de thi hoc sinh gioi toan 9 nam 2019 2020

Tailieumontoan.com  Sưu tầm tổng hợp TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM 2019-2020 Thanh Hóa, ngày tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com Đề số 1: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TRIỆU PHONG NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: (4,0 điểm) 1) Cho A = n4 − 10n2 + Với số nguyên n lẻ , chứng minh A chia hết cho 384 2) Tìm số nguyên a , b thỏa mãn: a+b − a−b + 18 = (4,0 điểm) Câu 2: = Cho biểu thức B ( x+ y )  x−y x x−y y   −   x−y x x + y y  x − y  a) Rút gọn B b) So sánh B Câu 3: B (6,0 điểm) 1) Biết x + y =x + y Tìm giá trị lớn nhỏ C= x − y 2) Cho biểu thức D = − 10 − − + 10 − +  + + 14 −    Chứng minh D nghiệm phương trình D − 14 D + 44 = 3) Cho x , y , z ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1  + + ≤  + +  x + yz y + zx z + xy  xy yz zx  Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi I trung điểm cạnh AB Điểm H thuộc cạnh DI cho AH vng góc với DI 1) Chứng minh ∆CHD cân 2) Tính diện tích ∆CHD Câu 5: (2,0 điểm) Xác định M nằm tam giác ABC cho tích khoảng cách từ M đến cạnh tam giác đạt giá trị lớn ……………….HẾT…………… HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ Câu 1: 1) Ta có A = n4 − 10n2 + = n4 − n2 − 9n2 + = n2 (n2 − 1) − 9(n2 − 9) ( )( ) = n2 − n2 − = ( n − 1)( n + 1)( n − )( n + ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Theo giả thiết n số nguyên lẻ , nên đặt: n =2 k + 1( k ∈ N ) , ta viết lại: ( k + ) k ( k + ) ( k − ) = A= 16( k + 1).k( k + 2).( k − 1) Ta nhận thấy rằng: ( k + 1) , k ,( k + 2) ,( k − 1) số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.3.4 = 24 ⇒ A(16.24) = 384 Với số nguyên n lẻ 2) ĐK: a ∈ Z , b ∈ Z , a + b2 ≠ , a ≠ b Ta có: ⇔ a+b − ( a−b + 18 = , với ) ( a−b −4 a+b a − 2b ) + 18 ⇔ a − 9b = ( − 18 ) ( a ⇔ a − 9b 2= ( 3a ) 2= − 2b ) ( − 6b2 − 18 a − 2b2 ( ⇔ 18 a2 − 36b2 − 9b ) ) = 3a − 6b − a 3a − 6b − a Nếu 18 a2 − 36b2 − 9b ≠ ⇒ = 18 a − 36b2 − 9b Vì a , b nguyên nên ⇒ Vơ lý 3a − 6b − a 18 a2 − 36b2 − 9b ∈Q ⇒ ∈Q số vơ tỉ Vì ta có: 3   2 b = b 6b 18 a − 36b − 9b =  3a −= a 18 a − 36b − 9b =0 ⇒  ⇔ ⇔ 2    − 6b a  − 6b a 3a − 6b − a =  3a =  3a = 2 thay a = 3b vào 3a −6b2 − a = , ta có: 3 b2 − 6b2 − b =0 ⇔ 27 b2 − 24b2 − 6b =0 ⇔ 3b ( b − ) =0 b =0 (loai ) ⇔ b = (thoa man) Khi b = ⇒ a = (thoa man) Vậy = a 3= , b thỏa mãn điều kiện toán Câu 2: a) x , y > , x ≠ y Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có : B = B B= B= B= ( ( x+ y )( )   x − xy + y   x+ y ) ( x− y )( x+ y x− y )−( ( x− y x− )( x + xy + y )  y )( x + y )    x + xy + y    x + y − x − xy + y  x + y  x+ y x+ y x − xy + y x+ y x − xy + y x + xy + y − x − xy − y x+ y xy x+ y xy x − xy + y  y  3y  + > , ∀x , y > b) Vì x , y > ⇒ xy > x − xy + y=  x −     Nên B > với x , y thỏa mãn điều kiện cho Lại có: ) ⇒ ⇒ ( x− y x + y − xy ≥ ⇔ x + y − xy ≥ xy ≤ x + y − xy xy xy xy ≤ xy = Dấu “ = “ khơng xảy x ≠ y Vậy < B < , nên B>B Câu 3: 1) Ta có: C = x − y = x + y − 2y = x2 + y − y = x + ( y − 1) − ≥ −1 Dấu “ = “ xảy = x 0= ,y Vậy giá trị nhỏ C =−1 ⇔ x =0 ; y =−1 Lại có: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com C = x − y = x − ( x + y) ( ) = − ( x − x + 1) − y =2 x − x + y 2 +1 =− ( x − 1) − y + ≤ Dấu “ = “ xảy ra= x 1,= y Vậy giá trị lớn C = ⇔ x = 1; y = 2) Ta có: D = − 10 − − + 10 − +  + + 14 −    D = − 10 − − + 10 − + + + 28 − 10 D = − 10 − − + 10 − + + + − − 10 − − + 10 − , với ( D − < ) D − 6= ⇔ ( D − ) =8 − 16 − 10 + ⇔ ( D − ) =8 − 2 ⇔ ( D − 6) = ( ( −1 ) + =6 − ) ⇒ D − = − hay D = − Ta có: D − 14 D + 44 = ( ⇔ 7− ) ( ) − 14 − + 44 = ⇔ 54 − 14 − 98 + 14 + 44 = Vậy tốn chứng minh 3) Ta có: x + yz ≥ x yz ⇒ Tương tự, ta có: Mà: x + yz y + zx ≤ ≤ yz = x yz xyz xy 1 zx ≤ = =; z + xy z xy xyz y zx xyz y+z yz y+z y+z yz ≤ ⇒ ≤ = 2 xyz xyz xyz Tương tự, ta có: xy x + y zx z + x ≤ ; ≤ xyz xyz xyz xyz Từ suy ra: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com y+z z+x x+y 1 1 + + ≤ + + = ( 2x + y + 2z ) x + yz y + zx z + xy xyz xyz xyz xyz 1 1  +  (dpcm)  +  xy yz zx  = Dấu “ = “ xảy ⇔ x = y = z Câu : 1) Gọi K trung điểm AD ; E giao điểm CK DI Xét ∆ADI ∆DCK có:  AB CD    = DAI = 900 ( gt ) ; CD = AD ( gt ) ; = CDK AI DK =  =    Suy ra: ∆ADI = ∆DCK (c g.c) =  + DKC =  ; mà DCK 900 ⇒ ADI DCK =  + DKC Suy ra: ADI 900 ⇒ KC ⊥ DI (1) - Lại có: HK đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD ⇒ HK = KD (2) Từ (1) va (2) suy : KC đường trung trực DH ⇒ CH = CD ⇒ ∆CHD cân C 2) Áp dụng định lý Pytago tam giác vng ADI , ta tính : DI = a Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ADI , đường cao AH ta có: DH DI = AD ⇒ DH = AH DI= AI AD ⇒ AH= AD a2 2a = = DI a 5 AI AD a a : = = DI 2 a Mà EK đường trung bình ∆AHD ⇒ EK= a AH= 2 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông DKC , đường cao DE ta có: KE.CK = KD ⇒ CK = KD a a a = = : KE Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy ra: CE = CK − KE = a a 2a − = 2 5 1 2a 2a 2a2 CE.DH = Diện tích ∆CHD = là: SCHD = (đvdt) 2 5 Câu 5: Đặt= AB c= , BC a ,= AC b Gọi D , E , F hình chiếu M cạnh BC , AC , AB đặt MD , ME , MF x , y , z Ta có: SABC = SMAB + SMBC + SMAC = ⇒ SABC ≥ xa + yb + zc 3 xa.yb.zc ≥ 2 2S 8S3 ABC 33 (luôn số không đổi) abc xyz ⇒ xyz ≤ ABC ⇔ xyz ≤ 27 abc 3 abc 8S3 ABC Vậy tích khoảng cách từ M đến cạnh ∆ABC đạt GTLN 27 abc Dấu “ = “ xảy ⇔ xa = by = cz ⇔ SMAB = SMBC = SMAC Hay : M trọng tâm ∆ABC ĐỀ SỐ 2: CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ VÒNG - NĂM 2020 Câu 1: Câu 2: (3,0 điểm) Chứng minh rằng: ( 20192019 + 20212020 ) 2020 Tìm số tự nhiên n để n + 24 n − 65 số phương x y xy − − (4,0 điểm) Cho H = x + y − xy − y x + xy + x + y x + − xy − y Tìm x, y nguyên để H = 20 Câu 3: (3,0 điểm) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho số a , b, c , x , y , z dương thỏa y x z + + = a b c mãn: a b c + + = x y z Tính giá trị biểu thức M = x y z + + + 2019 a b c Giải phương trình: x + 16 x= − x ( x + 8) Câu 4: (4,0 điểm) Tìm a, b để f ( x ) = x + x − x + x ( a − ) + b + viết thành bình phương đa thức 4,5 Tìm giá trị nhỏ Cho a, b số dương thỏa mãn (1 + a )(1 + b ) = biểu thức Q= a + + b4 + Cho a, b, c dương cho Câu 5: a b c + + = Chứng minh: b c a b c a + + ≤ a b c (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) , đường cao AH ( H thuộc BC ) Kẻ HD, HE vng góc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ) Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC I a) Chứng minh: I trung điểm BC b) Kẻ đường thẳng vng góc với AI A cắt đường thẳng BC K Chứng minh AB tia phân giác góc KAH c) Chứng minh: AD.BD + AE.EC ≤ AI Cho tam giác ABC , kẻ đường phân giác AD, BE , CF tam giác ABC a) Chứng minh AB.BD − BD.DC = AD 1 1 1 b) Chứng minh: + + < + + AB AC BC AD BE CF HƯỚNG DẪN ĐỀ SỐ Câu 1: Ta có: ( 20192019 + 1) + ( 20212020= − 1) 20192019 + 20212020 Mà 20192019= +1 ( 2019 + 1) ( 20192018 − 20192017 + 20192016 −  − 1) (1) 20212020 = −1 ( 2021 − 1) ( 20212019 + 20212018 + 20212017 +  + 1) (2) Cộng vế (1) (2) ta được: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2020 ( 20192018 − 20192017 + 20192016 −  − 1) + ( 20212019 + 20212018 + 20212017 +  + 1)   2020 k2 n + 24 = Đặt  h2 n − 65 = ⇒ k − 24 = h + 65 Với k , h > ta có: ( k − h )( k + h ) = 89 = 1.89 = 89.1 k −h = = k 45 ⇒ +) TH1:  k + h 89 = = h 44 Khi k = 45 ⇒ n + 24 = 452 ⇒ n = 2001 k − h 89 = = k 45 ⇒ +) TH2:  k + h = h =−44( KTM ) Vậy với n = 2001 n + 24 n − 65 số phương Câu 2: ĐKXĐ: x, y ≠ 1; x, y > ( ) ( x + y )= ( x + y )(1 − y ) x + xy + x + y = x ( x + y ) + ( x + y ) = ( x + y )( x + 1) x + − xy − = y ( x + 1) − y ( x + 1= ) ( x + 1)(1 − y ) x ( x + 1) − y (1 − y ) − xy ( x + y ) Khi H = ( x + y )(1 − y )( x + 1) Ta có: H= H= H= x + y − xy − y= x+ y − y x x + x − y + y y − xy x − xy y ( ( )( x + y 1− y ) )( ) x +1 x + y  x − y + x − xy + y − xy  x + y 1− y x +1 ( )( )( ) x − y + x − xy + y − xy (1 − y )( x + 1) ( x + x ) − ( y + xy ) + y (1 − x )(1 + x ) H= (1 − y )( x + 1) x ( x + 1) − y ( x + 1) + y (1 − x )(1 + x ) H= (1 − y )( x + 1) x − y + y (1 − x ) x − y + y− y x = H = 1− y Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 1− y TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( )( ) ( x 1− y 1+ y − y 1− y H= ) 1− y ( ) H = x + y − y = x + xy − y Ta có H = 20 ⇒ x + xy − y = 20 ⇒ x ⇒ ( )( y +1 ( ) ( y +1 − ) y + = 19 ) x − =19 =19.1 =1.19 =( −1) ( −19 ) =( −19 ) ( −1)  y + = y = TH1:  ⇒ 19  x = 400  x − =  y + = 19  y = 324 TH2:  ⇒ x =  x − =  y + =−1 TH3:  ⇒ loại  x − =−19  y + =−19 TH4:  ⇒ loại  x − =−1 Vậy với x 4,= y 324 H = 20 = x 400; = y hoặc= Câu 3: y x z x y z xy yz xz + + =1 ⇒ + + + + + =1 a b c a b c ab bc ac Từ ⇒ Mà ayz + bxz + cxy x y z + + + = a b c abc (1) ayz + bxz + cxy a b c + + =⇒ = 0 x y z xyz ⇒ ayz + bxz + cxy = Từ (1) (2) suy (2) x y z + + = a b c x y z Do M = + + + 2019 = + 2019 = 2020 a b c Đk: x ≥ x ≤ −8 x + 16 x= − x ( x + 8) ⇔ x + x= − x ( x + 8) Đặt t = (1) x ( x + 8) ( t ≥ ) ⇒ t = x + 8x t = −1 (1) ⇔ t − = 2t ⇔ t − 2t − = ⇔  t = Ta thấy t = −1 không thỏa mãn đk Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 138 Website:tailieumontoan.com b Theo gt: MB BM BN MN      MC BC BA AC AP AP     AC PC QM MN   QC PC  QM  MC Mà BM = c) MC QB ⇒ MB =QB ⇒ = QC c)( điểm) Kẻ đường thẳng vng góc với MN AC H K Ta có S MNP = S ANMP ⇒ S ANMP lớn S ANMP lớn Ta có S ANMP = MN HK S ABC = ⇒ BK AC S AMNP MN HK MN HK = = S ABC BK AC AC BK Đặt BM = x, MC = y MN x HK y = = ; AC x + y BK x + y ⇒ S AMNP xy xy = ≤ = S ABC ( x + y) xy S ABC ≤ S ABC ⇒ S AMNP ≤ ⇒ S MNP ⇒ S NMP lớn S ABC x = y hay M trung điểm BC Bài 5: Vai trò a,b,c nhau, giả sử a ≥ b ≥ c Ta có 3a ≥ a + b + c = ⇒ a ≥ Do ≥ a ≥ ⇒ (a − 1)(a − 2) ≤ ⇔ a − 3a + ≤ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 139 Website:tailieumontoan.com M = a + b3 + c ≤ a + b3 + c3 + 3b c + 3bc = a + (b + c)3 = a + (3 − a )3 = 9a − 27 a + 27 = 9(a − 3a + 2) + ≤ Vậy giá trị lớn M (a,b,c)= (2;1;0) hốn vị vịng chúng ĐỀ SỐ 28 CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH NĂM HỌC 2019-2020  x −9 x+2 x   1  Bài (4,0 điểm)Cho biểu thức A = − +   :  với x > 0; x ≠ x x x x x x + − + − + −      125 125 Tính giá trị biểu thức x=  3 + + + 3− 9+  27 27      Bài (4,0 điểm) a) Giải phương trình x + 10 x + x − x =6 x + b) Tìm nghiệm nguyên phương trình x + y= xy − Bài (4,0 điểm) a) Cho x, y > Tìm GTNN P = x − xy + y xy ( x + y ) b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà khơng có số ngun tố nào? Bài (6,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB, dây CD Gọi H K hình chiếu A, B CD a) Khi OAC tam giác đều, giải tam giác ABC b) Chứng minh HC = KD c) Chứng minh S AHKB = S ABC + S ABD Bài (2,0 điểm) Viết 150 số tự nhiên 1, 2, 3,…, 150 lên bảng Mỗi lần ta xóa hai số thay tổng hiệu chúng Sau số lần bảng cịn lại số Hỏi có số 100 khơng? Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 140 Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (4,0 điểm) Ta có:  x −9 x+2 x   1  A= − +   :  x −1   x + x − x + x −   x +1  x +3 x −3 x x +2   x   : = −  x −1 x +3 x −1 x +   x −1 x +1    ( ( )( )(  ) ( )  ) ( )( ) ( )( )   ( x − 1)( x + 1) −3 ( x − 1)( x + 1) x +1 == −  x −3 x =  −  x − 1  x −1 x x −1 x x Có:  125 125  125 125 x  ⇔ 3+ 9+ x=  3 + + + 3− 9+ + 3− 9+ =  27 27  27 27   x3 ⇔ =6 − x ⇔ x + 80x − 384 =0 ⇔ ( x − ) ( x + 4x + 96 ) =0 64 x = x − = 4(tm) ⇔ ⇔ ⇔x= 0 (vn) ( x + ) + 92 =  x + 4x + 96 = +1 Thay x = ( tmđk) vào A, ta được: A = − = − 4 Bài a) ĐK: ≤ x ≤ a = Đặt:  b = 5x + 10x ≥ 4x − 4x ≥ ⇒ 4a + 5b = 60x Khi Phương trình trở thành: 20a + 10b = 4a + 5b + 30 ⇔ ( 4a − 20a + 25 ) + ( 5b − 10b + ) =  a = ⇔ ( 2a − ) + ( b − 1) =0 ⇔  b = 2  a = Với  , ta có: b = 5 = 2  1 =  5x + 10x 4x − 4x  25  5x + 10x =  x + 2x + =4 ⇒ ⇔ 4x − 4x = ( 2x − 1)2 =    x +1 (do ≤ x ≤ 1) =   ( x + 1) =  ⇔ ⇔ x =(tm) 4⇔ 2x − =0 x =  Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 141 Website:tailieumontoan.com Vậy nghiệm phương trình x = b) Ta có: x + y = xy − ⇔ 3x + y = 9xy + 27 ⇔ y (1 − 3x ) − (1 − 3x ) = 26 ⇔ (1 − 3x )( y − 1) = 26 +) TH 1:  ∉ 3 y − =  y= ( loại ) ⇔  26 1 − 3x = 1 − 3x = 26 +) TH 2: y − 26= = y ⇔ ( tm )  − 3x = 1= x +) TH 3: 3 y − =−1  y =0 ⇔ ( tm )  −26 1 − 3x = x = +) TH 4: 3 y − =−26 3 y − =−26  ( loại ) ⇔  −1 1 − 3x =  x= ∉  +) TH 5: 3y −1 = = y ⇔ ( tm )  13  x = −4 1 − 3x = +) TH 6: 13 3 y − = 13  3 y − = ( loại ) ⇔  x = − ∉  1 − 3x =  +) TH 7: 3 y − =−13  y =−4 ⇔ ( tm )  −2 1 − 3x = x = +) TH 8:  3 y − =−2  y =− ∉  ( loại ) ⇔  −13  1 − 3x = −13 1 − 3x = Vậy ( x; y ) ∈ {( 0;9 ) ; ( 9;0 ) ; ( −4;1) ; (1; −4 )} Bài (4,0 điểm) a) Cho x, y > Tìm GTNN P = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 x − xy + y xy ( x + y ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 142 Website:tailieumontoan.com b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà khơng có số ngun tố nào? Giải a) Ta có: x − xy + y = P = xy ( x + y ) ( x + y) − 3xy x + y xy = − xy ( x + y ) xy x + y Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương x, y, ta được: x + y ≥ xy ⇒ xy ≤ P≥ x+ y Dấu " = " xảy x = y Khi đó: x+ y − ≥ − = Dấu " = " xảy x = y 2 x+ y xy xy Vậy giá trị nhỏ P x = y b) Xét số tự nhiên A = 2.3.4.5 2019.2020 Khi đó: A chia hết cho số: 2; 3; 4; 5; …; 2019; 2020 Xét dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp: A + 2; A + 3; A + 4; A + 5; ; A + 2019; A + 2020 Do A nên A + 2 mà A + > ⇒ A + hợp số Tương tự: Do A nên A + 3 mà A + > ⇒ A + hợp số Do A nên A + 4 mà A + > ⇒ A + hợp số … Do A 2019 nên A + 2019 2019 mà A + 2019 > 2019 ⇒ A + 2019 hợp số Do A 2020 nên A + 2020 2020 mà A + 2020 > 2020 ⇒ A + 2020 hợp số Vậy dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp: A + 2; A + 3; A + 4; A + 5; ; A + 2019; A + 2020 , khơng có số ngun tố Bài D E K I F C H A N M O P a) Khi ∆AOC AC= OA= OC= R= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 B AB ⇒ BC= AB − AC 2= R − R 2= R TÀI LIỆU TOÁN HỌC 143 Website:tailieumontoan.com ⇒ sin B = AC R  = 600  = 300 ⇒ C = = ⇒B AB R b) Kẻ OI ⊥ CD ⇒ I trung điểm CD OI / / AH / / BK Lại có O trung điểm AB ⇒ I trung điểm HK ⇒ IH = IK ; CI = ID ⇒ CH = DK c) Kẻ EF qua I song song với AB( E ∈ AH , F ∈ BK ) ⇒ ∆EHI = ∆FKI (ch − gn) ⇒ S AHKB = S AEFB = IM AB Lại có: S ACB + S= ADB ) AB.IM AB.(CN + DP = ⇒ S AHKB =S ACB + S ADB Bài 5: Gọi tổng 150 số ban đầu S = + + + + 150 = (1 + 150).150 = 11325 = S1 + a + b Giả sử xóa hai số a, b thay a + b a − b ta có tổng là: S1 + a + b S1 + a − b Ta có: ( S1 + a + b) + ( S + a + b) = S + 2a + 2b ( S1 + a + b) + ( S + a − b) = S + 2a chẵn nên tổng lúc đầu tổng lúc sau tính chẵn lẻ mà tổng ban đầu số lẻ nên tổng lúc sau 100 ĐỀ SỐ 29 CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG HUYỆN MỸ ĐỨC - NĂM 2019-2020  x+2  x −1 x Bài I (5,0 điểm) Cho biểu thức P = với x ≥ 0; x ≠ + +  : 1 x x x x x − + − +   a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P = c) So sánh 2P P Bài II (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x + 20 x + 25 + x + x + = 2) Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: ( x − 2019 ) =y − y + 11 y − y Bài III (4,0 điểm) 1) Cho số x, y, z thỏa mãn Tính giá trị biểu thức: A = x y z + + = với x ≠ y; y ≠ z; z ≠ x y−z z−x x− y x ( y − z) + y ( z − x) + z ( x − y) 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 144 Website:tailieumontoan.com Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 y2 z2 + + x + y + 3z y + z + 3x z + x + y Bài IV (6,0 điểm) Cho ∆ABC có ba góc nhọn,  A = 60o Các đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi K trung điểm AH AE AB = EF = BC AF AC  = 120o tính AH , biết BC = 12 cm b) Chứng minh: EKF a) Chứng minh: HD HE HF + + = AD BE CF c) Chứng minh: AB + AC + BC d) Chứng minh: AD.DH + BE.EH + CF FH ≤ Bài V (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương ( x; y; z ) thỏa mãn x + y 2019 số hữu tỉ, đồng y + z 2019 thời x + y + z số nguyên tố HƯỚNG DẪN GIẢI  x+2  x −1 x Bài I (5,0 điểm) Cho biểu thức P = + +  : với x ≥ 0; x ≠  x x −1 x + x +1 1− x  a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P = c) So sánh 2P P HD:   x+2  x −1  x P = + + = : 1 x x x x x − + + −     = x + + x ( x − 1) − ( x + x + 1) ( )( ) x −1 x + x +1 x − x +1 = ( = x + x +1 )( ) x −1 x + x +1 :   x + − x x x −  + + x −1  x+2 ( ) x −1 2 x −1 b) Với x ≥ 0, x ≠ Ta có: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 145 P= Website:tailieumontoan.com 2 ⇔ = ⇔ x + x +1= 7 x + x +1 ⇔ x + x − = ⇔ ( x − 2)( x + 3) = Vì x + > nên Vậy P = c) Vì x −2= 0⇔x= (t/m) x = x ≥ ⇒ x + x +1≥1 ≤2 x + x +1 ⇔0< P≤2 ⇔0< ⇔ P ( P − 2) ≤ ⇔ P2 − 2P ≤ ⇔ P2 ≤ 2P Dấu “=” xảy P = ⇔x=0 Vậy P2 ≤ 2P Bài II (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x + 20 x + 25 + x + x + = ⇔ 2x + + x + = (*) 2) Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: ( x − 2019 ) =y − y + 11y − y ( x − 2019 ) =y − y + y + y − y 2 ( x − 2019= ) y ( y − 3) − y ( y − 3) + − 2 ( x − 2019 )=  y ( y − 3) − 1 − −1 ( x − 2019 ) −  y ( y − 3) − 1 = −1 (Voi y ( y − 3) = a) ( x − 2019 − a + 1)( x − 2019 + a − 1) = 2   x − 2019 − a + =−1   x = 2019    x − 2019 + a − = a = −2 ⇒ ⇒   x − 2019 − a + =   x = 2019     x − 2019 + a − =−1  a = ⇒ ( x; y ) = {( 2019;0 ) , ( 2019;1) , ( 2019; ) , ( 2019;3)} Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 146 Website:tailieumontoan.com Bài III (4,0 điểm) 1) Cho số x, y, z thỏa mãn x y z + + = với x ≠ y; y ≠ z; z ≠ x y−z z−x x− y Tính giá trị biểu thức: A = x ( y − z) y + ( z − x) + z ( x − y) 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 y2 z2 + + x + y + 3z y + z + 3x z + x + y a b2 c2 ( a + b + c ) (*) + + ≥ x y z x+ y+z Áp dụng bất đẳng thức ( x + y + z) = x2 y2 z2 + + ≥ Ta có: A = x + y + 3z y + z + 3x z + x + y ( x + y + z ) Bài V (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn x + y 2019 số hữu tỉ y + z 2019 x + y + z số nguyên tố HD: Ta có: x + y 2019 m = ∈ Q (m, n ∈ Z , n ≠ 0) ⇒ nx + ny 2019 = my + mz 2019 y + z 2019 n ⇒ nx = − my 2019 ( mz − ny ) Vì x, y, z, m, n số nguyên nên nx − my ∈ Z mz − ny ∈ Z Khi đó: nx − my = mz − ny = Suy ra: m y x = = ⇒ y =xz n z y Theo đề x + y + z số nguyên tố hay x + y + z − y = x + xz + z − y = ( x + z ) − y = ( x − y + z )( x + y + z ) số nguyên tố Khi đó: x − y + z = hay x + z =1 + y Suy ra: (x + z) =(1 + y ) ⇔ x + z + y = y + y + ⇔ ( y − 1) + x + z − = Vì x, y, z số nguyên dương nên x= y= z= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 147 Website:tailieumontoan.com ĐỀ SỐ 30 CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG HUYỆN THẠCH HÀ - NĂM 2019-2020 Bài a) Tính giá trị biểu thức T= = b) Chứng minh rằng: A − − 29 − 12 5+2+ 5−2 = +1 c) Tính giá trị biểu thức N =x 5+2+ = Với x 5−2 +1 d) Cho x = 2019 + x 2020 − x 2021 − 3+ 2 −1 +1 y = Tính 2 M= x5 + y e) Cho M = (a2 + 2bc – 1)(b2 + 2ac – 1)(1 – c2 – 2ab) Trong a, b, c số hữu tỉ thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: M số hữu tỉ Bài a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xyz = 2(x+ y + z) x) x +ax + bx + c chia cho b) Tìm số a, b, c cho đa thức f (= x + 2; x + 1; x – dư x x x x y 11879 c) Tìm số tự nhiên x, y biết: (2 + 1)(2 + 2)(2 + 3)(2 + 4) − = Bài Giải phương trình sau: x2 = 16 a) x + ( x − 3) 2 b) x( x − 1) + x( x − 5) = x2 Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Tính AH, BH biết BC = 50 cm AB = AC b) Gọi D E hình chiếu H AB AC Chứng minh rằng: AH3 = BC.BD.CE c) Giả sử BC = 2a độ dài cố định Tính giá trị nhỏ của: BD2 + CE2 Bài Cho ≤ a, b, c ≤ Tìm giá trị lớn của: = P a + b 2019 + c 2020 − ab − bc − ac Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 148 Website:tailieumontoan.com SƠ LƯỢC GIẢI Đề thi chọn HSG huyện năm học 2019 – 2020 Mơn: Tốn Bài Nội dung T= = 1a 1b 1c − − (2 − 3) = = − ( − 1) = − ( − 1) =1 A= − − (2 − 3) − − 29 − 12 = 5+2+ 5−2 +1 x =2 − ( + 1) = − 6−2 ⇒ A2 = 5+2 =2 ⇒ A= +1 (đpcm) - ( + 1) = -1 với x = -1 ta có N = -1 + + = Ta có: xy = 1d x + y = x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = ( )2 – =3–1=2 x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = ( )3 – 3 3= 2 x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 1e 3 11 - = 4 M = (a2 + bc – ac - ab)(b2 + ac – ab - bc)(ac + bc – c2 – ab) = (a – b)(a – c)(b – a)(b – c)(c – a)(b – c) = (a – b)2(a – c)2(b – c)2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 149 Website:tailieumontoan.com ⇒ M =(a − b)(a − c)(b − c) a, b, c số hữu tỉ nên 2a M số hữu tỉ Vì x, y, z số ngun dương vai trị nên khơng tính tổng quát giả sử : ≤ x ≤ y ≤ z ta có xyz = 2(x + y + z) ≤ 6z ⇒ xy ≤ ⇒ x = x = Xét x = cho y = 1, 2, 3, 4, 5, ta (x, y, z) = (1; 3; 8), (1; 4; 5) Xét x = cho y = 2, ta (x, y, z) = (2; 2; 4) (x, y, z) = (1; 3; 8), (1; 4; 5), (2; 2; 4) hoán vị 2b Từ gt ta có f(x) - ln chia hết cho x + 2; x + 1; x – => f(x) = (x + 2)(x + 1)(x – 1) + Với x = -2, ta có: -8 + 4a – 2b + c = ⇒ 4a – 2b +c = 16 (1) Với x = -1, ta có: -1 + a – b + c = ⇒ a – b +c = (2) Với x = 1, ta có: + a + b + c = ⇒ a + b + c = (3) từ (1), (2) (3) ta có b = - ⇒ a = ; b = 2c x (2 x + 1)(2 x + 2)(2 x + 3)(2 x + 4) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho mà 2x không chia hết (2 x + 1)(2 x + 2)(2 x + 3)(2 x + 4) chia hết cho mà 11879 không chia hết y = x x x x ⇒ (2 + 1)(2 + 2)(2 + 3)(2 + 4) = 11880 = 9.10.11.12 ⇒ x = x = y = 3a ĐK: x ≠ (*) 9x2 = 16 Ta có: x + ( x − 3) 2  x2  6x2 2.x.3 x 9x2 2.x.3 x − +9 = 25 x + + − = 16 ⇔ ⇔  x − x − x − ( x − 3) x −   Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 150 Website:tailieumontoan.com  x2  x2 x2 − 3 = 25 ⇔ −3 = − =−5 ⇔ x −3 x −3  x −3  x2 −3 = ⇔ (x – 4)2 + = (VN) +) x −3 x2 − =−5 ⇔ (x + 1)2 = ⇔ x + = ± +) x −3 ⇔ x = ± -1 (t/m ĐK(*)) Vậy pt có nghiệm: x = ± - 3b ĐK: x ≥ x ≤ (*) x2 Nếu x ≥ pt: x( x − 1) + x( x − 5) = x − + x − =2 x ⇔ ( x − 5)( x − 1) = x + ĐK: x ≥ −3 (**) ⇔ ⇔ -12x = ⇔ x = −1 ( loại ) Nếu x = thỏa mãn pt Nếu x < pt: x( x − 1) + x( x − 5) = x2 ⇔ − x + − x = − x ⇔ (5 − x)(1 − x) =− x − ĐK: x ≤ −3 ⇔ -12x = ⇔ x = −1 (loại) Vậy pt có nghiệm x = 4a A E D B H AB AB = ⇒ = AC C AC = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 k ⇒ AB = 3k, AC = 4k TÀI LIỆU TOÁN HỌC 151 Website:tailieumontoan.com ⇒ (3k)2 + (4k)2 = 502 ⇒ k2 = 100 ⇒ k = 10 ⇒ AB = 30 cm, AC = 40 cm Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có AB.AC = AH.BC ⇒ 30.40 = AH.50 ⇒ AH = 24cm AB2 = BH.BC ⇒ 302 = BH 50 ⇒ BH = 18 cm 4b Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có AH2 = BH.CH ⇒ AH4 = BH2.CH2 = BD.AB.CE.AC=(BD.CE)(AB.AC) = (BD.CE).(AH.BC) ⇒ AH3 = BC.BD.CE 4c Áp dụng định lí Pytago ta có: BD2 + CE2 = BH2 – HD2 + HC2 – HE2 = BH2 + HC2 – ( HD2 +HE2 ) = (AB2 – AH2 )+ (AC2 – AH2 ) – AH2 = (AB2 + AC2 ) – 3AH2 = BC2 – 3AH2 = 4a2 – 3AH2 Gọi O trung điểm BC ta có AH ≤ AO = a nên BD2 + CE2 ≥ 4a2 – 3a2 = a2 Dấu = xẩy H trùng O ⇔ ∆ ABC vuông cân A Vậy GTNN BD2 + CE2 a2 ∆ ABC vuông cân A ≤ a, b, c ≤ nên b 2019 ≤ b, c2020 ≤ c , (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 0, abc ≥0 ⇒ a + b 2019 + c 2020 − ab − bc − ac ≤ a + b + c − ab − bc − ac – abc – a – b – c + ab + ac + bc ≥ ⇒ a + b + c – ab – ac – bc ≤ – abc ≤ = P a + b 2019 + c 2020 − ab − bc − ac ≤ Dấu xẩy Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 152 Website:tailieumontoan.com abc =  2019 =b b  2020 chẳng hạn a = 1, b = c = =c c (1 − a)(1 − b)(1 − c) =  0 ≤ a, b, c ≤ Vậy GTLN P chẳng hạn a = 1; b = c = Chú ý: HS giải cách khác đúng, hợp lí chấm điểm tối đa./ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ... Câu 4:  20 19  20 19 Tính giá trị biểu thức: M =+ 20 192 +   +  2020  2020 Hướng dẫn Ta có: 2020= ( 20 19 + 1)= 20 192 + 2.20 19. 1 + ⇒ + 20 19 = 20202 − 2.20 19 20 192 20 19  20 19  20 19 + = − +... Câu 1: Ta có: ( 20 192 0 19 + 1) + ( 202 12020= − 1) 20 192 0 19 + 202 12020 Mà 20 192 0 19= +1 ( 20 19 + 1) ( 20 192 018 − 20 192 017 + 20 192 016 −  − 1) (1) 202 12020 = −1 ( 2021 − 1) ( 202120 19 + 20212018 +... + 20 192 +  2020 2.20 19  20202 2020  2020  2020 20 19 20 19 20 19  20 19  = 2020 − + = 2020 =  2020 −  + 2020 2020 2020  2020  Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = x + y + xy − x + y + 2020