Chuyν ðề γửι β〈ο το〈ν ηọχ τυổι τρẻ Πη↑←νγ πη÷π λ↑νγ γι÷χ → χηνγ mινη β⊇τ →…νγ τηχ →≠ι σ L⊇ ΞΥℜΝ ∠ẠΙ (GV Tr✦νγ ΤΗΠΤ Chuyν ς✧νη Πηχ) Trong c〈χ ðề thi tuyểν sinh v◊ο ∠ạι họχ, Cao ðẳνγ, chνγ ta gặπ kh〈 nhiềυ b◊ι to〈ν chứνγ minh bấτ ðẳνγ thứχ (B∠T) ðạι số V◊ ðy cũνγ l◊ b◊ι to〈ν thuộχ dạνγ kh⌠ vớι c〈χ th sinh ∠ể giπ c〈χ em c⌠ c〈χη nhν phong ph h⌡n c〈χ ph⌡ng ph〈π chứνγ minh B∠T, ti xin giớι thiệυ thm ph⌡νγ ph〈π λợνγ γι〈χ ðể χηứνγ mινη Β∠T ðạι số m◊ c⌡ sở xuấτ ph〈τ củα chνγ bắτ nguồν từ c〈χ B∠T quen biếτ tam gi〈χ Do khuν khổ χủα β◊ι viếτ νν χ〈χ kếτ v◊ B∠Τ χ⌡ βảν τρονγ ταm γι〈χ khng chứνγ minh lạι Sau ðψ, ti xin ða m τ s d νγ b◊ι to〈ν ði ν ηνh th hi ν cho ph⌡ng ph〈π ν◊ψ Dạνγ 1: Trong B∠T c⌠ giả thiếτ “x,y,z l◊ χ〈χ σố δ⌡νγ τηοả mν ξ+ψ+ζ= ξψζ ” Khi ð⌠ tồn tạι ταm γι〈χ νηọν ABC cho x=tanA; y=tanB; z=tanC Thậτ vậψ, tồν tạι Α, Β , Χ 0; cho x=tanA; y=tanB; z=tanC 2 ξψ Từ ξ ψ ζ ξψζ ζ ξψ tan Χ tan( Α Β ) Α Β Χ Th δ Cho x,y,z l◊ χ〈χ σố τηựχ δ⌡ng thoả mν ðiềυ κιệν ξ+ψ+ζ=ξψζ ξ Chứνγ mινη ρằνγ 1 ξ ξ L ι γι ι Ta c⌠ 1 ξ ψ 1 ψ ζ 1 ζ 3 tan Α sin Α T⌡νγ τự tan Α Khi ð⌠ Β∠Τ cầν chứνγ minh sin Α sin Β sin Χ ψ 1 ψ 3 2 ζ sin Β v◊ 1 ζ (ðy l◊ B∠T c⌡ bảν tam gi〈χ) B◊i to〈n ðợχ chứνγ minh ∠ẳνγ τηứχ ξảψ v◊ χηỉ κηι tam gi〈χ ABC ðềυ, hay * ∠ể τηm ρằνγ 1 ξ χοσΑ v◊ δο χοσΑ χοσΒ χοσΧ sin Χ tan Α ξ ψ ζ , nν τα χ⌠ β◊ι το〈ν sau: Th δ Cho x,y,z l◊ χ〈χ σố τηựχ δ⌡ng thoả mν ðiềυ κιệν ξ+ψ+ζ=ξψζ Chứνg minh rằνγ 1 ξ 1 ψ 1 ζ DeThiMau.vn Chuyν ðề γửι β〈ο το〈ν ηọχ τυổι τρẻ Dạνγ 2: Trong B∠T c⌠ giả thiếτ “x,y,z l◊ χ〈χ σố δ⌡νγ τηοả mν ξy+yz+zx= ” Khi ð⌠ tồn tạι ταm γι〈χ ΑΒΧ σαο χηο ξ tan Α Β , ψ tan , ζ tan Χ (HS tự chứνγ minh) Th δ Cho c〈χ σố τηựχ δ⌡νγ ξ,ψ,ζ τηοả mν ξψ+ψζ+xz=1 Chứνγ mινη ρằνγ ξ 1 ξ L ι γι ι Ta c⌠ ξ 1 ξ ψ 1 ψ 2 ψ 1 ψ ζ 1 ζ 3 Α Β Χ 3 sin sin sin 1 ζ ζ ∠ẳνγ thứχ xảψ v◊ ξ ψ ζ (ðpcm) Th δ Cho x,y,z d⌡ng thỏα mν ðiềυ kiệν ξ+ψ+ζ=1 Chứνγ minh rằνγ: xy xy z L ι γι ι Viếτ lạι giả τηιếτ nh sau: Tồν τạι ταm γι〈χ ΑΒΧ σαο χηο: Lχ ð⌠ xy xy z xy z xy 1 z yz yz yz x xy xz z xz y xy y tan x xz yz z xz x yz y x (*) A xz B xy C ; tan ; tan 2 y z 2C sin C 2C 1 tan tan Cνγ vớι B∠T c⌡ bảν tam gi〈χ sin A sin B sin C , ta suy ðpcm Nh ν ξτ: Mấυ chốτ củα lờι giảι trn l◊ ða giả τηιếτ x+y+z=1 dạνγ (*) Cνγ vớι tởνγ nh vậψ ta giảι ðợχ b◊ι to〈ν sau: Th δ Cho x,y,z d⌡ng thỏα mν ðiềυ kiệν ξ+ψ+ζ=1 Tm γι〈 τρị λớν νηấτ χủα biểυ thứχ P x x yz y y xz xyz z xy L ι γι ι Vớι phπ ðổι biếν nh th dụ 4, ta biếν ðổι P nh sau: xy P 1 z cos2 A cos B sin C (cos A cos B sin C) yz xz xy 2 2 1 1 1 x y z Ta c⌠ cos A cos B sin C sin AB 2cos 2cos C 4cos A BC 4cos DeThiMau.vn Chuyν ðề γửι β〈ο το〈ν ηọχ τυổι τρẻ Do ð⌠ P 1 3 3 2 3 1 2 ∠ẳνγ thứχ xảψ v◊ A B, C AB Dễ thấy ð⌠ x y 3, z Vậψ P ,C 3 2 Th δ Cho c〈χ số d⌡ng a,b,c thoả mν ðiềυ kiệν abc+a+c=b Chứνγ minh rằνγ α 1 L ι γι ι Từ γιả τηιếτ συψ ρα αχ ; tan Β ; χ tan Χ β χ β , nν τồν τạι ταm γι〈χ ΑΒΧ σαο χηο 2Β 2Χ 3χοσ β 2 2 2 Χ ΑΒ Χ ΑΒ 10 2Χ ΑΒ Π 3sin sin χοσ 3 sin χοσ 3 χοσ 2 2 α tan Α α 10 2 β 1 χ 1 Khi ð⌠ Π χοσ2 Α Χ ΑΒ Α Β 0 sin χοσ 10 P Χ Α Β χοσ sin 1 2sin Khi ð⌠ α ; β= ; χ= 2 Dạνγ 3: Trong B∠T c⌠ giả thiếτ “x,y,z l◊ χ〈χ σố δ⌡νγ thoả mν ξ ψ ζ 2ξψζ=1 ” Khi ð⌠ tồn tạι tam gi〈χ nhọν ABC cho ξ χοσΑ; ψ=χοσΒ; ζ=χοσΧ (HS tự chứνγ minh) Th δ Cho c〈χ số d⌡ng x,y,z thoả mν ξ ψ ζ 2ξψζ=1 a) Chứνγ minh rằνγ: xy yz xz b) Tm gi〈 trị nhỏ nhấτ củα Π 1 ξ 1 ψ 2 1 ζ 2 2 (ξ ψ ζ ) L ι gi ι Tồn tạι tam gi〈χ nhọν ABC cho ξ χοσΑ; ψ=χοσΒ; ζ=χοσΧ a) Ta c⌠ xy yz xz b) Π 2 (x y z) (cos A cos B cos C) 3 (ðpcm) 1 2 (sin Α sin Β sin Χ ) 2 sin Α sin Β sin Χ Ta c⌠: sin Α sin Β sin Χ ℑp dụνγ B∠T c si: v◊ sin Α 1 4 2 sin Β sin Χ 13 sin Α , cνγ c〈χ B∠T t⌡ng tự ta suy Π 16sin Α DeThiMau.vn Chuyν ðề γửι β〈ο το〈ν ηọχ τυổι τρẻ ∠ẳνγ thứχ xảψ v◊ x=y=z=1/2 Vậψ Π 13 Dạνγ 4: Mộτ σố δạνγ γιả τηιếτ κη〈χ Th δ Cho a , b, c (0;1) Chứνγ mινh rằνγ: abc (1 a)(1 b)(1 c) 2 L ι γι ι ∠ặτ a sin x, b sin y, c sin z; x, y, z 0; Vế tr〈ι củα B∠T trở th◊νη P sin x.sin y.sin z cos x.cos y.cos z Ta c⌠ P sin x.sin y cos x.cos y cos(x y) , suy ðπχm Th δ Cho a,b,c,d d⌡ng thoả mν 1 α 1 β 1 χ 1 δ 1 Chứνγ minh rằνγ αβχδ L ι γι ι ∠ặτ α tan ξ; β tan ψ; χ tan ζ; δ tan ζ , ð⌠ ξ, ψ, ζ, τ 0; 2 Giả τηιếτ ð χηο τρở τη◊νη χοσ2 ξ χοσ2 ψ χοσ2ζ χοσ2 τ ℑπ δụνγ Β∠T Cσι χηο χ〈χ σố thựχ d⌡νγ τα ðợχ 2 2 23 23 sin ξ χοσ ξ=χοσ ψ χοσ ζ χοσ τ 3(χοσψ.χοσζ.χοστ ) Suy sin ξ 3(χοσψ.χοσζ.χοστ ) Nhν τừνγ ϖế củα c〈χ Β∠T t⌡ng tự ta ðợχ: 2 2 (s ινξ.sin ψ.σινζ.σιντ ) ( χοσξ.χοσψ.χοσζ.χοστ ) tan ξ.tan ψ.tan ζ.tan τ ηαψ λ∝ αβχδ Cuốι χνγ ξin ðα ρα mộτ σố β◊ι τậπ χηο χ〈χ βạν λυψệν τậπ B◊ι Cho c〈χ σố τηựχ δ⌡νg x,y,z thoả mν ξ+ψ+ζ =xyz Chứνγ mινη ρằνγ (ξ 1)(ψ 1)( ζ 1) 10 B◊ι 2: Cho c〈χ số thựχ d⌡ng x,y,z d⌡νγ τηỏα mν ξ ψ ζ 2ξψζ=1 Chứνγ minh a) xyz b) x y z B◊ι 3: Cho a,b,c thuộχ κηοảνγ (0;1) thỏα mν ab+bc+ca=1 Chứνγ minh rằνγ a 1 a b 1 b c 1 c 1 a a 1 b b 1 c c B◊ι Cho c〈χ σố δ⌡νγ α,β,χ τηοả mν 2009αχ+αβ+βχ=2009 Tm gi〈 trị lớn nhấτ củα Π 2 α 1 2β 2 β 2009 χ 1 DeThiMau.vn ... tam gi〈χ nhọν ABC cho ξ χοσΑ; ψ=χοσΒ; ζ=χοσΧ (HS tự chứνγ minh) Th δ Cho c〈χ số d⌡ng x,y,z thoả mν ξ ψ ζ 2ξψζ=1 a) Chứνγ minh rằνγ: xy yz xz b) Tm gi〈 trị nhỏ nhấτ củα Π 1... d⌡ng x,y,z d⌡νγ τηỏα mν ξ ψ ζ 2ξψζ=1 Chứνγ minh a) xyz b) x y z B◊ι 3: Cho a,b,c thuộχ κηοảνγ (0;1) thỏα mν ab+bc+ca=1 Chứνγ minh rằνγ a 1 a b 1 b c 1 c 1 a ... 3, z Vậψ P ,C 3 2 Th δ Cho c〈χ số d⌡ng a,b,c thoả mν ðiềυ kiệν abc+a+c=b Chứνγ minh rằνγ α 1 L ι γι ι Từ γιả τηιếτ συψ ρα αχ ; tan Β ; χ tan Χ β χ β , nν τồν τạι