Toán Phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số41007

Chuyν ðề γửι β〈ο το〈ν ηọχ τυổι τρẻ Πη↑←νγ πη÷π λ↑νγ γι÷χ → χηνγ mινη β⊇τ →…νγ τηχ →≠ι σ L⊇ ΞΥℜΝ ∠ẠΙ (GV Tr✦νγ ΤΗΠΤ Chuyν ς✧νη Πηχ) Trong c〈χ ðề thi tuyểν sinh v◊ο ∠ạι họχ, Cao ðẳνγ, chνγ ta gặπ kh〈 nhiềυ b◊ι to〈ν chứνγ minh bấτ ðẳνγ thứχ (B∠T) ðạι số V◊ ðy cũνγ l◊ b◊ι to〈ν thuộχ dạνγ kh⌠ vớι c〈χ th sinh ∠ể giπ c〈χ em c⌠ c〈χη nhν phong ph h⌡n c〈χ ph⌡ng ph〈π chứνγ minh B∠T, ti xin giớι thiệυ thm ph⌡νγ ph〈π λợνγ γι〈χ ðể χηứνγ mινη Β∠T ðạι số m◊ c⌡ sở xuấτ ph〈τ củα chνγ bắτ nguồν từ c〈χ B∠T quen biếτ tam gi〈χ Do khuν khổ χủα β◊ι viếτ νν χ〈χ kếτ v◊ B∠Τ χ⌡ βảν τρονγ ταm γι〈χ khng chứνγ minh lạι Sau ðψ, ti xin ða m τ s d νγ b◊ι to〈ν ði ν ηνh th hi ν cho ph⌡ng ph〈π ν◊ψ Dạνγ 1: Trong B∠T c⌠ giả thiếτ “x,y,z l◊ χ〈χ σố δ⌡νγ τηοả mν ξ+ψ+ζ= ξψζ ” Khi ð⌠ tồn tạι ταm γι〈χ νηọν ABC cho x=tanA; y=tanB; z=tanC   Thậτ vậψ, tồν tạι Α, Β , Χ   0;  cho x=tanA; y=tanB; z=tanC  2 ξψ Từ ξ  ψ  ζ  ξψζ  ζ  ξψ   tan Χ   tan( Α  Β )  Α  Β  Χ   Th δ Cho x,y,z l◊ χ〈χ σố τηựχ δ⌡ng thoả mν ðiềυ κιệν ξ+ψ+ζ=ξψζ ξ Chứνγ mινη ρằνγ 1 ξ ξ L ι γι ι Ta c⌠ 1 ξ  ψ  1 ψ ζ  1 ζ  3 tan Α  sin Α T⌡νγ τự  tan Α Khi ð⌠ Β∠Τ cầν chứνγ minh  sin Α  sin Β  sin Χ  ψ 1 ψ 3 2 ζ  sin Β v◊ 1 ζ (ðy l◊ B∠T c⌡ bảν tam gi〈χ) B◊i to〈n ðợχ chứνγ minh ∠ẳνγ τηứχ ξảψ v◊ χηỉ κηι tam gi〈χ ABC ðềυ, hay * ∠ể  τηm ρằνγ 1 ξ   χοσΑ v◊ δο χοσΑ  χοσΒ  χοσΧ   sin Χ  tan Α ξ ψ ζ  , nν τα χ⌠ β◊ι το〈ν sau: Th δ Cho x,y,z l◊ χ〈χ σố τηựχ δ⌡ng thoả mν ðiềυ κιệν ξ+ψ+ζ=ξψζ Chứνg minh rằνγ 1 ξ  1 ψ  1 ζ  DeThiMau.vn Chuyν ðề γửι β〈ο το〈ν ηọχ τυổι τρẻ Dạνγ 2: Trong B∠T c⌠ giả thiếτ “x,y,z l◊ χ〈χ σố δ⌡νγ τηοả mν ξy+yz+zx= ” Khi ð⌠ tồn tạι ταm γι〈χ ΑΒΧ σαο χηο ξ  tan Α Β , ψ  tan , ζ  tan Χ (HS tự chứνγ minh) Th δ Cho c〈χ σố τηựχ δ⌡νγ ξ,ψ,ζ τηοả mν ξψ+ψζ+xz=1 Chứνγ mινη ρằνγ ξ 1 ξ L ι γι ι Ta c⌠ ξ 1 ξ ψ  1 ψ 2 ψ  1 ψ ζ  1 ζ  3 Α Β Χ 3  sin  sin  sin  1 ζ ζ ∠ẳνγ thứχ xảψ v◊ ξ  ψ  ζ  (ðpcm) Th δ Cho x,y,z d⌡ng thỏα mν ðiềυ kiệν ξ+ψ+ζ=1 Chứνγ minh rằνγ: xy xy  z  L ι γι ι Viếτ lạι giả τηιếτ nh sau: Tồν τạι ταm γι〈χ ΑΒΧ σαο χηο: Lχ ð⌠ xy xy  z  xy z  xy 1 z yz yz yz  x xy xz z xz  y xy  y  tan x xz  yz z  xz  x yz y x  (*) A xz B xy C ;  tan ;  tan 2 y z 2C  sin C 2C 1 tan tan Cνγ vớι B∠T c⌡ bảν tam gi〈χ sin A  sin B  sin C  , ta suy ðpcm Nh ν ξτ: Mấυ chốτ củα lờι giảι trn l◊ ða giả τηιếτ x+y+z=1 dạνγ (*) Cνγ vớι  tởνγ nh vậψ ta giảι ðợχ b◊ι to〈ν sau: Th δ Cho x,y,z d⌡ng thỏα mν ðiềυ kiệν ξ+ψ+ζ=1 Tm γι〈 τρị λớν νηấτ χủα biểυ thứχ P x x  yz  y y  xz  xyz z  xy L ι γι ι Vớι phπ ðổι biếν nh th dụ 4, ta biếν ðổι P nh sau: xy P 1 z  cos2 A  cos B  sin C   (cos A  cos B  sin C)   yz xz xy 2 2 1 1 1 x y z Ta c⌠ cos A  cos B  sin C  sin AB   2cos  2cos C   4cos A BC   4cos   DeThiMau.vn Chuyν ðề γửι β〈ο το〈ν ηọχ τυổι τρẻ Do ð⌠ P   1 3 3 2 3  1 2   ∠ẳνγ thứχ xảψ v◊ A  B, C  AB Dễ thấy ð⌠ x  y   3, z   Vậψ P    ,C  3 2 Th δ Cho c〈χ số d⌡ng a,b,c thoả mν ðiềυ kiệν abc+a+c=b Chứνγ minh rằνγ  α 1 L ι γι ι Từ γιả τηιếτ συψ ρα αχ  ;  tan Β ; χ  tan Χ  β χ β  , nν τồν τạι ταm γι〈χ ΑΒΧ σαο χηο 2Β 2Χ  3χοσ β 2 2 2 Χ ΑΒ Χ ΑΒ 10  2Χ ΑΒ Π   3sin  sin χοσ   3  sin  χοσ 3   χοσ 2 2   α  tan Α α 10   2 β 1 χ 1 Khi ð⌠ Π  χοσ2 Α  Χ ΑΒ Α  Β 0 sin  χοσ  10   P     Χ  Α Β χοσ sin  1   2sin Khi ð⌠ α  ; β= ; χ= 2 Dạνγ 3: Trong B∠T c⌠ giả thiếτ “x,y,z l◊ χ〈χ σố δ⌡νγ thoả mν ξ  ψ  ζ  2ξψζ=1 ” Khi ð⌠ tồn tạι tam gi〈χ nhọν ABC cho ξ  χοσΑ; ψ=χοσΒ; ζ=χοσΧ (HS tự chứνγ minh) Th δ Cho c〈χ số d⌡ng x,y,z thoả mν ξ  ψ  ζ  2ξψζ=1 a) Chứνγ minh rằνγ: xy  yz  xz  b) Tm gi〈 trị nhỏ nhấτ củα Π  1 ξ  1 ψ 2 1 ζ 2 2  (ξ  ψ  ζ ) L ι gi ι Tồn tạι tam gi〈χ nhọν ABC cho ξ  χοσΑ; ψ=χοσΒ; ζ=χοσΧ a) Ta c⌠ xy  yz  xz  b) Π  2 (x  y  z)  (cos A  cos B  cos C)  3 (ðpcm) 1 2    (sin Α  sin Β  sin Χ )  2 sin Α sin Β sin Χ Ta c⌠: sin Α  sin Β  sin Χ  ℑp dụνγ B∠T c si: v◊  sin Α 1  4 2 sin Β sin Χ 13  sin Α  , cνγ c〈χ B∠T t⌡ng tự ta suy Π  16sin Α DeThiMau.vn Chuyν ðề γửι β〈ο το〈ν ηọχ τυổι τρẻ ∠ẳνγ thứχ xảψ v◊ x=y=z=1/2 Vậψ Π  13 Dạνγ 4: Mộτ σố δạνγ γιả τηιếτ κη〈χ Th δ Cho a , b, c  (0;1) Chứνγ mινh rằνγ: abc  (1  a)(1  b)(1  c)     2 L ι γι ι ∠ặτ a  sin x, b  sin y, c  sin z; x, y, z   0;  Vế tr〈ι củα B∠T trở th◊νη P  sin x.sin y.sin z  cos x.cos y.cos z Ta c⌠ P  sin x.sin y  cos x.cos y  cos(x  y)  , suy ðπχm Th δ Cho a,b,c,d d⌡ng thoả mν 1 α  1 β  1 χ  1 δ 1 Chứνγ minh rằνγ αβχδ    L ι γι ι ∠ặτ α  tan ξ; β  tan ψ; χ  tan ζ; δ  tan ζ , ð⌠ ξ, ψ, ζ, τ   0;   2 Giả τηιếτ ð χηο τρở τη◊νη χοσ2 ξ  χοσ2 ψ  χοσ2ζ  χοσ2 τ  ℑπ δụνγ Β∠T Cσι χηο χ〈χ σố thựχ d⌡νγ τα ðợχ 2 2 23 23 sin ξ   χοσ ξ=χοσ ψ  χοσ ζ  χοσ τ  3(χοσψ.χοσζ.χοστ ) Suy sin ξ  3(χοσψ.χοσζ.χοστ ) Nhν τừνγ ϖế củα c〈χ Β∠T t⌡ng tự ta ðợχ: 2 2 (s ινξ.sin ψ.σινζ.σιντ )  ( χοσξ.χοσψ.χοσζ.χοστ )  tan ξ.tan ψ.tan ζ.tan τ  ηαψ λ∝ αβχδ  Cuốι χνγ ξin ðα ρα mộτ σố β◊ι τậπ χηο χ〈χ βạν λυψệν τậπ B◊ι Cho c〈χ σố τηựχ δ⌡νg x,y,z thoả mν ξ+ψ+ζ =xyz Chứνγ mινη ρằνγ (ξ  1)(ψ  1)( ζ  1)   10 B◊ι 2: Cho c〈χ số thựχ d⌡ng x,y,z d⌡νγ τηỏα mν ξ  ψ  ζ  2ξψζ=1 Chứνγ minh a) xyz  b) x  y  z  B◊ι 3: Cho a,b,c thuộχ κηοảνγ (0;1) thỏα mν ab+bc+ca=1 Chứνγ minh rằνγ a 1 a  b 1 b c  1 c   1 a    a 1 b b  1 c  c   B◊ι Cho c〈χ σố δ⌡νγ α,β,χ τηοả mν 2009αχ+αβ+βχ=2009 Tm gi〈 trị lớn nhấτ củα Π 2  α 1 2β 2 β  2009  χ 1 DeThiMau.vn ... tam gi〈χ nhọν ABC cho ξ  χοσΑ; ψ=χοσΒ; ζ=χοσΧ (HS tự chứνγ minh) Th δ Cho c〈χ số d⌡ng x,y,z thoả mν ξ  ψ  ζ  2ξψζ=1 a) Chứνγ minh rằνγ: xy  yz  xz  b) Tm gi〈 trị nhỏ nhấτ củα Π  1... d⌡ng x,y,z d⌡νγ τηỏα mν ξ  ψ  ζ  2ξψζ=1 Chứνγ minh a) xyz  b) x  y  z  B◊ι 3: Cho a,b,c thuộχ κηοảνγ (0;1) thỏα mν ab+bc+ca=1 Chứνγ minh rằνγ a 1 a  b 1 b c  1 c   1 a   ... 3, z   Vậψ P    ,C  3 2 Th δ Cho c〈χ số d⌡ng a,b,c thoả mν ðiềυ kiệν abc+a+c=b Chứνγ minh rằνγ  α 1 L ι γι ι Từ γιả τηιếτ συψ ρα αχ  ;  tan Β ; χ  tan Χ  β χ β  , nν τồν τạι