Hướng dẫn giải phương trình lượng giác cơ bản và đơn giản31414

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN Phương pháp giải phương trình lượng giác A LÝ THUYẾT Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 ThuVienDeThi.com Trang Trang Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 ThuVienDeThi.com Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 ThuVienDeThi.com Trang B BÀI TẬP I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài Giải phương trình sau :   x x 1  2sin x cosx  1  2sin x 1  s inx  a  sin  cos   3cosx=2 2 b c s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2 cos4x+sin x  d 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0  Giải  x x a  sin  cos   cos x    sin x  cos x   sin x  cos x  2 2           x k    k 2 x      6  sin  x    sin    k  Z  3   x    5  k 2  x    k 2      x    k 2    2sin x cosx  7 s inx    k 2  Điều kiện :  b  x  1  2sin x 1  s inx  s inx      x   k 2   x c 2sin osx     cosx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin x Khi : 1  2sin x 1  s inx       cosx-sinx=sin2x+cos2x  2cos  2x-   2cos  x   4 4         x   k 2  x   x   k 2 2   xk k  Z   x  k 2  x     x    k 2   4 c s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2 cos4x+sin x  s inx+ sin3x+sinx 3sinx-sin3x  3cos3x=2cos4x+ 2  3s inx  sin x  3cos3x=4cos4x+3sinx-sin3x sin x  cos3x=cos4x 2     x  x   k 2 x   k 2     6  cos4x=cos  3x+     k  Z  6   x  3 x    k 2  x     k 2   42 d 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0  3cos5x- sin5x+sinx   s inx=0  2sin x  3cos3x=4cos4x   3cos5x-sin5x=2sinx  Trang cos5x- sin x  s inx 2 Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 ThuVienDeThi.com    k   x    x  k 2 x      18  cos  5x+   s inx=cos   x     k  Z  6  2  5 x    x    k 2  x     k   6   Bài Giải phương trình sau : a sin x  cos x  sin x  b 2 s inx+cosx cosx=3+cos2x c cos x  sin x  s inx+cosx  d sin x  cos x  s inxcosx+1 Giải       1  2sin x  sin x   cos4x+ sin x  1 a sin x  cos x  sin x   1  sin 2 x   sin x   2  cos4x+ sin x    cos  4x-     cos 2 3   2  k    x    k 2 x     k  Z   x     2  k 2  x     k  3 12  b 2 s inx+cosx cosx=3+cos2x  sin x  2cos x   cos2x   sin x  1  cos2x    cos2x  sin x   1   2,    36  Ta có : a  b   11   5   c2     1cos2x=3- 2   11  Do : 32   c  a  b Phương trình vơ nghiệm   c cos x  sin x  s inx+cosx   cos2x- sin x  2sin  x           cos2xsin x  sin  x    sin  x    sin  x   2 4 6 4      5    x   x   k 2  x  12  k 2   k  Z   x    3  x  k 2  x  11  k 2  36  4 d sin x  cos x  s inxcosx+1  cos2x+ sin x  1     2   k cos2x+ sin x  1  cos  2x-   cos  x     k 2  x  2 3 3  Bài Giải phương trình sau : 2  4        a 4sin x sin   x  sin   x   3cosx cos  x   cos  x    3 3      b 2sin x  16sin x.cosx  3cos x   Giải 2     x  sin   x   3cosx.cos  x  3  3   a 4sin x sin      c  sin x  cos x  sin x 4    cos  x       Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 ThuVienDeThi.com Trang 2     2  2sin x  cos2x-cos   3cosx cos 2 x  2   cos      1  2sin xcos2x+2sinx  3cosx.cos2x-2 3cosx  2  sin x  s inx+sinx  cos3x+cosx - 3cosx   sin x  3cos3x=         sin x  cos3x=  cos  3x-   cos 2 6   k 2   x  36   k  Z   x     k 2  36 b 2sin x  16sin x.cosx  3cos x  Ta có : 16sin xcosx  cos x 3sin x  sin 3x   6sin x  2.2sin 3x.cosx =6sin2x-2 sin4x+sin2x   4sin x  2sin x Cho nên (1) : 2sin x  4sin x  2sin x +3cos2x=5  4sin2x.+3cos2x=5   sin x  cos2x=1  cos 2x-    x    k 2  x   k k  Z  5 Và : cos = ;sin   5 c  sin x  cos x  sin x 3   cos4x  Do : sin x  cos x   sin 2 x       cos4x 4  8   Cho nên (c) trở thành :  sin x   cos4x  cos4x-sin4x=1  2cos  4x+   8 4  k     x 4x+   k 2      4  cos  4x+    cos    k  Z  4   x     k  4x+      k 2  4  Bài Giải phương trình sau : a sin x  cos6x= sin x  cos8x  b cos7x-sin5x= cos5x-sin7x  c 3sin 3x  3cos9x=1+4sin 3x d 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 Giải a sin x  cos6x= sin x  cos8x   sin x  3cos8x= sin x  cos6x Chia hai vế ơhw[ng trình cho ta có : 3      sin x  cos8x= sin x  cos6x  sin  8x-   sin  x   3 6          8 x   x   k 2  x   k 2  x   k    k  Z  8 x    6 x  5  k 2 14 x  7  k 2  x    k    12 b cos7x-sin5x= cos5x-sin7x   cos7x+ sin x  3cos5x+sin5x Chia hai vế phương trình cho ta có kết : Trang Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 ThuVienDeThi.com  3     cos7x+ sin x  cos5x+ sin5x  cos  7x+   cos  5x-  2 2 3 6          7 x   x   k 2  x    k 2  x    k    k  Z  7 x    5 x    k 2 12 x     k 2  x     k    72 6 c 3sin 3x  3cos9x=1+4sin 3x  Từ công thức nhân ba : sin x  3sin 3x  4sin 3x phương trình (c) viết lại : 3sin x  4sin 3 x  3cos9x=1  sin x  3cos9x=1  sin x  cos9x= 2  k 2     9x-  k 2 x       18  cos  9x-  =  cos    k  Z  6  9x-      k 2  x     k 2 27     cos5x+ sin5x=cos2x  cos  5x-   cos2x 2 6    k 2     k 2 x   30  k  Z    k 2    k 2 x   10 d 3cos5x+sin5x-2cos2x=0    5 x   5 x    II PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài Giải phương trình sau :  cos3x+sin3x  a  s inx+ b cos 3x.cos2x-cos x     cos2x  2sin x       c cos x  sin x  cos  x-  sin  3x     d 4.s inxcosx+3sin x  6sin x  4  4 Giải cos3x+sin3x   a  s inx+    cos2x Điều kiện : sin x   (*)  2sin x   Phương trình (a) trở thành :  s inx+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x   s inx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x   5    cos2x      cos2x  2sin x  2sin x     s inx+cosx+sin3x s inx+sin3x   cosx 2sin x.cosx+cosx cosx 1+2sin2x       cosx  2sin x  2sin x  2sin x  2sin x  cosx= 2  Cho nên (a)  5cos x   cos x  cos x  5cos x     cosx=2>1   x   k 2  Vậy : cos x    Kiểm tra điều kiện :  x     k 2  Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 ThuVienDeThi.com Trang   2  - 2sin   4k       Cho nên nghiệm phương trình x   k 2    2   1 - 2sin    4k         Vi phạm điều kiện , loại    2 Tóm lại phương trình có họ nghiệm : x    k 2 1+cos2x 0 b cos 3x.cos2x-cos x   cos 3x.cos2x2  cos x.cos2x- 1+cos2x    cos2x 1+cos6x    cos2x=0  cos6x.cos2x=1 cos4x=1  cos8x+cos4x=2  cos x  cos4x-3=0   cos4x=-  1  k Do : cos x   x  k 2  x  k  Z  2 c    1     cos x  sin x  cos  x-  sin  x       sin 2 x  sin  x    sin x    4 2 2  2  4   1   sin 2 x  cos4x  sin x     sin 2 x    1  2sin 2 x  sin x    2 sin2x=1     sin 2 x  sin 2x-2=0    sin x   x   k 2  x   k k  Z  sin2x=-21    x    k 2  Vậy phương trình có nghiệm : sin x     k  Z  ( Thỏa mãn diều kiện )  x  7  k 2  d 5.s inx-2=3 1-sinx .tan x Điều kiện : cos x   x  Bài Giải phương trình sau :   cosx 2sinx+3  cos x  1 1 a 2sin 3x  b  cos x   sin x s inx cosx x x x 3x c cos x.cos cos  s inx.sin sin  d cos3 x  sin x  8cos x 2 2 Giải s inx  1   cos x   x  k k  Z  Điều kiện :  s inx cosx cosx  1 2sin x.s inx-1 cos x.cosx   cos x    Khi : 2sin 3x  s inx cosx s inx cosx cos2x-cos4x-1 cos4x+cos2x  cos2x-2cos x cos2x+2cos 2 x     s inx cosx s inx cosx cosx-sinx-2cos2x cosx-sinx  1-2cos2 x 1+2cos2 x   cos2x     cos2x 0  cosx  sinx.cosx  s inx a 2sin 3x  Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 ThuVienDeThi.com Trang  k   x    k  cos2x=0  x     1-2cos2x     cos2x cosx-sinx  k  Z      tanx=1   x   k     sinx.cosx    x    k    cos2x=  x    k   Các họ nghiệm thỏa mãn điều kiện b   cosx 2sinx+3  cos x  1  sin x Khi :   Điều kiện : sin x   x   cosx 2sinx+3  cos x  1  sin x   k k  Z  (*)   sin x +3 2cosx  cos x    sin x   cosx=  cos x  2cosx      cosx=  x    k 2 2 cosx=  Nhưng điều kiện (*) Ta có nghiệm : x     k 2 , thỏa mãn Đó nghiệm x 3x x 3x  s inx.sin sin   cosx cos2x+cosx   s inx cosx-cos2x   2 2  cos2x cosx+sinx   cos x  sin xcosx   cos2x cosx+sinx   s inxcosx-sin x  c cos x.cos cos  cos2x cosx+sinx   s inx cosx+sinx    cosx+sinx cos2x-sinx      x    k  t anx=-1  cosx+sinx    k 2     k  Z     x    cos2x=sinx=cos   x  cos2x-sinx    2    x     k 2    d cos3 x  sin x  8cos x  cos x cos x  s inx-4  cosx=0   cos x  cosx=0 sinx=    2   1  sin x  s inx-4=0  2sin x  s inx+2=0  s inx=     x   k cosx=0    Do Phương trình có nghiệm :   x   k 2 k  Z  sinx=     x  3  k 2  Bài Giải phương trình sau :     a cos  x    cos  2x-   4sin x   1  s inx   4  4   b 3cot x  2 sin x   cosx c 4sin 2 x  6sin x   3cos x 0 cosx Trang 10 Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 ThuVienDeThi.com d Cho : f ( x)  s inx+ sin 3x  sin x Hãy giải phương trình : f'(x)=0 Giải      cos  x    cos  2x-   4sin x   1  s inx  4 4   a  cos x.cos    4sin x   1  s inx    sin x     s inx=    x    k 2 2+  sin    k  Z  4  x      k 2 b 3cot x  2 sin x   cosx Điều kiện : sin x   x  k Chia hai vế phương trình cho : sin x  Khi phương trình có dạng :      cosx   cosx   3cot x  2 sin x   cosx     2      sin x   sin x  t  cosx Đặt : t   3t   t  2    t  sin x  cosx=-  1   2  cosx= sin x c osx= cosx=  c x  c  os osx2  2     cosx= sin x   cos x  3cos x   cosx= cosx=     2  cosx=-2