Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị TrangA. Bài giảng số 5: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.[r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 5: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Ta thường đặt ẩn phụ để đưa phương trình lượng giác phương trình đại số để giải

tốn

 Khi gặp phương trình chứa hàm lượng giác ta thường đặt tsinx, os

tc x, ttanx hay t cotx tùy theo hàm lượng giác phương trình

 Khi gặp phương trình lượng giác dạng Rtan , cot , sin , os2 , tan 2x x x c x x, với R hàm hữu tỷ đặt ttanx Lúc đó, tan 2 2

1

t x

t



 ,

2 sin

1

t x

t



 ,

2 os2

1 t

c x

t  

  Khi gặp phương trình đối xứng theo sin , cosx x , ta thường đặt tsinxcosx

sin cos

t x x Nếu phương trình đối xứng theo tan , cotx x đặt ttanxcotx  Khi gặp phương trình đẳng cấp, ta thường đặt ttanx

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: sin8 os8 17 1  32

x c x

Giải

Ta có:  

4

1 os2 os2 17

1

2 32

c x c x

 

   

    

     

4

1 17

os cos

8 c x x 32

   

Đặt os

c x , với t t 0;1, ta có: 17

t  t  13

6

4

t t

   

1 13

2 t

t 

   

   

Vì t 0;1 nên

2

t  os 22

c x

  os4 1

2

c x 

  cos4x0

2

x  k

  

 

8

x  k k Z

   

Vậy nghiệm phương trình  

8

(2)

Ví dụ Giải phương trình sau: 2sin3xcos2xcosx0 2 

Giải

Ta có:  2 2 1 cos2xsinx 2 cos2xcosx 1

1 cos x 2 cos xsinx2 cos  x10

1 cosx2sinx cosx sin cosx x 1

     

 

cos

2sin cos sin cos *

x x k k Z

x x x x



    

 

   



Giải  * : Đặt tsinxcosx, điều kiện: t  2, phương trình (*) trở thành:

2tt   1 t22t0  

 

0

t tm

t l

   

  

sinx cosx

    

4

x  k k Z

    

Vậy nghiệm phương trình  

x k

k Z

x k 



 

  

 

  

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 2sinxcotx2 sin 2x1 3 

Giải

Điều kiện: sinx0cosx 1

Khi  3 sin cos 4sin cos sin

x

x x x

x

   

2

2 sin x cosx sin xcosx sinx

   

 

2

2 sin x sinx cosx sin x

    

     

sinx sinx cosx 2sinx sinx

     

   

2 sin sin cos sin

x

x x x



  

 



  



Ta có:  3 sin

x

   (nhận sinx 0)  

2

x k

k

x k

 

  

 



 

  





Xét  3 : đặt sin cos sin t x x x 

(3)

2

1 sin

t x

  

Khi đó:  3  t 1t20 t2  t

 

1

t tm

t l

  

   

  

  

1

2 sin

4

x   

 

   

 

1

sin sin

4 2

x    

 

    

 

2

x k



 



  



  

  

     

 

2

5

2

x k

k

x k



 



 



  



 

   





Ví dụ 4: Giải phương trình :

 

2 3

tanxtan xtan xcotxcot xcot x6

Giải

Ta có:  4 tanxcotxtan2xcot2x  tan3xcot3x6

   2   2 2 

tanx cotx tanx cotx tanx cotx tan x cot x

         

tanx cotx tanx cotx2 tanx cotx  tanx cotx2 3

        

 

Đặt tan cot

sin

t x x

x

   (điều kiện: t 2) Khi  4 trở thành:

 

2

3

tt t t   t3t22t 8 0t2t23t40 2

3

t

t t

   

  



t

  2

sin 2x

  sin 2x1 2

2

x  k 

    

4

x  k k Z

   

Vậy nghiệm phương trình là:  

4

x k kZ

Ví dụ 5: Giải phương trình sau: sinx cosx sinx cosx 2 5  Giải

Đặt sin cos sin t x x x 

(4)

2 t t 

2

4

t

t t t

    

  



2

5

t

t t

   

  



2

4

t

    



 

 

1

t

 

1 sin

3

x 

 

   

 

2

3

5

3

x k

 



 

 

  

  

   



 

2

x k

k Z

x k

 

  

   

 

   

6 2

x k

k Z

x k

 

  

   

 

   

Ví dụ 6: Giải phương trình: 3 tanx1 sin x2 cosx5 sin x3cosx   Giải

Chia vế  6 cho cosx 0 ta được:  6 3 tanx1 tan x25 tan x3 Đặt u tanx , với u 0 tanxu2 Khi  6 trở thành:

   

3u u 1 5 u 2

3u 5u 3u 10

    

  

2

u u u

     22

3 ( )

u

u u VN

   

   

2

u

   tanx 1 tanx 1 tanx 3 tan  x kkZ Vậy nghiệm phương trình là: x kkZ

Ví dụ 7: Cho f x cos 22 x2 sin xcosx33sin 2xm a) Giải phương trình f x   0 m  3

b) Tính theo m giá trị lớn giá trị nhỏ f x 

Tìm m cho f2 x 36 x   Giải

Đặt sin cos os t x x c x

  (điều kiện: t  2)

1 sin

t x

  

 2

2 2

os sin 1

c x x t t t

(5)

Vậy f x  trở thành g t  t4 2t22t33t21m

a) Khi m  3 g t 0 t2t2 2t10 t

t    

 

os

4 os

4

c x



  

 

 



 

 

  

 

  

 



2 1

4

2

4

x k

 

 

  

  

     

 

3

2 2

x k

x k k

x k

 

 

 

 

  



 

 



b) Ta có: g t  4t36t22t 2 2t t23t1

Khi  

0

1 2;

1 t g t

t t

t    

  



 

 

 

 

   



  

Mà g 0  3 mg 1 , 47

2 16

g   m

  , g 24 2 3 m,

 2

g m 

   

2 ,

ax ax

x t

m f x m g t m

   

   

 ,   ,  

min

x t

f x g t m

     

   



Do 2 

36 x

f x      6 f x 6 x  

   

ax

min

m f x

f x

 

  

  

 



3

m

  

  

   

 

4 m

   

Ví dụ 8: Cho phương trình: 2 cos 2xsin2 xcosxsin cosx xmsinxcosx  

a) Giải phương trình m 2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm 0, 

 

 

  Giải

Ta có:  8 2cos2xsin2 xsin cosx xsinxcosxmsinxcosx

 

   

cos sin cos sin sin cos

x x

x x x x m



  

 



  

(6)

Đặt cos sin os t x x c x 

  (điều kiện: t  2)

1 sin cos

t x x

  

Ta có:  8 tan  

4

x x  k k

         

Ta có:  

2

8

2 t

t  m

     t2 4t 1 *m  

a) Khi m 2  * trở thành: t2 4t 3  

 

1

t tm

t l

   

 

2

os

4 4

c x   x   k 

        

   

2 2 x k

k

x k

 

 

 

 

    



2

4 x k

x k

k

x k

 



  

 

   

 



   





b) Ta có: 0, ,3

2 4

x  x  

   

2

os

2 c x



 

     

     1 t

Do nghiệm 0, ,

4

x  k   k

   nên yêu cầu toán trở thành tìm m để (*) có nghiệm đoạn 1,1

Xét

4

y t  t  y 2t40 t   1,1 y tăng 1,1 Do u cầu tốn   4 y 1 2m y 1 4   2 m2 Vậy với  2 m2 thỏa mãn yêu cầu đề

Ví dụ 9: Cho phương trình: sin6xcos6xasin 9x   Tìm a cho phương trình có nghiệm

Giải

Ta có:

  

6 2 2

sin xcos x sin xcos x sin xsin xcos x c os x

sin2x c os2x23sin2xcos2x 3sin 22

4 x

(7)

Đặt t sin 2x , điều kiện: 0 t  9 trở thành:

3

4t at

 

4t a

t

   (do t 0  9 vơ nghiệm) Xét

4

y t

t

  D 0,1 12

y t



    

Do phương trình có nghiệm

4

a

 

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải phương trình sau:

1 3cot2x2 sin2x2 cos  x ĐS:

2

x k

 

  

   



    

2 cos26 3cos8

5

x x

  ĐS:

5

4 21

os

5

x k

x c



   

 

 

3 tan3 tan

4

x  x

 

  

 

  ĐS:

x k

x k 



 

   

  

4 cot os2 sin2 1sin

1 tan

c x

x x x

x

   

 ĐS: x k

 

 

5 sin 2x2 tanx3 ĐS:

4

x k

6 cot tan 4sin 2 sin

x x x

x

   ĐS:

3

(8)

7 1 tan x1 sin 2 x 1 tanx ĐS: x k x k

 

 

   

   Bài 2: Giải phương trình sau:

1 cos2x 5 2 cos  xsinxcosx ĐS: 2

x k

 



 

 

  

2 cos3xsin3xcos2x ĐS:

4

2

x k

 

 

   

   

 

  tanxtan2 xtan3xcotxcot2xcot3x ĐS:

4

x k

4 22 tan2 tan 5cot

sin x x x x  ĐS: x k

 

  

5 3sin 2x2 tanx ĐS:

3 17

tan

4

x k

x 





   



 

 

6 tanxcotx2 sin 2 xcos2x ĐS:

8

x k

 



 

 

   

7 sin3x c os3xsin 2xcosxsinx ĐS:

2

sin

4

x k

x 



 

   





  

 

 



 



8

2

4sin sin 3cos cos

x x x

x

  

 ĐS:

3

(9)

9

2 cos xsin 3x ĐS:

6

3 x k

x k

 



  

  

  

 

  



10.8 cos3 os3

x  c x

 

 

 

  ĐS: x k2

 

 

Bài 3: Giải phương trình sau:

1 sin 3xcos3x2 cosx0 ĐS:

3

x k

 

  

   



    

2 6sin cos3 5sin cos cos

x x

x

  ĐS: Vô nghiệm

3 sinx4sin3xcosx ĐS:

4

x k

4 tan sinx 2x2 sin2 x3cos2xsin cosx x ĐS:

x k

 

  

   



    

5 sin cosx xsinxcosx 1 ĐS:

2

xk

6 sinxcosx 2 sin 2x1 ĐS:

2

xk Bài 4: Cho phương trình: cos2x2m1 cos xm 1

a) Giải phương trình

2

m  ĐS:

3

x  k 

b) Tìm m để phương trình có nghiệm ,3 2

 

 

 

  ĐS: m   1; 0 Bài 5: Cho phương trình: cos4x6 sin cosx xm

a) Giải phương trình m 1 ĐS:

2

xk

b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt 0, 

 

 

  ĐS:

17

8

m

(10)

Bài 6: Cho phương trình: cos4xcos 32 xasin2x

a) Giải phương trình a 1 ĐS:

2

xk

b) Tìm a để phương trình có nghiệm 0, 12



 

 

  ĐS: 0a1

Bài 7: Cho phương trình: sin cos  1 tan cot 1

2 sin cos

m x x x x

x x

 

       

 

2

m  ĐS:

4

x  k

b) Tìm m để phương trình có nghiệm 0, 

 

 

  ĐS: m   1 Bài 8: Cho phương trình: cos3xsin3xm

a) Giải phương trình m 1 ĐS:

2 2 x k

x k

 

 

 

    

b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm , 4 x   

  ĐS:

1 m

Bài 9: Cho phương trình: 12 cot2 tan cot 

os x m x x

c x    

2

m  ĐS:

4

x  k

b) Tìm m để phương trình có nghiệm ĐS:

2

m 

Bài 10: Cho phương trình: cos2xmcos2x tan x Tìm m để phương trình có nghiệm

0, 

 

 