G.NTH Các kiến thức cần nắm 1.1 Các hệ thức ( k) 2 cos + + cotg2 = ( k) sin + cos sin + + tg2 = k ) 1.2 C«ng thøc céng gãc + cos( ) = cos cos sin sin + sin( ) = sin cos cos sin tg tg + tg ( ) = ( ; k) tg tg cot g cot g + cotg( ) = (; k) cot g cot g 1.3 Công thức nhân + sin2 = sin cos + cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - = - 2sin2 tg ( k ) + tg2 = tg + tg cotg = ( k cot g ( ) 2 cot g + sin3 = 3sin - 4sin3 + cos3 = 4cos3 - 3cos 3tg tg 3 + tg3 = ( k ) 3tg 1.4 C«ng thøc h¹ bËc cos 2 cos 2 + cos2 = + sin2 = 2 cos 2 + tg2 = ( k) cos 1.5 Công thức biến đổi tỉng thµnh tÝch: + cos + cos = 2cos cos 2 + + cos - cos = - 2sin sin 2 + + sin + sin = 2sin cos 2 + sin - sin = = - 2cos sin 2 + cotg2 = DeThiMau.vn G.NTH sin( ) (; k) cos cos 1.6 C«ng thøc biến đổi tích thành tổng: + cos.cos = [cos( ) cos( )] + sin.sin = [cos( ) cos( )] + sin.cos = [sin( ) sin( )] + tg tg = Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác tương tự + x2 + tan2t 4x3 - 3x 2x2 - 2x 1 x2 2x 1 x2 xy xy 4cos3t - 3cost 2cos2t - 1 cos t 4cos3t - 3cost = cos3t 2cos2t - = cos2t tan t tan t tan t = tan2t tan t tan t tan t tan t = sin2t tan t tan tan tan tan tan tan = tan(+) tan tan C«ng thøc lượng giác 1+tan2t = 1 = tan2 2 cos cos mét số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số x2 - I Dạng 1: Sử dơng hƯ thøc sin2 + cos2 = 1) Ph¬ng ph¸p: x sin a) NÕu thÊy x2 + y2 = đặt với [0, 2] y cos x r sin víi [0, 2] y r cos b) NÕu thÊy x2 + y2 = r2 (r > 0) đặt Các ví dơ minh ho¹: VD1: Cho sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = Chøng minh r»ng: a(c+d) + b(c-d) 2 DeThiMau.vn G.NTH Gi¶i: c sin v a sin u vµ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) b cos u d cos v Đặt P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) S sin (u v) [ , ] S a (c d) b(c d) (®pcm) 4 2 1 25 VD2: Cho a2 + b2 = Chøng minh r»ng: a b a b Giải: Đặt a = cos vµ b = sin víi 2 Thế vào biểu thức vế trái biến đổi 2 1 sin a b cos sin cos b a 1 cos sin 4 cos sin 4 cos sin cos sin = cos4 + sin4 + = cos sin 1 4 4 cos sin = cos sin cos sin 1 4 4 cos sin 17 25 16 1 = 1 sin 2 1 (®pcm) 1 (1 16) 2 2 sin 2 B©y giê ta đẩy toán lên mức độ cao bước để xuất a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + = Chøng minh r»ng: A = a b 3ab 2(1 )a (4 )b Giải: Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + = 0 (a-1)2 + (b-2)2 = a sin a sin A sin cos sin cos Đặt b cos b cos A sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin(2 ) (đpcm) VD4: Cho a, b thoả mÃn : 5a 12b = 13 DeThiMau.vn G.NTH Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) - Giải: Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) - (a-1)2 + (b + 1)2 a R sin Đặt với R b R cos a R sin (a 1) (b 1) R b R cos Ta cã: 5a 12b 13 5(R sin 1) 12(R cos 1) 13 5R sin 12R cos 13 R 5 12 sin cos R sin arccos R 13 13 13 Tõ ®ã (a-1)2 + (b+1)2 = R2 a2 + b2 + 2(b - a) - (đpcm) II Dạng 2: Sử dụng tập giá trị | sin | ; | cos | 1 Ph¬ng ph¸p: x sin ; x cos 0; a) NÕu thÊy |x| đặt x m sin ; b) NÕu thÊy |x| m ( m ) đặt x m cos 0; Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p + (1-x)p 2p |x| ; P Giải: Đặt x = cos với [0, ], ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cos)p + (1-cos)p p p = cos sin p cos p sin p p cos sin p 2 2 2 2 (®pcm) VD2: Chøng minh r»ng: 32 32 3x x x 2 Giải: Từ đk - x2 |x| nên Đặt x = cos víi x = sin Khi ®ã ta cã: P= x x x cos cos sin (1 cos 2 ) sin 2 DeThiMau.vn G.NTH = 2 cos 2 sin 2 sin 2 A (®pcm) 3 VD3: Chøng minh r»ng: a (1 a) (1 a )3 2 2a (1) Gi¶i: Tõ đk |a| nên Đặt a=cos với [0,] a sin (1) sin ; a cos ; a sin 2 cos 2 cos3 sin 2 2 sin cos 2 2 2 sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos 2 2 2 2 2 sin cos cos sin cos sin cos ®óng (®pcm) 2 2 2 VD4: Chøng minh r»ng: S = (1 a )3 a a a Gi¶i: Từ đk |a| nên: Đặt a = cos víi [0, ] a = sin Khi ®ã biÕn ®ỉi S ta cã: S= 4(sin cos3 ) 3(cos sin ) (3 sin sin ) (4 cos3 cos ) = sin 3 cos 3 sin 3 (®pcm) 4 VD5: Chøng minh r»ng A = a b b a ab (1 a )(1 b ) Giải: Từ điều kiện: - a2 ; - b2 |a| ; |b| nªn Đặt a = sin, b = sin với , ; 2 Khi ®ã A = sin cos cos sin cos( ) = cos( ) sin ( ) = sin( ) cos( ) sin( ) 2 3 (®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| a [1; 3] DeThiMau.vn G.NTH Gi¶i: Do a [1, 3] nên a-2 nên ta đặt a - = cos a = + cos Ta cã: A = 4(2 cos )3 24(2 cos ) 45(2 cos ) 26 cos3 cos cos 3 (®pcm) VD7: Chøng minh r»ng: A = 2a a 3a a [0, 2] Gi¶i: Do a [0, 2] nên a-1 nên ta đặt a - = cos víi [0, ] Ta cã: A= 2(1 cos ) (1 cos ) 3(1 cos ) cos cos 1 = sin cos 2 sin cos sin (®pcm) III Dạng 3: Sử dụng công thøc: 1+tg2 = 1 ( k) tg cos cos 1) Phương pháp: a) Nếu |x| toán có chứa biểu thức đặt x = víi 0; , cos 2 b) NÕu |x| m toán có chứa biểu thức đặt x = x2 1 x m2 m 3 víi 0; , cos 2 C¸c vÝ dơ minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng A = a2 1 a 1 a Giải: Do |a| nên : Đặt a = A= 3 víi 0; , cos 2 a tg tg Khi ®ã: a 1 ( tg ) cos sin cos sin (®pcm) a 3 12 a VD2: Chøng minh r»ng: - A = a 1 a2 Gi¶i: DeThiMau.vn G.NTH Do |a| nên: Đặt a = 3 víi 0; , cos 2 a tg tg Khi ®ã: 12 a 2 = 5cos2-12sincos= 5(1 cos 2 ) sin 2 = (5-12tg)cos a2 13 12 5 13 = cos 2 sin 2 cos 2 arccos 2 13 13 13 2 A= -4= 13 13 13 (1) A cos 2 arccos (®pcm) 13 2 2 2 VD3: Chøng minh r»ng: A = a b2 1 ab a ; b 1 Gi¶i: Do |a| 1; |b| nên Đặt a = 1 3 ;b= víi 0; , Khi ®ã ta cã: cos cos 2 A = ( tg tg) cos cos sin cos sin cos sin( ) (®pcm) VD4: Chøng minh r»ng: a + a a 1 2 a Giải: Do |a| > nên: §Ỉt a = a+ 1 a víi 0; Khi ®ã: cos 2 a cos tg sin a a2 1 2 1 2 (®pcm) cos sin cos sin sin 2 VD5: Chøng minh r»ng y x y xy 26 x ; y Giải: Bất đẳng thức x2 x Do |x|; |y| nên Đặt x = y 26 (1) x y y 1 ; y= víi , 0, cos cos 2 DeThiMau.vn G.NTH Khi ®ã: (1) S = sin + cos(4sin + 3cos) 26 Ta cã: S sin + cos (4 32 )(sin cos ) sin cos (12 52 )(sin cos ) 26 (đpcm) IV Dạng 4: Sử dơng c«ng thøc 1+ tg2 = cos Phương pháp: a) Nếu x R toán chứa (1+x2) đặt x = tg víi , 2 b) NÕu x R vµ toán chứa (x2+m2) đặt x = mtg với , 2 Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: S = 3x x2 4x (1 x )3 Giải: Đặt x = tg víi , x , ®ã biÕn ®æi S ta cã: cos 2 S = |3tg.cos - 4tg3.cos3| = |3sin - 4sin3| = |sin3| (®pcm) 8a 12a VD2: Tìm giá trị lớn nhỏ biÓu thøc A = (1 2a ) Gi¶i: tg 3tg Đặt a = tg với , th× ta cã: A = (1 tg ) 2 cos sin cos sin = 3(sin cos ) sin cos 2 (cos sin ) sin 2 sin 2 3 A 3 2 3 2 2 Víi = a = th× MaxA = ; Víi = a = th× MinA = =3- VD3: Chøng minh r»ng: (a b)(1 ab) a, b R (1 a )(1 b ) Giải: DeThiMau.vn G.NTH Đặt a = tg, b = tg Khi ®ã = cos cos (a b )(1 ab) (tg tg)(1 tgtg) 2 (1 a )(1 b ) (1 tg )(1 tg 2) sin( ) cos cos sin sin cos cos cos cos 1 sin2( ) (®pcm) 2 |a b| |bc| |ca| VD4: Chøng minh r»ng: a , b, c (1 a )(1 b ) (1 b )(1 c ) (1 c )(1 a ) = sin( ) cos( ) Giải: Đặt a = tg, b = tg, c = tg Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc | tg tg | | tg tg | | tg tg | (1 tg )(1 tg 2) (1 tg 2)(1 tg ) (1 tg )(1 tg ) cos cos sin( ) sin( ) sin( ) cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos sin(-)+sin(-) sin(-) Biến đổi biểu thức vế phải ta có: sin(-)= sin[(-)+(-)] = sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-) sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)=sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-) sin(-).1 + sin(-).1 = sin(-) + sin(-) (®pcm) VD5: Chøng minh r»ng: ab cd (a c)(b d ) (1) a , b, c, d Gi¶i: (1) ab cd 1 (a c)(b d ) (a c)(b d ) cd ab 1 c b c b 1 1 1 1 a d a d c d Đặt tg2= , tg2= víi , 0, BiÕn ®ỉi bÊt ®¼ng thøc a b 2 (1 tg )(1 tg ) 2 tg 2.tg 2 (1 tg )(1 tg ) 2 cos cos sin sin cos cos + sin sin = cos(-) ®óng (®pcm) DÊu b»ng x¶y cos(-) = = c d a b 6a | a | VD6: Tìm giá trị lớn vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = a2 1 DeThiMau.vn G.NTH Giải: Đặt a = tg Khi ®ã A = tg tg tg | tg | 2 2 tg tg tg 2 A = 3sin + |cos| sin + 4.0 = 3sin 3.(-1) = -3 Sö dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: A2 = (3sin + |cos|)2 (32 + 42)(sin2 + cos2) = 25 A Víi sin = a = th× MinA = - ; víi sin | cos | th× MaxA = V Dạng 5: Đổi biến số đưa bất đẳng thức tam giác 1) Phương ph¸p: x; y; z A; B; C (0; ) a) NÕu th× ABC : 2 x y z xyz x cos A; y cos B; z cos C x; y; z A; B; C (0; ) b) NÕu th× ABC : x y z xyz x tgA; y tgB; z tgC A; B; C (0; ) x ; y, z x cot gA; y cot gB; z cot gC c) NÕu th× ABC : A; B; C (0; ) xy yz zx C B A ; z tg ; y tg x tg 2 2 Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho x, y, z > vµ zy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc S= 1 3( x y z) x y z Gi¶i: Từ < x, y, z < nên đặt x = tg Do xy + yz + zx = nªn tg ; y = tg ; z = tg víi , , 0, 2 2 tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2 10 DeThiMau.vn G.NTH tg tg tg cot g tg tg tg = - tg tg 2 2 2 tg tg tg 2 2 2 2 tg tg 2 2 2 2 2 2 2 S= 1 3( x y z) = cotg + cotg + cotg -3 tg tg tg 2 x y z 2 2 S = cot g tg cot g tg cot g tg 2 tg tg tg 2 2 2 2 2 S = 2(cotg+cotg+cotg) - 2 tg tg tg 2 S = (cotg+cotg-2tg ) + (cotg+cotg-2tg ) +(cotg+cotg-2tg ) 2 §Ĩ ý r»ng: cotg + cotg = sin( ) sin sin sin sin sin sin cos( ) cos( ) sin cos sin sin 2 tg cot g cot g tg cos( ) cos 2 cos 2 T ®ã suy S Víi x = y = z = VD2: Cho < x, y, z < vµ th× MinS = x y z xyz 2 2 1 x 1 y 1 z (1 x )(1 y )(1 z ) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc S = x2 + y2 + z2 Giải: Do < x, y, z < nên ®Ỉt x = tg Khi ®ã tg = ; y = tg ; z = tg víi , , 0, 2 2 2x 2y 2z ; tg = ; tg = đẳng thức giả thiết 1 x2 y2 z2 2x 2y 2z 8xyz + + = tg+tg+tg = tg.tg.tg 2 2 1 x 1 y 1 z (1 x )(1 y )(1 z ) 11 DeThiMau.vn G.NTH tg + tg = - tg(1-tg.tg) tg tg = - tg tg(+) = tg(-) tg.tg Do , , 0, nªn + = - + + = Khi ®ã ta cã: 2 tg tg + tg tg + tg tg = xy + yz + zx = Mặt khác: 2 2 2 (x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) = ( x y) ( y z ) ( z x ) S = x2 + y2 + z2 xy + yz + zx = Víi x = y = z = th× MinS = x , y, z x y z VD3: Cho Chøng minh r»ng: S = x yz y zx z xy x y z Giải: Đặt yz tg ; x Do xy yz zx xy yz zx =x+y+z=1 x z z y y x nªn tg xz tg ; y xy tg víi , , 0, z 2 tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2 tg = cotg tg = tg + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S= 2y 2z x y z x 1 1 1 x yz y zx z xy x yz y zx z xy xy yz zx 1 x yz y zx z xy y z x = x yz y zx z xy 2 yz zx xy z y x = 3 (cos + cos + cos) + = cos cos .1 (cos cos sin sin ) 2 2 12 DeThiMau.vn G.NTH 1 1 3 2 (sin sin ) cos cos (cos cos ) (®pcm) 2 Các toán đưa trắc nghiệm Trước dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến cho häc sinh cđa líp 11A1 vµ 11A2 ë trêng tôi, đà nhà cho em, cho em chuẩn bị trước thời gian tuần Với tập sau: Bài 1: Cho a2 + b2 = CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| 13 Bµi 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = CMR: 2a + b 10 a; b Bµi 3: Cho CMR: a4 + b4 a3 + b3 a b Bµi 4: Cho a; b ; c 1 1 CMR: a b c a b c c b a a c b x; y; z Bµi 5: Cho 2 x y z xyz a) xyz b) xy + yz + zx c) x2 + y2 + z2 d) xy + yz + zx 2xyz + e) CMR: 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z Bµi 6: CMR: 1 a2 1 b2 a, b (0, 1] ab Bµi 7: CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) (ab + bc + ca) a, b, c > x , y, z x y z 3 CMR : Bµi 8: Cho 2 2 1 x 1 y 1 z xy yz zx x , y, z x y z CMR : Bµi 9: Cho 1 x2 y2 z2 x y z xyz 13 DeThiMau.vn G.NTH x, y, z 1 2x 2y 2z CMR : Bµi 10: Cho x y2 z2 x y2 z2 xy yz zx 14 DeThiMau.vn ... tan Công thức lượng giác 1+tan2t = 1 1 = tan2 2 cos cos mét sè ph¬ng pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại sè x2 - I D¹ng 1: Sư dơng hƯ thức sin2 + cos2 = 1) Phương pháp: x... thức: 1+tg2 = 1 ( k) tg cos cos 1) Phương pháp: a) Nếu |x| toán có chứa biểu thức đặt x = 3 víi 0; , cos 2 b) Nếu |x| m toán có chứa biểu thức. .. sin = a = th× MinA = - ; víi sin | cos | th× MaxA = V Dạng 5: Đổi biến số đưa bất đẳng thức tam giác 1) Phương pháp: x; y; z A; B; C (0; ) a) NÕu th× ABC : 2 x y z