Toán học Một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số41446

G.NTH Các kiến thức cần nắm 1.1 Các hệ thức ( k) 2 cos  + + cotg2 = (  k) sin  + cos   sin   + + tg2 = k ) 1.2 C«ng thøc céng gãc + cos(  ) = cos cos  sin sin + sin(  ) = sin cos  cos sin tg  tg  + tg (  ) = ( ;    k)  tg tg cot g cot g  + cotg(  ) = (;   k) cot g  cot g 1.3 Công thức nhân + sin2 = sin cos + cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - = - 2sin2 tg   (   k ) + tg2 =  tg  + tg cotg = (  k cot g   (  ) 2 cot g + sin3 = 3sin - 4sin3 + cos3 = 4cos3 - 3cos 3tg  tg 3   + tg3 = (   k )  3tg  1.4 C«ng thøc h¹ bËc  cos 2  cos 2 + cos2 = + sin2 = 2   cos 2 + tg2 = (   k) cos 1.5 Công thức biến đổi tỉng thµnh tÝch:    + cos + cos = 2cos cos 2  +   + cos - cos = - 2sin sin 2  +   + sin + sin = 2sin cos 2     + sin - sin = = - 2cos sin 2 + cotg2 = DeThiMau.vn G.NTH  sin(  ) (;    k) cos  cos  1.6 C«ng thøc biến đổi tích thành tổng: + cos.cos = [cos(  )  cos(  )] + sin.sin = [cos(  )  cos(  )] + sin.cos = [sin(  )  sin(  )] + tg tg = Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác tương tự + x2 + tan2t 4x3 - 3x 2x2 - 2x 1 x2 2x 1 x2 xy  xy 4cos3t - 3cost 2cos2t - 1 cos t 4cos3t - 3cost = cos3t 2cos2t - = cos2t tan t  tan t tan t = tan2t  tan t tan t  tan t tan t = sin2t  tan t tan   tan   tan  tan  tan   tan  = tan(+)  tan  tan  C«ng thøc lượng giác 1+tan2t = 1 = tan2 2 cos  cos  mét số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số x2 - I Dạng 1: Sử dơng hƯ thøc sin2 + cos2 = 1) Ph­¬ng ph¸p: x  sin  a) NÕu thÊy x2 + y2 = đặt với [0, 2]  y  cos   x  r sin  víi   [0, 2]  y  r cos  b) NÕu thÊy x2 + y2 = r2 (r > 0) đặt Các ví dơ minh ho¹: VD1: Cho sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = Chøng minh r»ng:   a(c+d) + b(c-d)  2 DeThiMau.vn G.NTH Gi¶i: c  sin v a  sin u vµ   S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) b  cos u d  cos v Đặt P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)    S  sin (u  v)    [ , ]    S  a (c  d)  b(c  d)  (®pcm) 4  2 1   25  VD2: Cho a2 + b2 = Chøng minh r»ng:  a     b    a b Giải: Đặt a = cos vµ b = sin víi    2 Thế vào biểu thức vế trái biến đổi 2     1       sin     a     b     cos   sin   cos    b   a    1 cos   sin  4 cos sin        4 cos  sin  cos  sin  = cos4 + sin4 +       = cos   sin  1  4 4  cos  sin      = cos   sin   cos  sin  1  4 4  cos  sin   17 25 16   1   = 1  sin 2 1  (®pcm)    1  (1  16)     2  2  sin 2   B©y giê ta đẩy toán lên mức độ cao bước để xuất a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + = Chøng minh r»ng: A = a  b  3ab  2(1  )a  (4  )b    Giải: Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + = 0 (a-1)2 + (b-2)2 = a   sin  a   sin    A  sin   cos   sin  cos Đặt b cos b   cos  A  sin 2  cos 2   sin 2  cos 2  sin(2  )  (đpcm) VD4: Cho a, b thoả mÃn : 5a  12b  = 13 DeThiMau.vn G.NTH Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a)  - Giải: Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a)  -  (a-1)2 + (b + 1)2  a   R sin Đặt với R b  R cos  a  R sin    (a  1)  (b  1)  R  b  R cos   Ta cã: 5a  12b   13  5(R sin   1)  12(R cos   1)   13  5R sin   12R cos   13   R 5 12  sin   cos   R sin    arccos   R 13  13 13  Tõ ®ã  (a-1)2 + (b+1)2 = R2   a2 + b2 + 2(b - a) - (đpcm) II Dạng 2: Sử dụng tập giá trị | sin | ; | cos  |  1 Ph­¬ng ph¸p:      x  sin      ;      x  cos     0;   a) NÕu thÊy |x|  đặt x m sin      ;  b) NÕu thÊy |x|  m ( m  ) đặt x m cos     0;   Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p + (1-x)p  2p  |x|  ; P Giải: Đặt x = cos với   [0, ], ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cos)p + (1-cos)p p p           =  cos    sin   p  cos p  sin p   p  cos  sin   p 2  2 2 2    (®pcm) VD2: Chøng minh r»ng: 32 32  3x  x  x 2 Giải: Từ đk - x2 |x| nên Đặt x = cos víi       x = sin Khi ®ã ta cã: P= x  x  x  cos   cos  sin   (1  cos 2 )  sin 2 DeThiMau.vn G.NTH     = 2 cos 2  sin 2    sin  2       A   (®pcm) 3    VD3: Chøng minh r»ng:   a  (1  a)   (1  a )3  2   2a (1) Gi¶i: Tõ đk |a| nên Đặt a=cos với [0,]  a  sin (1)  sin   ;  a  cos ;  a  sin  2        cos 2 cos3  sin   2  2 sin cos 2 2 2                 sin  cos  cos  sin  cos  sin cos  sin    sin cos 2  2  2 2 2            sin  cos  cos  sin   cos  sin  cos   ®óng  (®pcm) 2  2 2      VD4: Chøng minh r»ng: S = (1  a )3  a  a   a  Gi¶i: Từ đk |a| nên: Đặt a = cos víi   [0, ]   a = sin Khi ®ã biÕn ®ỉi S ta cã: S= 4(sin   cos3 )  3(cos   sin )  (3 sin   sin )  (4 cos3   cos )   = sin 3  cos 3  sin  3     (®pcm) 4    VD5: Chøng minh r»ng A = a  b  b  a  ab  (1  a )(1  b ) Giải: Từ điều kiện: - a2  ; - b2   |a|  ; |b|  nªn   Đặt a = sin, b = sin với ,    ;   2 Khi ®ã A = sin  cos   cos  sin   cos(  ) =   cos(  )  sin (  )    = sin(  )  cos(  )  sin(  )  2 3  (®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26|  a  [1; 3] DeThiMau.vn G.NTH Gi¶i: Do a [1, 3] nên a-2 nên ta đặt a - = cos  a = + cos Ta cã: A = 4(2  cos )3  24(2  cos )  45(2  cos )  26  cos3   cos   cos 3  (®pcm) VD7: Chøng minh r»ng: A = 2a  a  3a    a [0, 2] Gi¶i: Do a  [0, 2] nên a-1 nên ta đặt a - = cos víi   [0, ] Ta cã: A= 2(1  cos )  (1  cos )  3(1  cos )    cos   cos   1   = sin   cos   2 sin   cos    sin      (®pcm) III Dạng 3: Sử dụng công thøc: 1+tg2 =  1 (    k) tg     cos cos 1) Phương pháp: a) Nếu |x| toán có chứa biểu thức đặt x =  víi  0;   ,  cos   2   b) NÕu |x|  m toán có chứa biểu thức đặt x = x2 1 x  m2 m     3  víi  0;   ,  cos   2   C¸c vÝ dơ minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng A = a2 1    a 1 a Giải: Do |a| nên : Đặt a = A=     3  víi  0;   ,   cos   2   a   tg   tg Khi ®ã:  a 1    ( tg  ) cos   sin   cos   sin      (®pcm) a 3   12 a  VD2: Chøng minh r»ng: -  A =   a 1 a2 Gi¶i: DeThiMau.vn G.NTH Do |a|  nên: Đặt a = 3  víi  0;   ,   cos   2   a   tg   tg Khi ®ã:  12 a  2 = 5cos2-12sincos= 5(1  cos 2 )  sin 2 = (5-12tg)cos a2 13  12 5  13  =   cos 2  sin 2    cos 2  arccos  2  13 13 13    2 A= -4=  13 13  13  (1)  A   cos 2  arccos     (®pcm) 13  2 2 2  VD3: Chøng minh r»ng: A = a   b2  1 ab  a ; b 1 Gi¶i: Do |a| 1; |b| nên Đặt a = 1     3  ;b= víi  0;   ,  Khi ®ã ta cã: cos  cos   2   A = ( tg  tg) cos  cos   sin  cos   sin  cos   sin(  )  (®pcm) VD4: Chøng minh r»ng: a + a a 1  2 a Giải: Do |a| > nên: §Ỉt a = a+ 1 a   víi   0;   Khi ®ã:   cos   2 a  cos  tg  sin  a a2 1  2 1     2 (®pcm) cos  sin  cos  sin  sin 2 VD5: Chøng minh r»ng y x   y    xy 26  x ; y Giải: Bất đẳng thức x2 x Do |x|; |y| nên Đặt x =  y     26 (1) x y y   1   ; y= víi ,   0,  cos  cos   2 DeThiMau.vn G.NTH Khi ®ã: (1)  S = sin + cos(4sin + 3cos)  26 Ta cã: S  sin + cos (4  32 )(sin   cos )  sin   cos   (12  52 )(sin   cos ) 26 (đpcm) IV Dạng 4: Sử dơng c«ng thøc 1+ tg2 = cos  Phương pháp: a) Nếu x R toán chứa (1+x2) đặt x = tg víi     ,   2    b) NÕu x  R vµ toán chứa (x2+m2) đặt x = mtg với     ,   2 Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: S = 3x  x2  4x (1  x )3 Giải: Đặt x = tg víi     ,    x  , ®ã biÕn ®æi S ta cã: cos   2 S = |3tg.cos - 4tg3.cos3| = |3sin - 4sin3| = |sin3|  (®pcm)  8a  12a VD2: Tìm giá trị lớn nhỏ biÓu thøc A = (1  2a ) Gi¶i:  tg   3tg Đặt a = tg với   ,  th× ta cã: A = (1  tg )  2 cos   sin  cos   sin  =  3(sin   cos )  sin  cos  2 (cos   sin ) sin 2 sin 2   3  A  3  2 3 2 2  Víi  =  a = th× MaxA = ; Víi  =  a = th× MinA = =3- VD3: Chøng minh r»ng: (a  b)(1  ab)   a, b  R (1  a )(1  b ) Giải: DeThiMau.vn G.NTH Đặt a = tg, b = tg Khi ®ã = cos  cos  (a  b )(1  ab) (tg  tg)(1  tgtg)  2 (1  a )(1  b ) (1  tg )(1  tg 2) sin(  ) cos  cos   sin  sin  cos  cos  cos  cos  1 sin2(  )  (®pcm) 2 |a b| |bc| |ca| VD4: Chøng minh r»ng: a , b, c   (1  a )(1  b ) (1  b )(1  c ) (1  c )(1  a ) = sin( ) cos( ) Giải: Đặt a = tg, b = tg, c = tg Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc  | tg  tg | | tg  tg | | tg  tg |    (1  tg )(1  tg 2) (1  tg 2)(1  tg  ) (1  tg  )(1  tg )  cos  cos  sin(   ) sin(   ) sin(  )  cos  cos   cos  cos  cos  cos  cos  cos  cos  cos   sin(-)+sin(-) sin(-) Biến đổi biểu thức vế phải ta có: sin(-)= sin[(-)+(-)] = sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)  sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)=sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)  sin(-).1 + sin(-).1 = sin(-) + sin(-)  (®pcm) VD5: Chøng minh r»ng: ab  cd  (a  c)(b  d ) (1) a , b, c, d  Gi¶i: (1)  ab cd  1 (a  c)(b  d ) (a  c)(b  d ) cd ab  1  c  b   c  b  1  1   1  1    a  d   a  d c d Đặt tg2= , tg2= víi ,   0,   BiÕn ®ỉi bÊt ®¼ng thøc a b  2  (1  tg )(1  tg ) 2  tg 2.tg 2 (1  tg )(1  tg ) 2  cos  cos   sin  sin    cos cos + sin sin = cos(-)  ®óng  (®pcm) DÊu b»ng x¶y  cos(-) =  =  c d  a b 6a  | a | VD6: Tìm giá trị lớn vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = a2 1 DeThiMau.vn G.NTH Giải: Đặt a = tg Khi ®ã A = tg     tg tg   | tg  | 2  2      tg tg  tg  2 A = 3sin  + |cos|  sin + 4.0 = 3sin  3.(-1) = -3 Sö dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: A2 = (3sin + |cos|)2  (32 + 42)(sin2 + cos2) = 25  A  Víi sin =  a = th× MinA = - ; víi sin  | cos  | th× MaxA = V Dạng 5: Đổi biến số đưa bất đẳng thức tam giác 1) Phương ph¸p:   x; y; z  A; B; C  (0; ) a) NÕu  th× ABC :  2     x y z xyz  x  cos A; y  cos B; z  cos C   x; y; z  A; B; C  (0; ) b) NÕu  th× ABC :  x  y  z  xyz x  tgA; y  tgB; z  tgC   A; B; C  (0; )   x ; y, z  x  cot gA; y  cot gB; z  cot gC c) NÕu  th× ABC :  A; B; C  (0; ) xy  yz  zx    C B A    ; z tg ; y tg x tg 2 2 Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho x, y, z > vµ zy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc S= 1    3( x  y  z) x y z Gi¶i: Từ < x, y, z < nên đặt x = tg Do xy + yz + zx = nªn tg      ; y = tg ; z = tg víi , ,    0,  2  2       tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2 10 DeThiMau.vn G.NTH   tg  tg        tg      cot g   tg  tg  tg  = - tg tg  2 2 2  tg  tg  tg  2 2 2 2              tg    tg              2 2 2 2 2 2 2 S=     1       3( x  y  z) = cotg + cotg + cotg -3  tg  tg  tg  2  x y z 2 2              S =  cot g  tg    cot g  tg    cot g  tg   2 tg  tg  tg  2  2  2  2 2      S = 2(cotg+cotg+cotg) - 2 tg  tg  tg  2     S = (cotg+cotg-2tg ) + (cotg+cotg-2tg ) +(cotg+cotg-2tg ) 2 §Ĩ ý r»ng: cotg + cotg = sin(  ) sin  sin    sin  sin  sin  sin  cos(  )  cos(  )   sin cos sin  sin  2  tg   cot g  cot g  tg        cos(  )  cos  2 cos 2 T ®ã suy S  Víi x = y = z = VD2: Cho < x, y, z < vµ th× MinS = x y z xyz    2 2 1 x 1 y 1 z (1  x )(1  y )(1 z ) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc S = x2 + y2 + z2 Giải: Do < x, y, z < nên ®Ỉt x = tg Khi ®ã tg =       ; y = tg ; z = tg víi , ,    0,  2  2 2x 2y 2z ; tg = ; tg = đẳng thức giả thiết 1 x2  y2  z2 2x 2y 2z 8xyz + + =  tg+tg+tg = tg.tg.tg 2 2 1 x 1 y 1 z (1  x )(1  y )(1  z ) 11 DeThiMau.vn G.NTH  tg + tg = - tg(1-tg.tg)  tg  tg = - tg  tg(+) = tg(-)  tg.tg   Do , ,    0,  nªn  +  =  -    +  +  =  Khi ®ã ta cã:  2 tg       tg + tg tg + tg tg =  xy + yz + zx = Mặt khác: 2 2 2 (x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) =   ( x  y)  ( y  z )  ( z  x )   S = x2 + y2 + z2  xy + yz + zx = Víi x = y = z = th× MinS = x , y, z  x y z VD3: Cho  Chøng minh r»ng: S =    x  yz y  zx z  xy x  y z Giải: Đặt yz tg ; x Do xy yz zx xy yz zx =x+y+z=1   x z z y y x nªn tg xz   tg ; y xy     tg víi , ,    0,  z  2       tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2               tg    = cotg  tg    = tg     + = 2 2 2 2 2 2 2 2           2 S=   2y   2z  x y z  x      1    1    1  x  yz y  zx z  xy  x  yz   y  zx   z  xy   xy  yz  zx   1   x  yz y  zx z  xy   y z x     =       x  yz y  zx z  xy  2   yz  zx  xy   z  y x  = 3 (cos + cos + cos) + = cos   cos .1  (cos  cos   sin   sin )  2 2 12 DeThiMau.vn G.NTH  1 1  3 2              (sin sin ) cos cos (cos cos )      (®pcm) 2  Các toán đưa trắc nghiệm Trước dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến cho häc sinh cđa líp 11A1 vµ 11A2 ë tr­êng tôi, đà nhà cho em, cho em chuẩn bị trước thời gian tuần Với tập sau: Bài 1: Cho a2 + b2 = CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3|  13 Bµi 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = CMR: 2a + b  10 a; b  Bµi 3: Cho  CMR: a4 + b4  a3 + b3 a  b  Bµi 4: Cho a; b ; c  1    1     CMR:  a   b   c     a   b   c   c b  a  a  c  b   x; y; z  Bµi 5: Cho  2 x  y  z  xyz  a) xyz  b) xy + yz + zx  c) x2 + y2 + z2  d) xy + yz + zx  2xyz + e) CMR: 1 x 1 y 1 z    1 x 1 y 1 z Bµi 6: CMR: 1 a2  1  b2   a, b  (0, 1]  ab Bµi 7: CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  (ab + bc + ca)  a, b, c > x , y, z  x y z 3 CMR :    Bµi 8: Cho  2 2 1 x 1 y 1 z xy  yz  zx  x , y, z  x y z CMR :    Bµi 9: Cho  1 x2  y2  z2 x  y  z  xyz 13 DeThiMau.vn G.NTH x, y, z  1 2x 2y 2z CMR :      Bµi 10: Cho   x  y2  z2  x  y2  z2 xy  yz  zx  14 DeThiMau.vn ... tan Công thức lượng giác 1+tan2t = 1 1  = tan2 2 cos  cos  mét sè ph­¬ng pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại sè x2 - I D¹ng 1: Sư dơng hƯ thức sin2 + cos2 = 1) Phương pháp: x... thức: 1+tg2 =  1 (    k) tg     cos  cos 1) Phương pháp: a) Nếu |x| toán có chứa biểu thức đặt x =     3  víi  0;   ,  cos   2 b) Nếu |x| m toán có chứa biểu thức. .. sin =  a = th× MinA = - ; víi sin  | cos  | th× MaxA = V Dạng 5: Đổi biến số đưa bất đẳng thức tam giác 1) Phương pháp:  x; y; z  A; B; C  (0; ) a) NÕu  th× ABC :  2     x y z