Chuyên đề Một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số48202

I Đặt vấn đề Trong chương trình toán trường phổ thông việc chứng minh bất đẳng thức vấn đề nói phức tạp nhất, rèn cho người làm toán trí thông minh, sáng tạo, có khéo léo, kết công cụ sắc bén toán học Nhưng để chứng minh bất đẳng thức không đơn giản chút nào, häc sinh, c¸c em tá lóng tóng chän cho công cụ để chứng minh hiệu Đà có nhiều tài liệu đưa số phương pháp tốt để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn: - Phương pháp sử dụng tính chất bất đẳng thức - Phương pháp sử dụng tam thức bậc - Phương pháp sử dụng bất đẳng thức kinh điển - Phương pháp sử dụng phản chứng - Phương pháp sử dụng quy nạp - Phương pháp sử dụng đạo hàm - Phương pháp sử dụng hình học - Phương pháp sử dụng hàm lồi Mặc dù song chưa đủ sáng tạo người làm toán vô hạn Chính viết muốn đề cập "Một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số " nhằm trang bị thêm cho học sinh số công cụ hữu hiệu để chứng minh bất đẳng thức đại số Phương pháp lượng giác hoá đà số sách tác giả đề cập giáo sư Phan Đức Chính, giáo sư Phan Huy Khải, phó tiến sĩ Vị ThÕ Hùu viÕt Nh­ng cÊu tróc mơc tiêu sách mà tác giả không sâu vào phương pháp hay nói cách khác chưa thật cụ thể hoá, hệ thống hoá Là giáo viên gần 20 năm giảng dạy với đối tượng học sinh giỏi lớp chọn đà phân chia phương pháp thành dạng tập Nhằm cung cấp cho học sinh nhận dấu hiệu ban đầu để thực bước lượng giác hoá toán chứng minh bất đẳng thức đại số, để dùng kết bất đẳng thức lượng giác chứng minh bất đẳng thức đại số Qua thực tế giảng dạy lớp chọn khối 11 trường THPT nhận thấy việc phân chia dạng hợp lý, lôgíc cụ thể, nhanh chóng tìm phương pháp chứng minh bất đẳng thức cách áp dụng phương pháp tư Tôi trình bày hiệu phương pháp học sinh phần kết trắc nghiệm thực tế sáng kiến Các tài liệu tham khảo Bất đẳng thức giáo sư Phan Đức Chính - NXB Giáo dục 1995 Các toán chọn lọc bất đẳng thức tập giáo sư Phan Huy Khải - NXB Giáo dục Hà Nội 2000 Phương pháp lượng giác hoá PTS Vũ Thế Hựu - NXB Giáo dục 2002 DeThiMau.vn II giải vấn đề Các kiến thức cần nắm 1.1 Các hệ thức (  k) cos  + + cotg2 = (  k) sin  + cos   sin   + + tg2 = k ) 1.2 C«ng thøc céng gãc + cos(  ) = cos cos  sin sin + sin(  ) = sin cos  cos sin tg  tg  ( ;    k) + tg (  ) =  tg tg cot g cot g  + cotg(  ) = (;   k) cot g  cot g 1.3 Công thức nhân + sin2 = sin cos + cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - = - 2sin2 tg   + tg2 = (    k )  tg  + tg cotg = (  k cot g   + cotg2 = (  ) 2 cot g + sin3 = 3sin - 4sin3 + cos3 = 4cos3 - 3cos 3tg  tg 3   ( k    + tg3 = ) 3tg 1.4 Công thức hạ bậc  cos 2  cos 2 + cos2 = + sin2 = 2   cos 2 + tg2 = (   k)  cos 1.5 Công thức biến đổi tổng thành tích:    + cos + cos = 2cos cos 2  +   + cos - cos = - 2sin sin 2  +   + sin + sin = 2sin cos 2 DeThiMau.vn     sin 2  sin(  ) + tg  tg = (;    k) cos  cos  1.6 C«ng thøc biến đổi tích thành tổng: + cos.cos = [cos(  )  cos(  )] + sin.sin = [cos(  )  cos(  )] + sin.cos = [sin(  )  sin(  )] + sin - sin = = - 2cos Nội dung sáng kiến Qua trình nghiên cứu tham khảo toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp lượng giác nhiều sách đưa phương pháp chứng minh bất đẳng thức phương pháp lượng giác mơ hồ chưa có hệ thống, chưa phân chia thành dạng tập Với kiến thức chứng minh bất đẳng thức phương pháp lượng giác mà biết đà phân chia thành dạng tập mà giới thiệu sau Trong dạng tập đưa phương pháp chọn cách đặt ®Ĩ häc sinh nhanh chãng chun vÕ cđa bÊt đẳng thức đại số phải chứng minh biểu thức lượng giác sau biến đổi để đánh giá bất đẳng thức lượng giác bất đẳng thức lượng giác đơn giản như: | sin | 1;| cos  | 1; sin n   1; cos n   (n  N *) * Để học sinh nắm kiến thức cách hệ thống đà lập bảng số dấu hiệu nhận biết sau:( Giả sử hàm số lượng giác sau có nghĩa) Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác t­¬ng tù + x2 + tg2t 4x3 - 3x 2x2 - 2x 1 x2 4cos3t - 3cost 2cos2t - tgt  tg t cos t 4cos3t - 3cost = cos3t 2cos2t - = cos2t tgt = tg2t  tg t 2x 1 x2 tgt  tg t tgt = sin2t  tg t xy  xy tg  tg  tgtg tg  tg = tg(+)  tgtg 1 cos   = tg2 cos  x2 - C«ng thức lượng giác 1+tg2t = DeThiMau.vn số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại sè I D¹ng 1: Sư dơng hƯ thøc sin2 + cos2 = 1) Phương pháp: x sin a) Nếu thấy x2 + y2 = đặt  víi   [0, 2]  y  cos  x  a sin  b) NÕu thÊy x2 + y2 = a2 (a > 0) đặt víi   [0, 2] y  a cos  Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = Chøng minh r»ng:   S = a(c+d) + b(c-d)  Gi¶i: a sin u c sin v Đặt vµ   S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) b  cos u d  cos v    S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)    S  sin (u  v)    [ , ]    S  a (c  d)  b(c  d)  (®pcm) 4  VD2: Cho a2 + b2 1   25  = Chøng minh r»ng:  a     b    a b Giải: Đặt a = cos vµ b = sin víi    Thế vào biểu thức vế trái biến đổi 2     1    sin        a     b     cos   sin   cos    b   a    = cos4 + sin4 1 cos   sin  4 +    cos   sin   4 cos  sin  cos  sin        = cos   sin  1  4 4  cos  sin      = cos   sin   cos  sin  1  4 4  cos  sin   17 25 16   1   = 1  sin 2 1  (®pcm)    1  (1  16)     2  2  sin 2   B©y giê ta đẩy toán lên mức độ cao bước để xuất a2+b2=1 DeThiMau.vn VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + = Chøng minh r»ng: A = a  b  3ab  2(1  )a  (4  )b   Giải: Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + = 0 (a-1)2 + (b-2)2 = a   sin  a sin Đặt A  sin   cos   sin  cos  b   cos  b   cos  A  sin 2  cos 2   sin 2  cos 2  sin(2  )  (®pcm) 2 VD4: Cho a, b tho¶ m·n : 5a  12b  = 13 Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a)  - Giải: Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a)  -  (a-1)2 + (b + 1)2  a   R sin Đặt với R b  R cos  a  R sin    (a  1)  (b  1)  R  b  R cos   Ta cã: 5a  12b   13  5(R sin   1)  12(R cos   1)   13  5R sin   12R cos   13   R 5 12  sin   cos   R sin    arccos   R 13  13 13  Tõ ®ã  (a-1)2 + (b+1)2 = R2   a2 + b2 + 2(b - a) - (đpcm) II Dạng 2: Sử dụng tập giá trị | sin | ; | cos  |  1 Ph­¬ng pháp: a) Nếu thấy |x| đặt     x  sin      ;      x  cos     0;        x  m sin      ;  b) NÕu thÊy |x|  m ( m  ) đặt x m cos     0;   Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p + (1-x)p  2p  |x|  ; P Giải: Đặt x = cos với   [0, ], ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cos)p + (1-cos)p DeThiMau.vn p p           =  cos    sin   p  cos p  sin p   p  cos  sin   p 2  2 2 2    (®pcm) VD2: Chøng minh r»ng:   A  3a  2a  a  Giải: Từ đk - a2 |a| nên Đặt a = cos với      1 a = sin Khi ®ã ta cã: A= 3a  2a  a  cos   cos  sin   (1  cos 2)  sin 2     = 2 cos 2  sin 2    sin  2       A   (®pcm) 3    VD3: Chøng minh r»ng:   a  (1  a)   (1  a )3  2   2a (1) Gi¶i: Tõ đk |a| nên Đặt a=cos với [0,]  a  sin (1)  sin   ;  a  cos ;  a  sin  2        cos 2 cos3  sin   2  2 sin cos 2 2 2                 sin  cos  cos  sin  cos  sin cos  sin    sin cos 2  2  2 2 2            sin  cos  cos  sin   cos  sin  cos   ®óng  (®pcm) 2  2 2      VD4: Chøng minh r»ng: S = (1  a )3  a  a   a  Gi¶i: Từ đk |a| nên: Đặt a = cos víi   [0, ]   a = sin Khi ®ã biÕn ®ỉi S ta cã: S= 4(sin   cos3 )  3(cos   sin )  (3 sin   sin )  (4 cos3   cos )   = sin 3  cos 3  sin  3     (®pcm) 4    VD5: Chøng minh r»ng A = a  b  b  a  ab  (1  a )(1  b ) DeThiMau.vn Giải: Từ điều kiện: - a2  ; - b2   |a|  ; |b|  nªn Đặt a = sin, b = sin  víi ,    ;   2 Khi ®ã A = sin  cos   cos  sin   cos(  ) =   cos(  )  sin (  )    = sin(  )  cos(  )  sin(  )  2 3  (®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26|  a  [1; 3] Gi¶i: Do a  [1, 3] nên a-2 nên ta đặt a - = cos  a = + cos Ta cã: A = 4(2  cos )3  24(2  cos )  45(2  cos )  26  cos3   cos   cos 3  (®pcm) VD7: Chøng minh r»ng: A = 2a  a  3a    a [0, 2] Gi¶i: Do a  [0, 2] nên a-1 nên ta đặt a - = cos víi   [0, ] Ta cã: A= 2(1  cos )  (1  cos )  3(1  cos )    cos   cos   1   = sin   cos   2 sin   cos    sin      (®pcm) 3 III Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg2 =  1 (    k) tg     cos cos 1) Phương pháp: a) Nếu |x| toán có chứa biểu thức ®Ỉt x =     3  víi  0;   ,  cos   2   b) NÕu |x|  m hc toán có chứa biểu thức đặt x = x2 1 x  m2 m     3  víi  0;   ,  cos   2   C¸c vÝ dơ minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng A = a2 1    a 1 a DeThiMau.vn Giải: Do |a| nên : Đặt a = A=     3  víi  0;   ,   cos   2   a   tg   tg Khi ®ã:  a 1    ( tg  ) cos   sin   cos   sin      (®pcm) a 3   12 a  VD2: Chøng minh r»ng: -  A =  a a2 Giải: Do |a| nên: §Ỉt a =     3  víi  0;   ,   cos   2   a   tg   tg Khi ®ã: 5(1  cos 2)  12 a   sin 2 A= = (5-12tg)cos2 = 5cos2-12sincos= 2 a 13  12 5  13  =   cos 2  sin 2    cos 2  arccos  2  13 13 13    2 -4=  13 13  13  (1)  A   cos 2  arccos     (®pcm) 13  2 2 2  VD3: Chøng minh r»ng: A = a   b2  1 ab  a ; b 1 Gi¶i: Do |a|  1; |b| nên Đặt a = 1     3  ;b= víi  0;   ,  Khi ®ã ta cã: cos  cos   2   A = ( tg  tg) cos  cos   sin  cos   sin  cos   sin(  )  (®pcm) VD4: Chøng minh r»ng: a + a a 1  2  a Giải: Do |a| > nên: Đặt a = 1 a   víi   0;   Khi ®ã:   cos   2 a  cos  tg  sin  DeThiMau.vn a+ a a2 1  2 1     2 (®pcm) cos  sin  cos  sin  sin 2 VD5: Chøng minh r»ng y x   y    xy 26  x ; y Giải: Bất đẳng thức x2 x Do |x|; |y| nên Đặt x =  y     26 (1) x y y   1   ; y= víi ,   0,  cos  cos   2 Khi ®ã: (1)  S = sin + cos(4sin + 3cos)  26 Ta cã: S  sin + cos (4  32 )(sin   cos )  sin   cos   (12  52 )(sin   cos  )  26 (đpcm) IV Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg2 = cos Phương pháp: a) Nếu x R toán chứa (1+x2) đặt x = tg với   ,   2    b) Nếu x R toán chứa (x2+m2) đặt x = mtg với ,   2 C¸c vÝ dơ minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng: S = 3x 1 x  4x (1  x ) Giải: Đặt x = tg víi     ,    x  , ®ã biÕn ®ỉi S ta cã: cos   2 S = |3tg.cos - 4tg3.cos3| = |3sin - 4sin3| = |sin3|  (®pcm) 8a 12a VD2: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = (1  2a ) Gi¶i:  tg   3tg    Đặt a = tg với ,  th× ta cã: A = (1  tg )  2 DeThiMau.vn cos   sin  cos   sin  =  3(sin   cos )  sin  cos  2 (cos   sin ) sin 2 sin 2 =3  3  A  3  2 3 2 2  Víi  =  a = th× MaxA = ; Víi  =  a = th× MinA = VD3: Chøng minh r»ng: (a  b)(1  ab)   a, b  R (1  a )(1 b ) Giải: Đặt a = tg, b = tg Khi ®ã = cos  cos  (a  b )(1  ab) (tg  tg)(1  tgtg)  (1  a )(1  b ) (1  tg )(1  tg 2) sin(  ) cos  cos   sin  sin  cos  cos  cos  cos  1 sin2(  )  (®pcm) 2 |a b| |bc| |ca| VD4: Chøng minh r»ng: a , b, c   2 2 2 (1  a )(1  b ) (1  b )(1  c ) (1  c )(1  a ) = sin(  ) cos( ) Giải: Đặt a = tg, b = tg, c = tg Khi bất đẳng thức | tg  tg | | tg  tg | | tg  tg |    (1  tg )(1  tg 2) (1  tg 2)(1  tg  ) (1  tg  )(1  tg )  cos  cos  sin(   ) sin(   ) sin(  )  cos  cos   cos  cos  cos  cos  cos  cos  cos  cos   sin(-)+sin(-)  sin(-) BiÕn ®ỉi biĨu thøc vÕ ph¶i ta cã: sin(-)= sin[(-)+(-)] = sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)  sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)=sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)  sin(-).1 + sin(-).1 = sin(-) + sin(-)  (®pcm) VD5: Chøng minh r»ng: ab  cd  (a  c)(b  d ) (1) a , b, c, d  Gi¶i: (1)  ab cd  1 (a  c)(b  d ) (a  c)(b  d ) cd ab  1  c  b   c  b  1  1   1  1    a  d   a  d  10 DeThiMau.vn c d Đặt tg2= , tg2= với , a b  (1  tg 2)(1  tg 2)  0, Biến đổi bất đẳng thøc  2 tg 2.tg 2 (1  tg 2)(1  tg 2)  cos  cos   sin  sin    cos cos + sin sin = cos(-)  ®óng (đpcm) Dấu xảy cos(-) =  =  c d  a b VD6: T×m giá trị lớn nhỏ biểu thức A = 6a  | a  | a2 Giải: Đặt a = tg Khi ®ã A = tg     tg tg   | tg  | 2  2      tg tg  tg  2 A = 3sin  + |cos|  sin + 4.0 = 3sin  3.(-1) = -3 Sö dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: A2 = (3sin + |cos|)2  (32 + 42)(sin2 + cos2) = 25  A  Víi sin =  a = th× MinA = - ; víi sin  | cos  | th× MaxA = V Dạng 5: Đổi biến số đưa bất đẳng thức tam giác 1) Phương ph¸p:   x; y; z  A; B; C  (0; ) a) NÕu  th× ABC :  2     x y z xyz  x  cos A; y  cos B; z  cos C   x; y; z  A; B; C  (0; ) b) NÕu  th× ABC :  x  y  z  xyz x  tgA; y  tgB; z  tgC   A; B; C  (0; )   x ; y, z  x  cot gA; y  cot gB; z  cot gC c) NÕu  th× ABC :  A; B; C  (0; ) xy  yz  zx    C B A    ; z tg ; y tg x tg  2 11 DeThiMau.vn C¸c vÝ dơ minh hoạ: VD1: Cho x, y, z > zy + yz + zx = Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc S= 1    3( x  y  z) x y z Gi¶i: Tõ < x, y, z < nên đặt x = tg ; y = tg ; z = tg víi , ,    0,  2  2       tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2   tg  tg        tg      cot g   tg  tg  tg  = - tg tg  2 2 2  tg  tg  tg  2 2 2 2 Do xy + yz + zx = nªn tg              tg    tg              2 2 2 2 2 2 2 S= 1           3( x  y  z) = cotg + cotg + cotg -3  tg  tg  tg  2  x y z 2 2              S =  cot g  tg    cot g  tg    cot g  tg   2 tg  tg  tg  2  2  2  2 2      S = 2(cotg+cotg+cotg) - 2 tg  tg  tg  2     S = (cotg+cotg-2tg ) + (cotg+cotg-2tg ) +(cotg+cotg-2tg ) 2 §Ĩ ý r»ng: cotg + cotg = sin(  ) sin  sin    sin  sin  sin  sin  cos(  )  cos(  )   sin cos sin  sin  2  tg   cot g  cot g  tg        cos(  )  cos  2 cos 2 T ®ã suy S  Víi x = y = z = VD2: Cho < x, y, z < MinS = x y z xyz     x  y  z (1  x )(1  y )(1 z ) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc S = x2 + y2 + z2 12 DeThiMau.vn Gi¶i: Do < x, y, z < nên đặt x = tg Khi tg =     ; y = tg ; z = tg víi , ,   2    0,   2 2x 2y 2z ; tg = ; tg = đẳng thøc ë gi¶ thiÕt 1 x2  y2  z2 8xyz 2x 2y 2z + + =  tg+tg+tg = tg.tg.tg 2 2 (1  x )(1  y )(1  z ) 1 x 1 y 1 z  tg + tg = - tg(1-tg.tg)  tg  tg = - tg  tg(+) = tg(-)  tg.tg   Do , ,    0,  nªn  +  =  -    +  +  =  Khi ®ã ta cã:  2 tg       tg + tg tg + tg tg =  xy + yz + zx = Mặt khác: 2 2 2 (x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) =   ( x  y)  ( y  z )  ( z  x )   S = x2 + y2 + z2  xy + yz + zx = Víi x = y = z = th× MinS = x , y, z  x y z VD3: Cho  Chøng minh r»ng: S =    x  yz y  zx z  xy x  y z Giải: Đặt yz tg ; x Do xy yz zx xy yz zx =x+y+z=1   x z z y y x nªn tg xz   tg ; y xy   tg víi , ,   z    0,   2       tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2               tg    = cotg  tg    = tg     + = 2 2 2 2 2 2 2 2           2 S=   2y   2z  x y z  x      1    1    1  x  yz y  zx z  xy  x  yz   y  zx   z  xy  13 DeThiMau.vn  xy  yz  zx   1   x  yz y  zx z  xy   y z x     =       x  yz y  zx z  xy  2   yz  zx  xy   z  y x  = 3 (cos + cos + cos) + = cos   cos .1  (cos  cos   sin   sin )  2 2  1 (cos   cos 2  1)  (sin   sin )  cos  cos      (®pcm)  2 2  4 Các toán đưa trắc nghiệm Trước dạy thử nghiệm nội dung sáng kiÕn cđa t«i cho häc sinh cđa líp 11A1 11A2 trường tôi, đà nhà cho em, cho em chuẩn bị trước thời gian tuần Với tập sau: Bµi 1: Cho a2 + b2 = CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3|  13 Bµi 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = CMR: 2a + b  10 a; b  Bµi 3: Cho  CMR: a4 + b4  a3 + b3 a  b  Bµi 4: Cho a; b ; c  1    1     CMR:  a   b   c     a   b   c   c b  a  a  c  b   x; y; z  Bµi 5: Cho  2 x  y  z  xyz  a) xyz  b) xy + yz + zx  c) x2 + y2 + z2  d) xy + yz + zx  2xyz + e) CMR: 1 x 1 y 1 z    1 x 1 y 1 z Bµi 6: CMR: 1 a2  1  b2   a, b  (0, 1]  ab Bµi 7: CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  (ab + bc + ca)  a, b, c > 14 DeThiMau.vn x , y, z  x y z 3 CMR :    Bµi 8: Cho  2 2 1 x 1 y 1 z xy  yz  zx  x , y, z  x y z Bµi 9: Cho  CMR :    1 x2  y2  z2 x  y  z  xyz x, y, z  1 2x 2y 2z CMR :      Bµi 10: Cho   x  y2  z2  x  y2  z2 xy  yz  zx Sau tuần em không làm tập đà gợi ý dùng phương pháp lượng giác hoá Sau đà dạy cho em sáng kiến buổi sinh hoạt chuyên đề (3 tiết) thu kết tốt Kết trắc nghiệm thực tế sáng kiến Để thấy kết sát thực sáng kiến phần ôn tập kỳ I lớp 11 đà chọn lớp 11A1 11A2 lớp chọn 11A1 lớp chọn A 11A2 lớp chọn B với kiến thức em lớp 11A1 lớp 11A2 dùng lớp để tiến hành làm đối chứng cụ thể sau: Đầu tiên đà nhà cho em tập 1, 4, 10 tập Yêu cầu em lớp 11A1 vµ 11A2 lµm bµi tËp nµy giÊy đà thu kết sau: Lớp SÜ sè Giái Kh¸ TB 3-4 0-2 11A1 11A2 50 52 0 0 0 48 52 Với kết tổng hợp bảng thực tế làm em thấy hầu hết em không làm lớp 11A1 Một số em biết làm tập phương pháp đặt "a=sin", "b=cos" xong chưa đến bất đẳng thức cần chứng minh, lớp 11A2 hầu hết em không làm bế tắc hoàn toàn Đứng trước thực trạng định đưa sáng kiến dạy cho lớp 11A2 lớp có vốn kiến thức yếu so với lớp 11A1 Tôi đà tập trung em lớp 11A2 học ngoại khoá vào tiết buổi chiều tiết đà truyền thụ hết nội dung phương pháp dùng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số sau đà nhà tập 2, 5, phần 10 tập yêu cầu học sinh lớp nhà giải Kết thu sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB 3-4 0-2 11A1 50 0 12 38 11A2 52 20 25 15 DeThiMau.vn Nh×n vào kết thực tế làm học sinh nhận thấy em học sinh lớp 11A1 có tư chất lớp 11A2 song phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thưc nên hầu hết không làm tập đà cho Nhưng ngược lại kết làm học sinh lớp 11A2 thấy khả quan hầu hết em làm tập đầu tập số em đà chuyển từ đầu dạng để giải số khác đà biết biến đổi bất đẳng thức để áp dụng dạng xong chưa biến đổi để đến bất đẳng thức lượng giác cần thiết kết chưa cao số em lớp 11A2 tiếp thu phương pháp chậm, ứng dụng giải tập chưa sáng tạo Vì định thực nghiệm lần thứ 3, dạy lớp 11A1 11A2 vào buổi chiều tiết dạy đầy đủ phương pháp ví dụ minh hoạ, gọi em lên bảngáp dụng giải ví dụ lớp thấy em làm tốt, sau cho bµi tËp 3, 6, 8, 10 vỊ nhµ vµ yêu cầu em nộp cho vào ngày hôm sau Kết thu sau: Lớp Sĩ sè Giái Kh¸ TB Ỹu 11A1 50 30 13 11A2 52 25 21 Víi kÕt qu¶ thực tế làm em nhận thấy phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số mà đưa có kết tốt, công cụ hữu hiệu để giúp em có thêm cách để chứng minh bất đẳng thức đại số bổ sung cho em phương pháp lượng giác hoá toán nói chung làm cho em tự tin gặp tập chứng minh bất đẳng thức tất thi khó, nghĩ số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số đưa khả quan III kết luận kiến nghị Trải qua thực tế công tác giảng dạy toán phổ thông, qua thời gian làm trắc nghiệm nhận thấy: Việc chứng minh bất đẳng thức đại số công việc khó khăn đòi hỏi người chứng minh phải sáng tạo khéo léo phải biết sử dụng tất kiến thức đà biết để chứng minh bất đẳng thức Trong giai đoạn tập trung cho cải cách giáo dục, có phần quan trọng cải tiến phương pháp giảng dạy Để phát huy tÝnh tÝch cùc cđa häc sinh, viƯc tiÕp thu kiÕn thức công việc giải toán người thầy giáo phải người tiên phong việc phát huy tính tích cực để tìm phương pháp giải toán mới, tìm công cụ để ngày hoàn thiện thân cống hiến cho người làm toán công cụ hữu hiệu để sâu vào giới toán học 16 DeThiMau.vn Trên ý kiến số phương pháp lượng giác để giải bất đẳng thức đại số nhằm giúp cho người chứng minh bất đẳng thức có phương pháp tư chứng minh bất đẳng thức đại số Do kinh nghiệm chưa có nhiều nên viết không tránh khỏi khuyếm khuyết đà cố gắng xắp xếp mặt phương pháp, lượng tËp vµ cÊu tróc cđa bµi viÕt RÊt mong nhËn đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp để viết tốt Cuối xin chân thành cảm ơn! Hải Dương, ngày 04 tháng 04 năm 2008 17 DeThiMau.vn ... thấy phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số mà đưa có kết tốt, công cụ hữu hiệu để giúp em có thêm cách để chứng minh bất đẳng thức đại số bổ sung cho em phương pháp lượng giác. .. toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp lượng giác nhiều sách đưa phương pháp chứng minh bất đẳng thức phương pháp lượng giác mơ hồ chưa có hệ thống, chưa phân chia thành dạng tập Với kiến thức. .. tg2 cos  x2 - Công thức lượng giác 1+tg2t = DeThiMau.vn số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số I Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin2 + cos2 = 1) Phương pháp: x sin  a) NÕu