Toán học Cách giải phương trình lượng giác và ví dụ39802

Chương I: Phương trình lượng giác số phương trình lượng giác thường gặp Để giải PTLG , nói chung ta tiến hành theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Các điều kiện bao hàm điều kiện để có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức log arit có nghĩa Ngoài PTLG có chứa biểu thức chứa tan x va cot gx cần điều kiện để tan x cot gx có nghĩa Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa phương trình đà cho phương trình Bước 3: Nghiệm tìm phải đối chiếu với điều kiện đà đặt Những nghiệm không thoả mÃn điều kiện bị loại 1.1-Phương trình lượng giác 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác phương trình chứa hay nhiều hàm số lượng giác 1.1.2- Các phương trình lượng giác a) Giải biện luận phương trình sin x  m (1) Do sin x   1;1 nên để giải phương trình (1) ta biện luận theo bước sau Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm Bước 2: Nếu |m|0 vµ P(x) ,Q(x) không đồng thời DeThiMau.vn hàm số B»ng phÐp chia cho a  b ta cã (*)  sin  P( x)     sin Q( x)    hc (*)  cos  P( x)     cos Q( x) , góc phụ thích hợp Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 4: Giải phương trình: cos7 x sin x  3(cos5 x  sin x) (4) Gi¶i: (4)  cos7 x  sin x  cos5 x  sin x 3  cos7 x  sin x  cos5 x  sin x 2 2      cos cos7 x  sin sin x  cos cos5 x  sin sin x 3 6    x   x   k 2     cos(7 x  )  cos(5 x  )   7 x      (5 x   )  k 2      x k x 2       12  k    12 x   x    k  k 2   k Z VËy ph­¬ng trình có hai họ nghiệm Bài tập: Giải phương tr×nh sau : sin x  cos x  10cos x  24sin x  13 sin x  cos x  3cos x  sin x 4cos3 x  sin x   3cos x sin x  cos x   2 sin x.cos x 2( sin x  cos x)  sin x  3(cos x  sin x) DeThiMau.vn 8sin x   cos x sin x 2(sin x  cos x)cos x   cos x 10 cos x  2cos x  2  cos3 x x  x  x 2 3x  cos(  )  sin(  )  2sin(  )  2sin(  ) 12 12 5 1.2.3- Phương trình bậc hai sin x cos x a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai sin x , cos x phương trình a sin x b sin x.cos x  c cos x  d (1) ®ã a, b, c, d  ฀ b) Cách giải : Chia vế phương trình (1) cho mét ba h¹ng tư sin x,cos x sin x.cos x Chẳng hạn chia cho cos x ta làm theo bước sau: B­íc 1: KiĨm tra: cos x   x    k , k  ฀ xem có phải nghiệm phương trình(1) hay không? B­íc 2: Víi cosx  chia c¶ hai vÕ cho cos x lúc phương trình (1) trở thµnh a tan x  b tan x  c  d (1  tan x)  (a  d ) tan x  b tan x c d Đây phương trình bậc hai theo tan ta đà biết cách giải Cách 2: Dùng công thức hạ bậc sin x  cos x  cos x sin x ; cos x  ; sin x.cos x 2 đưa phương trình đà cho phương trình b sin x (c  a )cos x  d  c  a Đây phương trình bậc sin cos ta đà biết cách giải *Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n 3) với dạng tổng quát A(sin n x,cos n x,sin k x cos h x)  ®ã k  h  n; k , h, n  ฀ Khi ®ã ta cịng lµm theo b­íc : DeThiMau.vn B­íc 1: KiĨm tra xem cos x  cã ph¶i nghiệm phương trình hay không? Bước 2: Nếu cos x Chia hai vế phương trình cho cos n x ta phương trình bậc n theo tan Giải phương trình ta nghiệm phương trình ban đầu Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình : cos x  6sin x.cos x  (1) Giải: Cách 1: Phương trình (1) 3(1  cos x)  3sin x    cos x  sin x  3  sin x   cos x   cos(2 x  )  2      x k    2  x   k 2      x       k 2  x    k 2  12  k ฀ VËy ph­¬ng trình có hai họ nghiệm Cách 2: +) Thử với cos x   x    k k vào phương trình (1) ta cã    v« lÝ VËy x    k 2 k  ฀ không nghiệm phươngtrình +)Với cos x Chia hai vế phương trình cho cos x ta tan x (3  3)(1  tan x)  (3  3) tan x  tan x     tan x    x   k    3   tan  tan x    x    k 3 k ฀ VËy phương trình có hai họ nghiệm * Chú ý: Không phải phương trình dạng ta phải thực số phép biến đổi thích hợp Ví Dụ 2: Giải phương trình: sin ( x  )  sin x DeThiMau.vn (2) Gi¶i :  Ta nhËn thÊy sin( x  ) biểu diễn qua sin x cos x Luü thõa bËc ba biÓu thøc sin x cos x ta đưa phương trình dạng đà biết cách giải Phương trình (2) 2 sin ( x  )  4sin x   sin( x  )   4sin x 4   3  (sin x  cos x)3  4sin x +) XÐt víi cos x   x   sin (   k )  4sin(    k 2 k Khi phương trình có dạng k ) mâu thuẫn Vậy phương trình không nhận x    k 2 lµm nghiƯm +) Víi cos x  Chia c¶ hai vÕ phương trình (2) cho cos3 x ta : (tan x  1)3  4(1  tan x) tan x  3tan x  3tan x tan x Đặt t tan x phương trình có đưa dạng: 3t  3t  t    (t  1)(3t  1)   t 1 x     k k Họ nghiệm thoả mÃn điều kiện phương trình Vậy phương trình có họ nghiệm *Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình đà nêu có phương trình giải phương pháp khác tuỳ thuộc vào toán để giải cho cách giải nhanh ,khoa học Ví Dụ 3: Giải phương trình:  tan x   sin x  tan x Gi¶i :   x   k  cos x   §iỊu kiÖn    tan x  1  x     k  k ฀ DeThiMau.vn (3) Cách 1: Biến đổi phương trình dạng : cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x   cos x  sin x   cos x  sin x Chia hai vế phương trình (3) cho cos3 x ta :  tan x  1  tan x  tan x  1  tan x   tan x  tan x  tan x    tan x  tan x   tan x  (*) (do tan x  tan x  vô nghiệm) nên: Phương trình (*) tan x   x  k  k  Z Vậy phương trình có họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình dạng cos x sin x   cos x  sin x  cos x  sin x   cos  x     4     2sin  x    cot( x  )   4  cot ( x   )   sin  x 4 Đặt t cot( x t ) ta : t  t     t  1  t  t     t  1 t hay cot( x   )  1 x      k  x k Vậy phương trình có họ nghiệm Bài tập : Giải phương trình sau : 1) 3sin x  4sin x.cos x  cos x  2) 2cos3 x  sin x  11sin x  3cos x  DeThiMau.vn (k  ฀ ) 3) 4sin x  6cos x  cos x 4) sin x  2sin x 5) sin x  5sin x cos x  7sin x cos x  2cos3 x  6) sin x sin x  sin x  6cos3 x 7) 8cos x   sin x cos x 8) (sin x  4cos x)(sin x  2sin x.cos x)  2cos x 9) cos3 x  sin x  sin x cos x 1.2.4-Phương trình đối xứng sin x cos x a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng sin x cos x phương trình dạng a (sin x cos x)  b sin x cos x  c  ®ã a, b, c  ฀ (1) b) Cách giải: Cách 1: Do a (sin x cosx)   sin x cos x nªn ta ®Ỉt t  sin x  cos x  sin( x   )  cos(   x) §iỊu kiƯn | t | t2 1 Suy sin x cos x  vµ phương trình (1) viết lại: bt 2at (b 2c) Đó phương trình bậc hai đà biết cách giải Cách 2: Đặt t    x th× sin x  cos x  cos(   x)  cos t  1 1 sin x cos x  sin x  cos(  x)  cos 2t  cos t  nªn phương trình (1) trở thành 2 2 b cos x  cos x  b c Đây phương trình bậc hai đà biết cách giải *Chú ý: Hai cách giải áp dụng cho phương trình a (sin x  cos x)  b sin x cos x c cách đặt t sin x cos x lúc sin x cos x  1 t2 VÝ Dơ Minh Ho¹ : DeThiMau.vn Ví Dụ 1: Giải phương trình sin x  cos x  2sin x cos x  (1) Giải: Cách 1: Đặt sin x cos x  t ®iỊu kiƯn | t | Lóc ®ã sin x cos x  t2 1 Khi phương trình (1) có dạng t 2( ) 1 t  1  t2  t     t  (*) Với t không thoả mÃn điều kiƯn nªn (*)  t  1  sin x  cos x  1   x    k 2   sin( x  )  1  sin( x  )    k ฀  4  x k Cách 2: Đặt z  cos(     x Khi phương trình có dạng x) sin x    cos z  sin 2(   z )    cos z  sin(   z)    cos z  cos z    cos z  (2cos z  1)   cos z   2cos z  cos z     cos z   (*’) Ta thÊy cos z không thoả mÃn z    k 2  Do ®ã (*’)  cos z     z  3  k 2  DeThiMau.vn t2 1 3   x    k 2  4 x    k 2 k ฀       x  3  k 2  x    k 4 Vậy phương trình có hai họ nghiệm *Chú ý: Ta đưa số dạng phương trình dạng phương trình đối xứng đà xét Bài toán 1: Giải phương trình a tan x  b cot x  c(a sin x  b cos x) (1) ab  a sin x  b cos x Cách giải: Phương trình (1) viết c(a sin x  b cos x) sin x.cos x  (a sin x  b cos x)(a sin x  b cos x)  c(a sin x  b cos x)  (a sin x    b cos x) (a sin x    b cos x)  c sin x.cos x    a sin x    b cos x    a sin x    b cos x  c sin x.cos x  *Quy ­íc: Khi cã nhiỊu dÊu    mét biĨu thức hay hệ hiểu lấy dòng lấy dòng Ví Dụ 2: Giải phương tr×nh tan x  3cot x  4(sin x  cos x) (2) Giải: Điều kiện: sin x.cos x   x  Ta cã (2)  k k ฀ (sin x  3cos x)  4(sin x  cos x) sin x.cos x  (sin x  cos x)(sin x  cos x)  4(sin x  cos x)sin x.cos x  (sin x  cos x) (sin x  cos x)sin x   sin x  cos x  (4)  sin x  cos x  sin x  (3) Ta cã (3)  tan x    x     k (5) DeThiMau.vn   (4)  sin x  cos x  sin x  cos sin x  sin cos x  sin x 2 3     x  x   l 2 x    l 2    3  sin( x  )  sin x     x    x    l 2  x  4  l 2   3 l (6) Các gía trị x (5) (6) thoả mÃn điều kiện phương trình Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm Bài toán 2: Giải phương trình: a (tan x   sin x)  b(cot x    cos x)  (a  b)  víi a , b , c , d  ฀ (1) C¸ch gi¶i: a (tan x    sin x  1)  b(cot x    cos x  1)  a b (sin x    sin x.cos x  cos x)  (sin x    sin x.cos x  cos x)  cos x sin x a b (  )(sin x    sin x.cos x  cos x)  cos x sin x Ta cã:  b  a  0   cos x sin x  sin x    sin x cos x  cos x Đến đà biết cách giải b tan x a   sin x    sin x cos x  cos x  T­¬ng tù cho ph­¬ng tr×nh a (tan x    sin x)  b(cot x    cos x)  a  b Ví Dụ 3: Giải phương trình tan x  cot x  sin x  cos x    (3) Gi¶i: §iỊu kiƯn sin x   x  k k ฀ (3)  tan x  sin x  3(cot x  cos x)     (sin x  sin x cos x  cos x)  (sin x  sin x.cos x  cos x)  cos x sin x (  )(sin x  sin x.cos x  cos x)  cos x sin x DeThiMau.vn ... *Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình đà nêu có phương trình giải phương pháp khác tuỳ thuộc vào toán để giải cho cách giải nhanh ,khoa học Ví Dụ 3: Giải phương trình: tan x   sin x  tan... sin x b cos x phương pháp c sin x d cos x đánh giá cho số phương trình lượng giác Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình: sin x 3cos x (1) Giải : Cách 1: Chia hai vế phương trình (1) cho... nghiệm phương trình hay không? Bước 2: Nếu cos x Chia hai vế phương trình cho cos n x ta phương trình bậc n theo tan Giải phương trình ta nghiệm phương trình ban đầu Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải