Dạy phương trình lượng giác có tham số

Trong năm học qua và năm học 2004 - 2005 khi dạy ôn về phương trình lượng giác tôi đã tổng kết được một vài dạng bài cơ bản về phương trình lượng giác có tham số với mong muốn giúp các e[r]

A/ Đặt vấn đề Thực tế cho thấy gặp bài toán chứa tham số học sinh thường lúng túng quá trình biện luận Đặc biệt phương trình lượng giác việc biện luận để phương trình có nghiệp, biện luận số nghiệm phương trình không phải lúc nào dễ dàng Có bài toán phải vận dụng phương pháp đặc biệt mà việc nghĩ hay tìm thấy khó khăn Trong năm học qua và năm học 2004 - 2005 dạy ôn phương trình lượng giác tôi đã tổng kết vài dạng bài phương trình lượng giác có tham số với mong muốn giúp các em học sinh có thêm vài phương pháp giải dạng toán này Trước hết để làm yêu cầu học sinh phải thành thạo việc giải các phương trình lượng giác không có tham số Nắm thật các phép biến đổi phương trình đưa dạng đã biết Ngoài học sinh cần nhớ nội dung hai định lý: * §Þnh lý: NÕu f(x) liªn tôc trªn { a;b} cã maxf = M, f = m Từ đó thì  phương trình f(x) = a có nghiệm maM Định lý Lagrăng: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn {a ; b} và có đạo hàm trên kho¶ng (a ; b) th× tån t¹i mét ®iÓm c  (a ; b) cho f (b)  f ( a ) ’ f (c) = ba B/ Néi dung: Dạy phương trình lượng giác có tham số I- Dạng 1: Biện luận để phương trình có nghiệm Bài toán 1: Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm Sin6x + cos6x = m 3 sin22x = ( - cos22x) 4 3 6 Sin x + cos x = - sin 2x = - ( - cos22x ) Ta cã Sin6x + cos6x = Ta cã: Lop12.net Sin6x + cos6x + cos22x 4 Hãy đánh giá vế trái: ≤ cos22x ≤  ≤ sin6x + cosx ≤ Hµm sè f(x) = sin6x + cos6x cã max f = 1, f = f(x) liên tục nên phương trình f(x) = m có nghiệm  ≤ m ≤ Vậy với m Є { ; thì phương trình f(x) = m có nghiệm Bài toán 2: Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm Cos2x + cosx = m <=> 2cos2x - + cosx = m §Æt cosx = t, ®iÒu kiÖn | t | ≤ Xét hàm số f(x) = t2 + t - với 1≤ ≤ Toạ độ đỉnh ( - B¶ng biÕn thiªn t - -1 f(t) + - Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn: max f(t) = t = 1 f(x) = - t = Phương trình có nghiệm - ≤ m ≤ Làm tương tự: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Sin2x + sinx cosx = m sin2x + cosx - sinx = m §Æt t = sinx + cosx, ®k | t | ≤ 2 Lop12.net ;-9 ) + * Tổng quát Nếu f(x) là hàm liêu tục có max f = M, f = m thì phương tr×nh f(x) = a cã nghiÖm m  a  M 1  a cos x sin x Bài toán 3: Cho phương trình Tìm a để phương trình có nghiệm Bµi lµm: Ta không nên biến đổi trực tiếp phương trình 1  cos x sin x H·y xÐt f(x) = víi x    ;0     Trong kho¶ng nµy cosx > 0, sin x < Vµ lim cosx = lim sinx = - x - Lim cos x =  x   + x - lim sin x = -1 x   + + 2 Do đó lim x0   lim +      x    cos x sin x         cos x sin x   Nhận xét: Hàm số f(x) xác định liên tục trên lim f ( x )   ; x  0   ;0     lim  + f ( x )    x  Với  a phương trình f(x) = a luôn có nghiệm Bài toán 4: Chứng minh  a,b,c phương trình a cos3x + b cos2x + sin x = lu«n cã nghiÖm  ( 0; 2) XÐt f(x) = a b sin x  sin x  c sin x  cos x f’(x) = acos3x + bcos x + cosx + sin x f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; 2) f(0) = - cos = -1 f (  )   cos 2  1 Lop12.net Theo định lý Lagrăng  x0  (0;2 ) ;f ' ( x0 )  f ( 2 )  f (0) 2   Phương trình f’(x) = có nghiệm  ( 0; 2 )  Phương trình đã cho luôn có nghiệm  ( 0; 2) với  a,b,c Bài toán 5: Tìm a,b để PT: cos x + a cos 2x + b sin 2x = có nghiệm đây ta không trực tiếp xét phương trình XÐt sin x a b  sin x  cos x 2 f ( x)  f ' (0)  cos x  a cos x  b sin x f (0)  b ; f ( )  b V× f(x) lµ hµm tuÇn hoµn víi chu kú  KÕt f(x) trªn ( 0; ) f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; ) (0; ) Theo định lý Lagrăng  x0  ( 0; ) VËy víi f’(x) =  PT f’(x) = cã nghiÖm  a,b phương trình đã cho có nghiệm  Bài toán 6: Tìm a để hệ phương trình cã nghiÖm cos x  a cos y I  sin x0  a sin y0  cos x0  a cos y  x  x0 NÕu  lµ nghiÖm cña (I) th×   y  y sin x0  sin y0   cos x0  a cos y0  sin x0  a sin y  a cos y0  a sin y0  đúng 6  Phương trình a cos y  a sin y  cã nghiÖm (1) §¶o l¹i: NÕu (1) cã nghiÖm y  y th× a cos y  a sin y  là đúng  a cos y0 §¬n vÞ   x0   a sin y0   a cos y0 , a sin y0  ®­êng trßn 1 cos x0  a cos y0  sin x0  a sin y Lop12.net  (x0, y0) lµ nghiÖm cña hÖ VËy hÖ cã nghiÖm  PT (1) cã nghiÖm Đến đây bài toán trở thành tìm a để phương trình a cos y0  a sin y0  cã nghiÖm Nếu a = phương trình có dạng =1, phương trình vô nghiệm NÕu a  (1)    (1) cã nghiÖm  VËy cos y0  a sin y0  a2   1  sin y   a   sin 2 y   a      a2    a  a  a  hệ đã cho có nghiệm Bµi tËp tù luyÖn: Tìm m để phương trình sau có nghiệm a, sin x  1  sin   m b, cos x  2  cos   m 1 c,  cos  cos x  cos x  m Cho phương trình  3tg x  mtgx  cot g    sin x Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm a để phương trình 1   a cã nghiÖm cos x sin x B/ D¹ng BiÖn luËn sè nghiÖm cos x  cos x  m cos x   Bài toán 1: Cho phương trình Tìm m để phương trình có đúng bảy nghiệm khoảng   ; 2     Có thể thấy việc tìm m để phương trình có đúng nghiệm    ;2     qu¶ lµ khã kh¨n Lop12.net Trước hết hãy đại số hoá phương trình đã cho ®k {t}  §Æt t = cosx  4t  3t  2t   m t    4t  2t  m  3 t   t  t   4t  2t  m   4t   2t  m   Ta ®i xÐt sè nghiÖm x    ; 2       ;2     cos x = t (1) ( 2) phương trình cos x = t 1  t Sè nghiÖm    0 1n Phương trình có đúng nghiệm   3n 2n NhËn thÊy cos x = cã nghiÖm  1n   ;2       ;2       ;2     (2) cã nghiÖm    Tam thøc f(t) = t2 - 2t + m - cã hai nghiÖm t1, t2 cho -1 < t1 < t2 <  f (0)     f ( 1)    f (1)  m     m   m    m    m  3 m   Vậy với 1< m <3 phương trình đã cho có đúng bảy nghiệm  Bµi to¸n khai triÓn - Tìm m để phương trình có đúng nghiệm      ;2     Tam thøc f(t) = t2 - 2t + m - cã nghiÖm t1, t2 cho   t1  t  t  1;  t  1 - Tìm m để phương trình có đúng nghiệm  Lop12.net   ;2      1< m <3   ;2      f(x) = t2 - 2t + m - cã n0 t = -1 hoÆc t = - Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm    ;2      f(x) = 4t2 - 2t + m - v« nghiÖm hoÆc cã nghiÖm t = t1  t2 < -1 hoÆc < t1  t2 ; t1 < -1 < < t2 Bài toán 2: Cho phương trình: sin 3x - mcos2x - (m+ 1+ sinx + m = (1) Xác định giá trị m để phương trình có đúng nghiệm  ( o; 3) (1)  3sinx - sin3 x - m (1 - 2sin2x) - (m+1) sinx + m =  - 4sin3x + m sin2x + (2 - m) sinx =  -sin {4sin3x + 2m sinx + (-2 + m)} = sin x   4 sin  2m sin x   m  (2) sinx =  x =  hoÆc x = 2  (0; 3) Do phương trình có đúng nghiệm  (0; 3)  (0; 3)  ; 2 §Æt sinx = t t Sè nghiÖm (0; 3) sinx = t  (2) 4t2 + 2mt + (-2 + m) = 1  (2) có đúng nghiệm  2n 1n 0 2n 4n 2n  Phương trình có đúng nghiệm  (2) có nghiệm t1, t2 cho < t1 < = t2 hoÆc - < t1 < < t2 < * TH 1: < T1 < = t2  2m t1 t 2 0 f(1) =   t1 = (lo¹i) * TH 2: -1 < t1 < < t2 < Lop12.net m=2  2 2 m   af ( 1)   3m      m2   m   m   af ( )  m  2  m    af    (1)  Vậy để phương trình có đúng nghiệm  (0; 3) thì   m  * Làm tương tự: Tìm m cho phương trình sin 3x + sin 2x = m sin x có đúng nghiệm  ( ; 5 ) c) Dạng 3: Phương trình tương đương Bài 1: Tìm a và b để hai phương trình sau tương đương 1) a sin x   cos x  a sin x 2) sin  cos x  sin x  b  2b sin x  cos x  Ta biết hai phương trình tương đương chúng có tập nghiệm (cã thÓ lµ tËp ) + Nếu (1) vô nghiệm  tìm điều kiện để (2) vô nghiệm + Nếu (1) có nghiệm  tìm điều kiện để nghiệm (1) là nghiệm (2) và ngược lại 1)       a sin x cos x   cos x  2 cos x   a sin x  1  sin x   sin x  sin x cos x  b  2b sin x  cos x  cos x  b   cos x  b   Cần: Giả sử (1) và (2) tương đương   lµ nghiÖm cña (1)  x  còng lµ nghiÖm cña (2)    2   0 b   b         V× x V× x  lµ nghiÖm cña (2)  Lop12.net x  còng lµ nghiÖm cña (1)  a=2 (1)         a.sin  1        b= th×  a=2 2 cos x   2 sin x  1   2 0   Nhận thấy (1) và (2) tương đương 2 sin x  1  cos x  thì phương trình đã cho tương đương Bài toán 2: Tìm m để phương trình sau tương đương VËy víi a = b= sin x + m cosx = (1) m sinx + cosx = m2 (2) Bµi lµm Cần: Giả sử (1) và (2) tương đương  lµ nghiÖm cña (1)  x =  còng ph¶i lµ nghiÖm cña (2)    sin + cos = m2  m = m 2  m2 - m = Ta thÊy x =  Víi m = (1)  sin x = (2)  cos x =  m  0 m      sin x =  Hai phương trình không tương đương Víi m = (1) sin x + cos x = (1)  (2) (2) sin x + cos x = Vậy m = thì phương trình đã cho tương đương Lop12.net Bài toán 3: Tìm a để phương trình sau tương đương (1) cos x cos 2x = + cos 2x + cos 3x (2) 4cos2 x - cos 3x = a cos x + (4 - a) (a + cos 2x) Bµi lµm (1)  cos 3x + cos x = + cos 2x + cos 3x  2cos2x - cos x = (2) cos x  cos x  2 cos x      cos x   2x - 1)2  cos2x - 4cos3 x + cos x = a cos x + (4 - a) (2cos  cos x ( 2cos x - 1) =  cos x  2 cos x    2 cos x  a     cos x   cos x    a 3 cos x   a   0  a  1  a   1  Hai phương trình tương đương   a5  a 1 a 3 a4 Tương tự: Tìm a để phương trình tương đương sin 3x = a sinx + (4 - 2{a}) sin2x sin 3x + cos 2x = + sinx cos x C/ kÕt luËn Qua số năm giảng dạy phương trình lượng giác giải cách phân dạng trên tôi thấy đã có kết nhât định Học sinh biết phân dạng bài tập và sử dụng phương pháp thích hợp cho bài toán Vì thời gian giảng dạy còn ít, kinh nghiệm chưa nhiều tôi mong đóng góp giúp đỡ các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! Gi¸o viªn 10 Lop12.net