SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2010 # 2011 MƠN: TỐN THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (4,0 điểm) Anh (chị) nêu bước thực dạy học phát giải vấn đề Hãy nêu bước phương pháp tìm lời giải toán Câu II (3,0 điểm) Anh (chị) nêu quy trình giải tốn: Xét chiều biến thiên hàm số = Hãy số ứng dụng toán để giải lớp toán lấy số ví dụ minh hoạ Câu III (5,5 điểm) có đáy hình bình hành Một mặt phẳng Cho hình chóp cắt cạnh bên theo thứ tự Chứng minh + = + (Dựa theo 54, trang 12 – SBT Hình học nâng cao lớp 12) Anh (chị) nêu hai định hướng để học sinh tìm hai cách giải Hãy trình bày cách giải Trong trường hợp mặt phẳng qua trung điểm cạnh Chứng minh ≤ + ≤ Anh (chị) trình bày lời giải toán Câu IV (4,5 điểm) Cho ∈ ℕ ≥ Chứng minh phương trình = dương nhất, ký hiệu Từ chứng minh có nghiệm = tính + − Anh (chị) giải tốn hướng dẫn học sinh tìm lời giải Câu V (3,0 điểm) thoả mãn điều kiện + + Cho số thực không âm trị lớn giá trị nhỏ biểu thức = Anh (chị) trình bày lời giải tốn NNNNNN Hết NNNNNN DeThiMau.vn + + = + + + Tìm giá Câu I#1 (2 đ) I#2 (2 đ) II (3 đ) KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN THPT Nội dung Phát vấn đề: N Tạo tình có vấn đề N Phát nhận dạng vấn đề nảy sinh N Phát vấn đề cần giải Giải vấn đề: N Đề xuất giả thuyết N Lập kế hoạch giải N Thực kế hoạch giải Kết luận: N Thảo luận kết đánh giá N Khẳng định hay bác bỏ giả thuyết nêu N Phát biểu kết luận N Đề xuất vấn đề Tìm hiểu nội dung tốn N Giả thiết gì? Kết luận gì? Hình vẽ minh hoạ sao? Sử dụng ký hiệu nào? N Dạng tốn nào? N Kiến thức cần có gì?(các khái niệm, định lí, điều kiện tương đương, phương pháp chứng minh…) Xây dựng chương trình giải N Chỉ rõ bước cần tiến hành: Bước gì?, Bước giải vấn đề gì? Thực chương trình giải N Trình bày bài, làm theo bước Chú ý sai lầm thường gặp tính tốn, biến đổi Kiểm tra nghiên cứu lời giải N Xem xét có sai lầm khơng? Có phải biện luận kết tìm khơng? Nếu tốn có nội dung thực tiễn kết tìm có phù hợp với thực tiễn khơng? Quy trình: + Tìm tập xác định hàm số f(x) + Tính đạo hàm f '( x) Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I + Nếu f '( x) > với x ∈ I hàm số f đồng biến khoảng I Nếu f '( x) < với x ∈ I hàm số f nghịch biến khoảng I Nếu f '( x) = với x ∈ I hàm số f không đổi khoảng I Điểm 0,5 0,5 +0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 * Nếu hàm số f liên tục đoạn [ a; b ] có đạo hàm f '( x) > khoảng (a; b) hàm số f đồng biến đoạn [ a; b ] * Nếu hàm số f liên tục đoạn [ a; b ] có đạo hàm f '( x) < khoảng (a; b) 0,25 hàm số f nghịch biến đoạn [ a; b ] Một số ứng dụng bản: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Ví dụ1: Giải phương trình (2 x + 1)(2 + x + x + 4) + x(2 + x + 3) = Ví dụ 2: Giải bất phương trình ( x + 2)(2 x − 1) − x + ≤ − ( x + 6)(2 x − 1) + x + x3 − y + 27 y − 27 = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình y − z + 27 z − 27 = z − x + 27 x − 27 = DeThiMau.vn 0,5 Chứng minh phương trình, hệ phương trình có nghiệm nghiệm, khoảng Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sin(cos x ) = x, cos(sin x) = x có nghiệm π 0; 2 y x e = 2011 − y2 −1 có nghiệm thoả Ví dụ 2: Chứng minh hệ phương trình e y = 2011 − x x2 −1 mãn x, y >1 Tìm m để phương trình f ( x) = m có nghiệm, vơ nghiệm Ví dụ: Tìm m để phương trình sau x + − x = m có nghiệm Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 1: Chứng minh xy ≤ e x + y ( ln y − 1) , ∀x ∈ ℝ, y > III#1 (4 đ) 5π y.sin x Ví dụ 2: Cho x,y > thỏa mãn x + y < Chứng minh : cos( x + y ) < x sin y Định hướng1: + Chỉ rõ giao điểm hai đường chéo O trung điểm đường + Ba đường thẳng SO, KM, LN đồng quy I + Diện tích SKI , SAO ,… + Tỉ số diện tích dt ( SKI ) dt ( SKM ) ; ,… dt ( SAO) dt ( SAC ) + Phân tích dt ( SKM ) dt ( SKI ) + dt ( SMI ) = dt ( SAC ) dt ( SAC ) dt ( SLN ) =? + Phân tích dt ( SBD ) + Từ suy điều phải chứng minh Định hướng 2: + Chỉ rõ O giao điểm hai đường chéo AC BD + Ba đường thẳng SO, KM, LN đồng quy I + Các đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm O Đẳng thức SA + SC = SB + SD = SO SA + Các đẳng thức SA = SK ,… SK Phân tích SA + SC = SB + SD = SO SI = xSK + ySM + Ba điểm K, I, M thẳng hàng suy x + y = SI = k SK + tSM Ba điểm L, I, N thẳng hàng suy k + t = + Từ suy điều phải chứng minh DeThiMau.vn 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Lời giải (Theo Định hướng 1) Gọi {O} = AC ∩ BD , {I } = SO ∩ ( P ) Ta có O trung điểm AC BD, ba đường thẳng SO, KM, LN đồng quy I Tỷ số diện tích dt ( SKI ) 2dt ( SKI ) 2.SK SI dt ( SMI ) 2dt ( SMI ) 2.SM SI = = ; = = dt ( SAC ) dt ( SAO) SA.SO dt ( SAC ) dt ( SCO) SC.SO dt ( SKM ) dt ( SKI ) + dt ( SMI ) 2.SK SI 2.SM SI ⇒ = = + dt ( SAC ) dt ( SAC ) SA.SO SC.SO SK SM SI SK SM SA SC SO = + + = ⇒ SA.SC SO SA SC SK SM 2.SI SB SD SO Tương tự + = SL SN 2.SI Từ (1) (2) ta có đpcm Lời giải (Theo Định hướng 2) ⇒ Gọi {O} = AC ∩ BD , {I } = SO ∩ ( P ) Ta có SI = (1) (2) SI SO SO Do O trung điểm AC BD nên ta có SA + SC = SO, SB + SD = SO Từ SA + SC = SB + SD = SO SA SC SB SD SO ⇒ SK + SM = SL + SN = SI SK SM SL SN SI SI SA SC SI SB SD ⇒ SK + SM = SL + SN = SI SO SK SM SN SO SL (1) Vì K , I , M thẳng hàng nên tồn x, y mà x + y = cho SI = xSK + ySM (2) Vì L, I , N thẳng hàng nên tồn k , t mà k + t = cho SI = k SL + t SN SI SA SC SI SB SD Từ (1), (2), (3) ta có + + = =1 SO SK SM SO SL SN SA SC SB SD ⇒ + = + □ SK SM SL SN Lời giải (Theo tỷ số thể tích) V 2V SK SL.SM VS KMN 2VS KMN SK SM SN ; = = Tỉ số thể tích S KLM = S KLM = VS ABCD VS ABC SA.SB.SC VS ABCD VS ACD SA.SC.SD (3) VS KLMN VS KLM + VS KMN SK SM SL SN SK SL.SM SK SM SN = = 2 + + =2 VS ABCD VS ABCD SA.SC.SD SA.SC SB SD SA.SB.SC VS KLN 2V SK SL.SN VS MNL 2VS MNL SM SN SL = S KLN = ; = = VS ABCD VS ABD SA.SB.SD VS ABCD VS BCD SC.SD.SB V V + VS MNL SL.SN SK SM SK SL.SN SM SN SL ⇒ S KLMN = S KLN = 2 + + =2 VS ABCD VS ABCD SB.SD SA SC SA.SB.SD SC.SD.SB Từ (1) (2) ta có SK SM SL SN SL.SN SK SM SB.SD SL SN SA.SC SK SM + + + + = ⇔ = SA.SC SB SD SB.SD SA SC SL.SN SB SD SK SM SA SC SB SD SA SM ⇔ + = + □ SL SN SK SC ⇒ DeThiMau.vn (1) (2) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 III#2 (1,5 đ) Lời giải: SB SD Đặt = x, = y Vì I trọng tâm tam giác SBD nên ≤ x ≤ 2;1 ≤ y ≤ SL SN Ta có x + y = SL SN 1 1 + = + = + = Khi SB SD x y x − x x − x Xét hàm số f ( x) = x − x với x ∈ [1; 2] Ta có max f ( x) = f ( ) = [1;2] f ( x) = f (1) = f (2) = IV (4,5 đ) 0,5 0,5 [1;2] Do 0,5 SL SN ≤ + ≤ SB SD Lời giải : *Với n ∈ ℕ, n ≥ Xét hàm số f n ( x) = x n − x − với x > Hàm số liên tục khoảng (0; +∞ ) + Nếu < x < f n ( x) < , phương trình g ( x) = vơ nghiệm + Nếu x ≥ Ta có f n '( x) = nx n −1 − > nên hàm số f n đồng biến khoảng (0; +∞ ) 0,25 0,25 +0,25 N Ta có f n (1) = −1 , f n (2) = 2n − − ≥ f n (1) f n (2) < Do phương trình f n ( x) = có nghiệm xn khoảng (1; 2) 0,25 Từ phương trình f n ( x) = có nghiệm xn khoảng (1; +∞) N Xét khoảng (1; xn ) Ta có f n +1 (1) = −1 , f n +1 ( xn ) = xnn +1 − xn − > xnn − x − = f n ( xn ) = Suy f n +1 (1) f n +1 ( xn ) < Từ phương trình f n +1 ( x) = có nghiệm xn +1 khoảng (1; xn ) 0,5 * Suy < xn +1 < xn Vì vậy, dãy số ( xn ) giảm bị chặn Do dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn a Ta chứng minh a = Thật vậy, giả sử a > Khi đó, xn ≥ a với n ∈ ℕ, n ≥ ta tìm n ∈ ℕ đủ lớn cho xnn ≥ a n > < xn + < , điều mâu thuẫn với xnn − xn − = 0,5 Do lim xn = * Đặt xn = + yn với lim yn = Do xnn = xn + nên (1 + yn )n = yn + , ta ln(1 + yn ) n.ln(1 + yn ) = ln( yn + 2) Suy lim n.ln(1 + yn ) = ln hay ( lim n yn ) lim = ln yn lim n yn = ln Do lim n( xn − 1) = ln Hướng dẫn giải : N Cách chứng minh phương trình có nghiệm khoảng Đặt f n ( x) = x n − x − + f n liên tục khoảng (1; +∞) + f n đồng biến khoảng (1; +∞) + Chứng minh khoảng (0;1) phương trình vơ nghiệm Chứng minh khoảng (0; +∞ ) phương trình có nghiệm Xét tích f n (1) f n (2) Suy phương trình có nghiệm dương khoảng (1 ;2) DeThiMau.vn 0,5 0,5 N Chỉ dãy số ( xn ) giảm bị chặn + Chứng minh khoảng (1; xn ) phương trình x n +1 − x − = có nghiệm dương 0,5 xn +1 Suy < xn +1 < xn N Chứng minh: lim xn = phương pháp phản chứng 0,5 N Đặt xn = yn + + Tính lim yn ;lim n ln(1 + yn ) 0,5 + Tính lim n yn = lim n( xn − 1) V (3 đ) Lời giải : Ta có + x = ( x + y )( z + x) 1 2( x + y + z ) Do P = + + = ( x + y )( z + x) ( x + y )( y + z ) ( y + z )( z + x) ( x + y )( y + z )( z + x) 2( x + y + z ) 2( x + y + z ) * P= ≥ =2 ( x + y + z )( xy + yz + zx) − xyz ( x + y + z )( xy + yz + zx) Suy P = đạt ( x; y; z ) = (0; t ; ), t > hoán vị t * Áp dụng bất đẳng thức ( x + y )( y + z )( z + x) ≥ ( x + y + z )( xy + yz + zx) ta có 2( x + y + z ) 9 = Do max P = đạt x = y = z = P≤ ( x + y + z )( xy + yz + zx) Lời giải (Áp dụng phương pháp ứng dụng lượng giác) + Nếu x y z P = A B C + Nếu x, y, z > Đặt x = tan ; y = tan ; z = tan Từ giả thiết x, y, z > 2 xy + yz + zx = nên tồn A, B, C ba góc ABC *Áp dụng bất đẳng thức < cos A + cos B + cos C ≤ A B C *Khi P = cos + cos + cos = + (cos A + cos B + cos C ) 2 2 Suy P = đạt ( x; y; z ) = (0; t ; ), t > hốn vị t max P = đạt x = y = z = Ghi chú: Phần lấy ví dụ, GV lấy ví dụ khác với đáp án cho điểm tương ứng Phần giải tập, GV làm cách khác cho điểm tối đa DeThiMau.vn 1,0 1,0 1,0 ... (3 đ) KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN THPT Nội dung Phát vấn đề: N Tạo tình có vấn đề N Phát nhận dạng vấn đề nảy sinh N Phát vấn đề cần giải... Giải vấn đề: N Đề xuất giả thuyết N Lập kế hoạch giải N Thực kế hoạch giải Kết luận: N Thảo luận kết đánh giá N Khẳng định hay bác bỏ giả thuyết nêu N Phát biểu kết luận N Đề xuất vấn đề Tìm hiểu... DeThiMau.vn 0,5 Chứng minh phương trình, hệ phương trình có nghiệm nghiệm, khoảng Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sin(cos x ) = x, cos(sin x) = x có nghiệm π 0; 2 y x e = 2011