Từ một điểm D trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc BC cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở E và F.. Vẽ các hình chữ nhật BDEG và CDFH.
Trang 1PHÒNG GD-ĐT YÊN LẠC
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THCS NĂM HỌC 2012 -2013
Thời gian làm bài 150 phút PHẦN KIẾN THỨC CHUYÊN MÔN
Bài 1 (5,0 điểm)
Cho hệ phương trình 2 (*)
1
mx y m
x my m
�
�
� a) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên
c) Chứng minh rằng điểm M(x;y) (với (x;y) là nghiệm của hệ phương trình (*)) luôn nằm trên một đường thẳng cố định
d) Tìm giá trị của m để biểu thức P = xy có giá trị lớn nhất (với (x;y) là nghiệm của hệ phương trình (*)) Tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 2 (2,0 điểm ) Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng 1 1 1 4 1 1 1
a b c a b b c c a
� � � � �
Bài 3 (3,0 điểm) cho tam giác ABC cân đỉnh A Từ một điểm D trên đáy BC, vẽ đường
thẳng vuông góc BC cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở E và F Vẽ các hình chữ nhật BDEG và CDFH Chứng minh rằng A là trung điểm của GH
Bài 4 (2,0 điểm) Một học sinh giải bài toán “ Tìm các giá trị của m để phương trình
2
2x 2m 1 x m 1 0 * có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 3x1-4x2 = 11” như sau: Phương trình (*) có hai nghiệm khi � 0
2m 1 8 m 1 4m 12m 9 2m 3 0 m R
Vậy phương trình (*) có hai nghiệm: 1 2
x x m
Do đó 3x1 – 4x2= 11 3 4 1 11 4 33 33
33
8
m thoả mãn điều kiện đầu bài Theo đồng chí bài giải trên của học sinh đúng chưa? Vì
sao? Nếu bài giải của học sinh sai , đồng chí hãy giải lại bài toán trên
Bài 5 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu m, n là các số tự nhiên thoả mãn 3m2 m 4n2 n thì m – n và 4m + 4n +1 đều là số chính phương
b) Tìmnghiệm nguyên của phương trình 19x2 28y2 729
-Hết