường chéo DB Q Chứnh minh: E; P; Q; F; C nằm đường tròn Chứng minh: AB.PE = EB.PF Chứng minh: SAEF = 2SAPQ Gọi M trung điểm AE Chứng minh MC = MD Câu 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c số dương abc =1 CMR a3 b3 c3    (1  b)(1  c) (1  c)(1  a ) (1  a )(1  b) -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ Câu 1: (4 điểm) x  4x  y   Giải hệ phương trình:   x  xy    Giải phương trình: (2x2 – 3x +1)(2x2 + 5x +1) = 9x2 Câu 2: (4 điểm)  x ( x  2)   x 2   : 1    Cho biểu thức: A    x x 1   x 1  x  x  1   Tìm x để biểu thức A có nghĩa Rút gọn biểu thức A tìm giá trị x để A < Câu 3: (4 điểm) Chứng minh rằng: x  x  x  x  x 1  với x 2 Cho phương trình: x  2a  1x  a   (1) (a tham số) Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị a Tìm giá trị nhỏ tổng bình phương nghiệm phương trình (1) Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có góc C 600 Gọi (O;R) đường tròn ngoại tiếp, I giao điểm ba đường phân giác tam giác Chứng minh rằng: AOB = AIB = 1200, suy bốn điểm A, I, O, B nằm đường trịn Xác định tâm tính bán kính đường trịn Tia BI cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC E (E khác B) Chứng minh AIE tam giác đều, từ suy IA + IB ≤ 2R Dấu xảy nào? Câu 5: (2 điểm) Cho số thực x, y, z thoả mãn điều kiện: x  y  z  Tìm GTLN M x2 y2 z2    x  y  z4 Hết www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ www.dayvahoc.info ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang ĐỀ THI Bài (4đ) a) Cho ba số hữu tỉ x, y, z thoả mãn 1 Chứng minh   x 1 y 1 z 1 số hữu tỉ b) Giải biện luận bất phương trình theo tham số m: m2x -  9x + m Bài 2.(4đ) ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2 Cho biểu thức P  15 x  11 x  2 x    x  x  1 x x 3 a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh rằng: P  Bài 3.(4đ)  x  y  1 Giải hệ phương trình sau:  x  y  x  y  Tìm tất số nguyên n để n2 +2002 số phương Cho hai số thực dương a, b thoả mãn điều kiện a2 + b2  1 Tim giá trị nhỏ biểu thức sau: Q=  a     b       a  b  Bài 4.(6đ) Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M (M khơng trùng với B, C, H ); từ M kẻ MP, MQ vng góc với cạnh AB, AC a) Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) Chứng minh MP + MQ = AH c) Chứng minh OH  PQ Bài 5(2 đ) Cho ba số thực dương a, b, c, thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 11b  a 11c  b 11a  c   2 ab  4b cb  4c ac  4a Hết www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ www.dayvahoc.info ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang Câu1: ( 4.0 điểm)  x 1   1 x Cho biểu thức: M =   x  x   x  . x   x    a, Tìm x để M xác định b) Rút gọn biểu thức M tìm giá trị nhỏ M c) Tìm x để M nhận giá trị nguyên     Câu 2: (4.0 điểm) a.Giải phương trình: x  x  x  x   2  x  y  11 b.Giải hệ phương trình:   x  xy  y   Câu 3: (4.0 điểm) a Chứng minh phương trình (n + 1)x2 + 2x - n(n + 2)(n + 3) = có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên b Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1 + x3)(x2 + x3)(x1 - x4)(x2 - x4) Bài 4: (6 điểm) Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) M Trên cung nhỏ MC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E I trung điểm DE Đường thẳng qua D vng góc với BO cắt BC H cắt BE K a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C thuộc đường tròn b Chứng minh ICB = IDK c Chứng minh H trung điểm DK Câu 5: (2 điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với số tự nhiên n Hết www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang Câu I (4,0 điểm) Cho biểu thức A  x 9 x  x 1   x5 x 6 x  3 x a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A Câu II: (4,0 điểm) a, Cho phương trình bậc hai : x2+ mx + n + = (x ẩn; m, n tham số) có hai nghiệm nguyên dương Chứng minh rằng: m2+n2 hợp số b, Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = xy > x Tìm giá trị lớn biểu thức : M   y Câu III: (4,0 điểm) 2  x   x  10 1) Giải phương trình:       x 1   x 1   1 1  x  x  1    y y  2) Giải hệ phương trình:   x  x  x    y y y3  Câu IV (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định ( O  AB ) P điểm di động đoạn thẳng AB (P khác A, B P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) (D) cắt N (N khác P) 1) Chứng minh ANP = BNP 2, Chứng minh bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn 3) Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua điểm cố định P di động Câu V (2,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a  b  b  c  c  a  2k (với k số thực dương) a2 b2 c2 k Chứng minh rằng:    bc ca ab HẾT www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ 10 www.dayvahoc.info ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang Câu 1: (4đ) Cho biểu thức: A  x  11  x  x  x  2 x 1  x 1 x  a Tìm x để biểu thức A có nghĩa b Rút gọn A c Tìm giá trị x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu 2(4đ) Cho phương trình x  (a  b) x  ab  (x ẩn), có hai nghiệm 2 Tìm x , x biết rằng: x1  x   2( x1  x  x1 x ) x1 , x   ( x  x )( x  y )   Giải hệ phương trình:   ( x  1)  y   Câu (4 đ) x x 1  x 1   Giải phương trình: 2 Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + = ( với m tham số) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x  x  x x Câu 4:(6 đ) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=6cm, AD=4cm M điểm cạnh AB (M không trùng với A B) Qua M kẻ đường thẳng d, d' song song với AC, BD chúng cắt cạnh BC, AD theo thứ tự N,Q Qua N kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD P Tìm vị trí M AB để diện tích tứ giác MNPQ lớn Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi O tâm hình vng ABCD, M trung điểm cạnh OB, N trung điểm cạnh CD H chân đường cao hạ từ M tam giác AMN Chứng minh AMN tam giác vng cân, từ tính độ dài đoạn AH theo a Câu 5:(2đ) Cho x, y, z số nguyên thoả mãn ( x  y )( y  z)( z  x )  x  y  z Chứng minh: x + y + z chia hết cho 27 …………….Hết……………… www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info 10 www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ 11 ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang Câu I (4,0 điểm) Cho biểu thức: A = x x 3x    x 3 x 3 x 9 Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị x để A = 3 Tìm giá trị lớn biểu thức A Câu II (4,0 điểm) Gải phương trình:  2x  x  3x  x  5 Cho phương trình: x  2mx  2m   a Giải phương trình với m = b Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm x1, x2 , x3 , x4 cho: x1  x2  x3  x4 x4  x1   x3  x2  Câu III (4,0 điểm) Cho hàm số: y = mx – m + 2, có đồ thị đường thẳng (dm) Khi m = 1, vẽ đường thẳng (d1) Tìm tọa độ điểm cố định mà đường thẳng (dm) ln qua với giá trị m Tính khoảng cách lớn từ điểm M(6, 1) đến đường thẳng (dm) m thay đổi Câu IV (6,0 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M điểm thuộc đường tròn (O) khác A B Các tiếp tuyến (O) A M cắt E Vẽ MP vng góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vng góc với AE (Q thuộc AE) 1.Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp đường tròn APMQ hình chữ nhật 2.Gọi I trung điểm PQ Chứng minh O, I, E thẳng hàng Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh hai tam giác EAO MPB đồng dạng Suy K trung điểm MP Đặt AP = x Tính MP theo R x Tìm vị trí M (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Câu V (2,0 điểm) Tìm m để giá trị nhỏ biểu thức m  2x – x2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2041 Hết www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info 11 www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ 12 Câu I (4,0 điểm)   :   x 1 x x  x  x 1  Cho biểu thức: P =   x   x x      x x  x  x 1 x 1   Tìm điều kiện x để P xác định Rút gọn P Tìm x để P = x – Tìm giá trị nhỏ P Tìm m để x thỏa mãn: ( x + 1).P = m – x Câu II (4,0 điểm) Giải hệ phương trình:  2x  xy   2 4x  4xy  y  Giải phương trình: x   x   x   x   Câu III (4,0 điểm) Tìm số nguyên a để phương trình: x2 – (3 + 2a)x + 40 – a = có nghiệm nguyên Hãy tìm nghiệm ngun a0   b0 Cho a, b, c số thoả mãn điều kiện:  19a  6b  9c  12  Chứng minh hai phương trình sau có nghiệm: x  2(a  1)x  a  6abc   x  2(b  1)x  b  19abc   Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AD Gọi H trực tâm tam giác ABC, E điểm cung BC không chứa điểm A Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành Gọi P Q điểm đối xứng E qua đường thẳng AB AC Chứng minh điểm P, H, Q thẳng hàng Tìm vị trí điểm E để PQ có độ dài lớn Câu V (2,0 điểm) Chứng minh với số thực x, y , z ln có: x  y  z  y  z  x  z  x  y  x  y  z  2 x  y  z  Một bìa dạng tam giác vng có độ dài ba cạnh số nguyên Chứng minh cắt bìa thành sáu phần có diện tích diện tích phần số nguyên Hết www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info 12 www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ 13 ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang Câu I (4,0 điểm)   6x     3x3 3x Cho biểu thức: A     3x    3x3  3x  3x     3x     Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu II (4,0 điểm) 1 Cho số x  x  R; x   thoả mãn điều kiện: x2 + = x Tính giá trị biểu thức: A = x3 + Giải hệ phương trình: 1 B = x5 + x x y  x2   z  xy  1   x y z  với x, y, z  Câu III (4,0 điểm) Cho a, b số dương thoả mãn điều kiện a2 = b + 4024 x, y, z x  y  z  a nghiệm dương hệ phương trình  Chứng minh giá trị biểu 2 x  y  z  b thức P sau không phụ thuộc vào x, y, z: P= x ( 2012  y )( 2012  z ) y 2012  x 2012  z 2012  x   z 2012  y 2 ( 2012  y )( 2012  x ) 2012  z 2 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết hệ thập phân) cho hai điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: (i) Mỗi chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước (ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, p tỉ số chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị q tỉ số chữ số hàng nghìn chữ số hàng trăm Bài IV (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Một đường thẳng qua A, cắt cạnh BC M cắt đường thẳng CD N Gọi K giao điểm đường thẳng EM BN Chứng minh rằng: CK  BN Cho đường tròn (O) bán kính R = điểm A cho OA = Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Một góc xOy có số đo 45 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB D cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC E Chứng minh rằng: 2   DE  Bài V (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ ab  bc  ca biểu thức: P  a  b  c  a b  b 2c  c 2a Hết www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info 13 www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ 14 Câu I (4,0 điểm ) Giải phương trình: x2  7x 3  2  3x  y Giải hệ phương trình:    x3    y  Câu II (4,0 điểm ) mx  y  3x  my  Cho hệ phương trình:  a Giải hệ phương trình m  b Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức: m2 x  y 1 m 3 Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(1; 0), B (0; 2), C (3; 0) Điểm D đoạn BC cho DA = DC E điểm tùy ý đoạn AC, đường thẳng d qua E song song với đường thẳng AD cắt đường thẳng BA F Đoạn BE cắt đoạn DA G Chứng minh rằng: hai tia CG CF đối xứng với qua CA Câu III (4,0 điểm) Tìm số có hai chữ số biết phân số có tử số số đó, mẫu số tích hai chữ số có phân số tối giản 16 hiệu số cần tìm với số có chữ số với viết theo thứ tự ngược lại 27 Hãy tìm chữ số a, b, c, d biết số a, ad , cd , abcd số phương Câu IV (6,0 điểm ): Cho hình vng cố định PQRS Xét điểm M thay đổi cạnh PQ (M khác P, M khác Q) Đường thẳng RM cắt đường chéo QS hình vng PQRS E Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS F (F khácQ) Đường thẳng RF cắt cạnh SP hình vng PQRS N Chứng tỏ rằng: ERF = QRE + SRF Chứng minh M thay đổi cạnh PQ hình vng PQRS đường trịn ngoại tiếp tam giác MEF ln qua điểm cố định Chứng minh rằng: MN = MQ + NS Câu V (2,0 điểm) Chứng minh rằng:    2011  2009      2010  2008    503 Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x2 y2 z2 2x  y2  2z2    a2 b c a  b2  c2 Hết www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info 14 www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ 15 ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang Câu I (4,0 điểm) Chứng minh : A    13  48 6 số nguyên Biết a, b số thoả mãn a > b > a.b = Chứng minh : a  b2 2 a b abc  n   Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho:  (n nguyên; n > 2) cba   n    Câu II (4,0 điểm) 1 1 Cho x , y , z  R thỏa mãn :    Hãy tính giá trị biểu thức: x yz x y z 2011 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) M= 2012 Cho phương trình: ax  bx  c  ( a  ) có hai nghiệm x1 , x thoả mãn điều kiện: 2a  3ab  b  x1  x  Tìm giá trị lớn biểu thức: Q  2a  ab  ac Câu III (4,0 điểm) 2012 x  x x  2012  x  2012 Giải phương trình: 2011 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21 Câu IV (4,0 điểm) Cho điểm P ngồi đường trịn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn Từ trung điểm B đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm B D) Các đường thẳng PC PD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E F Chứng minh: DCE = DPE + CAF tam giác PBC đồng dạng tam giác DBP Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB Trong tam giác ABC lấy điểm O tùy ý Gọi I, J, K hình chiếu vng góc điểm O đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh rằng: OI + OJ + OK < BC Câu V (2,0 điểm) Cho a, b, c  [0; 1] Chứng minh rằng: a b c    1  a 1  b 1  c   b  c 1 a  c 1 a  b 1 Cho x, y, z số thực thoả mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 1   16x 4y z www.dayvahoc.info www.dayvahoc.info 15 ... www.dayvahoc.info ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ ĐỀ BÀI... www.dayvahoc.info PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang ĐỀ BÀI ... www.dayvahoc.info ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ ĐỀ BÀI