Đang tải... (xem toàn văn)
D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán biểu diễn các tham số trong biểu thức lôgarit... Khẳng định nào sau đây là đúng:A[r]
(1)Tailieumontoan.com
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ
LOGARIT CÓ THAM SỐ
(2)I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Định nghĩa:
Cho hai số dương ,a b với a≠1 Số α thỏa mãn đẳng thức aα =b gọi lôgarit số a b kí hiệu logab Ta viết: log
α α = ab⇔a =b
1 Các tính chất: Cho ,a b>0, a≠1, ta có:
• logaa=1, log 1a =0
• log
, log ( α) α
= =
ab
a
a b a
* Lôgarit tích: Cho số dương a b b , 1, với a≠1, ta có • log ( )a b b1 2 =logab1+logab 2
* Lôgarit thương: Cho số dương a b b , 1, 2 với a≠1, ta có
•
1
2
loga b =logab −logab b
Đặc biệt : với ,a b>0, a≠1 loga 1= −logab
b
* Lôgarit lũy thừa: Cho ,a b>0, a≠1, với α , ta có
• logabα =αlogab
Đặc biệt: log n =1log
a b ab
n
* Công thức đổi số: Cho số dương , ,a b c với a≠1,c≠1, ta có
• log log log
= c
a
c
b b
a
Đặc biệt : log log =
a
c
c
a
1 log α log
α
= a
a b b với α ≠
* Lôgarit thập phân Lôgarit tự nhiên :
Lôgarit thập phân lôgarit số 10 Viết : log10b=logb=lgb Lôgarit tự nhiên lôgarit số e Viết : logeb=lnb
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Biến đổi công thức
Biến đổi công thức tham số Biến đổi công thức nhiều tham số …
(3)BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Xét số thực a b thỏa mãn log3(3 9a b)=log 39
Mệnh đề đúng?
A a+2b= B 4a+2b= C 4ab= D 2a+4b=
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn biểu diễn tham số biểu thức lôgarit 2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Đưa logarit số
B2: Áp dụng cơng thức
Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:
Lời giải
Chọn D
( )
3
log 9a b =log 3( ) log 3 log
2
a b
⇔ = ( )
3
1 log
2
a+ b
⇔ =
2
a b
⇔ + =
2a 4b
⇔ + =
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu Cho a số thực dương khác Tính log
a
I = a
A
2
I B
2
I C I 2 D I 2
Lời giải
Chọn D
Ta có
1
a =a Nên
log a log loga
a
a= a= a=
Câu Cho a số thực dương khác Tính
1
3 2
loga P= a a
A
2
P= B
2
P= C
2
P= D
2 P=
Lời giải
Chọn C
1
3 2 2
log log
2
a a
P= a a = a =
Câu Cho a số thực dương khác Tính loga2a
(4)Lời giải
Chọn A
2
1
log log
2 a
a a= a=
Câu Cho hai số thực dương a b tùy ý Giá trị ( )10 log ab
A 10 log ab+ ( ) B 10 log ab ( ) C 10 loga+logb D loga+10 logb
Lời giải Chọn D
Câu hỏi lí thuyết
Câu Cho logab= , log
bc= giá trị logca bằng
A 1
2 B 2 C 4 D
1 Lời giải
Chọn A
Ta có log 1 1
1
log log log
4
c
a a b
a
c b c
= = = =
Câu Nếu logab= p logaa b2
A 4p+2 B 4p+2a C a p 2 D p4+2a Lời giải
Chọn A
2 4
logaa b =logaa +logab = +2 logab= +2 4p
Câu Cho log2x= Tính giá trị biểu thức 22 1 4
log log log
P= x+ x+ x
A
2
P= B
2
P= C P=2 D
2
P= −
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 2
1
log log log
2
P= x− x+ x
( )2 1 2 4 2
2 2
2 2
P= − + = − = −
Câu Tính giá trị biểu thức
3
3
27 log
3
T =
A 11
T = B 11
24
T = C 11
6
T = D 11
12
T =
Lời giải
(5)( )
4
3
3 3
2
3 17
3
4 12
3
27
log log 27 log 3
17 11 log 3 log
12
T = = −
= − = − = − =
Câu Tính:
5
2
4 loga a a a B
a
=
A 173
60 B
177
50 C
173
90 D
173 30 Lời giải
Chọn A
Ta có
1
2 173
5
2
60
4
4
a a a a
a a
a + +
= = Vậy
173
60 173
log
60
a
B= a =
Câu 10 Cho a b, số thực dương khác 1, thoả loga2b+logb2a=1 Mệnh đề đúng?
A a b
= B a=b C a 12
b
= D
a=b
Lời giải
Chọn B
Ta có: loga2b+logb2a= ⇔1 logab+logba=2
( )2
log log
log
log
a a
a
a
b b
b
b
⇔ + = ⇔ − =
⇔ =
Suy ra: a= b
Câu 11 Đặt 2a =3, log3 316 A 3
4
a
B
4a C
4
3a D
4
a
Lời giải
Ta có
2 3
1
2 log log log 16
3
a a
a
a
= ⇔ = ⇒ = ⇒ =
Câu 12 Đặt 2a =3, log3 316
A 3
a
B
4a C
4
3a D
4
a
Lời giải
Ta có: 2a = ⇔ =3 a log 32 ; Mặt khác ( )
3 3
3 3
2
4 4
log 16 log log
3 3log 3a
= = = =
Câu 13 Cho log a= Giá trị 81
1
(6)A 3
a
B 4
a
C
12a D 12 a
Lời giải Chọn B
Ta có
4
1000 10
81
1 4
log 81 log log
log 1000 3
a
= = = =
Câu 14 Cho a b, số thực dương a> , a b1 ≠ thỏa mãn logab= Khi log2 a b
ab bằng
A
− B − C 3
2 D 0
Lời giải
Đổi số a ta có a ( a ) a
a b
a
1
1 log b (1 2)
log ab 2 2
log ab
a log b 2
log b
+ +
= = = = −
− −
Câu 15 Cho logab2b=3 (với
2
0, 0, 0,
a> b> ab ≠ ab ≠ ) Tính log ab a3
b
A 5 B 10 C 12 D 14
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( )
2 2
log log
log log
1 log
log
a a
a ab
a a
b b
b b
b ab
= = = ⇔ = −
+
Khi đó:
( )
3
3
log
1 3log
log 14
1
log 1 log
a
a ab
a
a
a
b
a b
b ab b
−
= = =
+
Mức độ
Câu 16 Đặt log 52 = , a log 35 =b Khi log 15 b24 ằng
A ab
b
+
B ( 1) a b
ab +
+ C
1
b a
+
+ D
1
ab a
+ + Lời giải
Chọn B
Ta có ab=log 5.log 32 5 =log 32
24 24 24
3 5
1 1
log 15 log log
log 24 log 24 3log log 3log
• = + = + = +
+ +
( 1)
1
3 3
1
a b ab a
ab ab
b
ab a
+ +
= + = =
+ +
+ +
Câu 17 Cho a b c, , >0,c≠1và đặt logca= , logm cb= , n
3
3 log c a T
b
=
Tính T theo m n,
A 3
2
T = m− n B
2
T = n− m C 3
2
T = m+ n D
2
T = m− n
(7)Chọn D
3
3
3
log log log log log
2
c c
c c c
a
T a b a b m n
b
= = − = − = −
Câu 18 Cho a b, số thực dương ab≠ thỏa mãn
logaba =3 giá trị log
ab
a
b bằng:
A 3
8 B
3
2 C
8
3 D
2 Lời giải
Chọn D
2
3 1
log log log
3
ab ab ab
a a a
b = b = ab ( ) ( )
2
1
log log log
3 aba abab aba
= − = −
Giả thiếtlogaba2 =3 nênlog 1 1( )
3
ab
a
b = − =
Câu 19 Tính giá trị biểu thức sau: ( )
2 2
1
log loga
a
a + a ≠ >a
A 17
4 B
13
4 C
11
− D 15
4 −
Lời giải
Chọn A
Ta có: ( )
1
2
2 2
1
1 17
log log log + log
4
a a
a a
a + a = − a a=
Câu 20 Cho a b c, , số thực dương ( ,a b≠1) logab=5, logbc= Tính giá tr7 ị biểu thức
log a b
P
c
=
A
7
P= B P= − 15 C 14
P= D P= − 60
Lời giải
Chọn D
Vì P loga b 2(logab logac) 2(5 logab.logbc) 2(5 5.7) 60
c
= = − = − = − = −
Câu 21 Xét số thực a b thỏa mãn 3 27
log log 3
b
a
=
Mệnh đề đúng?
A
18
a− b= B
18
a+ b= C 2
18
b a− = D 2
18
a b− =
Lời giải Chọn A
3
27
log log 3
b
a
=
2
1
2 3
3
log b a− log −
⇔ = 2( ) 1
3
b a
⇔ − = −
18
a b
⇔ − =
Câu 22 Đặt 2a =3, 3
log 16
A 3
a
B
4a C
4
3a D
4
(8)Lời giải
Chọn D
Ta có
2 3
1
2 log log log 16
3
a a
a
a
= ⇔ = ⇒ = ⇒ =
Câu 23 Đặt 2a =3, log3 316
A 3
a
B
4a C
4
3a D
4
a
Lời giải
Chọn C
Ta có: 2a log 32
a
= ⇔ = ; Mặt khác ( )
4
3 3
3 3
2
4 4
log 16 log log
3 3log 3a
= = = =
Câu 24 Cho log a= Giá trị 81
1
log 1000 bằng?
A 3
a
B 4
a
C
12a D 12 a
Lời giải Chọn B
Ta có
4
1000 10
81
1 4
log 81 log log
log 1000 3
a
= = = =
Câu 25 Cho a b, số thực dương a> , a b1 ≠ thỏa mãn logab= Khi log2 a
b
ab bằng
A
− B − C 3
2 D 0
Lời giải
Chọn A
Đổi số a ta có a ( a ) a
a b
a
1
1 log b (1 2)
log ab 2 2
log ab
a log b 2
log b
+ +
= = = = −
− −
Câu 26 Cho logab2b=3 (với
2
0, 0, 0,
a> b> ab ≠ ab ≠ ) Tính log ab a3
b
A 5 B 10 C 12 D 14
Lời giải
Chọn D Ta có:
( )
2 2
log log
log log
1 log
log
a a
a ab
a a
b b
b b
b ab
= = = ⇔ = −
+
Khi đó:
( )
3
3
log
1 3log
log 14
1
log 1 log
a
a ab
a
a
a
b
a b
b ab b
−
= = =
+
(9)A ab
b
+
B ( 1) a b
ab +
+ C
1
b a
+
+ D
1
ab a
+ + Lời giải
Chọn B
Ta có ab=log 5.log 32 5 =log 32
24 24 24
3 5
1 1
log 15 log log
log 24 log 24 3log log 3log
• = + = + = +
+ +
( 1)
1
3 3 3
1
a b ab a
ab ab
b
ab a
+ +
= + = =
+ +
+ +
Câu 28 Cho a số thực dương khác b> thỏa log0 ab= Tính logab2 2 a A
b
=
A 4 13 11
−
B 13
11 −
C
12 D
1 12 Lời giải
Chọn A
Ta có 2
2
logab a logab logab
A a b
b
= = −
2 2
1 2
logaab logbab logaa logab logba logbb
= − = −
+ +
1 2 3 13
1
1 log 2 3 11
log
a
a
b
b
− −
= − = − = =
+ + + + +
Câu 29 Tính:
5
2
4 loga a a a B
a
=
A 173
60 B
177
50 C
173
90 D
173 30
Ta có
1
2 173
5
2
60
4
4
a a a a
a a
a + +
= = Vậy
173
60 173
log
60
a
B= a =
Câu 30 Cho biết a b c, , >1thỏa mãn 6 6
logac +logbc =6 Tìm kết luận
A. a b2 =c B a b3 =c C a b2 =c6 D
37
2
a b =c Lời giải
Chọn A
Theo công thức đổi số ta có
6
2
logac logbc
+ =2 logc6 a+3logc6b 6( ) logc a b
= 6( )
2 3
log
6
c a b a b c
⇒ = ⇔ =
(10)Câu 31 Cho số thực dương a b thỏa mãn
3 logb log a
b
a a b
b
= logba> Tính
logb
m= a
A. 13
3
m= B 13
6
m= C
6
m= D m=
Lời giải
Chọn B
Ta có
3
3 log
1
log log log
2 log
b
b a b
b
b
a
a b
a b a
b a
b
= ⇔ + =
1
log
1 3 2
log
1
2 log 1
b b
b
a a
a −
⇔ + =
−
( )2
1 13
log log
2 ba 12 ba
⇔ − =
log
13 log
13
6 log
6
b
b b
a
a a
=
⇔ ⇒ =
=
logba>
Câu 32 Cho số thực dương a b, thỏa mãn 1
4
1
log log
4 a+ b= Mệnh đề đúng?
A ab= B
16
a b= C
16
ab = D ab=
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết: 1 2 2
2
4
1 4
log log log log
4 a+ b = ⇔ a− b = 2
4 log a log
b
⇔ =
4
a b
⇔ =
16
ab
⇔ =
Câu 33 Cho a số thực dương a b c, , khác thỏa mãn logac+logbc=log 2020.loga bc.Mênh đề đúng?
A abc=2020 B ac=2020 C bc=2020 D ab=2020
Lời giải
Chọn D
Ta có: logac+logbc=log 2020.loga bc
1 log 2020
log log log log
c
ca cb ca cb
⇔ + = (công thức đổi số)
⇔logca+logcb=log 2020c
⇔logcab=log 2020c ⇔ab=2020
Câu 34 Cho số thực dương a,b,c khác thỏa mãn logb c =x2 + 3
loga b =log ca= x
Tính S=x2(x2+1)
A
9
S = B
3
S = C
8
S= D
8
(11)Lời giải
Chọn C
Ta có: logb c=x2+ ⇔1 logbc=2(x2+1),
3
log log
4 a
a b = ⇔x b=x
4 log
3
ab x
⇔ = ,
log3ca= ⇔x 3.logca= x log
c
x a
⇔ =
Khi đó: ( ) 2( )
log log log
3
a b c
x
b c a= x x + = x x +
Mà: log log log log log 1 log log
a
a b c a
a c
c
b c a b
b a
= = ,
( )
2
8
1 9x x
⇒ + = 2( )
1
S x x
⇔ = + =
Câu 35 Đặt log 53 = Mệnh đề sau đúng? a
A log 7515
2
a a
+ =
+ B 15
2
log 75
1
a a
+ =
+ C 15
2
log 75
1
a a
− =
+ D 15
2
log 75
1
a a
+ =
− Lời giải
Chọn B
2
15 15 15 15 15
log 75=log +log 3=2 log log 3+
5 3
2
log log log log
= +
+ +
2
1 a− a
= +
+ +
Thu gọn ta có log 7515 1
a a
+ =
+
Câu 36 Cho a=log2m với 0< ≠ Đẳng thức đúng? m
A log 8m m a a
+
= B log 8m m= −(3 a a) C log 8m m a a
−
= D log 8m m= +(3 a a)
Lời giải
Chọn A
3 3
log 8m m logmm log log 2m m 3log 1m a
a a
+
= + = + = + = + =
Câu 37 Gọi c cạnh huyền, a b, hai cạnh góc vng mơt tam giác vng Khẳng định sau đúng:
A logb c+ a+logc b− a=2 logb c+ a.logc b− a B logb c+ a+logc b− a>2 logb c+ a.logc b− a C logb c+ a+logc b− a<2 logb c+ a.logc b− a D logb c+ a+logc b− a=logb c+ a.logc b− a
Lời giải
Theo giả thiết, ta có: a2+b2 =c2 ⇔a2 =b2−c2 ⇔ =a (b c b c− )( + )
( ) ( ) 1
log log 2
log log
a a
c b c b
c b c b
a a
− +
⇔ − + + = ⇔ + =
logb c+ a logc b− a logb c+ a.logc b− a
⇔ + = (đpcm)
Chọn A
(12)A log 1(log log )
5
a b
a b
+
= +
B ( )
1
log 3log log
4 a+ b = a+ b
C log 2a+3b =log a+2 log b D log 1(log log )
4
a b
a b
+
= +
Lời giải
Chọn A
Ta có 4a2+9b2 =13ab⇔(2a+3b)2 =25ab⇒2b+3b=5 ab
Lấy logarit thập phân log log( ) 1(log log )
5
a b
ab a b
+
= = +
Câu 39 Giả sử p, q số thực dương thỏa mãn log16 p=log20q=log25(p+q) Tìm giá trị
p
q ?
A.4
5 B. ( )
1
1
2 + C.
8
5 D. ( )
1
1
2 − +
Lời giải
Chọn D
Đặt log16 log20 log25( ) 16
t
t= p= q= p q+ ⇒ =p , q=20t, p q+ =25t Suy :
2
4
5
4
16 20 25
5 4 1 5
5
t
t t
t t t
t
= − +
+ = ⇔ + − = ⇔
− − =
Vì
t
>
nên
4
5
t
− + =
Từ ta 16
5
20
t t
t
p q
− +
= = =
Câu 40 Cho x y, > thỏa mãn log6x=log9 y=log4(2x+2y) Tính x y
A
−
B 1+ C 3
2 D
3 Lời giải
Chọn B
Đặt log6x=log9 y=log4(2x+2y)=t, suy
t
x= , y= 29t x+2y= 4t
Có phương trình:
2
2 2
2.6 2.9 2
3 3
t t t
t + t = t ⇔ − − = ⇔ = +
Mà
9
t t
t
x y
= =
nên x
(13)Câu 41 Cho số ,a b> thỏa mãn log3a=log6b=log2(a b+ ).Giá trị 2 1
a +b
A 18. B 45 C 27 D 36
Lời giải
Chọn B
Đặt 2( ) ( )
3
3
log log log 6 1
2
t
t
t t t t t
t
a
t a b a b b
a b =
= = = + ⇒ = ⇒ + = ⇔ + =
+ =
Xét hàm số ( ) 3
t t
f t = +
, có ( ) ( )
3
' ln ln 0,
2
t
t
f t = + > ∀ ∈ ⇒t f t
đồng
biến ( )1 ( ) ( )1 1, 12 12 45
f t f t a b
a b
⇔ = − ⇔ = − ⇒ = = ⇒ + =
Câu 42 Nếu a> , b> thỏa mãn log4a=log6b=log9(a b+ ) a
b
A
−
B
+
C 3
2 D
2
Lời giải
Chọn A
Đặt: 9( )
4
log log log
9
k
k
k
a
a b a b k b
a b =
= = + = ⇒ =
+ =
Do đó:
2
4 2
4 1
9 3
k k k k
k + k = k ⇔ + = ⇔ + =
(*)
Đặt
k
t=
(t> , lúc phương trình (*) trở thành: 0) ( )
1
2
1
2
t
t t
t l
− + = + − = ⇔
− − =
Do đó:
6
k k
k
a b
− +
= = =
Câu 43 Với số ,a b> thỏa mãn a2+b2 =6ab, biểu thức log2(a+b)
A 1(3 log2 log2 )
2 + a+ b B ( 2 )
1
1 log log
2 + a+ b
C 1 1(log2 log2 )
2 a b
+ + D 2 1(log2 log2 )
2 a b
+ +
(14)Chọn A
Ta có: a2+b2 =6ab⇔a2+b2+2ab=6ab+2ab⇔(a b+ )2 =8ab ( )*
Do , 0
0 ab a b
a b > > ⇒ + >
, lấy logarit số hai vế ( )* ta được:
( )2 ( ) ( )
2 2 2
log a+b =log 8ab ⇔2 log a+b = +3 log a+log b
( ) ( )
2 2
1
log log log
a b a b
⇔ + = + +
Mức độ
Câu 44 Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn log21 xy 2xy x y x y
− = + + −
+ Biết giá trị nhỏ
biểu thức
x+ y a
b ,
*
,
a b∈Z a
b phân số tối giản Giá trị a b−
A 5 B 3 C 9 D 7
Lời giải Chọn B
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1
log xy 2xy x y log xy log x y x y xy 1 x y
− = + + − ⇔ − − + = + + − −
+
( ) ( ) ( ) ( )
2
log xy xy log x y x y
⇔ − + − = + + +
Xét hàm số : f t( )= +t log2t ,t>0
Ta có: '( ) 1 0 ln
f t t
t
= + > ∀ > Vậy hàm số y= f t( ) đồng biến (0;+∞)
Do ( )* 1( ) 2
x
xy x y y
x
−
⇔ − = + ⇔ =
+ Khi đó:
( ) ( )
5
4 x
x y x
x − + = +
+
Vì x y, > ⇒ < <0 x
Xét hàm số: ( ) ( )
( )
5
4 x f x x
x − = +
+ , x∈( )0; Ta có: ( ) ( )2 25 '
4 f x
x = −
+ ;
( ) ( ) ( )
( )
2
3 / ' 25
7
x t m
f x x
x ktm
=
= ⇔ + = ⇔
− =
(15)
Vậy:
x+ y có giá trị nhỏ 11
8 Ta có
11
3
a
a b b
=
⇒ − = =
Câu 45 Cho a b c , , ba số thực dương, a > 1 thỏa mãn
( )
2 3
log log 4
4
a a
bc
bc + b c + + + −c =
Số (a b c, , ) thỏa mãn điều kiện cho
A 0 B 1 C 2 D Vô số
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
3 2 2 1 0
4
bc
b c + −b c =bc b c −bc+ =bc bc − ≥
3 2
4 bc
b c b c
⇒ + ≥
( )
2 3
log log 4
4
a a
bc
bc b c c
⇒ + + + + − ≥
( )
2 4
loga bc +logab c + +4 4−c
( )
( )2 2
loga bc c
= + + − ≥
Nên ( )
2
2 3
log log 4
4
a a
bc
bc + b c + + + −c =
( )
2
log
1
4
4
1 2
2
a bc a
c b
c bc
=
= −
⇔ − = ⇒ =
=
=
Có số (a b c, , ) thỏa mãn toán
Câu 46 Cho số thực dương x y, khác thỏa mãn
log log
log log
x y
x y
y x
x y x y
Giá trị x2 xy y2
A.0 B.3 C.1 D.2
Lời giải
(16)Ta có
1
1
log log log
log
log log
log log
log log
x
x y
x
x y
x y
x x
y y
y x x
y
x y
x y x y
x y x y
x y x y
2
2
2
1
1
2
logx logx logx
y
y xy
x
x x xy y
x y
x y x y x y
Câu 47 Cho a , b số thực hàm số ( ) 2019( ) ( )
log sin cos 2018
f x =a x + +x +b x x + Biết
( ln 2019)
2018 10
f = Tính ( ln 2018) 2019
P= f −
A P=4 B P=2 C P= −2 D P=10
Lời giải
Chọn B
Xét ( ) ( ) 2019( ) ( )
6 log sin cos 2018
g x = f x − =a x + +x +b x x
Suy ra: f x( )=g x( )+
Ta có x2+ + >1 x x2 + = + ≥ − + = x x x x x
Do tập xác định hàm số y=g x( ) D=
Ta có: ∀ ∈ ⇒ − ∈ x D x D
( ) 2019( ) ( ) ( )
log sin cos 2018
g − =x a x + −x +b −x − x
( ) ( ) ( )
2019
log sin cos 2018
a x x b x x
−
= + + −
( ) ( ) ( ) ( )
2019
log sin cos 2018
a x x b x x g x
= − + + − = −
Vậy hàm số y=g x( ) hàm lẻ
Ta có: ln 2019 ln 2018
2018 =2019 Khi đó:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
ln 2018 ln 2019
ln 2019
ln 2019
ln 2019
ln 2019
2019 2018
2018
2018
2018 6
12 2018
2
P f f
g
g
f
f
= − = −
= − +
= − +
= − − +
= − =
(17)( )
2 3
log log 4
4
a a
bc
bc + b c + + + −c =
Số (a b c th; ; ) ỏa mãn điều kiện cho
A B C D Vô số
Lời giải
Chọn B
Điều kiện
4−c ≥0⇔ − ≤ ≤ , kết hợp giả thiết ta có 02 c < ≤ c
Do a> nên ta có ( )
2
2 3
log log 4
4
a a
bc
bc + b c + + + −c
( )
2
2 3
log log 4
4
a a
bc
bc b c c
≥ + + + −
( ) ( )
2
loga bc loga bc 4 c
= + + + −
( )
( )2 2
loga bc c
= + + − ≥
Đẳng thức xảy
( )
2
3
log
4
4
0
0
a bc
c
bc b c
a
b
c
+ =
− =
=
⇔ > > < ≤
2
2
1
0
0
bc a c
bc
a
b
c =
= = ⇔
> >
< ≤
2
1
a
b
c
= ⇔ =
=
Vậy có số (a b c th; ; ) ỏa mãn toán
Câu 49 Cho a , b số dương thỏa mãn b> a b a1 ≤ < Tìm giá trị nhỏ biểu thức
loga log b
b
a
P a
b
= +
A 6 B 7 C 5 D 4
Lời giải
Chọn D
Ta có: log( 1) log( 1)
1 log 1
log
b b
a
b
P a a
b
a
= + − = + −
− −
Đặt t=logba Vì log ( ) log 1 2
b b
t
a≤ < ⇒b a a ≤ ≤ a⇔ < < ⇔ < <t t
( ) ( )
1
4
1 1
1
t
P t t
t t
⇒ = + − = + −
− −
với t∈( )1;
Xét hàm số ( ) 4( 1)
t
f t t
t
= + −
(18)( ) ( )
( )
( )
2
3
1 2
( ) 4, ( )
1
1
2
t tm
f t f t t
t
t l
= −
′ = + ′ = ⇔ − = ⇔
− =
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra:
( )1;2 ( )
3
minf
2
t = f =
Vậy giá trị nhỏ biểu thức P
Câu 50 Cho số thực a b, thay đổi, thỏa mãn 1,
a> b> Khi biểu thức
( )
log a logb 81
P= b+ a − a + đạt giá trị nhỏ tổng a+b
A 3 9+ B 9 2+ C 2 2+ D 3 2+ Lời giải
Chọn A
Do a4−9a2+81 9≥ a2 ⇔(a2−9)2 ≥ 1;
a
∀ > Dấu xảy a=3
Suy P≥log3ab+logb( )3a =log3ab+2 log 3b a≥2
Dấu xảy
2
3
log a log 3b
a a
b a b
= =
⇔
=
=
Vậy, P đạt giá trị nhỏ a b+ = +3
Câu 51 Cho x y, số thực lớn cho ( ) ( )
y x
e e
x x y y
y e ≥x e Tìm giá trị nhỏ biểu
thức: P=logx xy+logy x
A
2 B 2 C
1 2 +
D 1 2 +
Lời giải
5
6 +∞
+
- 0
3
2
3
2
1 +∞
-∞
f (t) f '(t)
(19)Ta có: ( ) ( ) ln ( ) ln ( )
y x y x
e e e e
x x y y x x y y
y e ≥x e ⇔ y e ≥ x e
ln ln
ln ln
y x
x y
x y
x y xe y x ye
x e y e
⇔ + ≥ + ⇔ ≥
+ + (*) (vì ln
x
y=e + x có
1
' x 0;
y e x
x
= + > ∀ > nên y≥ y( )1 = > ) e
Xét hàm số: ( )
ln t t f t
t e =
+ trên(1;+∞ ta có ) ( ) ( )2 ln '
ln
t t
t
t e te f t
t e + − − =
+ Với hàm số
( ) ln t t
g t = t e+ − − có te g t'( ) (lnt et tet)' tet 0, t t
= + − − = − < ∀ >
Nên g t( )<g( )1 = − ⇒1 f '( )t < ∀ > 0; t
( )
y f t
⇒ = hàm nghịch biến (1;+∞ nên với (*) ) f x( )≥ f y( )⇒ ≥ > y x
Khi log log 1log 1 1log 1 2
2 log 2 log
x y x x
x x
P xy x y y
y y
+
= + = + + ≥ + =
Dấu “=” xảy khi: 1log (log )2 2 x y=logx y ⇔ xy = ⇔ =y x
Vậy: min 2
P = +
Câu 52 Xét số thực dương x y, thỏa mãn log3 3
y
xy x y x xy
− = + + −
+ Tìm giá trị nhỏ Pmin P= +x y
A min 4
P = − B min 4
3
P = + C min 4
9
P = + D min 4
9
P = −
Lời giải
Chọn A
Để
y x xy
− >
+ mà từ giả thiết x y, >0suy 1− > ⇔ <y y Vậy ĐKXĐ: x>0; 0< <y
Ta có: log3 3
y
xy x y x xy
− = + + − +
3
1
3
xy x y
y x xy
+ + − −
⇔ =
+
( ) 3
3
3
xy x y
y x xy
+ + − −
⇔ =
+
( )
3 3
3
xy x
y
y x xy
+
− −
⇔ =
+ ( ) ( )
3 3
3 3y 3− y 3xy x xy x+ (*)
⇔ − = +
Xét f t( )=t.3tvới t> Ta có f t′( )= +3t t.3 ln 3t > với ∀ > , suy t f t ( ) đồng biến khoảng(0;+∞ Từ ) (*) ta có f (3 3− y)= f (3xy+ với x) 3− y>0, 3xy+ >x nên
3 3
3( 1) x
y xy x y
x − − = + ⇔ =
(20)Ta có
(3 ) ( 1) (3 )
3 3
x x
P x y x x
x x
− −
= + = + = + + + −
+ +
( ) ( )4 ( ) ( )4 4
1
3 3 3
P x x
x x
−
= + + − ≥ + − =
+ +
Vậy
( )
( )
min
4
3 2 3
4 3
3 2 1
0;
x
x
x x
P y
x
y
x y
+ =
+
−
=
− −
= ⇔ = ⇔
+ −
=
> < <
Câu 53 Cho a b c , , ba số thực dương, a > 1 thỏa mãn
( )
2 3
log log 4
4
a a
bc
bc + b c + + + −c =
Số (a b c, , ) thỏa mãn điều kiện cho
A 0 B 1 C 2 D Vô số
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
3 2 2 1 0
4
bc
b c + −b c =bc b c −bc+ =bc bc − ≥
3 2
4 bc
b c b c
⇒ + ≥
( )
2 3
log log 4
4
a a
bc
bc b c c
⇒ + + + + − ≥
( )
2 4
loga bc +logab c + +4 4−c
( )
( )2 2
loga bc c
= + + − ≥
Nên ( )
2
2 3
log log 4
4
a a
bc
bc + b c + + + −c =
( )
2
log
1
4
4
1 2
2
a bc a
c b
c bc
=
= −
⇔ − = ⇒ =
=
=
Có số (a b c, , ) thỏa mãn toán
Câu 54 Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn ( ) ln
ln ln
2
2
x y x y
+
+
= Tìm giá trị lớn biểu thức
( 1) ln ( 1) ln P= +x x+ +y y
A Pmax=10 B Pmax =0 C Pmax =1 D Pmax =ln Lời giải
Chọn B
ln
ln( ) ln ln( ) ln ln( ) ln ln( ) ln( ) ln ln
2
2 2 2 2
x y
x y x y x y x y x y
+
+ + − + + +
= ⇔ = ⇔ = ln( ) ln10
10 x y+
(21)( )ln10 ln( ) ln10.log ln(x y) log ln(x y) ln10.log e x y+ e
⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
log
10
x y x y
⇔ + = ⇔ + =
Do P=(x+1 ln) x+ −(3 x) (ln 2−x) Xét hàm số ( ) (f x = +x 1) lnx+ −(3 x) ln(2− x)
1 2
( ) ln ln(2 ) ln
2 (2 )
x x x x
f x x x
x x x x x
+ − −
′ = + − − − = +
− − −
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
1 2 4
0, 0;
2
x x x
f x x
x
x x x
− − +
′′ = − − < ∀ ∈
− −
Do f′( )x = có nhiều nghiệm ( )0;
Mà x= nghiệm pt f′( )x = nên phương trình f′( )x = có nghiệm
1 x=