Toán học Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên39843

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên sở gd - đt bắc ninh Phòng gd - đt huyện quế võ đề tài nghiên cứu khoa học Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Người thực : Đào Văn Trường Đơn vị công tác : Trường THCS Phương Liễu Tên đề tài: Năm học : 2008 - 2009 Đào Văn Trường DeThiMau.vn Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên A Những vấn đề chung I/ Lý chọn đề tài: Các toán phương trình nghiệm nguyên toán khó Đường lối chung để giải phương trình dựa vào đặc điểm phương trình để thu hẹp miền chứa nghiệm Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động học tập học sinh, dạng toán việc tạo hứng thú say mê học tập em việc cần thiết thầy cô giáo dạy toán Do muốn trao đổi kinh nghiệm số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên hay gặp chương trình toán cấp mà đà làm II/ Mục đích: Giúp học sinh nắm số phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên III/ Nhiệm vụ: - Đưa phương pháp ví dụ minh hoạ - Rút kinh nghiệm IV/ Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng: tài liệu phương trình nghiệm nguyên - Phạm vi nghiên cứu: toán phương trình nghiệm nguyên chương trình toán cấp V/ Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu tài liƯu - Trao ®ỉi kinh nghiƯm - Tỉng kÕt rót kinh nghiệm Đào Văn Trường DeThiMau.vn Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên B Nội dung nghiên cứu: I/ Phương pháp dùng tính chất chia hết: 1/ Phương pháp phát tính chia hết: Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình : 3x + 17y = 159 (1) Giải: Giả sử x, y số nguyên thoả mÃn phương trình (1) Ta thấy 159 3x chia hết 17y chia hÕt cho 3, ®ã y chia hÕt cho ( 17 nguyên tố nhau) Đặt y = 3t ( t số nguyên) Thay vào phương trình (1), ta được: 3x + 17.3t = 159  x + 17t = 53 => x =53 - 17t  x  53  17t  y 3t Do ( t Z) Đảo lại thay biểu thức x y vào (1) phương trình nghiệm Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên (x; y) biểu thị c«ng thøc:  x  53  17t   y 3t ( t Z) 2/ Phương pháp đưa phương trình ước số: Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình : x.y - x - y = Gi¶i: Ta cã: x.y - x - y =  x.( y -1) - y =  x (y - 1) - (y - 1) =  (x -1) (y - 1) = Do x, y số nguyên nên x - 1, y - số nguyên ước Suy trường hợp sau: x   ;   y 1   x 1   y 1  ;  x   1   y   3 ;  x   3   y   1 Gi¶i hệ ta có nghiệm phương trình : (4; 2), (2; 4), 3/ Phương pháp tách giá trị nguyên: Ví dụ 3: Giải phương trình ví dụ cách khác Giải: Ta có: x.y - x - y =  x.(y-1) = y+2 Ta thÊy y  ( v× nÕu y=1 th× x.0 = v« nghiƯm ) (0; -2), (-2; 0) y2  1 y 1 y 1 Do x nguyên nên nguyên => y-1 ước => y-1=3; y-1=-3; y-1=1; y-1=-1 y 1 Do ®ã x = Đào Văn Trường DeThiMau.vn Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Ta có đáp số ví dụ II/ Phương pháp xét số dư vế: Ví dụ 4: Chứng minh phương trình sau nghiệm nguyên: a/ x2- y2 = 1998 b/ x2+ y2 = 1999 Gi¶i: a/ Ta thÊy x2 ; y2 chia cho chØ cã sè d­ là: ; nên x2 - y2 chia cho cã sè d­ lµ : ; ; vế phải 1998 chia cho dư Vậy phương trình nghiệm nguyên b/ Tương tự ta cã x2 + y2 chia cho cã sè dư : 0; 1; vế phải 1999 chia cho dư Vậy phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình : 9x + = y2+y (1) Giải: Ta có phương trình (1) 9x+2 = y(y+1) Ta thấy vế trái phương trình số chia cho d­ nªn y.(y+1) chia cho cịng d­ ChØ cã thÓ: y = 3k+1; y+1 = 3k+2 ( k  Z ) Khi ®ã: 9x+2 = (3k+1).(3k+2)  9x  9k ( k  1)  x  k ( k  1) Thư l¹i: x= k.(k+1); y = 3k+1 thoả mÃn phương trình đà cho Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát: x k ( k  1)   y  3k  k Z III/ Phương pháp dùng bất đẳng thức: Phương pháp thứ tự ẩn: Ví dụ 6: Tìm số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng Giải: Gọi số nguyên dương phải tìm x, y, z Ta cã: x + y + z = x.y.z (1) Do x, y, z cã vai trß nh­ ë phương trình (1) nên thứ tự Èn nh­ sau: 1 x  y  z Do ®ã : x.y.z = x + y +z  3z Chia hai vế cho số dương z ta được: x.y  Do ®ã: x.y = 1; 2; 3 +Với x.y =1 => x=1, y=1thay vào (1)ta +z = z lo¹i +Víi x.y = =>x=1, y=2 thay vào (1) ta x = +Với x.y = => x=1, y=3 thay vào (1) ta z = loại trái với xếp y z Vậy ba số phải tìm 1; 2; Đào Văn Trường DeThiMau.vn Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn: Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1 x y Giải: Do vai trò bình đẳng x y Giả sử x y , dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị cña sè nhá y Ta cã: 1   y (1) y 1 Mặt khác x  y    x y Do ®ã 1 1 2        x y y y y y nªn y  (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã :  y  Do y  Z  y  4; 5;  1    x  12 x 1 + Với y = ta được: loại x không số nguyên x 15 1 + Víi y = ta ®­ỵc:    x  x +Với y =4 ta được: Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: (4; 12), (12; 4) , (6; 6) 3/ Phương pháp nghiệm nguyên: Ví dụ 8: Tìm số tự nhiên x cho 2x+3x=5x Giải: Chia hai vế cho 5x, ta được: x x 2 3       (1)     +Víi x=0  vÕ trái phương trình (1) (loại) + Với x = vế trái phương trình ( đúng) + Với x thì: x x 3 2    ;       x x Nªn:         ( lo¹i) 5 5 Vậy nghiệm phương trình x = 4/ Sư dơng ®iỊu kiƯn   phương trình bậc hai có nghiệm Ta viết phương trình f(x; y) = dạng phương trình bậc hai ẩn đà chọn Chẳng hạn chọn ẩn x, y tham số, điều kiện cần để phương trình có nghiệm , để có nghiệm nguyên cần phải số phương Ví dụ 9: Tìm nghiệm nguyên phương trình : x+y+xy = x2+y2 (1) Đào Văn Trường DeThiMau.vn Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Giải: Phương trình (1) tương đương với: x2-(y+1)x+(y2-y) = Điều kiện để (2) có nghiệm  (2)   ( y  1)2  4( y  y )  3y  6y      3y  6y    3y  6y    3( y  1)2  Do ®ã (y-1)2  => y-1 = 0; y-1 = -1; y-1 = => y=(0; 1; 2) +Với y=0 thay vào (2) ta được: = => x1=0; x2=1 +Víi y=1 thay vµo (2) ta được: x -2x=0 => x3=0; x4=2 +Với y=2 thay vào (2) ta được: x2-3x+2=0 => x5=1; x6=2 Thử lại giá trị nghiệm với phương trình (1) Đáp số: nghiệm phương trình (1) là: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2) 5/ Sử dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhia Copxiki: Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x2-x xy yz xz   3 z x y (1) Giải: Phương trình (1) 3xyz x y  y z  z x  3 x y z 3xyz xyz ( áp dụng BĐT Côsi) xyz   x  y  z  Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên dương (1; 1; 1) IV/ Phương pháp dùng tính chất mét sè chÝnh ph­¬ng: 1/Sư dơng tÝnh chÊt chia hÕt số phương: Các tính chất thường dùng: số phương không tận 2, 3, 7, Sè chÝnh ph­¬ng chia hÕt cho số nguyên tố p chia hết cho p2 Số phương chia cho có số dư lµ 0; 1, chia cho cã sè d­ lµ 0; 1, chia cho cã sè d­ lµ 0; 1; Ví dụ 11: Tìm số nguyên x để 9x+5 tích hai số nguyên liên tiếp Giải: Giả sử 9x+5 = n(n+1) với n nguyên 36x+20 = 4n2+4n => 36x+21= 4n2+4n+1 => 3(12x+7) = (2n+1)2 (1) Tõ (1) => (2n+1)  , số nguyên tố => (2n+1)2 Mặt khác ta có 12x+7 không chia hết 3(12x+7) kh«ng chia hÕt cho VËy chøng tá kh«ng tồn số nguyên x để 9x+5 tích hai số nguyên liên tiếp 2/ Tạo bình phương đúng: Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2+4x+2 = 21-3y2 (1) Đào Văn Trường DeThiMau.vn Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Giải: Phương trình (1) x   y  (2) Ta thÊy vÕ tr¸i chia hÕt cho => 3(7-y2)    y   y lỴ Ta lại có 7-y2 (vì vế trái 0) nên y2 = Khi phương trình (2) có dạng 2(x2+1) = 18 x   3  x  4; 2 Các cặp số (2; 1), (2; -1), (-4; 1), (-4; -1) thoả mÃn phương trình (2) nên nghiệm phương trình đà cho 3/ Xét số phương liên tiếp: Hiển nhiên hai số phương liên tiếp số phương Do với số nguyên a, x ta có: Không tồn x để a2 z2=xy=(ab)2 z=ab x  ta  Nh­ vËy :  y  tb víi t >  z  tab Đảo lại ta thấy công thức thoả mÃn (1) Vậy công thức nghiệm nguyên dương (1) 5/ Sư dơng tÝnh chÊt: " nÕu hai sè nguyên liên tiếp có tích số phương hai số nguyên liên tiếp " Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2+xy+y2=x2y2 (1) Giải: Thêm xy vào hai vế phương trình (1), ta được: x2+2xy+y2=x2y2+xy  x  y   xy( xy  1) (2) Đào Văn Trường DeThiMau.vn Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Ta thấy xy xy+1 hai số nguyên liên tiếp có tích số phương nên tồn số NÕu xy = tõ (1) => x2+y2=0 nªn x=y=0 Nếu xy+1=0 => xy= -1 nên (x; y)=(1;-1) (x;y)=(-1;1) Thử cặp số (0;0), (1;-1), (-1;1) nghiệm phương trình (1) V/ Phương pháp lùi vô hạn ( nguyên tắc cực hạn): Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên phương trình : x3+2y3=4z3 (1) Giải: Từ (1) ta thấy x , đặt x=2x1 với x1 nguyên hay vào (1) chia hai vế cho ta 4x31+y3=2z3 (2) Từ (2) ta thấy y , đặt y=2y1 với y1 nguyên thay vào (2) chia hai vế cho ta được: 2x31+4y31=z3 (3) Từ (3) ta thấy z đặt z = 2z1 với z1 nguyên Thây vào (3) chia hai vế cho 2, ta được: x13+2y13= 4z13 (4) Như (x; y; z) nghiệm (1) (x1; y1; z1 ) nghiệm (1) Trong x = 2x1; y = 2y1; z = 2z1 LËp luËn tương tự ta đến x, y, z chia hÕt cho 2k víi k  N §iỊu xảy x = y = z = Vậy phương trình (1) có nghiệm : x = y = z = C Bµi tập: Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: a 5x-y = 13 b 23x+53y= 109 c 12x-5y = 21 d 12x+17y = 41 Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: a/ 1+y+y2+y3 = t3 b/ 1+y+y2+y3+y4 = t4 Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: a/ 5(x+y)+2 = 3xy b/ 2(x+y) = 5xy c/ 3x+7 = y(x-3) Bài 4: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: 5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt Bài 5: Tìm 12 số nguyên dương cho tổng chúng b»ng tÝch cđa chóng Bµi 6: Chøng minh r»ng, víi n số tự nhiên khác 0, phương trình : x1+x2+x3+…+xn= x1x2x3…xn Ýt nhÊt cịng cã mét nghiƯm tËp hợp số tự nhiên khác Đào Văn Trường DeThiMau.vn Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Bài 7: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : xy yz zx   3 z x y Bµi 8: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: a/ 4(x+y+z) = xyz b/ x+y+z+9-xyz = Bµi 10: Chứng minh phương trình 2x2-5y2=7 nghiệm nguyên Bài 11: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x  y  z  z   2( x  y  xy ) Bµi 12: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 1    1 x y z t Mục lục Lời nói đầu.Trang A Những vấn đề chung. B Nội dung nghiên cứu I/ Phương pháp dùng tính chất chia hết...3 II/ Phương pháp xét số dư vế. III/ Phương pháp dùng bất đẳng thức..5 IV/ Phương pháp dùng tính chất số phương6 V/ Phương pháp lùi vô hạn. C Bài tập. .9 Đào Văn Trường DeThiMau.vn Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Đào Văn Trường DeThiMau.vn 10 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Đào Văn Trường DeThiMau.vn 11 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Xác nhận hội đồng khoa học trường THCS phương liễu T/M HĐKH nhà trường Đào Văn Trường DeThiMau.vn 12 ... DeThiMau.vn Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Đào Văn Trường DeThiMau.vn 10 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Đào Văn Trường DeThiMau.vn 11 Một số phương pháp giải phương. .. đổi kinh nghiệm số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên hay gặp chương trình toán cấp mà đà làm II/ Mục đích: Giúp học sinh nắm số phương pháp để giải phương trình nghiệm. . .Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên A Những vấn đề chung I/ Lý chọn đề tài: Các toán phương trình nghiệm nguyên toán khó Đường lối chung để giải phương trình dựa vào đặc điểm phương