Đề thi Giáo viên giỏi toán THCS năm 1011-2012

Đường thẳng AB cắt đường tròn O’ tại điểm thứ hai là D, đường thẳng AC cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là E.. Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD.. Cho

Trang 1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1: (4,0 điểm)

Giải các phương trình sau:

1) 3 24 + x  12 - x  6

2)  x + 5 x + 6 x + 8 x + 9      40

Câu 2: (4,0 điểm)

Cho phương trình: x2  2(m 1)x 2m 0 (1) (với ẩn là x)

1) Giải phương trình (1) khi m=1

2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

3) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1; x2 Tìm giá trị của m để x1; x2là

độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12

Câu 3: (4,0 điểm)

1) Cho  2 2

x  2011 x  y  2011 y   2011 Tính giá trị của biểu thức T x  2011  y 2011

2) Tính tổng S = 4 3 8 15 240 14399

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có Â > 900 Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn

(O’) đường kính AC Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai là D, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E

1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn

2) Gọi F là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’) (F khác A) Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD

3) Gọi H là giao điểm của AB và EF Chứng minh BH.AD = AH.BD

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng:

1

x x yz y y zx z z xy

-Hết -

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:

ĐỀ 1

Trang 2

ĐỀ BÀI

Câu 1: (4,0 điểm)

1 Giải phương trình

x x

x



 1 3

6 = 3 + 2 xx2

2 Cho hệ phương trình: x - 3y - 3 = 0

x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0

Gọi (x 1 ; y 1 ) và (x 2 ; y 2 ) là hai nghiệm của hệ phương trình trên Hãy tìm giá trị của biểu thức M = (x1- x2)2 + (y1 - y2)2

Câu 2: (4,0 điểm)

Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m -1)x + m = 0 (m  0)

Hãy xác định giá trị m để số đo của đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác là:

5

2

Câu 3: (4,0 điểm)

1 Tìm các số nguyên dương n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những số chính phương

2 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2x 2 + 7xy + 6y 2 = 60

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH vẽ đường tròn tâm O đường kính

AH Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E

a Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng

b Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M

và N Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC

c Cho AB = 8cm, AC = 9cm Tính diện tích tứ giác MDEN

Câu 5: (2,0 điểm)

Chứng minh rằng: 3

) (

4

2 2 2 2 2 2 2 2 2





y y x y

x y x

với x, y khác 0

-Hết -

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:

ĐỀ 2

Trang 3

ĐỀ BÀI

Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P =

1 1 : 2 2 1 1 1 2

3 3 3































x x

x x x

1 Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó rút gọn P

2 Tìm các số tự nhiện x để

P

1 là số tự nhiên

3 Tính giá trị của P với 3 3

27 1 10 2 27 1 10



x

Câu 2: (4,0 điểm) Cho phương trình x2 + 5mx - 4m = 0

1 Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt;

2 Với điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 Chứng minh rằng

x12 + 5mx2 - 4m > 0;

3 Tìm m để biểu thức 21

2 2 2

2 1

12

m mx

x m mx

x



 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 3: (4,0 điểm)

1) Giải phương trình  x  3 x 1  x 1 1

2) Giải hệ phương trình   

2 2

2 4

x y









Câu 4: (6,0 điểm)

Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ các tiếp tuyến ST và SK và một cát tuyến SAB (A nằm giữa S và B; Với A, B nằm trên cùng một cung tròn chứa điểm T) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với OT cắt TK và TB lần lượt tại C và D Chứng minh rằng CA = CD.

Câu 5: (2,0 điểm)

1) Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá avà ký hiệu là  a Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, biểu thức

2

27 3

n  n 

dương

2) Với x y z, , là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx   5 Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức



-Hết -

ĐỀ 3

Trang 4

ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm)

1 Tính giá trị của biểu thức

1 2 1 1 1

2 1 1









a a

Biết rằng:

z x y x a







7 và

) 2

)(

(

13 )

( 49

z

2 Giải phương trình 7 x  x 1 x2  6x 13

Câu 2: (4,0 điểm).

Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (1)

1 Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

2 Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình (1) mà không phụ thuộc vào m

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x21+ x22 (với x1, x2 là nghiệm của phương trình (1))

Câu 3: (4,0 điểm).

1) Tính giá trị của biểu thức:

A =

5 3 1

1

 + + 97 99

1



B = 35 + 335 + 3335 + + 

3 99 35

3333

sè

2) Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên

2x2 + 2x = 4y3 + z2 + 2

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai E, F

1 Chứng minh ba đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I

2 Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn

3 Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P  (O), Q  (O’)) Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ

Câu 5: (2,0 điểm)

1) Cho biểu thức: B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2012

Tính giá trị của B với x = 1. 2 1





2) Cho các số x, y, z dương thoả mãn

x

1 +

y

1 +

z

1 = 4

Chứng ming rằng:

z y

x  2

1 +

z y

x 2 

z y

1



-Hết -

ĐỀ 4

Trang 5

ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm)

2 Gọi a là một nghiệm nguyên dương của phương trình

0 1

2x2  x  Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức

2

4 2 3 ) 2 2

( 2

3 2

a a

a a A







3 Tìm các số hữu tỉ a và b thoả mãn

3 20 7 3 2 3



a

Câu 2: (4,0 điểm).

Giải hệ phương trình





















4 1 1 1

0 8 ) 1 )(

1 (

2 2

y y x

x

xy y

x

Câu 3: (4,0 điểm).

1) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn đẳng thức a2 + b2 - ab = c2 Chứng minh rằng phương trình x2 - 2x + (a - c)(b - c) = 0 có hai nghiệm phân biệt

2 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: (y + 2)x2 + 1 = y2

Câu 4: (6,0 điểm)

Từ đỉnh A của hình vuông ABCD, ta kẻ hai tia tạo với nhau một góc bằng 45o Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo DB tại P Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo DB tại Q

1 Chứnh minh: E; P; Q; F; C cùng nằm trên một đường tròn

2 Chứng minh: AB.PE = EB.PF

3 Chứng minh: SAEF = 2SAPQ

4 Gọi M là trung điểm AE Chứng minh MC = MD

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho a, b, c là các số dương và abc =1 CMR

4 3 ) 1 )(

1 ( ) 1 )(

1 (

3 3

3





c a

c b c

b a

-Hết -

ĐỀ 5

Trang 6

Đề thi gồm: 01 trang Câu 1:(4 điểm)

1 Giải hệ phương trình:



















0 4 4

0 4

4 2

2 2

xy x

y x x

2 Giải phương trình: (2x2 – 3x +1)(2x2 + 5x +1) = 9x2

Câu 2:(4 điểm)

Cho biểu thức: A x x( x x12)  x11:1 xx x21

1 Tìm x để biểu thức A có nghĩa

2 Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị của x để A < 2

Câu 3:(4 điểm)

1 Chứng minh rằng: x8 x5 x4 x2 x 1  0 với mọi x.

2 Cho phương trình: x2  2 a 1 xa 4  0 (1) (a là tham số)

Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bình phương các nghiệm của phương trình (1)

Câu 4:(6 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có góc C bằng 600 Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp, I

là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác đó

1 Chứng minh rằng: AOB = AIB = 1200, suy ra bốn điểm A, I, O, B nằm trên một đường tròn Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó

2 Tia BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại E (E khác B) Chứng minh rằng AIE là tam giác đều, từ đó suy ra IA + IB ≤ 2R Dấu bằng xảy ra khi nào?

Câu 5:(2 điểm)

Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện: x2  y2 z2  3 Tìm GTLN của

2 4 2 4 2 4

Hết

ĐỀ 6

Trang 7

BÁ THƯỚC

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI C ẤP HUYỆN

ĐỀ THI

Bài 1 (4đ)

a) Cho ba số hữu tỉ x, y, z thoả mãn 1 1 1

x y  z

   Chứng minh rằng

(x 1)   (y 1)   (z 1) là số hữu tỉ

b) Giải và biện luận bất phương trình theo tham số m:

m2x - 3  9x + m

Bài 2.(4đ)

Cho biểu thức

3 3 2

1 2 3

3 2

11 15















x x x

x x

x x P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Chứng minh rằng:

3 2



P

Bài 3.(4đ)

1 Giải hệ phương trình sau:



















4 4 7 7 3

y x y x y x

2 Tìm tất cả các số nguyên n để n2 +2002 là số chính phương

3 Cho hai số thực dương a, b thoả mãn điều kiện a2 + b2  1

Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: Q=

2 2

1 1











 













 

b b a

a

Bài 4.(6đ) Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất

kì (M không trùng với B, C, H ); từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB, AC a) Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn

ngoại tiếp tứ giác đó

b) Chứng minh rằng MP + MQ = AH

c) Chứng minh OH  PQ

Bài 5(2 đ) Cho ba số thực dương a, b, c, thoả mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

2

4 11 4

11 4

11

2 3 3 2

3 3 2

3 3















a ac

c a c

cb

b c b

ab

a b

-Hết -ĐỀ 7

Trang 8

Đề thi gồm: 01 trang Câu1: ( 4.0 điểm)

Cho biểu thức: M =          2 

4 4

2 2

4 2

1 1

1 1 1 1

x x x

x x

a, Tìm x để M xác định

b) Rút gọn biểu thức M rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M

c) Tìm x để M nhận giá trị nguyên

Câu 2: (4.0 điểm)

a.Giải phương trình: x2  5x x2  5x 4   2

b.Giải hệ phương trình:

















2 4 3 11 2 2

y xy x

y x

Câu 3: (4.0 điểm)

a Chứng minh phương trình (n + 1)x2 + 2x - n(n + 2)(n + 3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên

b Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0

x 3 , x 4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0

Tính giá trị của biểu thức: (x 1 + x 3 )(x 2 + x 3 )(x 1 - x 4 )(x 2 - x 4 )

Bài 4: (6 điểm)

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D AD cắt (O) tại điểm thứ hai E I là trung điểm của

DE Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K

a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn

b Chứng minh ICB = IDK

c Chứng minh H là trung điểm của DK

Câu 5: (2 điểm)

Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n

-Hết -ĐỀ 8

Trang 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO BÁ THƯỚC

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI C ẤP HUYỆN

Câu I (4,0 điểm)

A

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức A

Câu II: (4,0 điểm)

a, Cho phương trình bậc hai : x2+ mx + n + 1 = 0 (x là ẩn; m, n là tham số) có hai nghiệm nguyên dương Chứng minh rằng: m2+n2 là một hợp số

b, Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M 1 1

x y

 

Câu III: (4,0 điểm)

1) Giải phương trình:

10

     

2) Giải hệ phương trình:

2

2 3

1 4.

x x

x x x



    



Câu IV (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( O AB ) P là điểm di động trên đoạn thẳng AB (P khác A, B và P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A Đường tròn tâm D đi qua điểm

P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (N khác P)

1) Chứng minh rằng ANP = BNP

2, Chứng minh bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn

3) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi

P di động

Câu V (2,0 điểm)

Cho ba số dương a b c, , thoả mãn: a2 b2  b2 c2  c2 a2  2 k (với k là số thực dương)

2

b c c a a b

HẾT

ĐỀ 9

Trang 10

Câu 1: (4đ)

Cho biểu thức:

A

a. Tìm x để biểu thức A có nghĩa

b. Rút gọn A

c Tìm các giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

Câu 2(4đ)

1 Cho phương trình x2  (ab)xab 0 (x là ẩn), có hai nghiệm là x1, x2

Tìm x1, x2 biết rằng: 2 2 2 ( 1 2 2 1 2)

2 2

2 Giải hệ phương trình:    







1 )

1 (

4 ) )(

(

2 2

y x

y x x x

Câu 3 (4 đ)

x

2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:

x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0 ( với m là tham số) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x1  x2  x1x2

Câu 4:(6 đ)

1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=6cm, AD=4cm M là một điểm bất kì trên cạnh AB (M không trùng với A và B) Qua M kẻ các đường thẳng d, d' lần lượt song song với AC, BD chúng cắt các cạnh BC, AD theo thứ tự tại N,Q Qua N kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại P Tìm vị trí của M trên AB để diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất

2 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm cạnh OB, N là trung điểm cạnh CD H là chân đường cao hạ từ M của tam giác AMN Chứng minh AMN là tam giác vuông cân, từ đó tính độ dài đoạn AH theo a

Câu 5:(2đ) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn (xy y)( z z)( x)   x y z

Chứng minh: x + y + z chia hết cho 27

……….Hết………

ĐỀ 10

Trang 11

Đề thi gồm: 01 trang Câu I (4,0 điểm)

9

x





1. Rút gọn biểu thức A

2. Tìm giá trị của x để A =

3

1

3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Câu II (4,0 điểm)

1. Gải phương trình: 5

2 3

2 2 3









x x x x

2. Cho phương trình: x4  2mx2  2m  1 0

a Giải phương trình với m = 2

b Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm x x x x1, , ,2 3 4 sao cho:

x1 x2  x3 x4 và x4 x1 3  x3 x2

Câu III (4,0 điểm)

Cho hàm số: y = mx – m + 2, có đồ thị là đường thẳng (dm)

1. Khi m = 1, vẽ đường thẳng (d1)

2. Tìm tọa độ điểm cố định mà đường thẳng (d m ) luôn đi qua với mọi giá trị của m Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm M(6, 1) đến đường thẳng (d m ) khi m thay đổi

Câu IV (6,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE)

1.Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật

2.Gọi I là trung điểm của PQ Chứng minh O, I, E thẳng hàng

3. Gọi K là giao điểm của EB và MP Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng dạng Suy ra K là trung điểm của MP

Đặt AP = x Tính MP theo R và x Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất

Câu V (2,0 điểm)

1 Tìm m để giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

1

x



 bằng – 2

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = 2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2041

Hết

ĐỀ 11

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	444,82 KB