Huy- chk2 SKKN : PP LƯỢNG GIÁC HOÁ CM CÁC BT I S I đặt vấn đề trường phổ thông, dạy toán dạng hoạt động toán học Đối với học sinh xem việc giải toán hình thức chủ yếu hoạt động toán học Hoạt động giải tập toán học phương tiện có hiệu thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn, điều kiện để thực tốt mục đích dạy học trường phổ thông Trong chương trình toán trường THPT, toán phong phú đa dạng nội dung lẫn phương pháp giải Vì việc bồi dưỡng cho học sinh phương pháp giải có hiệu việc bổ ích cần thiết Việc biến toán đại số thành toán lượng giác hay Phương pháp lượng giác hoá toán đại số phương pháp chưa sử dụng rộng rÃi giải tập toán trường THPT, thích hợp cho toán đại số số lượng tập áp dụng phương pháp Vì vậy, nghĩ cần nghiên cứu để có cách truyền thụ thích hợp cho học sinh Để nâng cao hiệu việc rèn luyện kỹ giải toán đại số phương pháp lượng giác cho học sinh chọn đề tài Rèn luyện lực giải toán cho học sinh THPT qua chuyên đề chứng minh đẳng thức đại số phương pháp lượng giác II Mục tiêu đề tài Đưa phương pháp chung để giải toán đại số phương pháp lượng giác, sở phương pháp này, ví dụ minh hoạ chứng minh đẳng thức đại số phương pháp lượng giác nhằm khắc sâu kiến thức hình thành kỹ chứng minh đẳng thức đại số phương pháp lượng giác DeThiMau.vn http://www.fineprint.com PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version Huy- chk2 III Nội dung Phương pháp lượng giác hoá toán chứng minh đẳng thức đại số * Để lượng giác hoá toán ta dựa mệnh ®Ị sau: MƯnh ®Ị I: NÕu –1 ≤ x ≤ th× cã mét sè a víi - π π ≤ a ≤ cho sin a 2 = x vµ mét sè b víi ≤ b ≤ π cho cos b = x MƯnh ®Ị II: NÕu ≤ x ≤ th× cã mét sè a vµ mét sè b víi ≤ a ≤ π ; 0≤b≤ π cho x = sina vµ x = cosb π π cho x = Mệnh đề III: Với số thực x có mét sè a víi - < a < 2 tg a Mệnh đề IV: Nếu số thực x y thoả mÃn hệ thức x + y2 = th× cã mét sè a víi ≤ a ≤ 2π cho x = cosa vµ y = sina * Phương pháp giải: Ta thực bước sau: B- c 1:Lượng giác hoá đẳng thức Bước 1: Thực việc chứng minh đẳng thức lượng giác * Chú ý: Cá c em học sinh cần ôn lạ i cá c ph- ơng phá p chứng minh đẳng thức l- ợ ng giá c, cá c kiến thức l- ợ ng giá c ®Ĩ cã thĨ nhanh chãng tiÕp cËn ®- ỵ c ph- ơng phá p Các ví dụ Ví dô 1: ho x ≥ y høng minh x + y +x - y= x + x − y + x − x − y Gi¶i: Đẳng thức hiển nhiên với x = y = !iả sử x hia hai vế đẳng thức cần chứng minh cho x ta được: DeThiMau.vn PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Huy- chk2 1+ "o y y y + − = + − x x x y + − − x x ≥ y ta cã: y y ≤ nªn –1 ≤ ≤ x x §#t y = cos a với a $0; % đẳng thức cuối s& x 1 + cos a+1 – cos a=1 + sin a+1 sin a Bởi biểu thức dấu giá tr' tuyệt đối không âm (1 sina, cosa 1) nên đẳng thức hiển nhiên Ví dụ 2: ho x2 + y2 = u2 + v2 = xu + yv = høng minh: a) x2 + u2 = b) y2 + v2 = c) xy + uv = Giải: áp dụng mệnh đề *V, tồn x = cos a ; y = sin a víi ≤ a 2π vµ u = cosb vµ v = sinb víi ≤ b ≤ 2π T+ gi¶ thiÕt: xu + yv = ⇔ cos a cos b + sin a sin b = cos(a – b) = (,) a) ta cã: x2 + u2 = cos2a + cos2b = =1+ 1 (1 + cos 2a) + (1 + cos 2b) 2 (cos 2a + cos 2b) = + cos(a + b) cos(a b) Theo (,) vế phải đẳng thức cuối c-ng b»ng (®pcm) b) y2 + v2 = sin2a + sin2b = 1 (1 – cos 2a) + (1 – cos 2b) 2 DeThiMau.vn PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Huy- chk2 = – cos(a + b) cos(a – b) = (®pcm) c) T¬ng tù ta cã: xy + uv = cos a sin a + cos b sin b = = (sin 2a + sin 2b) = sin(a + b) cos(a – b) = (®pcm) VÝ dơ 3: ho x2 + y2 + + 2xy = (x / 0, y / 0, / 0) høng minh: + xy = x (1− y )(1− z ) + y (1− x )(1− z ) + (1− x )(1− y2 ) Gi¶i: T+ gi¶ thiÕt ta cã < x, y, < áp dụng mệnh đề **, đ#t x = cos a; y = cosb; = cos c víi a, b, π c∈ 0; hứng minh đẳng thức đà cho tương đương víi chøng minh: + cosa cosb cosc = cosa sinb sinc + cosb sina sinc + cosc sina sinb T+ gi¶ thiÕt ta cã: os2a + cos2b + cos2c + 2cos a cosb cosc = ⇔ (cosc + cosacossb)2 – cos2acos2b + cos2a + cos2b – = ⇔ (cosc +cosacossb)2 + cos2asin2b – sin2b = ⇔ (cosc + cosacossb)2 – sin2asin2b = ⇔ (cosc + cosacosb – sinasinb)(cosc + cosacosb + sinasinb) = ⇔ $cosc + cos(a + b)%$cosc + cos(a – b)% = ⇔ 0cos a+b+c a +b−c a−b+c b+c−a cos cos cos = (,) 2 2 "o ®iỊu kiƯn < a,b,c < π suy a +b−c π a−b+c π b+c−a π ≠± ; ≠ ± vµ ≠± 2 2 2 Thµnh thư: cos a +b−c a−b+c b+c−a cos cos ≠0 2 DeThiMau.vn PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Huy- chk2 T+ (,) suy ra: cos a+b+c =0 ⇒a+b+c=π cos(a + b + c) = -1 = cos(a + b) cosc – sinc – sin(a + b) sinc = = cosa cosb cosc – sina sinb cosc – sina sinc cosb – sinb sinc cosa ⇔ + cosa cosb cosc = sina sinb cosc + sina sinc cosb + sinb sinc cosa (®pcm) VÝ dô 0: ho xy, y., x ≠ -1 høng minh x−y y−z z−x x−y y−z z−x + + = + xy + yz + zx + xy + yz + zx !i¶i: áp dụng mệnh đề ***, đ#t x = tga; y = tgb; = tgc víi - < a, b, c < , áp dụng tg cđa hiƯu hai gãc ta cã: x − y tga − tgb = = tg(a – b); + xy + tgatgb T¬ng tù ta cã: y−z z−z = tg(b – c); = tg(c – a) + yz + zx Lu r»ng (a – b) + (b – c) + (c – a) = ta được: tg(a b) + tg(b c) + tg(c – a) = tg(a – b) tg(b – c) tg(c a) Biến đổi ngược lại với ph2p biến đổi bên ta điều cần phải chøng minh VÝ dô 5: ho 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z + + = (1) Víi x, y, ≠ 1− x 1− y 1− z 1− x 1− y 1− z høng minh : a) 2( x + y)(1 − xy) − z = (1 + x )(1 + y ) + z DeThiMau.vn http://www.fineprint.com PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version Huy- chk2 b) (1 − xy) − ( x + y) 2z = (1 + x )(1 + y ) 1+ z2 !iải: a) Đ#t x = tga ; y = tgb ; = tgc π π π víi - < a, b, c < a, b, c (vì x, y, 1) 2 π tg tga π + x + tga Ta cã: = tg(a + ) = = − x − tga π − tg tga T¬ng tù: 1+ y π 1+ z π − tg (b + ) ; − tg (c + ) 1− y 1− z T+ đẳng thức đà cho ta có: Tg(a + π π π π π π ) + tg(b + ) + tg(c + ) = tg(a + ) tg(b + ) tg(c + ) 2 2 2 §#t 3=a+ π π ;B=b+ ; 4 tg3 + tgB + tg =c+ ; đẳng thức cuối cã d¹ng: = tg3 tgB tg ⇔ tg3 + tgB = (1 – tg3 tgB) tg(- ) ⇔ tg(- ) = ⇔3+B+ tgA + tgB = tg(3 + B) ⇔ + B = − tgAtgB = kπ ⇔ a + b + c = + kπ π + l (2) Vậy điều kiện (1) tương đương với đẳng thức (2) Đẳng thức cần chứng minh tương ®¬ng víi 2( tga + tgb)(1 − tgatgb) − tg c = (1 + tg a )(1 + tg b) + tg c ⇔ 2(sina cosb + sinb cosa)(cosa cosb – sina sinb) = cos2c – sin2c ⇔ 2sin(a + b) cos(a + b) = cos2c ⇔ sin(2a + 2b) = cos 2c (4) DeThiMau.vn http://www.fineprint.com PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version Huy- chk2 Bëi v×: a + b + a = + l đẳng thức (4) hiển nhiên (đpcm) b) Tương tự câu a), sau thay x = tga, y = tgb, = tgc råi biến đổi lượng giác, đẳng thức cần chứng minh dẫn ®Õn cos(2a + 2b) = sin 2c "o (2) ®¼ng thức hiển nhiên (đpcm) Ví dụ 6: Nếu a + b + c – abc = – ab – bc – ca 5R: − a − b − c (1 − a )(1 − b )(1 − c ) + + = a b c abc !i¶i: π π §#t a = tgα, b = tgβ, c = tgγ víi α, β, γ ∈ − ; 2 tgα + tgβ + tgγ - tgα tgβ tgγ = - tgα.tgβ-tgβ.tgγ-tgγ.tgα (1) 62t trêng hỵp: Tr- êng hỵ p 1: NÕu - tg.tg - tg.tg - tg.tg = 0, ta được: tg.tg + tgβ.tgγ + tgγ.tgα = tgα + tgβ + tgγ = tgα.tgβ.tgγ ⇒ π + kπ m©u α + β + γ = lπ α+β+γ= Tr- êng hỵ p 2: NÕu - tgα.tgβ - tgβ.tgγ - tgγ.tgα 0, ta được: (1) tg + tg + tgγ − tgα.tgβ.tgγ = ⇔ tg (α + β + γ ) = tgα.tgβ + tgβ.tgγ + tgγ.tgα π π ⇔ α + β + γ = + kπ ⇔ 2α + 2β + 2γ = + kπ ⇔ tg2α.tg2β - tg2β.tg2γ - tg2γ.tg2α = ⇔ cotg2α + cotg2β + cotg2γ = cotg2α.cotg2β.cotg2γ (2) NhËn x2t r»ng: cot g 2α = 1− a2 1− b2 − c2 , cot g 2β = , cot g 2γ = a b c DeThiMau.vn PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com (4) Huy- chk2 Thay (4) vào (2) suy điều phải chứng minh Ví dô 7: a ho xy = x + y +.; vµ x2, y2, ≠ høng minh: 3x − x 3y − y 3z − z 3x − x 3y − y 3z − z = + + − 3x − 3y − 3z − 3x − 3y 3z b x(y2-1)(.2-1)+y(.2-1)(x2-1)+.(x2-1)(y2-1)=2xy !iải điều a §#t x=tga; y=tgb; =tgc víi a, b, c ∈ ( − ; ); a, b, c ≠ 2 kiện đà cho tương đương với: tga + tgb + tgc = tga tgb tgc (1) Theo bµi 1.12 (1) ⇔ a + b + c = kπ hó lµ tg3a = tg3b = 3tga − tg a − 3tg a 3tgb − tg b 3tgc − tg c tg c vµ = − 3tg b − 3tg c Đẳng thức cần chứng minh tương đương với tg4a + tg4b + tg4c = tg4a.tg4b.tg4c Đẳng thức (do a+b+c = k 4a+4b+4c=l) b Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: tga(tg2b-1)(tg2c-1) + tgb(tg2c-1)(tg2a-1)+tgc(tg2a-1)(tg2b- 1)=2tgatgbtgc sin2acos2bcos2c+cos2asin2bcos2c+cos2acos2bsin2c= sin2asin2bsin2c (2) T+ a + b + c = kπ ⇒ sin(2a + 2b + 2c) = T+ (4) khai triển theo công thức cộng suy (2) (đpcm) VÝ dô 8: ho xy + y + x = høng minh x+y+.-4xy.=x(y2+.2)+y(.2+x2)+.(x2+y2) !i¶i DeThiMau.vn http://www.fineprint.com PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version (4) Huy- chk2 §#t x = tga; y = tgb; = tgc π π a,b,c ∈ − ; 2 T+ ®iỊu kiƯn ®· cho ta ®ỵc: tgatgb + tgbtgc + tgctga = ⇒ a + b + c = π + kπ ⇒ 2a + 2b + 2c = π + 2kπ sin (2a + 2b + 2c) = ⇒ sin2a cos2b cos2c + sin2b cos 2ac os2c + sin2c cos2a cos2b - sin2a sin2b sin2c = Vì < a,b,c < nên cos2a cos2b cos2c ta được: 2 sin 2a cos 2b cos 2c sin 2b cos cos 2c sin 2c cos 2a cos 2b + + − cos a cos b cos c cos a cos b cos c cos a cos b cos c − sin 2a sin 2b sin 2c =0 cos a cos b cos c 5#t kh¸c ta cã sin 2x sin x cos x = = 2tgx cos x cos x cos 2x cos x − sin x = = − tg x 2 cos x cos x ho nên đẳng thức viết thµnh: tga(1-tg2b)(1-tg2c)+tgb(1-tg2a)(1-tg2c)+tgc(1-tg2a)(1-tg2b)0tgatgbtgc=0 ⇔tga(1-tg2b-tg2c+tg2btg2c)+tgb(1-tg2a-tg2c+tg2atg2c)+ tgc(1-tg2a-tg2b+tg2atg2b)-0tgatgbtgc = ⇔ tga+tgb+tgc – tga(tg2b+tg2c) – tgb(tg2a+tg2c) – tgc(tg2a+tg2b) + + tgatgbtgc(tgbtgc+tgctga+tgatgb) – 0tgatgbtgc = L¹i thay tga = x, tgb = y, tgc = sử dụng giả thiết xy+y.+.x=1 ta được: x+y+.+xy.(y.+.x+xy) – 0xy = x(y2+.2) + y(.2+x2) + (x2+y2) ⇔ x+y+ – 4xy = x(y2+.2)+y(.2+x2) + (x2+y2) (®pcm) DeThiMau.vn http://www.fineprint.com PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version Huy- chk2 VÝ dơ 9: NÕu x1, x2, x4 lµ nghiƯm cđa phương trình x4+ax2+x+b=0 (b0) 5R ( x 1 1 1 )( x − ) + ( x − )( x − ) + ( x − )( x − ) = x2 x2 x2 x3 x1 x (1) Bài giải T+ giả thiết ta có: x1x2+x2x4+x4x1=1 b0 x1,x2,x40 Đ#t x=tg3, y=tgB, =tg , với 3, B, ∈( −π π , ) 2 Ta cã: tg3.tgB+tgB.tg +tg tg3=1 ⇔ 3+B+ = π + kπ ⇔ 23+2B+2 = π+2kπ (2) vµ (1) ⇔ (tg3-cotg3)(tgB-cotgB)+(tgB-cotgB)(tg -cotg )+ + (tg -cotg )(tg3-cotg3) = ⇔ (-2cotg23)(-2cotg2B) + (-2cotg2B)(-2cotg2 )+ + (-2cotg2 )(-2cotg23) = ⇔ cotg23cotg2B + cotg2Bcotg2 + cotg2 cotg23 = ⇔ 23 + 2B + VÝ dô 10: = π + 2kπ, (2) hứng minh 2+ 2+ 2+ + 2− 2− 2− = (1) !i¶i hia hai vÕ cđa (1) cho 2+ 2+ 4+2 + ta được: 42 =1 DeThiMau.vn PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Huy- chk2 ⇔ 1+ 1+ 1+ Thay + 1− =1 (2) 3 1− 1− 2 π (2) bëi cos ta ®ỵc:777 DeThiMau.vn PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com ... mÃn hệ thức x + y2 = th× cã mét sè a víi ≤ a ≤ 2π cho x = cosa y = sina * Phương pháp giải: Ta thực bước sau: B- c 1 :Lượng giác hoá đẳng thức Bước 1: Thực việc chứng minh đẳng thức lượng giác *...Huy- chk2 III Nội dung Phương pháp lượng giác hoá toán chứng minh đẳng thức đại số * Để lượng giác hoá toán ta dựa mệnh đề sau: Mệnh đề I: Nếu ≤ x ≤ th× cã mét... tg c tg c vµ = − 3tg b 3tg c Đẳng thức cần chứng minh tương đương với tg4a + tg4b + tg4c = tg4a.tg4b.tg4c Đẳng thức (do a+b+c = k 4a+4b+4c=l) b Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: tga(tg2b-1)(tg2c-1)