Thầy Hồng Trí Quang Đềthihọcsinhgiỏi tốn – sưu tầm ĐỀĐềthihọcsinhgiỏi tỉnh Phú Thọ 2016-2017 Thời gian làm 150 phút A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu Biể u thức 3x x2 x A 3 x Câu Cho biể u thức Q có nghĩa nào? B x C x 3 hoă ̣c x D 3 x x x x x 45 x 2 ( x 0; x 25 ) x x 15 x 3 Tìm giá trị nhỏ nhấ t của Q A B C D Câu Trên mặt phẳng tọa đô ̣ Oxy cho đường thẳng (d): y 2m 3 x 4m Go ̣i h là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d) Tim ̀ giá tri ̣lớn nhấ t của h A B 13 C D 15 Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điể m A 2;3 ; B 4; 4 ; C 5; 1 Tiń h diê ̣n tić h tam giác ABC A 30,5 B 28,5 C 42 Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳ ng d1 : d2 : y A D 38 2 x y ; 3 1 x ; d3 : 2m 3 x 3my Tim ̀ m để ba đường thẳ ng đã cho đồ ng quy 1 B C D 2 Câu Cho Parabol (P): y x đường thẳng (d) có phương trình y m x 5m 16 Tìm giá trị m để (d) cắt (P) điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung A m 16 B m 16 Thầy Hồng Trí Quang Đềthihọcsinhgiỏitoán – sưu tầm C m 4 hoă ̣c m 16 D m 16 Câu Go ̣i x0 ; y0 là nghiê ̣m của phương trình x y x y x cho y0 đa ̣t giá tri ̣lớn Tiń h tổ ng x0 y0 A 4 B 5 3 C D 5 Câu Tim ̀ m để phương trình x (m 4) x m có hai nghiê ̣m x1 ; x2 độ dài hai cạnh góc vng mơ ̣t tam giác vng có độ dài cạnh huyền 26 A m 8 m B m C m 8 D m hoă ̣c m 2 Câu Cho hiǹ h thang ABCD (AB//CD) có AB 2,5 cm; AD 3,5 cm; BD cm DBC DAB Tiń h tổ ng BC+DC A 17 (cm) B 19 (cm) C 20 (cm) D 22 (cm) Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A đường phân giác AD, D BC Đẳ ng thức nào sau đúng ? A AB AC AD B AB AC AD C AB AC AD D AB AC AD Câu 11 Cho tam giác nhọn ABC có BAC 300 , kẻ hai đường cao BD, CE D AC; E AB Go ̣i S ; S ' lầ n lươ ̣t là diê ̣n tích ABC, ADE Tính tỉ số A B C S' S D Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH BC , HD AB, HE AC H BC, D AB, E AC Đẳ ng thức nào sau đúng ? A AD AB AE AC B BD.BA CE.CA C AD.DB AE.EC AH D BD.BA AH Thầy Hồng Trí Quang Đềthihọcsinhgiỏitoán – sưu tầm Câu 13 Cho tam giác nho ̣n ABC có ABC ACB , kẻ đường cao AH, trung tuyế n AM M , H BC Đẳ ng thức nào sau đúng ? cot C - cot B A tan HAM C tan HAM tan C - tan B B tan HAM cot B - cot C D tan HAM cos C - cos B Câu 14 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB =2R Gọi M, N trung điểm OA, OB Qua M kẻ dây cung CD, qua N kẻ dây cung EF cho CD//EF (C, F thuộc nửa đường tròn đường kính AB) CMO 300 Tiń h diện tích tứ giác CDEF theo R R2 15 A R2 15 C R2 13 B 3R 15 D Câu 15 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R Điểm M thuộc tia đố i tia AB, qua M kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) ( C tiếp điểm), kẻ CH vng góc với AB H AB biế t MA a; MC 3a (a 0) Tiń h CH theo a A 12a B 9a C 8a D 14a Câu 16 Mô ̣t ngo ̣n hải đăng ở vi ̣ trí A cách bờ biể n (là đường thẳ ng) mô ̣t khoảng AH (km) Mô ̣t người gác hải đăng ḿ n từ vị trí A trở về vi tri ̣ ́ B bờ biển (HB = 24 (km)), cách chèo thuyề n với vâ ̣n tố c (km/h) tới vi tri ̣ ́ M bờ (M nằ m giữa H và B) sau đó từ M chạy dọc theo bờ biển đến B với vâ ̣n tố c gấ p bố n lầ n vâ ̣n tố c chèo thuyề n Biết tổ ng thời gian di chuyển từ A đế n B hế t 20 phút Tính khoảng cách MB ? A 3km M H B HB=24km A 12 (km) B 16 (km) C 18 (km) B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca Chứng minh D 20 (km) Đề thihọcsinhgiỏitoán – sưu tầm Thầy Hồng Trí Quang a b b c c a 0 c a b2 b) Chứng minh a.b hai phương trình sau: (a3 a) x a y a 0; (b3 b) x b2 y b4 (a,b tham số) khơng có nghiệm ngun chung Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x x x3 x y 3x xy y x y b) Giải hệ phương trình 3 x y x Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ) điểm A cố định (O; R ) Gọi M, N giao điểm hai đường tròn (O; R ) ( A; R ) ; H điểm thay đổi cung nhỏ MN đường tròn ( A; R ) Đường thẳng qua H vng góc với AH cắt (O; R ) B, C Kẻ HI AB ( I AB), HK AC ( K AC ) a) Chứng minh IK vuông góc với đường thẳng cố định AB AC R b) Tìm giá trị lớn diện tích AIK H thay đổi Câu (1,5 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2(a 2b b2c c 2a) (a b c ) 4abc Thầy Hồng Trí Quang Đềthihọcsinhgiỏi tốn – sưu tầm ĐềĐềthihọcsinhgiỏi TP Hồ Chí Minh năm 2016-2017 Thời gian làm 150 phút Bài (3 điểm) Cho ba số a , b, c thỏa mãn điều kiện: a b 7, b c Tính giá trị biểu thức: P a b c ab bc ca a c 2ab 2bc Bài (3 điểm) Giải phương trình: x 1 x x x y 1 y x 1 Bài (3 điểm) Giải hệ phương trình: x 1 y 1 Bài (4 điểm) a) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: x 2y Tìm giá trị lớn 1 x 1 y biểu thức: P xy b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: x y x y x Bài (5 điểm) a) Cho tam giác nhọn ABC có H trực tâm Gọi M , N trung điểm BC AH Đường phân giác góc A cắt MN K Chứng minh rằng: AK HK b) Cho ABC nội tiếp đường tròn O Gọi AH , AD đường cao, đường phân giác góc A Tia AD cắt O E , tia EH cắt O F tia FD cắt O K Chứng minh AK đường kính O Bài (2 điểm) Trong tuần, ngày năm chơi môn thể thao Nam chạy ba ngày tuần không chạy hai ngày liên tiếp Vào thứ hai, chơi bóng bàn hai ngày sau chơi bóng đá Nam bơi chơi cầu lơng, không Nam chơi cầu lông sau ngày chạy bơi Hỏi ngày tuần Nam bơi? -Hết- Thầy Hồng Trí Quang Đềthihọcsinhgiỏitoán – sưu tầm ĐềĐềthihọcsinhgiỏi lớp tỉnh Nghệ An - Bảng A nămhọc 2016-2017 Thời gian làm 150 phút Câu (4 điểm) a) Tìm hệ số b, c đa thức P x x bx c biết P x có giá trị nhỏ 1 , x2 x xy xy y b) Giải hệ phương trình 2 x 1 x y 1 y Câu (4 điểm) a) Giải phương trình x x x b) Cho số thực dương a , b, c thỏa mãn ab bc ca Tìm giá trị lớn biểu thức: P 2a 1 a b 1 b c c2 Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC có BAC 135 , BC cm , đường cao AH 1 cm Tính độ dài cạnh AB, AC tam giác Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O , D điểm cung BC khơng chứa A Dựng hình bình hành ADCE Gọi H , K trực tâm tam giác ABC tam giác ACE Gọi P , Q hình chiếu K BC AB , gọi I giao điểm EK AC Chứng minh rằng: a) Ba điểm P , I , Q thẳng hàng b) PQ qua trung điểm KH Câu (4 điểm) a) Tìm tất số nguyên tố khác m, n, p, q thỏa mãn 1 1 1 m n p q mnpq Đềthihọcsinhgiỏitoán – sưu tầm Thầy Hồng Trí Quang b) Trên bảng có ghi hai số Ta ghi số lên bảng theo quy tắc sau: Nếu có hai số phân biệt bảng ghi thêm số z x y xy Chứng minh số bảng (trừ số 1) có dạng 3k với k số tự nhiên Thầy Hồng Trí Quang Đềthihọcsinhgiỏitoán – sưu tầm ĐềĐềthihọcsinhgiỏitoán tỉnh Bắc Ninh nămhọc 2016-2017 Thời gian làm 150 phút Câu (3 điểm) 1) Rút gọn biểu thức B 13 30 2) Cho số thực a , b, c thỏa mãn a b c , a b c , b c a , c a b Tính giá trị biểu thức P a2 b2 c2 a b2 c b2 c a c a b2 Câu (4 điểm) 1) Trong hệ trục tọa độ Oxy , tìm đường thẳng y x 1, điểm M x, y cho y y x x 2) Cho a , b, c số thực thỏa mãn a b c Chứng minh phương trình ax bx c ln có nghiệm Câu (4 điểm) 1) Cho số thực dương a , b, c Chứng minh rằng: a b 4abc b c 4abc c a 4abc a b2 c 8 a3 b3 c3 2) Tìm số nguyên tố a , b, c số nguyên dương k thỏa mãn phương trình a b 16c 9k Câu (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB 2a có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn tâm O , đường kính AB nửa đường tròn tâm O ' đường kính AO Điểm M thay đổi nửa đường tròn O ' ( M khác A O ), tia OM cắt đường tròn O C Gọi D giao điểm thứ hai CA với đường tròn O ' 1) Chứng minh ADM cân 2) Tiếp tuyến C đường tròn O cắt tia OD E Chứng minh EA tiếp tuyến Đềthihọcsinhgiỏitoán – sưu tầm Thầy Hồng Trí Quang chung hai đường tròn O O ' 3) Đường thẳng AM cắt OD H , đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt đường tròn O điểm thứ hai N Chứng minh ba điểm A, M , N thằng hàng 4) Tính độ dài đoạn thằng OM theo a biết ME song song với AB Câu (3 điểm) 1) Cho hình vng MNPQ điểm A nằm tam giác MNP cho AM AP AN Tính góc PAN ? 2) Cho đa thức P x x8 ax bx c Q x x 2016 x 2017 thỏa mãn P x có ba nghiệm thực phân biệt P Q x vô nghiệm Chứng minh P 2017 10086 ... b2c c 2a) (a b c ) 4abc Thầy Hồng Trí Quang Đề thi học sinh giỏi toán – sưu tầm Đề Đề thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh năm 2016 -2017 Thời gian làm 150 phút Bài (3 điểm) Cho ba số a ,... ngày tuần Nam bơi? -Hết- Thầy Hồng Trí Quang Đề thi học sinh giỏi tốn – sưu tầm Đề Đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh Nghệ An - Bảng A năm học 2016 -2017 Thời gian làm 150 phút Câu (4 điểm) a) Tìm... dạng 3k với k số tự nhiên Thầy Hồng Trí Quang Đề thi học sinh giỏi toán – sưu tầm Đề Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Bắc Ninh năm học 2016 -2017 Thời gian làm 150 phút Câu (3 điểm) 1) Rút gọn