PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA Trần Phạm Hồng Long, Nguyễn Xuân Trung, Đinh Ngọc Hồ,Huỳnh Thị Thùy Như Lớp 10T1 trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long I/ Lời mở đầu Để giải toán đại số số tốn giải tích chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, khảo sát giá trị hàm số, tìm giới hạn dãy số, số trường hợp ta chuyển chúng sang tốn lượng giác, cơng việc gọi lượng giác hóa.Việc lượng giác hóa tốn tiến hành thông qua dấu hiệu đặc biệt biến tham gia toán, mà việc nắm bắt dấu hiệu thơng qua miền giá trị công thức lượng giác thông dụng Sau số dấu hiệu nhằm góp phần giúp phát định hướng phương pháp lượng giác hóa hiệu II/ Các dấu hiệu Ta có dấu hiệu: 1/ Nếu có điều kiện biến x x a (a 0) , ta đặt: x a sin t , với t , x a cos t , với t 0, 2 Trong trường hợp riêng: Nếu x a , ta đặt: x a sin t , với t 0, x a cos t , với t 0, 2 2 Nếu a x , ta đặt : x a sin t , với t , x a cos t , với t , 2 / Nếu có điều kiện biến x x a (a 0) , ta đặt: x a a , với t , \ 0 x , với t 0, \ sin t cos t 2 2 / Nếu biến x , ta đặt: x tan t , với t , x cot t , với t 0, 2 Trong trường hợp riêng: Nếu x , ta đặt: x tan t , với t 0, x cot t , với t 0, 2 2 Nếu x , ta đặt : x tan t , với t , x cot t ,với t , 2 2 2 / Nếu hai biến x, y thỏa mãn điều kiện a x b y c , với a, b, c , ta đặt : c sin t ax x a c sin t y c cos t by cos t c b DeThiMau.vn Trong trường hợp cần sử dụng tới dấu x y ta hạn chế góc t , ví dụ có x, y t III/ Các biểu thức thường lượng giác hóa Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức x a sin t với t , 2 x a cos t với t 0, 2 a2 x2 với t , \ 0 sin t 2 a x với t 0, \ cos t x a tan t với t , 2 x a cot t với t 0, x x2 a2 a2 x2 ax ax ax ax x a b x ab ab a x a cos 2t x a b a sin t a tan , với , , 2 b tan IV/ Các ví dụ Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1.1 Bài tốn 1: Giải hệ phương trình: xy 1 z 1 y y x 1 z z 3 Lời giải xy 2y Hệ tương đương với z y2 2z x z2 Nếu y 1 vơ lí; z 1 vơ lí Đặt x tan a ; y tan b ; z tan c Ta có DeThiMau.vn tan a cot b 4 ; tan c cot 2b 5 ; tan a cot 2c 6 Khi đó: c 2b k ; a 2c l a 4b 2k l Thay vào (4): tan(4b 2k l ) cot b m 5b m b 10 Ta có trường hợp sau: 3 b n b n 10 10 7 9 b n b n 10 10 5 b n loai 10 4 2 Nếu b ; y tan ; z tan n x tan 10 10 10 10 3 2 3 6 Nếu b ; y tan ; z tan n x tan 10 10 10 10 7 8 7 4 Nếu b ; y tan ; z tan n x tan 10 10 10 10 9 6 9 8 Nếu b ; y tan ; z tan n x tan 10 10 10 10 1.2 Bài toán 2: Cho hệ phương trình x2 y2 2 z v xv yz Tìm nghiệm hệ để xz max Lời giải Đặt x cos a ; y sin a ; z 3cos b ; v 3sin b xv yz cos a.sin b sin a cos b sin a b sin a b Mà sin a b sin a b a b 1 a, b 0; 2 a b 5 Khi đó: xz cos a cos b cos a b cos a b 3cos a b max cos a b a b Kết hợp với (1) a b x y 2; z v nghiệm là: 2 DeThiMau.vn a, b 0; 2 Khi đó: Kết hợp với (2) a b 5 nghiệm là: 2 1.3 Bài tốn 3: Giải phương trình: cos2 3x sin 2 x sin x sin x cos x Lời giải Ta có : cos x sin y sin x y sin x y ( phần CM xin bạn) x y 2; z v Do cos2 3x sin 2 x sin x sin x Vậy phương trình cho tương đường với cos x k 2 x k 2 x 1.4 Bài tốn 4: Giải phương trình 3sin x cos x tan x 3 Lời giải Ta có 3sin x cos x 5 tan x 3 Do phương trình cho tương đương với hệ: 3sin x cos x x tan 2 5 tan x 3 1.5 Các toán tự giải: 1.5.1 Giải phương trình 3sin x cos x 25 5sin x 1.5.2 Giải hệ phương trình 6 sin x cos y sin y cos6 x 1.5.3 Giải hệ phương trình x y sin x sin y x y 0, x, y 1.5.4 Giải hệ phương trình 10 10 sin x cos y 16 sin10 y cos10 x 16 1.5.5 Giải hệ phương trình DeThiMau.vn sin x cot y 2 cos y tan x Bất đẳng thức 2.1 Bài tốn 1: Cho bốn số u, v, x, y thỗ mãn điều kiện u v x y Chứng minh u x y v x y Lời giải u sin v cos Đặt A u x y v x y x sin y cos Ta có A sin sin cos cos sin cos sin cos sin 4 Vậy u x y v x y (điều phải chứng minh) 2.2 Bài toán 2: Chứng minh x 1 x Lời giải Điều kiện có nghĩa x 1 x 2 x2 Đặt x cos với 0; Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 3 sin 1 cos 1 cos 2 sin 2 cos sin cos3 sin sin 2 2 cos sin sin sin cos 1 2.3 Các toán tự giải 2.3.1 Bài toán 1: Cho a 1, b Chứng minh a b2 ab x, y , z 2.3.2 Bài toán 2: Cho số x, y , z thoả mãn xy yz zx Chứng minh x y z 3 2 1 x 1 y 1 z 2.3.3 Bài toán 3: Cho liên a, b, c, d hệ a c d , b d c DeThiMau.vn Chứng minh a b 1 Chứng minh đẳng thức 3.1 Bài toán 1: Cho x 0, y 0, z thoả mãn điều kiện sau xy yz zx Chứng minh 1 y 1 z y 1 z 1 x z 1 x 1 y 2 x (1) x2 2 y2 z2 Lời giải Đặt x tan , y tan , z tan với , , 0; 2 Khi (1) có dạng tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan cot tan tan k 3 3 Do 0; nên k hay k 2 Vì k nên k Vậy Ta có x 1 y 1 z tan 1 tan 1 tan y 1 z 1 x xz z 1 x 1 y xy 2 2 x2 tan cos sin tan cos cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos tan tan yz Tương tự 2 y2 2 z2 Suy 1 y 1 z y 1 z 1 x z 1 x 1 y xy yz zx 2 x 2 2 x2 y2 z2 3.2 Bài toán 2: Cho x 0, y 0, z thoả mãn x y z xyz Chứng minh DeThiMau.vn 1 y 1 z y2 z2 yz 1 z 1 x z2 x2 zx 1 x 1 y x2 y2 0 xy Lời giải Đặt x tan , y tan , z tan với , , 0; 2 Do x y z xyz nên tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1 tan tan tan tan tan k k , k 3 3 Do 0; k k mà k nên k 2 Vậy Ta có 1 y 1 z 2 y2 z2 yz 1 tan 1 tan tan tan tan tan 1 1 cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin Tương tự ta có 1 z 1 x 2 z2 x2 zx 1 x 1 y cos cos sin sin cos cos xy sin sin Khi vế trái đẳng thức cần chứng minh cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin 2 x2 y2 DeThiMau.vn sin sin sin sin sin sin 0 sin sin sin Suy điều phải chứng minh 3.3 Các toán tự giải 3.3.1 Bài toán 1:Cho xy 1, yz 1, zx 1 Chứng minh rằng: x y yz zx x y yz zx xy yz zx xy yz zx 1 3.3.2 Bài toán 2: Cho x ,y ,z thoả điều kiện x y z xyz 3 Chứng minh x x 3 y y 3z z 3 x x 3 y y 3z z x y 3z x y 3z 3.3.3 Bài toán 3: Cho a, b, c a b2 c 2abc Chứng minh abc c 1 a 1 b a 1 b 1 c b 1 c 1 a 2 2 DeThiMau.vn 2 ... dấu x y ta hạn chế góc t , ví dụ có x, y t III/ Các biểu thức thường lượng giác hóa Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức x a sin t với t , 2 x a cos t với... , với , , 2 b tan IV/ Các ví dụ Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1.1 Bài tốn 1: Giải hệ phương trình: xy 1 z 1 y y x 1 ... Vậy phương trình cho tương đường với cos x k 2 x k 2 x 1.4 Bài toán 4: Giải phương trình 3sin x cos x tan x 3 Lời giải Ta có 3sin x cos x 5 tan x 3 Do phương