ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA I/ Các dấu hiệu Ta có dấu hiệu: 1/ Nếu có điều kiện biến x x a (a 0) , ta đặt: x a sin t , với t , x a cos t , với t 0, 2 Trong trường hợp riêng: Nếu x a , ta đặt: x a sin t , với t 0, x a cos t , với t 0, 2 2 Nếu a x , ta đặt : x a sin t , với t , x a cos t , với t , 2 / Nếu có điều kiện biến x x a (a 0) , ta đặt: x a a , với t , \ 0 x , với t 0, \ sin t cos t 2 2 / Nếu biến x , ta đặt: x tan t , với t , x cot t , với t 0, 2 Trong trường hợp riêng: Nếu x , ta đặt: x tan t , với t 0, x cot t , với t 0, 2 2 Nếu x , ta đặt : x tan t , với t , x cot t ,với t , 2 2 2 / Nếu hai biến x, y thỏa mãn điều kiện a x b y c , với a, b, c , ta đặt : c sin t ax c sin t x a by cos t y c cos t c b Trong trường hợp cần sử dụng tới dấu x y ta hạn chế góc t , ví dụ có x, y t II/ Các biểu thức thường lượng giác hóa Biểu thức a2 x2 Cách lượng giác hóa biểu thức x a sin t với t , 2 ThuVienDeThi.com x a cos t với t 0, 2 với t , \ 0 sin t 2 a x với t 0, \ cos t x a tan t với t , 2 x a cot t với t 0, x x2 a2 a2 x2 ax ax ax ax x a b x a x a cos 2t x a b a sin t a tan , với , , 2 b tan ab ab III/ Các ví dụ Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1.1 Bài tốn 1: Giải hệ phương trình: xy 1 z 1 y y 2 x 1 z z 3 Lời giải xy 2y Hệ tương đương với z y2 2z x z2 Nếu y 1 vơ lí; z 1 vơ lí Đặt x tan a ; y tan b ; z tan c Ta có tan a cot b 4 ; tan c cot 2b 5 ; tan a cot 2c 6 Khi đó: c 2b k ; a 2c l a 4b 2k l Thay vào (4): tan(4b 2k l ) cot b m 5b m b 10 Ta có trường hợp sau: ThuVienDeThi.com b n 3 n 10 9 b n 10 b 10 7 b n 10 5 b n loai 10 4 2 Nếu b ; y tan ; z tan n x tan 10 10 10 10 3 2 3 6 Nếu b n x tan ; y tan ; z tan 10 10 10 10 7 8 7 4 Nếu b n x tan ; y tan ; z tan 10 10 10 10 9 6 9 8 Nếu b n x tan ; y tan ; z tan 10 10 10 10 1.2 Bài tốn 2: Cho hệ phương trình x2 y2 2 z v xv yz Tìm nghiệm hệ để xz max Lời giải Đặt x cos a ; y sin a ; z 3cos b ; v 3sin b xv yz cos a.sin b sin a cos b sin a b sin a b Mà sin a b sin a b a b 1 a, b 0; 2 a b 5 2 Khi đó: xz cos a cos b cos a b cos a b 3cos a b max cos a b a b Kết hợp với (1) a b x y 2; z v 2 Kết hợp với (2) a b nghiệm là: 5 nghiệm là: 2 1.3 Bài tốn 3: Giải phương trình: cos2 3x sin 2 x sin x sin x cos x x y 2; z v ThuVienDeThi.com a, b 0; 2 Khi đó: Lời giải Ta có : cos x sin y sin x y sin x y ( phần CM xin bạn) Do cos2 3x sin 2 x sin x sin x Vậy phương trình cho tương đường với cos x k 2 x k 2 x 1.4 Bài tốn 4: Giải phương trình 3sin x cos x 4 tan x 3 Lời giải Ta có 3sin x cos x 5 4 tan x 3 Do phương trình cho tương đương với hệ: 3sin x cos x x tan 2 5 4 tan x 3 1.5 Các toán tự giải: 1.5.1 Giải phương trình 3sin x cos x 25 5sin x 1.5.2 Giải hệ phương trình 6 x y sin cos sin y cos6 x 1.5.3 Giải hệ phương trình x y sin x sin y x y 0, x, y 1.5.4 Giải hệ phương trình 10 10 sin x cos y 16 sin10 y cos10 x 16 1.5.5 Giải hệ phương trình sin x cot y 2 cos y tan x Bất đẳng thức 2.1 Bài toán 1: Cho bốn số u, v, x, y thoã mãn điều kiện u v x y Chứng minh u x y v x y Lời giải ThuVienDeThi.com u sin v cos Đặt A u x y v x y x sin y cos Ta có A sin sin cos cos sin cos sin cos sin 4 Vậy u x y v x y (điều phải chứng minh) 2.2 Bài toán 2: Chứng minh x 1 x Lời giải Điều kiện có nghĩa x 1 x 2 x2 Đặt x cos với 0; Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 3 sin 1 cos 1 cos 2 sin 2 cos sin cos3 sin 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin cos 1 2.3 Các toán tự giải 2.3.1 Bài toán 1: Cho a 1, b Chứng minh a b2 ab x, y , z 2.3.2 Bài toán 2: Cho số x, y , z thoả mãn xy yz zx Chứng minh x y z 3 2 1 x 1 y 1 z 2.3.3 Bài toán 3: Cho liên a, b, c, d hệ a c d , b d c a b 1 Chứng minh Chứng minh đẳng thức 3.1 Bài toán 1: Cho x 0, y 0, z thoả mãn điều kiện sau xy yz zx Chứng minh 1 y 1 z y 1 z 1 x z 1 x 1 y 2 x x2 2 y2 2 z2 Lời giải ThuVienDeThi.com (1) Đặt x tan , y tan , z tan với , , 0; 2 Khi (1) có dạng tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan cot tan tan k 3 3 Do 0; nên k hay k 2 Vì k nên k Vậy Ta có x 1 y 1 z tan 1 tan 1 tan y 1 z 1 x xz z 1 x 1 y xy 2 2 x2 tan cos sin tan cos cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos tan tan yz Tương tự 2 y2 2 z2 Suy 1 y 1 z y 1 z 1 x z 1 x 1 y xy yz zx 2 x 2 2 x2 y2 z2 3.2 Bài toán 2: Cho x 0, y 0, z thoả mãn x y z xyz Chứng minh 1 y 1 z y2 z2 yz 1 z 1 x z2 x2 zx 1 x 1 y 2 xy x2 y2 0 Lời giải ThuVienDeThi.com Đặt x tan , y tan , z tan với , , 0; 2 Do x y z xyz nên tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1 tan tan tan tan tan k k , k 3 3 Do 0; k k mà k nên k 2 Vậy Ta có 1 y 1 z 2 y2 z2 yz 1 tan 1 tan tan tan tan tan 1 1 cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin Tương tự ta có 1 z 1 x 2 z2 x2 zx 1 x 1 y cos cos sin sin cos cos xy sin sin Khi vế trái đẳng thức cần chứng minh cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 0 sin sin sin Suy điều phải chứng minh 3.3 Các toán tự giải 3.3.1 Bài toán 1:Cho xy 1, yz 1, zx 1 Chứng minh rằng: x y yz zx x y yz zx xy yz zx xy yz zx 1 3.3.2 Bài toán 2: Cho x ,y ,z thoả điều kiện x y z xyz 3 Chứng minh 2 x2 y2 ThuVienDeThi.com x x 3 y y 3z z 3 x x 3 y y 3z z x y 3z x y 3z 3.3.3 Bài toán 3: Cho a, b, c a b2 c 2abc Chứng minh abc c 1 a 1 b a 1 b 1 c b 1 c 1 a 2 2 ThuVienDeThi.com 2 ... với , , 2 b tan ab ab III/ Các ví dụ Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1.1 Bài tốn 1: Giải hệ phương trình: xy 1 z 1 y y 2 x 1... Vậy phương trình cho tương đường với cos x k 2 x k 2 x 1.4 Bài tốn 4: Giải phương trình 3sin x cos x 4 tan x 3 Lời giải Ta có 3sin x cos x 5 4 tan x 3 Do phương. .. Các toán tự giải: 1.5.1 Giải phương trình 3sin x cos x 25 5sin x 1.5.2 Giải hệ phương trình 6 x y sin cos sin y cos6 x 1.5.3 Giải hệ phương trình x y sin