Tổng hợp lý thuyết và bài tập về Phương trình lượng giác Toán 11 có đáp án

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm [r]

Trang | TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CÓ ĐÁP ÁN A LÝ THUYẾT

I CƠNG THỨC LƢỢNG GIÁC 1) Cơng thức bản:

2

sin xcos x1

sin tan

cos x x

x 

cos cot

sin x x

x  tan cotx x1

2

2 tan

cos x

x

 

2

2 cot

sin x

x  

sin(xk2 ) s inx cos(xk2 ) cos x tan(xk)t anx;cot(x+k )=cotx 2) Hai góc liên quan đặc biệt

Bù nhau:

x

  x

Hơn  :

x x

Đối nhau:

x

 x

Phụ nhau:

2 x  

x

Hơn

2 

:

2 x x sin( ) s inx

cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot

x

x x

x x

x x

   

 

  

  

  

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot

x x

x x

x x

x x

   

  

  

 

 

cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot

x x

x x

x x

x x

    

     

cos( ) sin

sin( ) cos

tan( ) cot

cot( ) tan

x x

x x

x x

x x

 

 

       

sin( ) cos

cos( ) sin

2

tan( ) cot

2

cot( ) tan

2

x x

x x

x x

x x

   

          

3) Công thức cộng

cos cosx ysin sinx xcos(xy) cos cosx ysin sinx ycos(xy) sin cosx ycos sinx ysin(xy) sin cosx ycos sinx ysin(xy)

tan tan tan( )

1 tan tan

x y

x y

x y

  

Trang |

tan tan tan( )

1 tan tan

x y

x y

x y

  



Hệ quả: tan tan ; tan tan

4 tan tan

x x

x x

x x

   

     

     

   

Công thức nhân đôi

2 2

cos 2xcos xsin x2cos x  1 2sin x

sin 2x2sin cosx x Công thức nhân ba

3

cos3x4cos x3cosx sin 3x3sinx4sin x Công thức hạ bậc

2 cos cos

2 x x 

2 cos sin

2 x x 

2 cos tan

1 cos x x

x  

 Đẳng thức

4

sin cos sin 2

x x  x

6

sin cos sin

x x  x

4) Cơng thức biến đổi tích thành tổng:

cos cos [cos( ) cos( )]

1

sin sin [cos( ) cos( )]

x y x y x y

x y x y x y

   

    

1

sin cos [sin( ) sin( )]

1

cos sin [sin( ) sin( )]

x y x y x y

x y x y x y

   

   

5) Công thức biến đổi tổng thành tích: cos cos cos cos

2

cos cos 2sin sin

2

x y x y

x y

x y x y

x y

 

 

 

Trang | sinx sin 2sin cos

2

sin sin cos sin

2

x y x y

y

x y x y

x y

 

 

 

 

Hệ quả:

 

sin cos 2.sin 2.cos

4

x x x  x 

   

 

sin cos 2.sin 2.cos

4

x x x   x

   

II CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 1 Phƣơng trình lƣợng giác

m

x

sin (1) ( Bấm SHIFTsin m  ) m|>1 (1) vơ nghiệm |sinx|1 với xR

m|1, (1) có nghiệm có  đẹp cho m = sin

thì  1 sin sin

2

x k

x

x k

    

    

     

 (kZ)

Nếu  lẻ ta dùng hàm ngược arcsin(m) arcsin

sin

arcsin

x m k

x m

x m k

  



       

 k 

3 trường hợp đặc biệt (cho họ nghiệm)

 sinx0xk , kZ;

  2

2

sinx  x k , kZ;

  2

2

sinx x k , kZ

Với uu x v , v x 

2 sin sin

2

u v k

u v

u v k



 

     

   

sinu sinvsinusin(v) sin cos sin sin

2 u v u  v

 

sin cos sin sin u  v u v 

 

m

x

cos (2) ( Bấm SHIFTcos m  ) |m|>1 (1) vơ nghiệm |cosx|1 với xR |m|1, có đẹp cho mcos,

 2 cos cos 2

x k

x

x k

    

    

   

 (kZ)

Nếu  lẻ dùng hàm ngược arccos(m)

2 cos cos

2

u v k

u v

u v k

 

  

  

   

cosu cosvcosucos(v)

Trang |

 

   

arccos

cos

arccos

x m k

x m k

x m k

  



  

   



Trường hợp đặc biệt (cho họ nghiệm)

 x x k

2

cos , kZ;

 , kZ;

 cosx1xk2, kZ tanx = m (3) ( Bấm SHIFTtan m  ) Với m phương trình (3) ln có nghiệm Nếu  đẹp cho mtan

 3 tanxtan     x k , kZ

Nếu  lẻ  3  x arctan m  k

tanutanv  u v k

 

tanu tanvtanutan v tan cot tan tan

2 u v u v

 

cotx = m (4) ( Bấm SHIFTtan 1: m ) Với m phương trình (4) ln có nghiệm: Nếu  đẹp cho mcot

 4 cotxcot     x k , kZ

Nếu  lẻ cotx  m x arccot m  k (k )

Đặc biệt: cot

2 x    x  k

cotucotv  u v k

 

cotu cotvcotucot v

Lưu ý:

- Trong công thức nghiệm sin côsin thường họ nghiệm cộng với 2k  k.3600; cịn cơng thức nghiệm tang côtang thường ta họ nghiệm cộng với k k.1800 - Đối với phương trình k phải chứa tang, cơtang h/s lượng giác mẫu cần đặt điều kiện

2 Phƣơng trình bậc HSLG: Dạng: au b u b

a

     với u hàm số lượng giác Giải tiếp tìm x

3 Phƣơng trình bậc hai HSLG Dạng:

0

au bu c  u HSLG

Cách giải: - Tìm u

- Giải tiếp tìm x



2

Trang | 4 Phƣơng trình bậc sinx cosx

Dạng: acosxbsinxc(1) asinxbcosxc(2)

Điều kiện có nghiệm: phương trình (1) (2) có nghiệm a2b2 c2

Cách giải:

Ta chia số hạng vế cho 2

a b để đưa phương trình cho phương trình

 

sin X  =m cosX m với

2

c m

a b





* Một số phương trình có cách giải

1/ asinx b cosx  a2b2.siny(3) asinx b cosx  a2b2.cosy (4) 2/ asinx b cosxasiny b cosy (5)

Phương pháp giải: Chia số hạng vế cho 2

a b đưa phương trình dạng sinusinv cosucosv

Công thức cộng cần nhớ:

cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin cos( )

x y x y x y

x y x y x y

  

  

sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin sin( )

x y x y x y

x y x y x y

  

  

5 Phƣơng trình đẳng cấp theo sinx cosx Dạng: asin2 x b sin cosx xc.cos2 xd(1)

Cách giải:

+) Xét phương trình cosx0 sin x

  thay vào phương trình

 Nếu pt có nghiệm

2 x  k  Nếu sai pt vơ nghiệm

+) Xét cosx0, chia hai vế phương trình cho x cos

2

tan tan (1 tan )

pta x b x c d  x Giải tiếp tìm x

+) Kết luận

6.Phƣơng trình đối xứng:

Dạng asinxcosxb.sin cosx x c 0  1 Đặt sinxcosxu u, 

2

1 sin cos

2

u

x x 

 

Khi  

2

1

1

2

u

a u b  c

    …

Dạng asinxcosxb.sin cosx x c 0  2 Đặt sinxcosxu u, 

2

1 sin cos

2

u

x x 

 

Khi  

2

1

2

2

u

a u b  c

Trang |

Dạng asinxcosxb.sin 2x c 0  3 Đặt sinxcosxu u,  sin 2xu21

Khi    

1 a u b u    1 c

Dạng asinxcosxb.sin 2x c 0  4 Đặt sinxcosxu u,  sin 2x 1 u2

Khi    2

4 a u b  1u  c B BÀI TẬP

Câu Phương trình tan2x – 2m.tanx + = có nghiệm khi:

A m 1 B 

 

  

1

m m

C. 1m1 D m 4

Câu Phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm khi:

A a2 + b2 > c2 B a2 + b2 < c2 C. a2 + b2  c2 D.a2 + b2  c2

Câu Nếu đặt t = sinx + 3cosx điều kiện t là:

A t  B t  C. t  10 D. t  10

Câu 4. Phương trình sin2x – (1 + 3) sinx cosx + 3cos2x = có nghiệm là:

A.      

 

 

 

 

k x

k x

3

B      

 

 

 

 

2

k x

k x

C.      

 

 

 

 

k x

k x

3

D.      

 

 

 

 

2

2

k x

k x

Câu Cho ABC, biết cos(B – C) = Hỏi ABC có đặc điểm ?

A ABC vuông B ABC cân C. ABC D. ABC nhọn

Câu Hàm số y =

x m

x cos

cos

 xác định với x R ?

A m 2 B m 2 C. m 2 D. m 2

Câu Hàm số y = + sin2x có chu kì là:

A T =



B T = 4 C. T = 2 D.T = 

Câu Chu kì hàm số y = cosx cos5x + sin2x sin4x là:

A T = 2 B T =  C. T =

2



D.T = 4

Câu Chu kì hàm số y = cos4 x + sin4x là:

A T = 4 B T = 2 C. T =

4



D.T =



Trang | A y = x.cos2x B y = (x2 + 1).sinx C. y = 2

1 cos

x x

 D.

1 tan

x x y

  Câu 11 Hàm số sau hàm số lẻ tập xác định nó?

A

x x y

sin

sin



 B

x x y

cos

sin2 

 C. y = cos 2

x x

x

 D. x

x

y 2

sin

tan

  Câu 12 Biết y = f(x) hàm số lẻ tập xác định D Khẳng định sai?

A f[sin(– x)] = – f(sinx) B f[cos(– x)] = f(cosx)

C. sin[ f(– x)] = sin[ f(x) ] D cos[ f(– x)] = cos[ f(x) ]

Câu 13 Hàm số sau có đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng?

A y = (x2 + 1)sinx B y = (x3 + x).tanx C. y = x.cot2x D.y = (2x + 1)cosx

Câu 14. Phương trình: 3(sinx + cosx) – sin2x – = có nghiệm là:

A x k

6 B 

 k x 

4 C 

 k x 

3 D 

 k

x 

3

Câu 15. Xác định m để phương trình m cos2x – m.sin2x – sin2x + = có nghiệm

A   

  

2

m m

B   

  

0

m m

C. 3m1 D

2

1  

 m

Câu 16 Tìm nghiệm x00 ;1800 phương trình sin2x + sin4x = sin6x

A 300, 600 B. 400, 600 C 450, 750, 1350 D 600, 900 , 1200

Câu 17 Phương trình cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = tương đương với phương trình:

A cosx cos2x cos4x = B cosx cos2x cos5x =

C. sinx sin2x sin4x = D sinx sin2x sin5x =

Câu 18 Với giá trị m phương trình cos2x – (2m + 1)cosx + m + = có nghiệm

   

  

2 ;

 

x ?

A 0m1 B 1m0 C.

2



m D

2 1 

 m

Câu 19 Xác định m để hàm số y = (2m – 1)cosx + (2m + 1)sinx hàm số lẻ R?

A

2  

m B

2  

m C.

2 

m D

2  m

Câu 20. Cho phương trình

2

5

sin x  m2 m 

 



 

Biết x =

60 11

nghiệm phương trình Tính

Trang | A       1 m m B        m m C.          m m D          m m

Câu 21 Phương trình 3

7

sin          m m

x  vô nghiệm :

A 1m0 B 3m1 C. 

    m m

D       m m

Câu 22 Hàm số y =

x

x cot

1 tan

1

2

2  

 có chu kì là:

A T = 2 B T = 4 C. T =

2



D.T = 

Câu 23 GTNN GTLN hàm số y = 5cos2x – 12sin2x + bằng:

A – 17 B 4 15 C. – 10 14 D.– Câu 24 Tìm m để điểm A 

      ; 28 m

nằm đồ thị hàm số y = cos4x + sin4x:

A m = – B m = – C. m = D.m =

Câu 25 Cho phương trình cos3x = 2m2 – 3m + (1) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm

      ;  x

A.   

       ; ;

m B   

         ; ; m C.             ; ;

m D   

    

 ;2

2 ; m

Câu 26 Xác định m để phương trình (2m – 1).tan

2 x

+ m = có nghiệm 

       ; x A 

m B

       m m C.       m m D 1 

 m

Câu 27 Xác định m để phương trình (3cosx – 2)(2cosx + 3m – 1) = (1) có nghiệm phân biệt

       ;  x

A

3



m B m1 C.

      m m

D

3

Trang | Câu 28 Số nghiệm phương trình 6cos2x + sinx – = khoảng 

  

  

2 ;

2 là:

A B. C. D 0

Câu 29 Tìm m để phương trình cos2x – (2m – 1)cosx – 2m = có nghiệm 

  

  

2 ;

 

x

A

2  

m B

2

1  

 m C.

     

  

2

m m

D

3 1 

m

Câu 30 Xác định m để phương trình m.cos2x – m.sin2x – sin2x + = có nghiệm

A 3m1 B 

 

  

0

m m

C.   

  

2

m m

D

2

1

 

 m

Câu 31 Tìm 

     

2 ; 

x thoả mãn phương trình cos5x sin4x = cos3x sin2x

A

14 ; 14 ; 14

  

B.

12 ; 12 ; 12

  

C. ;

 

D 10 ;

 

Câu 32 Phương trình sin2x + sin22x = sin23x + sin24x tương đương với phương trình sau đây?

A. cosx.cos2x.cos3x0 B cosx.cos2x.sin3x0 C. cosx.sin2x.sin5x0 D sinx.cos2x.sin5x0

Câu 33 Phương trình cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = tương đương với phương trình sau đây?

A. cosx.cos2x.cos4x0 B cosx.cos2x.cos5x0 C. sinx.sin2x.sin4x0 D sinx.sin2x.sin5x0

Câu 34 Tính tổng tất nghiệm phương trình

x x x

x

x 2

3

2

cos

1 cos cos

tan

cos     1;70

A 365 B. 263 C. 188 D 363

Câu 35 Tìm m để phương trình (m + 3)(1 + sinx.cosx) = (m + 2).cos2x có nghiệm

A m3 B. m3 C. m1 D 

 

  

1

m m

Câu 36 Xác đinh a để hai phương trình sau tương đương:

2cosx.cos2x = + cos2x + cos3x (1)

Trang | 10 A         a a a B.           a a a a C.           a a a a D         a a a

Câu 37 Kết sau sai?

A 

        sin cos

sinx x x  B 

         cos cos

sinx x x 

C.          cos 2 cos

sin x x x  D 

        sin 2 cos

sin x x x 

Câu 38 Nếu đặt t = 3sin5x + 4cos5x + với x thuộc R điều kiện t là:

A 1t 13 B. 6t 13 C. 1t11 D 6t11

Câu 39 Số nghiệm phương trình cosx.(4cos2x – 3) – 4cos2x + 3cosx – = 0;14 là:

A B. C. D 5

Câu 40 Tìm m để phương trình sin2x = 7m + có nghiệm  

12 ;  x A 2   

 m B.

7   

 m C.

7   

 m D

3 2     m

Câu 41 Cho biết sinx + cosx =

6

Khi sin4

x + cos4x bằng:

A 1324 1223

B. C.

13 12

D 2592 2423

Câu 42 Cho f(x) = a(sin6x + cos6x) + b(sin4x + cos4x) Tìm hệ thức a b để f(x) độc lập x

A 3a + 2b = B. 2a + 3b = C. 3a + 2b = D 3a + 5b =

Câu 43. Tìm GTLN GTNN hàm số y 2sinxcosx2cosxsinx

A  B.  C.

 D 5

Câu 44 Hàm số y = sin(ax + b), a,bZ tuần hồn với chu kì là:

A T = 2 B T =  C. T =

a



2

D. T = 2a Câu 45 Hàm số y = cos(ax + b), a,bZ tuần hồn với chu kì là:

A T =

a



2

B T =  C. T = 2 D. T = 2a

Trang | 11 A T =

a



2

B T =

a



C. T = 2 D. T = 2a Câu 47 Hàm số y = cot(ax + b), a,bZ tuần hồn với chu kì là:

A T =

a



2

B T =

a



C. T = 2 D. T = 2a

Câu 48 GTLN GTNN hàm số y = 

  

   

3

cos x  đoạn   ; 2 

là:

A

2

và

 B.

2

 C.

2

và 1 D 1 1

Câu 49 Nghiệm phương trình

2 sin cos sin

cos4  

  



 

   

   

 x x  x 

x là:

A. x k2 ,kZ

4 



B x k2 ,kZ

3 



C. x k ,kZ

4 



D x k ,kZ

3 



Câu 50 Nghiệm phương trình cos7x.cos5x – 3sin2x = – sin7x.sin5x là:

A. k Z

k x

k x

 

  

  

  

2

4 B k Z

k x

k x

 

  

   

  

4

C. k Z

k x

k x

 

  

   

  

2

3 D k Z

k x

k x

 

  

   

  

3

ĐÁP ÁN

1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.D 10.C

11 C 12.D 13.C 14 B 15.A 16.D 17 B 18 B 19.A 20.D

21 C 22.D 23.A 24.C 25.C 26.A 27.A 28.A 29.B 30.C

31.A 32.C 33.B 34.D 35.D 36.B 37.D 38.D 39.B 40.A

Trang | 12

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia