Tuyển tập các chủ đề trong các đề thi học sinh giỏi toán THPT năm 2019

Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] TUYỂN TẬP CÁC CHỦ ĐỀ TRONG CÁC ĐỀ HSG NĂM 2017-2018- 2019 • Mã id câu hỏi dùng để truy cập lời giải • Ví dụ trang web http://vungocthanh1984.blogspot.com/ • Gõ từ khóa : [id50] tìm lời giải câu hỏi gắn mã [id50] Mục lục Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ đề đề đề đề đề đề đề đề đề đề đề đề đề đề đề đề đề đề Phương trình Hệ Phương trình Bất phương trình Bất đẳng thức Hình học phẳng Tọa độ mặt phẳng Lượng giác Bài toán đếm Nhị thức Niuton 10 Xác suất 11 Dãy số- giới hạn-hàm số liên tục 12 Khảo sát hàm số toán liên quan 13 Mũ- logarit toán liên quan 14 Nguyên hàm-tích phân 15 Số phức 16 Hình học khơng gian túy 17 Tọa độ không gian 18 Số học n u v / / : p t ht m o c pot s g o l b h19 n a h t goc 13 26 31 53 66 74 90 94 101 108 126 149 154 161 183 217 220 Ngày 4/2/2020 Vàng Pheo Phong Thổ Lai Châu Vũ Ngọc Thành 0367884554 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Chủ đề Phương trình Câu [id2044](HSG10 THPT THuận Thành 2018-2019) Giải phương trình: √ (x2 − x − 2) x − = Câu [id2045](HSG10 YÊN PHONG năm 2018-2019) Giải phương trình: √ √ 3x + − − 2x − x3 + 3x2 + 10x − 26 = Câu [id2046](HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Phương trình √ x3 + = 2x − có ba nghiệm phân biệt Tính tổng nghiệm A B C D −1 + √ Câu [id2047](HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Giải phương trình √ √ log3 x2 − x + + log (1 − 2x) + 2x = − x2 − x + m o c pot s g o l btrình sau với m tham số thực Câu [id2048](HSG12Hà Nam 2018-2019) Cho phương h n √ x − 2x log (x − 2x + 2011) − t c x − 2x log x − 2x +o2011 +1=m g n u v / / : Tìm tất t giá trị m cho phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn p t h ≤ |x − 1| ≤ 2 2019 2 2019 Câu [id2049](HSG12 Hà Nam2018-2019) Giải hệ phương trình sau tập số thực:  √ x+y  = x2 + + x y2 + + y (1)  2019 √ 18y2   25x2 + 9x 9x2 − = + y2 + (2) Câu [id2050](HSG12Bắc Ninh 2018 – 2019)Cho hàm số f0 (x) , f1 (x) , f2 (x) , thỏa mãn: f0 (x) = ln x + |ln x − 2019| − |ln x + 2019| , fn+1 (x) = |fn (x)| − 1, ∀n ∈ N Số nghiệm phương trình A 6063 B 6059 C 6057 D 6058 Câu [id2051](HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Có giá trị nguyên tham số m ∈ (−8 ; +∞) để phương trình sau có nhiều hai nghiệm phân biệt? x2 + x (x − 1) 2x+m + m = 2x2 − x + m 2x−x A B C D Câu [id2052](HSG12 Đồng Nai 2018-2019) Giải phương trình 8.25x −8.10x −15.22x+1 = Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 10 [id2053](HSG12 Hưng Yên 2018-2019) Giải phương trình √ sin2 x + 5cos 2x = |x − 1| + |x + 5| Câu 11 [id2054](HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Tổng tất giá trị tham số m để phương trình 3x −2x+1−2|x−m| = logx2 −2x+3 (2 |x − m| + 2) có ba nghiệm phân biệt: A B C D Câu 12 [id2055](HSG10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Giải phương trình √ 2x2 + 2x − + x2 + x + = Câu 13 [id2056](HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Cho phương trình √ 251+ 1−x2 √ − (m + 2) 51+ 1−x2 + 2m + = m o c pot , với m tham số Giá trị nguyên dương lớn tham số m để phương trình có nghiệm A B 26 C 25 D s g o l b h19 Câu 14 [id2057](HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 8x + 3x.4x + 3x2 + 2x = m3 − x3 + (m − 1) x n a h t goc có nghiệm phân biệt thuộc (0; 10)? A 101 B 100 C 102 D 103 n uTân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Tìm m để phương trình Câu 15 [id2058](HSG12 v / / : p t t − (m + 1) + 3m − = h x x có hai nghiệm trái dấu 8 C < m < 3 Câu 16 [id2059](HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Giải phương trình A −1 < m < B m < D m < 4x+1 + 41−x = 2x+2 − 22−x + Câu 17 [id2060](HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho phương trình −x 9−|x−m| log √ x − 2x + + +2x log (2 |x − m| + 2) = Có giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm? A B C D Câu 18 [id2061](HSG11 tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải phương trình: √ √ √ x + − x = x − + −x2 + 8x − + Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 19 [id2062](HSG12 Đồng Nai 2018-2019) Chứng minh phương trình −x = có nghiệm thực phân biệt x1 , x2 , x3 Tính giá trị biểu thức T = x31 + x21 + x32 + x22 + √ x2 − 6x + x33 + x23 + Câu 20 [id2063](HSG10 Nam Tiền Hải Thái Bình 2018-2019) √ Tính tổng nghiệm phương trình: 3x2 + 15x + x2 + 5x + = √ √ √ Giải phương trình x + − x + x2 + x2 + 4x + = 2x Câu 21 [id2064](HSG10 THuận Thành 2018-2019) Cho x1 x2 hai nghiệm phương trình x2 − 3x + a = ; x3 x4 hai nghiệm phương trình x2 − 12x + b = Biết x2 x3 x4 = = Tìm a b x1 x2 x3 Câu 22 [id2065](HSG11 Thị Xã Quảng Trị năm 2018-2019) Cho x1 x2 hai nghiệm phương trình: x2 − 3x + a = , x3 x4 hai nghiệm phương trình: x2 − 12x + b = Biết x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm a, b Câu 23 [id2066](HSG10 YÊN PHONG năm 2018-2019) Giải phương trình √ x2 − 3x − + = 2x m o c pot s g o l Câu 24 [id2067](HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) b Giải phương trình h n1) = x − 3x + (x − 2) + (x − a h t c o g n u v / Câu 25 [id2068](HSG12 / tỉnh GIA LAI 2018-2019) : p √ t t Giải h phương trình tập hợp số thực: x − 6x + 6x + 9x = x − 3x 3 2 Giải phương trình tập hợp số thực: 7x − 6log7 (6x + 1) − = Câu 26 [id2069](HSG12 Quảng Bình 2018-2019) Giải phương trình sau tập số thực R : √ √ x3 − 7x2 + 9x + 12 = (x − 3) x − + x − x−3−1 Câu 27 [id2070](HSG12 Thái Nguyên năm 2018-2019) Giải phương trình √ √ x3 − 7x2 + 9x + 12 = (x − 3) x − + x − x−3−1 Câu 28 [id2071](HSG10 HÀ NAM 2018-2019)Giải phương trình √ (x + 1) 6x2 − 6x + 25 = 23x − 13 Câu 29 [id2072](HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Chứng minh phương trình 4x5 + 2018x + 2019 = có nghiệm thực Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 30 [id2073](HSG12 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Giải phương trình √ 1−x+ √ 1+x=2− x2 Câu 31 [id2074](HSG12 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019) Giải phương trình √ √ 2x + + (x + 1) x2 + + (x + 2) x2 + 2x + = (x ∈ R) Câu 32 [id2075](HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội2018-2019)Giải phương trình √ 4x2 + 12x x + = 27 (x + 1) Câu 33 [id2076](HSG10 YÊN PHONG năm 2018-2019) Giải phương trình √ √ √ 3x + + 4x − = 5x + m o c pot Câu 34 [id2077](HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Cho hàm số y = f(x) liên tục [0; 1] Chứng minh phương trình s g o l b h19 f (x) + [f (1) − f (0)] x = f (1) có nghiệm thuộc [0; 1] n a h t goc Câu 35 [id2078](HSG10 Cụm Hà Đơng Hà Đức Hà Nội năm 2018-2019) Tìm m để phương trình mx2 − (m − 2) x + 2m − = n u v / / : p t ( m tham htsố) có hai nghiệm x , x Câu 36 [id2079](HSG11 Thị Xã Quảng Trị năm 2018-2019)Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: √ √ √ √ √ + x2 − − x2 + = − x4 + + x2 − − x2 m thỏa mãn: |x1 − x2 | = Câu 37 [id2080](HSG10 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Cho phương trình x2 + ax + + a x2 + ax + + = 0, với a tham số Biết phương trình có nghiệm thực Chứng minh a > Câu 38 [id2081](HSG11 Bắc Ninh 2018-2019) Cho tam thức f (x) = x2 + bx + c Chứng minh phương trình f (x) = x có hai nghiệm phân biệt b2 − 2b − > 4c phương trình f [f (x)] = x có bốn nghiệm phân biệt Câu 39 [id2082](HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Cho phương trình (m + 2) x (x2 + 1) − x2 + (m − 6) x − = (1) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm thực Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 40 [id2083](HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Cho đa thức f (x) = x4 + ax3 + bx2 + ax + có nghiệm thực Chứng minh a2 + b2 − 4b + > Câu 41 [id2084](HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Tất giá trị tham số m π π để phương trình tan4 x − = m có nghiệm phân biệt thuộc − ; cos x 2 A m = B < m < C ≤ m ≤ D m = Câu 42 [id2085](HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Cho phương trình √ √ √ x2 − x + − x2 + + m x2 + x + = x4 + x2 + + m Biết tập hợp tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm (−a ; b) Tính P = b+a 13 13 13 26 B C D A − Câu 43 [id2086](HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Với giá trị m phương trình (m − 5) x2 + (m − 1) x + m = có nghiệm x1 , x2 thỏa x1 < < x2 ? 8 C ≤ m ≤ D < m < A m ≥ B m < 3 Câu 44 [id2087](HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x4 − 2mx2 + (2m − 1) = m o c pot có nghiệm thực phân biệt là: A (1; +∞) B s g o l b h19 n a h t goc ; +∞ \ {1} C ; +∞ n uKim Liên 2018-2019) Cho phương trình v / Câu 45 [id2088](HSG10 / : √ √ p t √ t h x + + − x = 18 + 3x − x + m, (1), D R (với m tham số) Giải phương trình (1) m = Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Câu 46 [id2089] Câu 47 [id2090](HSG10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho hai phương trình: x2 − 2x − a2 + = (1) x2 − (a + 1) x + a (a − 1) = (2) Tìm a để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình (1) x3 ; x4 hai nghiệm phương trình (2) với x3 < x4 Tìm tất giá trị a để x1 ; x2 ∈ (x3 ; x4 ) Câu 48 [id2091](HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Giải biện luận phương trình sau theo tham số m : √ x + mx − m2 + √ √ x − mx − m2 ≤ m với m > Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 49 [id2092](HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI 2018-2019) Tìm tất giá trị tham số m (m ∈ R) để phương trình: x4 − (3m + 1) x2 + 6m − = có bốn nghiệm phân biệt lớn −4 Câu 50 [id2093](HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số): x2 − (m − 1) x − m3 + (m + 1)2 = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: P = x31 + x32 + x1 x2 (3x1 + 3x2 + 8) Câu 51 [id2094](HSG11 Phú Yên 2018-2019) Cho bốn số thực p, q, m, n thỏa mãn hệ thức (q − n)2 + (p − m) (pn − qm) < 0(1) Chứng minh phương trình x2 + px + q = (2) x2 + mx + n = (3) có nghiệm phân biệt nghiệm chúng nằm xen kẽ biểu diễn trục số Câu 52 [id2095](HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh 2019) Cho hàm số đa thức bậc ba y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Với m tham số thực thuộc đoạn [0; 2] , phương trình f x3 − 2x2 + 2019x = m2 − 2m + có nghiệm thực phân biệt? A B C D m o c pot s g o l b2018-2019) Cho phương trình Câu 53 [id2096](HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội h nx + 2m + = x − (m + 2) a h t oc ( m tham số) Tìm tất gián trịg tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x , x , x , x u thỏa mãn x + x + x + xv = 52 / / : phương trình p t Câu 54 [id2097]Giải t h √ √ 4 4 4 3x − − x+2=x−3 Câu 55 [id2098](HSG cấp Hà Tĩnh 2012-2013) Giải phương trình sau: √ √ x − + x + + x2 − 3x − = Câu 56 [id2099](HSG Lớp 10 – SGD Hà Tĩnh - 2016 - 2017) Giải phương trình √ √ 6x − x + − − 2x = √ 9x2 + Câu 57 [id2100](HSG CẤP - THANH HĨA- 2017-2018) Giải bất phương trình √ √ 4x2 + 5x + + x2 + x + ≥ x + (1) Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 58 [id2101](HSG Khối 10 - Hải Dương - 2017 – 2018) Giải phương trình √ √ √ x + − x + x2 + x2 + 4x + = 2x Câu 59 [id2102]Giải phương trình √ √ √ ( x + − x + 1)(x2 + x2 + 4x + 3) = 2x Câu 60 [id2103](HSG cấp trường lớp 11 – THPT Trần Phú – Thanh Hóa – 2012 - 2013) Giải phương trình sau: √ x2 + x + 2013 = 2013 √ Câu 61 [id2104]Giải phương trình: x2 + = x3 + √ Câu 62 [id2105]Giải phường trình 2x2 − 5x − + (x − 1) x + = Câu 63 [id2106](HSG10 OLYMPIC THÁNG ĐỒNG NAI 2017-2018) Giải phương trình √ x + = x3 + m o c t o Câu 64 [id2107](HSG10 QUẢNG NAM 2016-2017) Giải phương trình p s g √ o l b 2x − 5x − + (x − 1) x + 1.= h n a Lăk – Olympic 10 – 2018) Giải phương trình: h t Câu 65 [id2108](THPT Nguyễn Du – Đăk c o g n u 4x − x + − x = v / / : p t t h 3 Câu 66 [id2109](HSG cấp trường Yên Định 2017-2018) Giải phương trình: √ 5 x + √ = 2x + + 2x x Câu 67 [id2110](HSG trường THPT Nga Sơn-Thanh Hóa 2017-2018) Giải phương trình : √ x 8x2 − 36x + 53 = 25 + 3x − Câu 68 [id2111](HSG 11 – HÀ NAM 2016-2017) Giải phương trình sau tập số thực: √ 8x3 − 4x − = 6x + Câu 69 [id2112](HSG11-NGHỆ AN- 2015-2016) Giải phương trình √ x3 + 5x2 − = 5x2 − Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] √ Câu 70 [id2113](HSG cấp Hà Nam) Giải phương trình + x3 = x +2 √ + x3 Câu 71 [id2114](HSG 11 – HÀ NAM 2009-2010) Giải phương trình = x +2 Câu 72 [id2115](HSG10 THPT-PĐP 2017-2018) Giải phương trình 3x2 13 + = − 4x + 3x + 2x + x Câu 73 [id2116]Tìm tất nghiệm thuộc [0; 1] phương trình 8x(2x2 − 1)(8x4 − 8x2 + 1) = (1) Câu 74 [id2117]Trên đoạn [0; 1] , phương trình 8x(1 − 2x2 )(8x4 − 8x2 + 1) = có nghiệm? √ √ Câu 75 [id2118]Giải phương trình 3 2x − − − x + = Câu 76 [id2119](HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Giải hệ phương trình √ − x = 2y+2 √ + x + xy + y2 = m o c pot s g o l b Chứng minh phương trình Câu 77 [id2120](HSG cấp trường Cao Bá Quát 2009-2010) √ nh √ √ − xt +ha − 2x + − 3x = c o g n có nghiệm u v / / : Câu 78 [id2121]HSG 2016-2017) Giải phương trình http √LỚP 12 - √SỞ BẮC GIANG√ √ x+3+ x+2= 2x2 + 4x + + 2x2 + 4x + , (x ∈ R) Câu 79 [id2122](HSG10OLYMPIC THÁNG ĐỒNG NAI 2017-2018) Ở công ty có 10 xe đưa rước nhân viên xuất phát từ bến để đến công ty Mỗi tài xế có hai lựa chọn : Đi quốc lộ khơng ngại kẹt xe phải vòng, thời gian tốn 40 phút Đi nội thành, đường ngắn 15 phút xe chạy, đường nhỏ nên có thêm xe chạy ( xét xe công ty này) thời gian di chuyển xe tăng phút, thế, thời gian tăng tỉ lệ thuận với số xe tăng thêm Hỏi tài xế phải thảo luận chọn xe nội thành để tổng thời gian xe di chuyển ? Câu 80 [id2123](HSG10 ĐỒNG NAI 2013-2014) Giải phương trình √ √ x2 + x + + x2 − x + = 2x + 1( với x ∈ R) Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 81 [id2124](HSG trường THPT Cẩm Thủy-Thanh Hóa 2016-2017) Giải phương trình : √ √ x3 + √ + x + = x2 − x + + x + x+3 Câu 82 [id2125](HSG11 Cao Bằng 2011 - 2012)Giải phương trình √ √ √ √ + − 16 − x = 4x − Câu 83 [id2126](HSG Dương Xá – Hà Nội) Cho phương trình: x3 − 4x + = (4) Chứng minh phương trình (4) có nghiệm phân biệt Giả sử x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình Tính x81 + x82 + x83 Câu 84 [id2127](HSG Cao Bằng 2017-2018) Giải phương trình √ √ √ x + x + − x2 + x = m o c pot Câu 85 [id2128](HSG Thừa Thiên Huế 2017-2018) Giải phương trình sau √ s g o l b 2017 - 2018) Giải hệ phương trình h Câu 86 [id2129](CHỌN HSG –THPT HẬU LỘC n a h t c(4x − 9) (x − y) + √xy = 3y o 4x + g n u v / (x + 2) (y + 2x) = (x + 3) / : p tt h Câu 87 [id2130](HSG cấp Thừa Thiên Huế 2017-2018) Giải phương trình sau: 1+ + x3 = x2 4x2 − 25x + 18 , ∀x ≥ 1+ √ + x3 = x2 4x2 − 25x + 18 , ∀x ≥ Câu 88 [id2131](HSG Quảng Nam 2016 2017) Giải phương trình √ 2x2 − 5x − + (x − 1) x + = Câu 89 [id2132](CHỌN HSG –THPT HẬU LỘC 2017 - 2018) Giải phương trình 2x2 − (x2 + x − 5) x − = 10 − 2x x Câu 90 [id2133](HSG cấp Hà Nội 2016-2017) Giải phương trình x3 − 3x2 + (x + 2)3 − 6x = 10 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2112 [id1323](HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Tìm tất (n, k, p) với n, k số nguyên lớn p số nguyên tố thỏa mãn n5 + n4 − 2n3 − 2n2 + = pk Câu 2113 [id1324](HSG Tỉnh ĐĂKLẮC 2017-2018) Có sáu ngường tham gia họp Chứng minh : tồn hai tập hợp phân biệt thỏa mãn điều kiện sau : i) Mỗi tập hợp có ba người họ ii) Ba người tập hợp quen biết đôi không quen biết đôi Câu 2114 [id1325](HSG Tỉnh ĐĂKLẮC 2017-2018) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình 4x2 + y = 15 + 2(3y − 2x) Câu 2115 [id1326](HSG tỉnh Lào Cai 2016-2017) Tìm tất bốn số nguyên (x, y, a, b) thỏa mãn x2 + a2 = y2 + (x + 1)2 + b2 = y2 + Câu 2116 [id1327](HSG cấp tỉnh Sơn La 2017-2018) Tìm đa thức bậc ba dạng f(x) = x3 + ax2 + bx + c cho f(x) chia hết cho (x − 2) chia cho (x2 − 1) dư 3x m o c pot Câu 2117 [id1328](HSG Tỉnh ĐĂKLẮC 2017-2018) Tìm đa thức P(x) có hệ số thực thỏa mãn điều kiện sau: P(x + 1) = P(x) + 2x + , ∀x ∈ R s g o l b a , b , c số thực Câu 2118 [id1329](HSG 11 – Vĩnh Phúc 2012-2013) Cho 9cho P (2) = 26 |P (x)| ≤ với số thực P (x) = ax + bx + cx Tìm tất số a , b , c h n x cho |x| ≤ a h t c o Câu 2119 [id1330](HSG 11 – VĨNH LONG 2013-2014) Tìm nghiệm nguyên phương g n u trình: v / / : x + 2y + 3xy − x − y + = p t t h 2 Câu 2120 [id1331](HSG 11 – VĨNH PHÚC 2013-2014) Cho hai số nguyên tố p, q thoả mãn p > q > Tìm tất số nguyên k cho phương trình (px − qy)2 = kxyz có nghiệm nguyên (x; y; z) thoả mãn xyz = Câu 2121 [id1333](HSG10 Sở GD ĐT ĐỒNG NAI 2013-2014) Cho hai số nguyên dương lẻ m n thỏa   m2 + n  n + m 1) Hãy tìm cặp gồm hai số nguyên dương lẻ (m; n) thỏa điều kiện cho với m > 10 n > 10 2) Chứng minh m2 + n2 + 4mn Câu 2122 [id1335] Cho tam thức bậc hai P (x) có hệ số thực thỏa mãn x2 − 2x + ≤ P (x) ≤ 15x2 − 30x + 17, ∀x Biết P (13) = 2018 , tính P (0) Câu 2123 [id1336]( HSG ĐBBB 2017)Tìm tất hàm số f : Z → Z thỏa mãn điều kiện sau: f (x − f (y)) = f (f (x)) − f (y) − với x, y ∈ Z 223 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2124 [id1337](THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – Năm 2018) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn: f (f (n)) + f (n) = 2n + với số tự nhiên n Câu 2125 [id1338](Chọn HSG cấp tỉnh lớp 11 –Trường chuyên Trần Ngọc Diễm – 2016 - 2017) Cho hàm số f : (0; +∞) → (0; +∞) thỏa mãn điều kiện f (3x) ≥ f f (2x) + 2x với x > Chứng minh f (x) ≥ x với x > Câu 2126 [id1339] Trong câu lạc có 100 học sinh, gồm 90 học sinh chơi cầu lông, 80 học sinh chơi bóng bàn 70 học sinh chơi bóng đá Hỏi có học sinh chơi ba môn thể thao? Câu 2127 [id1340] Trên đường tròn có bán kính ta lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm có ba điểm tạo thành ba đỉnh tam giác có diện tích nhỏ 20 Câu 2128 [id1341]( HSG ĐBBB 2017) Các số a, b, c nguyên, c ≥ thỏa mãn điều kiện an + 2n ước bn + c với số nguyên dương n a) Chứng minh c = c = b) Khi c = Chứng minh a b không đồng thời số phương Câu 2129 [id1342](HSG olympic lớp 11 –Trại hè Hùng Vương lần XIII – Tuyên Quang – 2016 - 2017) Cho dãy số nguyên (xn ) xác định bởi: x0 = , x1 = xn+2 = 3xn+1 − xn với số tự nhiên n m o c pot s g o l bn b) Chứng minh x ≡ x (mod 101) với số9 tự8nhiên h n Câu 2130 [id1343](THPT Nguyễn Du –aĐăk Lăk – Olympic 10 – Năm 2018) Chứng minh h t c tổng 2018 số nguyên bất o kỳ chia hết cho 30 tổng lũy thừa bậc chúng chia g n hết cho 30 u v / / : Câu 2131 [id1344](HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn p t t điều kiện 1h + P + 2P + 3P + · · · + nP = P , với P số hoán vị tập hợp có n phần a) Tìm số dư x2017 chia cho n+100 n n 2014 n tử Câu 2132 [id1345](OLIMPIC 11 – TP HCM - 2017-2018) Trong giải thi đấu bóng bàn, số lượng vận động viên nam gấp đôi số nữ Mỗi cặp vận động viên thi đấu với lần khơng có trận hòa, có thắng- thua Tỉ số số trận thắng nữ số trận thắng nam Tính số vận động viên giải đấu Câu 2133 [id1129](Ts10 chuyên tỉnh Nghệ An 2019-2020) Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c (a ∈ N∗ ) thỏa mãn P (9) − P (6) = 2019 Chứng minh P (10) − P (7) số lẻ Câu 2134 [id1130](Ts10 chuyên tỉnh Ninh Bình 2019-2020) Cho P (x) đa thức bậc n với hệ số nguyên, n ≥ Biết P (1) P (2) = 2019, chứng minh phương trình P (x) = khơng có nghiệm ngun Câu 2135 [id1131](HSG9 Hà Tĩnh 2018-2019)Dãy số (an ) thỏa mãn an+1 = an + 3, ∀n ∈ N∗ a2 + a19 = 25 Tính tổng S = a1 + a2 + + a20 Câu 2136 [id1132](Ts10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Chứng minh số M = (n + 1)4 + n4 + chia hết cho số phương khác với số n nguyên dương Câu 2137 [id1133](Ts10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Chứng minh số M = (n + 1)4 + n4 + chia hết cho số phương khác với số n nguyên dương 224 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2138 [id1134](Ts10 chuyên tỉnh Bình Định 2019-2020) Gọi n số x1 ; x2 ; x3 ; ; xn (n ∈ Z, n ≥ thỏa mãn: số xi i = , n 2019 −2019 x1 x2 + x2 x3 + + xn−1 xn + xn x1 = Chứng minh n bội Câu 2139 [id1135](Ts10 chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Chứng minh số có dạng A = n6 − n4 + 2n3 + 2n2 số phương, n ∈ N, n > Câu 2140 [id1136](Ts10 chuyên tỉnh Bến Tre 2019-2020)Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a2019 + b2020 + c2021 bội số Chứng minh a2021 + b2022 + c2023 bội số Câu 2141 [id1137](Ts10 chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP 2019-2020) Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a3 + b3 + c3 chia hết cho 14 Chứng minh abc chia hết cho 14 Câu 2142 [id1138](Ts10 chuyên tỉnh DAK LAK 2019-2020) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 42019 + 3n có chữ số tận Câu 2143 [id1139](Ts10 chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Cho m, n hai số nguyên Chứng minh 7(m + n)2 + 2mn chia hết cho 225 mn chia hết cho 225 Câu 2144 [id1140](Ts10 chuyên tỉnh Hà Nam 2019-2020) Tìm tất số tự nhiên n cho 7n + 147 số phương Câu 2145 [id1141](Ts10 chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Cho biểu thức P = ab (a + b) + , với a, b số nguyên Chứng minh giá trị biểu thức P chia hết cho P chia hết cho m o c pot Câu 2146 [id1142](Ts10 chuyên tỉnh Hà nội 2019-2020) Cho biểu thức P = abc (a − 1) (b + 4) (c + 6) , với a, b, c số nguyên thỏa mãn a + b + c = 2019 Chứng minh giá trị biểu thức P chia hết cho s g o l bTìm tất số tự nhiên n để giá trị Câu 2147 [id1143](Ts10 chuyên tỉnh Hà nội 2019-2020) √ √ h biểu thức Q = n + + n + n + làasốnnguyên hHà Tĩnh 2019-2020) Cho a, b, c số nguyên đôi t c o Câu 2148 [id1144](Ts10 chuyên tỉnh g khác thỏa mãn:vau+n b + c = 3abc Chứng minh a + b + c số phương / / : p Câu 2149 [id1145](Ts10 chuyên tỉnh Hòa Bình Chun Tin năm 2019-2020) Tìm tất htt 3 4 số phương có chữ số cho chữ số đầu giống hai chữ số cuối giống Câu 2150 [id1146](Ts10 chuyên tỉnh Hải Dương 2019-2020) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2a2 + a = 3b2 + b Chứng minh rằng: 2a + 2b + số phương Câu 2151 [id1147](Ts10 chun tỉnh Hải phòng 2019-2020) Tìm số ngun tố p; q thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) p2 q + p chia hết cho p2 + q ii) pq2 + q chia hết cho q2 − p Câu 2152 [id1148](Ts10 chuyên tỉnh Hậu Giang 2019-2020) Cho trước số nguyên dương m Tìm số nguyên dương n cho m + n + số phương mn + lập phương số tự nhiên Câu 2153 [id1149](Ts10 chuyên tỉnh Nam Định 2019-2020) Chứng minh n số n5 + 29n số nguyên nguyên 30 Câu 2154 [id1150](Ts10 chuyên tỉnh Nam Định 2019-2020) Tìm tất cặp số tự nhiên (x; y) cho x2 + y2 − 3x + 2y − x2 + y2 + 4x + 2y + số phương Câu 2155 [id1151](Ts10 chuyên tỉnh Nghệ An 2019-2020) Tìm cặp số nguyên dương (x; y) cho x2 y + x + y chia hết cho xy2 + y + 225 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2156 [id1152](Ts10 chuyên tỉnh PTNK ( VỊNG ) năm 2019-2020) a) Tìm tất số tự nhiên n cho 2n + chia hết cho b) Cho n số tự nhiên n > Chứng minh 2n + không chia hết cho 2m − với số tự nhiên m cho < m ≤ n Câu 2157 [id1153](Ts10 chuyên tỉnh Quảng Nam 2019-2020) Chứng minh với số nguyên dương n, số M = 9.34n − 8.24n + 2019 chia hết cho 20 Câu 2158 [id1154](Ts10 chuyên tỉnh Quảng Ngãi 2019-2020) Số tự nhiên n = 1116 có tất ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích tất ước số Câu 2159 [id1155](Ts10 chuyên tỉnh Thái Nguyên 2019-2020) Cho a số tự nhiên không chia hết cho Chứng minh a4 − a4 + 15a2 + chia hết cho 35 Câu 2160 [id1156](Ts10 chuyên tỉnh Thái Nguyên 2019-2020) Cho P(x) đa thức bậc bốn có hệ số bậc cao Biết P (2016) = 2017, P (2017) = 2018, P (2018) = 2019, P (2019) = 2020 Chứng minh P(2020) số tự nhiên chia hết cho Câu 2161 [id1157](Ts10 chuyên tỉnh Vĩnh Long 2019-2020) Chứng minh với số tự nhiên n n3 + 9n + khơng chia hết cho Câu 2162 [id1158](Ts10 chuyên tỉnh Phú Thọ 2019-2020) Với số thực x, kí hiệu [x] √ = 1; − = −2 số nguyên lớn khơng vượt q x Ví dụ m o c pot s g o l b 92019-2020) Cho số tự nhiên có chữ số abc h Câu 2163 [id1159](Ts10 chuyên tỉnh Quảng Trị nchỉ a − 2b + 4c chia hết cho 21 a h Chứng minh rằng: abc chia hết cho 21 t c o g n tỉnh Thanh hóa 2019-2020) Cho hai số nguyên dương x, y Câu 2164 [id1160](Ts10u chuyên v / với x > thỏa mãn / điều kiện 2x − = y Chứng minh x chia hết cho 15 : p t t Câu 2165 chuyên tỉnh Yên Bái 2019-2020) Chứng minh A = 11 22 h[id1161](Ts10 a) Chứng minh x − < [x] ≤ x < [x] + = [x + 1] với x ∈ R √ n ước n? b) Có số nguyên dương n ≤ 840 thỏa mãn 15 2019 2020 số phương Câu 2166 [id1162](HSG9 Bà Rịa Vũng Tàu 2018-2019) 1) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh: 46n + 296.13n chia hết cho 1947 2) Cho A số phương gồm chữ số thỏa mãn ta cộng thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B gồm chữ số Tìm hai số A B Câu 2167 [id1163](HSG9 Bình Phước 2018-2019) Chứng minh với n số chẵn n3 + 20n + 96 chia hết cho 48 Câu 2168 [id1164](HSG9 Bình Thuận 2018-2019) Tìm số tự nhiên n cho n2 + 18n + 2020 số phương Câu 2169 [id1165](HSG9 Bắc Giang 2018-2019) Chứng minh 12 số tự nhiên có ba chữ số, ln tồn hai số cho ghép chúng lại cạnh để số có sáu chữ số chia hết cho 11 Câu 2170 [id1166](HSG9 Gia Lai 2018-2019) Chứng minh với số nguyên n, số A = 3n3 + 15n chia hết cho 18 Câu 2171 [id1167](HSG9 Hà Nội 2018-2019) Biết a; b số nguyên dương thỏa mãn a2 − ab + b2 chia hết cho 9, chứng minh a b chia hết cho 226 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2172 [id1168](HSG9 Hà Nội 2018-2019) Tìm tất số nguyên dương n cho 9n +11 tích k (k ∈ N, k ≥ 2) số tự nhiên liên tiếp Câu 2173 [id1169](HSG9 Hòa Bình 2018-2019) 1) Chứng minh A = a3 − 7a + 12 chia hết cho với số a ∈ Z 2) Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương Câu 2174 [id1170](HSG9 Hải Dương 2018-2019) Chứng minh a31 + a32 + a33 + + a3n chia hết cho , biết a1 , a2 , a3 , , an chữ số 20192018 Câu 2175 [id1171](HSG9 Hải Phòng 2018-2019) Cho biểu thức P = a1 + a2 + a3 + + a2019 với a1 ; a2 ; a3 ; ; a2019 số nguyên dương P chia hết cho 30 Chứng minh Q = a51 + a52 + a53 + + a52019 chia hết cho 30 Câu 2176 [id1172](HSG9 Kiên Giang 2018-2019) Cho đa thức hệ số nguyên P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 hai số nguyên a, b khác Chứng minh: P (a) − P (b) chia hết cho (a − b) Câu 2177 [id1173](HSG9 Lai Châu 2018-2019) Tìm dư phép chia: x200 −2x91 +1 cho x2 − Câu 2178 [id1174](HSG9 Lâm Đồng 2018-2019) Chứng minh 2n3 + 3n2 + n chia hết cho với số nguyên n m o c t A = + + 16 o Câu 2179 [id1175](HSG9 Nghệ An bảng A 2018-2019) Chứng minh p s g chia hết cho với số nguyên dương n o l b Chứng minh A = + 17 chia Câu 2180 [id1176](HSG9 Nghệ An bảng B 2018-2019) hết cho với số nguyên dương n h n a h t Câu 2181 [id1177](HSG9 Quảng c Bình 2018-2019) Tìm số tự nhiên n cho C = 2019 + o g 2020 số phương n uQuảng Ngãi 2018-2019) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn v / Câu 2182 [id1178](HSG9 / : Chứng minh A = a + b + c chia hết cho p t a + b = c −t 2018c h 2n n n n 3 3 Câu 2183 [id1179](HSG9 Quảng Ngãi 2018-2019) Cho B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n (n − 1) (n − 2) với n ∈ N∗ Chứng minh B khơng số phương Câu 2184 [id1180](HSG9 Quảng Ninh bảng A 2018-2019) Tìm tất số nguyên n cho giá trị biểu thức 2n2 + 18n − chia hết cho 13 Câu 2185 [id1181](HSG9 Quảng Trị 2018-2019) Cho số nguyên a , b , c thỏa mãn c2 2c a2 + = 2 2 a +b a +c b+c Chứng minh bc số phương Câu 2186 [id1182](HSG9 Thanh hóa 2018-2019) Cho n ∈ N∗ Chứng minh 2n + 3n + số phương n chia hết cho 40 Câu 2187 [id1183](HSG9 Vĩnh Phúc 2018-2019) Chứng minh rằng: A = 1.2.3 2017.2018 + 1 1 + + + + 2017 2018 chia hết cho 2019 227 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2188 [id1184](HSG9 Hà Tĩnh 2018-2019) Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) = 11 Tính Q = 4P(4) + P(−1) Câu 2189 [id1185](HSG9 Kiên Giang 2018-2019) Cho đa thức P (x) hệ số nguyên thỏa P (9) = 10 P (10) = Tồn hay không số nguyên x0 cho P (x0 ) = x0 Câu 2190 [id1186](HSG9 Nam Định 2018-2019) Cho đa thức P(x) Q(x) thỏa mãn P (x) = [Q (x) + Q (1 − x)] với x Biết hệ số P(x) số nguyên không âm P(0) = Tính P [3P (3) − P (2)] Câu 2191 [id1187](HSG9 Quảng Bình 2018-2019) Tìm a b để đa thức P (x) = x4 − 2x3 + 3x2 + ax + b bình phương đa thức Câu 2192 [id1188](Ts10 chuyên tỉnh Bình Dương 2019-2020) Tìm tất số nguyên x x−3 số nguyên cho x +1 Câu 2193 [id1189](Ts10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Tìm tất số tự nhiên n để phương trình x2 − n2 x + n + = (ẩn số x) có nghiệm số nguyên m o c pot Câu 2194 [id1190](Ts10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Tìm tất số tự nhiên n để phương trình x2 − n2 x + n + = (ẩn số x) có nghiệm số nguyên s g o l b h19 Câu 2195 [id1191](Ts10 chuyên tỉnh Bắc Giang 2019-2020) Tìm tất số nguyên tố x, y, z thỏa mãn (x + 2) (y + 3) (z + 4) = 8xyz n a h t c Bắc Ninh 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên o g Câu 2196 [id1192](Ts10 chuyên tỉnh n u dương (x; y) thỏa mãn /v / : p (xy + x + y) x + y + = 30 t ht 2 Câu 2197 [id1193](Ts10 chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 y − 4x2 y + y + 4x2 − 3y + = Câu 2198 [id1194](Ts10 chuyên tỉnh Cần thơ 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2020 x2 + y − 2019 (2xy + 1) = Câu 2199 [id1195](Ts10 chuyên tỉnh DAK LAK 2019-2020) Tìm số tự nhiên (a1 ; a2 ; a3 ; ; a2019 thỏa mãn: a1 + a2 + a3 + + a2019 ≥ 20192 a21 + a22 + a23 + + a22019 ≤ 20193 + Câu 2200 [id1196](Ts10 chuyên tỉnh DAK NONG 2019-2020) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 2x2 y − = x2 + 3y 228 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2201 [id1197](Ts10 chuyên tỉnh Gia lai 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 − 3y + 2xy − 2x − 10y + = Câu 2202 [id1198](Ts10 chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + x − = (x − 1) 2y + y Câu 2203 [id1199](Ts10 chuyên tỉnh Hòa Bình 2019-2020) Có đội bóng đá A, B, C, D, E thi đấu bảng theo thể thức vòng tròn (mỗi đội gặp trận, trận lượt trận lượt về) Trong trận đấu, đội thắng điểm, đội thua khơng có điểm, đội hòa điểm Kết thúc vòng bảng, số điểm đội thống kê sau: Đội.A.B.C.D.E tương ứng số điểm là.15.14.10.5.4 Hỏi tất trận đấu diễn có trận hòa? Câu 2204 [id1200](Ts10 chun tỉnh Hải Dương 2019-2020) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn điều kiện: x2 − 6xy + 10y = 2(x − 5y) m o c pot Câu 2205 [id1201](Ts10 chuyên tỉnh Ninh Bình 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn x2 − xy + y = x + y + s g o l b 92019-2020) Tìm tất cặp số nguyên Câu 2206 [id1202](Ts10 chuyên tỉnh Phú Yên h n a (x, y) thỏa mãn h t c x + y = 85 · o g n u x+y 13 v / / : p t t h[id1203](Ts10 chuyên tỉnh Quảng Ngãi 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên dương Câu 2207 2 phương trình x+y+3+1= √ x+ √ y Câu 2208 [id1204](Ts10 chuyên tỉnh Quảng Ninh 2019-2020)Tìm số nguyên không âm a, b, n thỏa mãn: n2 = a + b n3 + = a2 + b2 Câu 2209 [id1205](Ts10 chuyên tỉnh Thái Bình 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên (x; y) phương trình √ √ √ x + y = 2020 Câu 2210 [id1206](Ts10 chuyên tỉnh Thái Bình 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm M (a, b) gọi điểm nguyên a b số nguyên Chứng minh tồn điểm I mặt phẳng tọa độ 2019 số thực dương R1 ; R2 ; R2019 cho có k điểm nguyên nằm đường tròn (I; Rk ) với k số nguyên dương không vượt 2019 229 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2211 [id1207](Ts10 chuyên tỉnh Tiền Giang 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn (2x + 5y + 1) 2|x|−1 + y + x2 + x = 65 Câu 2212 [id1208](Ts10 chuyên tỉnh Tuyên Quang 2019-2020) Tìm tất giá trị nguyên x để x4 + x2 + x + A= x + 3x3 + 7x2 + 3x + nhận giá trị số nguyên Câu 2213 [id1209](Ts10 chuyên tỉnh Vĩnh Long 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 − xy − 9x − 3y + = Câu 2214 [id1210](Ts10 chuyên tỉnh Bình Phước 2019-2020) Giải phương trình nghiệm nguyên √ 4y = + 199 − x2 − 2x Câu 2215 [id1211](Ts10 chuyên tỉnh Quảng Trị 2019-2020) Tìm tất số nguyên tố x, y, z thỏa mãn xy = z − m o c pot s g o l b Tìm tất cặp số nguyên Câu 2216 [id1212](Ts10 chuyên tỉnh Thanh hóa92019-2020) h (x;y) thoã mãn : n y + yh=ax + x + x + x t c o g n u v / / Câu 2217 [id1213](Ts10 : chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế 2019-2020) Có số nguyên p t t số nguyên ? x cho h 3x + 2020 Câu 2218 [id1214](Ts10 chuyên tỉnh Vĩnh Phúc 2019-2020) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn 9x2 − 3xy − 24x − 2y + y + 28 = Câu 2219 [id1215](Ts10 chuyên tỉnh Yên Bái 2019-2020) Tìm số x, y nguyên thỏa mãn: x3 − y − 2y − 3y − = Câu 2220 [id1216](HSG9 Bình Phước 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên phương trình 4y + 6y − = x Câu 2221 [id1217](HSG9 Bình Định 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2xy + x + y + = x2 + 2y + xy 230 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2222 [id1218](HSG9 DAK LAK 2018-2019) Giải phương trình nghiệm nguyên 2x2 + y + 2xy + 6x + 4y = 20 Câu 2223 [id1219](HSG9 Hà Nam 2018-2019) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 − 5x + = 3y Câu 2224 [id1220](HSG9 Hải Dương 2018-2019) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x2 + x + 2y + y = 2xy + xy + Câu 2225 [id1221](HSG9 Kiên Giang 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên (x; y) phương trình: x2 − y + = y + 2x Câu 2226 [id1222](HSG9 Lai Châu 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 − 3y m o c pot s g o l Câu 2227 [id1223](HSG9 Lâm Đồng 2018-2019) Tìm nghiệm b nguyên phương trình 19= 2x + 5yn−h 3xy a h t c o g n uLạng Sơn 2018-2019) Tìm tất cặp (x; y) nguyên thỏa mãn Câu 2228 [id1224](HSG9 v / / : x y + (x − 2) + (2y − 2) − 2xy (x + 2y − 4) = p t t h 2 2 Câu 2229 [id1225](HSG9 Nam Định 2018-2019) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: (x − y − 1) (x + − y) + 6xy + y (2 − x − y) = (x + 1) (y + 1) Câu 2230 [id1226](HSG9 Nghệ An bảng A 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y + x − 2y + = xy Câu 2231 [id1227](HSG9 Nghệ An bảng B 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy − = 2y Câu 2232 [id1228](HSG9 Ninh Bình 2018-2019) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x2 y − x2 + 5y − 22x − 121 = 231 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2233 [id1229](HSG9 Quảng Nam 2018-2019) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 + 2y + 2xy − 4x − 6y + = Câu 2234 [id1230](HSG9 Quảng Ngãi 2018-2019) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 4x = + 3y Câu 2235 [id1231](HSG9 Quảng Ninh bảng A 2018-2019) Chứng minh không tồn hai số nguyên x, y thỏa mãn x3 = y + 2019 Câu 2236 [id1232](HSG9 Thanh hóa 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 y (x + y) + x = + y (x − 1) Câu 2237 [id1233](HSG9 Trà Vinh 2018-2019) Chứng minh không tồn số nguyên x, y, z thỏa mãn x3 + y + z = x + y + z + 2017 m o c pot s g o l b Câu 2238 [id1234](Ts10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020)Trong buổi tổ chức tuyên dương học sinh có thành tích học tập xuất sắc huyện, ngoại trừ bạn An, hai người bất h nngười quen Biết cặp (hai người) kì bắt tay nhau, An bắt tay với a h t bắt tay khơng q lần có tổng cộng 420 lần bắt tay Hỏi bạn An có người c o g quen buổi tổ chức tun n dương đó? u v / chun tỉnh Bình Định 2019-2020) Tại đỉnh đa giác Câu 2239 [id1235](Ts10 / : p t số số tự nhiên từ đến 1009 Chứng minh tồn 2020 cạnh h tatđánh đỉnh đa giác cho (kí hiệu A , B , C , D với số đánh tương ứng a , b , c , d ) cho ABCD hình chữ nhật a + b = c + d Câu 2240 [id1236](Ts10 chuyên tỉnh Bắc Ninh 2019-2020) Cho 2020 kẹo vào 1010 hộp cho khơng có hộp chứa nhiều 1010 kẹo hộp chứa kẹo Chứng minh tìm thấy số hộp mà tổng số kẹo hộp 1010 Câu 2241 [id1237](Ts10 chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Trên bàn có hai túi kẹo : túi thứ có 22 viên kẹo, túi thứ hai có 29 viên kẹo An Bình chơi trò chơi sau : lượt chơi, bạn chọn túi kẹo lấy viên kẹo túi kẹo Hai bạn luân phiên thực lượt chơi Bạn thực lượt chơi người thua Nếu An người lấy kẹo trước, chiến thuật chơi để An người thắng Câu 2242 [id1238](Ts10 chuyên tỉnh Hà nội 2019-2020) Mỗi điểm mặt phẳng tô hai màu xanh đỏ 1) Chứng minh mặt phẳng tồn hai điểm tơ màu có khoảng cách d 2) Gọi tam giác có ba đỉnh tô màu tam giác đơn sắc Chứng minh mặt phẳng tồn hai tam giác đơn sắc hai tam giác vuông đồng dạng với theo tỉ số k= 2019 232 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2243 [id1239](Ts10 chuyên tỉnh Hải phòng 2019-2020) Viết lên bảng 2019 số: 1; 1 1 ; ; ; ; 2018 2019 xy (các số lại bảng giữ x+y+1 nguyên) Tiếp tục thực thao tác trên bảng lại số Hỏi số bao nhiêu? Từ số viết xóa số x; y viết lên bảng số Câu 2244 [id1240](Ts10 chuyên tỉnh Khánh Hòa 2019-2020) Huyện KS có 33 cơng ty, huyện KV có 100 cơng ty Biết rằng, cơng ty huyện KS hợp tác với 97 cơng ty huyện KV Chứng minh có cơng ty huyện KV hợp tác với tất công ty huyện KS Câu 2245 [id1241](Ts10 chuyên tỉnh Kon Tum 2019-2020) Cho tập hợp A gồm 41 phần tử số nghuên khác thỏa mãn tổng 21 phần tử lớn tổng 20 phần tử lại Biết số 401 402 thuộc tập A Tìm tất phần tử tập hợp A Câu 2246 [id1242](Ts10 chuyên tỉnh Nam Định 2019-2020) Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không 49 bút đem tặng cho tất 32 bạn học sinh lớp 9A cho nhận bút thầy Chứng minh có số bạn lớp 9A nhận số lượng bút tổng cộng 25 m o c pot Câu 2247 [id1243](Ts10 chuyên tỉnh Nghệ An 2019-2020) Cho 12 điểm mặt phẳng cho điểm đỉnh tam giác mà tam giác ln tồn cạnh có độ dài nhỏ 673 Chứng minh có hai tam giác mà chu vi tam giác nhỏ 2019 s g o l b Câu 2248 [id1244](Ts10 chuyên tỉnh Ninh Bình 2019-2020) Trong hình tròn có diện tích h 1009cm lấy 2019 điểm phân biệt bất a kì n cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng h t minh 2019 điểm ln tìm ba điểm tạo thành tam giác có diện tích nhỏ c o g 1cm n u v / Câu 2249 [id1245](Ts10 :/ chuyên tỉnh PTNK 2019-2020 V2) Trong buổi gặp gỡ giao lưu p t học t sinh đến từ n quốc gia, người ta nhận thấy 10 học sinh có h học sinh đến từ quốc gia 2 a) Gọi k số quốc gia có học sinh tham dự buổi gặp gỡ Chứng minh n < k + 10 b) Biết số học sinh tham dự buổi gặp gỡ 60 Chứng minh tìm 15 học sinh đến từ quốc gia Câu 2250 [id1246](Ts10 chuyên tỉnh Quảng Ngãi 2019-2020) Trên bảng ô vuông, người ta điền tồn dấu + Sau thực q trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) theo bước sau: Bước 1: Các ô dòng thứ i đổi dấu i lần, i = 1, 2, , 2019 Bước 2: Các ô cột thứ j đổi dấu 3j + lần, j = 1, 2, , 2019 Tính số dấu lại bảng vng sau thực xong trình đổi dấu Câu 2251 [id1247](Ts10 chuyên tỉnh Quảng Ninh 2019-2020) Cho trước p số nguyên tố Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy hai điểm A p8 ; B p9 ; thuộc trục Ox Có tứ giác ABCD nội tiếp cho điểm C, D thuộc trục Oy có tung độ số nguyên dương 233 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2252 [id1248](Ts10 chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Hai bạn Thái Nguyên chơi trò lấy kẹo hộp có 2019 kẹo Cách chơi sau: “ Mỗi người đến lượt lấy số kẹo lũy thừa với số mũ tự nhiên 2, lấy kẹo cuối người thắng cuộc” Bạn Thái người lấy kẹo trước Hãy chiến thuật giúp cho bạn Nguyên người thắng Câu 2253 [id1249](Ts10 chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Cho 19 điểm nằm hay nằm cạnh lục giác √ cạnh 3cm Chứng minh có hai số điểm cho có khoảng cách khơng vượt 3cm Câu 2254 [id1250](Ts10 chuyên tỉnh Long An chuyên tốn dự bị năm 2019-2020) Có nhóm bạn hái nấm Số nấm bạn hái tổng số nấm hái Số nấm bạn hái nhiều tổng số nấm hái Hỏi nhóm bạn có người? Câu 2255 [id1251](Ts10 chuyên tỉnh Long An 2019-2020) Cho số tự nhiên 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Từ số tự nhiên ta thành lập số tự nhiên gồm ba chữ số khác số tự nhiên thành lập phải chia hết cho Ta thành lập tất số tự nhiên vậy? Câu 2256 [id1252](Ts10 chuyên tỉnh Phú Thọ 2019-2020) Có 15 bạn học sinh nam 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh bàn tròn Chứng minh ln tồn học sinh mà bạn ngồi cạnh bạn nữ m o c pot Câu 2257 [id1253](Ts10 chuyên tỉnh Thanh hóa 2019-2020) Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng phân biệt cho khơng có hai đường thẳng song song khơng có ba đường thẳng đồng quy Tam giác tạo ba đường thẳng số đường thẳng cho gọi tam giác đẹp khơng bị đường thẳng số đường thẳng lại cắt Chứng minh số tam giác đẹp khơng 674 s g o l b 92019-2020) Bạn Bình có 19 viên bi màu h Câu 2258 [id1254](Ts10 chun tỉnh Vĩnh Phúc nBình thực trò chơi theo quy tắc sau: Mỗi a h xanh, 21 viên bi màu đỏ 23 viên bi màu vàng t c o lần Bình chọn viên bi có màu khác nhau, sơn chúng màu thứ ba (Ví dụ: Nếu Bình chọn g nvà viên bi màu đỏ Bình sơn viên bi thành màu vàng) u viên bi gồm viên bi màu xanh v / /hạn lần thực trò chơi theo quy tắc trên, bạn Bình thu tất : Hỏi sau số hữu p t t màu hay không ? Tại ? viên bih Câu 2259 [id1255](Ts10 chuyên tỉnh Yên Bái 2019-2020) Từ đa giác 15 đỉnh, chọn đỉnh Chứng minh có đỉnh số đỉnh chọn ba đỉnh tam giác cân Câu 2260 [id1256](HSG9 Bình Thuận 2018-2019) Trên đường tròn (C) bán kính cho 2019 điểm phân biệt A1 , A2 , A3 , A4 , , A2019 Chứng minh tồn điểm M (C) thỏa mãn MA1 + MA2 + MA3 , + + MA2019 > 2019 Nội Dung Câu 2261 [id1257](HSG9 Bình Định 2018-2019) Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích tam giác với đỉnh điểm cho không lớn Chứng minh số điểm cho tìm 2019 điểm nằm nằm cạnh tam giác có diện tích khơng lớn Câu 2262 [id1258](HSG9 Bắc Ninh 2018-2019) Trong kì thi Olympic có 17 học sinh thi mơn Tốn mang số báo danh số tự nhiên khoảng từ đến 1000 Chứng minh chọn học sinh thi tốn có tổng số báo danh mang chia hết cho Câu 2263 [id1259](HSG9 Gia Lai 2018-2019) Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp Tỉnh, đồn học sinh huyện A có 17 học sinh dự thi Mỗi thí sinh có số báo danh số tự nhiên khoảng từ đến 907 Chứng minh chọn học sinh đồn có tổng số báo danh chia hết cho 234 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2264 [id1260](HSG9 Hà Nội 2018-2019) Xét bảng ô vuông cỡ 10 × 10 gồm 100 hình vng có cạnh đơn vị Người ta điền vào ô vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai ô chung cạnh có giá trị tuyệt đối khơng vượt q Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần Câu 2265 [id1261](HSG9 Hưng Yên 2018-2019) Trên mặt phẳng có 25 điểm phân biệt, biết điểm cho tìm điểm có khoảng cách chúng nhỏ Chứng minh tồn hình tròn có bán kính chứa khơng 13 điểm 25 điểm nói Câu 2266 [id1262](HSG9 Hải Phòng 2018-2019) Bên đường tròn có đường kính AB = 19 cho 38 đoạn thẳng, đoạn thẳng có độ dài Chứng minh tồn đường thẳng vng góc song song với AB giao hai đoạn 38 đoạn cho Câu 2267 [id1263](HSG9 Kiên Giang 2018-2019) Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 50 sau thực trò chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bảng viết số a + b − lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 49 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? Câu 2268 [id1264](HSG9 Lạng Sơn 2018-2019) Cho đa giác 30 đỉnh Chứng minh đỉnh đó, gồm có đỉnh chứa đỉnh tạo nên hình thang cân Câu 2269 [id1265](HSG9 Nam Định 2018-2019) Cho đa giác có 10 đỉnh hình vẽ (4 đỉnh A, B, C, D B, C, D, E C, D, E, F J, A, B, C gọi đỉnh liên tiếp đa giác) Các đỉnh đa giác đánh số cách tùy ý số nguyên thuộc tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} (biết đỉnh đánh số, số đánh đỉnh khác nhau) Chứng minh ta ln tìm đỉnh liên tiếp đa giác đánh số mà tổng số lớn 21 m o c pot s g o l b Trong hình vng cạnh có Câu 2270 [id1266](HSG9 Nghệ An bảng A 2018-2019) h n a nằm hình 2019 điểm phân biệt Chứng minh rằngttồn hình tròn bán kính h 91 c o g 2019 điểm cho vng mà khơng chứa điểmn u v Nghệ An bảng B 2018-2019) Cho 2019 điểm phân biệt / Câu 2271 [id1267](HSG9 / : tpnào thẳng hàng đường thẳng (d) không qua điểm cho Chứng khơng có ba t điểm h minh số giao điểm đoạn thẳng có hai đầu mút hai điểm 2019 điểm nói với đường thẳng (d) số chẵn Câu 2272 [id1268](HSG9 Ninh Bình 2018-2019) Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 210 Chứng minh đoạn thẳng ln tìm ba đoạn thẳng để ghép thành tam giác Câu 2273 [id1269](HSG9 Sơn La 2018-2019) Cho hình vng ABCD 2019 đường thẳng phân biệt thỏa mãn: Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng chia hình vng thành hai phần có tỷ số diện tích Chứng minh 2019 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy Câu 2274 [id1270](HSG9 Vĩnh Phúc 2018-2019)Cho 1000 điểm phân biệt M1 , M2 , M1000 mặt phẳng Vẽ đường tròn (C) bán kính R = tùy ý Chứng minh tồn điểm S đường tròn (C) cho SM1 + SM2 + + SM1000 ≥ 1000 Câu 2275 [id1271](Ts10 chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Tìm tất số tự nhiên x để giá trị biểu thức P = x3 + 3x2 + x + lũy thừa số nguyên tố 235 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2276 [id1272](Ts10 chuyên tỉnh Bình Phước 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên tố (p,q) cho p2 − 2q = 41 Câu 2277 [id1273](Ts10 chuyên tỉnh Vĩnh Phúc 2019-2020) Tìm tất số nguyên dương p, m, n thỏa mãn 2m p2 + = n5 , p số nguyên tố Câu 2278 [id1274](HSG9 Bắc Ninh 2018-2019) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p3 − 4p + số phương Câu 2279 [id1275](HSG9 Ninh Bình 2018-2019) Tìm tất số nguyên tố ( p ; q ; r ) cho pqr = p + q + r + 160 Câu 2280 [id1276](HSG9 Thái Bình 2018-2019)Tìm tất số nguyên dương (x; y; z) √ x + y 2019 √ số hữu tỉ x2 + y2 + z2 số nguyên tố cho y + z 2019 Câu √ 2281 [id1277](Ts10 chuyên tỉnh Bắc Ninh √ 2019-2020) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 12n2 + số nguyên Chứng minh 12n2 + + số phương Câu 2282 [id1278](Ts10 chuyên tỉnh Thái Nguyên 2019-2020) Tìm tất số nguyên tố p cho p2 + 59 có sáu ước số dương m o c t o Câu 2283 [id1279](Ts10 chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP 2019-2020)sCho tập hợp X thỏa mãn p g tập A , A , , A tính chất sau: Tồn 2019 tập A , A , , A X cho o l b tử chung với ≤ i < j ≤ 2019 có ba phần tử hai tập A , A có phần Chứng minh h n a t a) Tồn tập hợp tập hợp Ah, A , , A cho giao tập hợp có c o g phần tử n u v / b) Số phần tử X/ phải lớn 4039 : p t t h[id1280](Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Tìm tất số nguyên Câu 2284 i 2019 2019 j 2019 tố p cho tổng ước nguyên dương p2 số phương Câu 2285 [id1281](Ts10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020)Trong buổi tổ chức tuyên dương học sinh có thành tích học tập xuất sắc huyện, ngoại trừ bạn An, hai người bắt tay nhau, An bắt tay với người quen Biết cặp (hai người) bắt tay không lần có tổng cộng 420 lần bắt tay Hỏi bạn An có người quen buổi tổ chức tuyên dương đó? Câu 2286 [id1282](Ts10 chuyên tỉnh Bắc Giang 2019-2020) Cho tập hợp T gồm 2019 số nguyên dương đôi khác số lớn thuộc T 4036 Chứng minh tập hợp T có hai số phân biệt mà số bội số Câu 2287 [id1283](Ts10 chuyên tỉnh Khánh Hòa 2019-2020) Cho A = 20 + 21 + 22 + + 22019 B = 22020 Chứng minh rằng: A, B hai số tự nhiên liên tiếp Câu 2288 [id1284](Ts10 chuyên tỉnh Lâm Đồng 2019-2020) Bit rng 1111 5555 2018 chă oo so a 2018 chă oo so a5 l tích hai số lẻ liên tiếp Tính tổng hai số lẻ 236 Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com gõ [id50] tìm lời giải câu gắn mã [id50] Câu 2289 [id1285](Ts10 chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Tìm số tự nhiên có chữ số dạng abcd , biết tích hai số ab cd 380 đồng thời tăng số ab thêm đơn vị giảm số cd đơn vị tích không đổi Câu 2290 [id1286](Ts10 chuyên tỉnh Tây Ninh 2019-2020) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd cho abcd = k2 (k ∈ N∗ ) ab − cd = (các chữ số tự nhiên a, b, c, d giống nhau) Câu 2291 [id1287](HSG9 An Giang 2018-2019) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết bình phương số sau bỏ chữ số hàng chục hàng đơn vị cộng với số 2419 Câu 2292 [id1288](HSG9 DAK LAK 2018-2019) Tìm tất số tự nhiên có bốn chữ số, biết số lập phương tổng chữ số Câu 2293 [id1289](HSG9 Gia Lai 2018-2019) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Có thể lập số tự nhiên có chữ số đôi khác lớn 2019 2 1− 2.3 3.4 tích 2019 thừa số Tính S (kết để dạng phân số tối giản) Câu 2294 [id1290](HSG9 Hà Nội 2018-2019) Cho S = 1− Câu 2295 [id1291](HSG9 Hà Tĩnh 2018-2019) Tìm số thực a biết a + − √ 15; 2020.2021 √ − 15 a số nguyên m o c a) Chứng minh năm số nguyên dương đôi phân biệt tồn 4osốtcó tổng hợp số p s g o lra 2018 số dư tương ứng, sau b) Bạn Thắng chia số 2018 cho 1, 2, 3, , 2018 viết b bạn Việt chia số 2019 cho 1, 2, 3, , 2019 viết 2019 số dư tương ứng Hỏi có tổng số dư h lớn lớn n a h ct 2018-2019) Chứng minh tổng chữ số Câu 2297 [id1293](HSG9 Sóc Trăng o g nthể 2019 số phương khơng u v / / Tiền Giang 2018-2019) Với số thực x , ta định nghĩa phần : Câu 2298 [id1294](HSG9 p t nguyên củahxt, kí hiệu [x] số ngun lớn khơng vượt x Hãy tìm phần nguyên của: Câu 2296 [id1292](HSG9 Phú Thọ 2018-2019) B= x2 + 4x2 + √ 36x2 + 10x + x số nguyên dương Câu 2299 [id1295](HSG9 Tiền Giang 2018-2019) Tìm số tự nhiên√n biết bỏ ba chữ số tận bên phải số có giá trị n Tìm năm số thực dương cho số bình phương tổng bốn số lại 237 ... [id2206](HSG12 Tỉnh Nam Định 201 8-2 019) Giải hệ phương trình  x + = + y x x√  ln (2x − 3) + 8x2 − 20x + 12 = ln y + 2y Câu 121 [id2207](T -2 5-Lan-2-HSG-Yên-Dũng) Giải hệ phương trình  √ ... giải câu gắn mã [id50] Chủ đề Phương trình Câu [id2044](HSG10 THPT THuận Thành 201 8-2 019) Giải phương trình: √ (x2 − x − 2) x − = Câu [id2045](HSG10 YÊN PHONG năm 201 8-2 019) Giải phương trình:... 201 6-2 017)Giải phương trình: h Câu 96 [id2139](HỌC SINH GIỎI QUẢNG NGÃI n a h t cx − + √4 − x = x − + √x + (x ∈ R) √ o g (x − 2) (4 − x) + n u v / / : p t t h Câu 97 [id2140](HSG Quảng Ngải 1 6-1 7)