cach giai phuong trinh luong giac va vi du

Do vËy ®ßi hái häc sinh cÇn tinh ý xem bµi to¸n nµo nªn ¸p dông ph¬ng ph¸p nµy.[r]

Chơng I: Phơng trình lợng giác và số phơng trình lợng giác thờng gặp

Để giải PTLG , nói chung ta tiến hành theo bớc sau:

Bc 1: t điều kiện để phơng trình có nghĩa Các điều kiện bao hàm điều kiện để có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức logarit có nghĩa Ngồi PTLG có chứa biểu thức chứa tanx va cot gx cần điều kiện để tanx cot gx có nghĩa Bớc 2: Bằng phơng pháp thích hợp đa phơng trình cho phơng trình

Bớc 3: Nghiệm tìm đợc phải đối chiếu với điều kiện đặt Những nghiệm không thoả mãn điều kiện thỡ b loi

1.1-Phơng trình lợng giác bản

1.1.1- Định nghĩa: Phơng trình lợng giác phơng trình chứa hay nhiều hàm số lợng giác

1.1.2- Các phơng trình lợng giác bản. a) Giải biện luận phơng trình sinx m (1)

Do sinx  1;1 nên để giải phơng trình (1) ta biện luận theo bớc sau Bớc1: Nếu |m|>1 phơng trình vơ nghiệm

Bíc 2: Nếu |m|<1 ,ta xét khả năng

-Kh nng 1: Nếu m đợc biểu diễn qua sin góc đặc biệt ,giả sử  phơng trình có dạng đặc biệt

2

sin sin ,

2

x k

x k

x k

  

    



   

   



-Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua sin góc đặc biệt đặt m=sin

Ta cã:

2

sin sin ,

2

x k

x k

x k

 



    



   

   



Nh ta kết luận phơng trình có họ nghiệm Đặc biệt ta cần phải nhớ đợc giá trị cung đặc biệt nh

; ; ; ; ;2    

 

 

 

  v×

1 sin

4

x

Gi¶i: Ta nhËn thÊy

1

4 không giá trị cung đặc biệt nên ta đặt

4 =sin

Khi ta có:

2

sin sin ,

2

x k

x k

x k

  

    



   

   

 Vậy phơng trình có họ ngiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình sin(3 )

4

x 

Gi¶i: Do

3 sin

3

 

nªn

3

sin(3 ) sin(3 ) sin

4

2

3

4 24

5

3

4 3 24

x x

x k x k x k

k

x k x k x k

  

     

 

     

   

    

  

       

  

      

            

  

  



Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

b) Giải biện luận phơng trình lợng giác cosx m ( )b Ta cịng ®i biƯn ln (b) theo m

Bớc 1: Nếu m 1phơng trình vô nghiƯm Bíc 2: NÕu m 1 ta xÐt khả năng:

-Kh nng 1: Nu m c biểu diễn qua cos góc đặc biệt, giả sử góc Khi ph-ơng trình có dạng

2

cos cos ,

2   

   

  



x k

x k

x k

 



 

đặt m=cos Ta có:

2

cos cos ,

2   

   

  



x k

x k

x k

  

 

Nh vËy ta cã thÓ kÕt luận phơng trình có họ nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ.

Ví dụ 1: Giải phơng trình sau:

cos

2

x Gi¶i: Do

2

cos( ) cos

3

 

   

nªn

1

cos cos cos ( )

2 3

x  x   x k k

Vậy phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình:

3cos(2 )

x 

Gi¶i:

1

3cos(2 ) cos(2 )

6

x   x 

V×  

1;1 3  vµ

1

3 không giá trị cung đặc biệt nên tồn góc   0;

sao cho

1 cos

3  

Ta cã:

cos(2 ) cos 2

6

x    x   k 

2 ( )

6 12

 x     k   x k k Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

c) Giải biện luận phơng trình lợng giác tanx m c ( ) Ta biện luận phơng trình (c) theo bớc sau:

Bớc 1: Đặt điều kiện

cos ,

2

     

Bíc 2: XÐt kh¶ năng

-Kh nng 1: Nu m c biu din qua tan góc đặc biệt , giả sử  phơng trình có dạng

tanxtan  x  k ,k 

-Khả 2: Nếu m khơng biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt , đặt m=tan ta đợc

tanxtan  x  k ,k 

Nhận xét: Nh với giá trị tham số phơng trình có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình tanx

Gi¶i : Do

3 tan  

nªn ta cã:

tan tan tan

6

x  x   x k

k Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình tan( )

5 x 

  Gi¶i:

§iỊu kiƯn:

cos( )

5 x x k

  

      

Do biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt nên ta đặt tan 2 Từ ta có

tan( ) tan( ) tan ( )

5 x x x k x k k

   

    

              

VËy ph¬ng trình có họ nghiệm

d) Giải biện luận phơng trình lợng giác cotx m ( )d Ta cịng ®i biƯn ln theo m

Bíc1: Đặt điều kiện sinx x k k Bớc 2: Xét khả năng

cotxcot  x  k ,k 

-Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cot góc đặc biệt , đặt m=cot ta đợc

cotxcot  x  k ,k 

NhËn xÐt: Nh vËy víi mäi giá trị tham số phơng trình (d) có nghiƯm VÝ Dơ Minh Ho¹:

VÝ dơ 1:

Giải phơng trình sau:

1 cot( )

4 x



 

(1) Giải:

Điều kiện

cos( )

4  x  

4 x k x k k

 

 

        (*) Ta cã:

(1)

cot( ) cot

4 x x k x 12 k k

    

 

          

Họ nghiệm thoả mÃn điều kiện (*) Vậy phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình

cot(4x 35 )o Giải:

Ta nhËn thÊy cot( 45 )

o

  nªn ta cã cot(4x35 )o  1 cot(4x35 ) cot( 45 )o   o 4x 35o 45o k180o 4x 80o k180ox 20o k45 (o k )

       

Vậy phơng trình có họ nghiệm

Lu ý: Không đợc ghi hai loại đơn vị ( radian độ ) công thức 1.2- Một số phơng trình lợng giác thờng gặp.

1.2.1- Phơng trình bậc hai hàm số lợng giác Dạng 1:

2

sin sin ( 0; , , )

a x b x c  a  a b c  (1)

Cách giải: Đặt tsinx , điều kiện | |t

Đa phơng trình (1) phơng trình bậc hai theo t , giải tìm t ý kết hợp với điều kiện giải tìm x

D¹ng 2:

cos cos ( 0; , , )

C¸ch giải: Đặt t cosx điều kiện | |t ta đa phơng trình (2) phơng trình bậc hai theo t, giải tìm t tìm x

Dạng 3:

tan tan ( 0; , , )

a x b x c  a a b c (3)

Cách giải: §iỊu kiƯn

cos ,

2

x x k k

Đặt ttanx t ta đa phơng trình (3) phơng trình bậc hai theo t, ý tìm đ-ợc nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mÃn hay không

D¹ng 4:

cot cot ( 0; , , )

a x b x c  a a b c  (4)

Cách giải: Điều kiện sinx x k k

Đặt tcotx (t ) Ta đa phơng trình (4) phơng trình bậc hai theo ẩn t Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh

2cos x 3cosx 1 (1) Giải:

Phơng trình (1)

2 cos

,

2 cos

3

x k x

k

x k

x

 

 

  

 

  



   

 



Vậy phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình:

2 cot tan 4sin

sin

x x x

x

  

(2) Gi¶i:

§iỊu kiƯn

sin ,

2

  k  

x x  k

 

2

2

2

cos sin

(2) 4sin

sin cos sin

cos sin

4sin

sin cos sin

2cos2

4sin cos2 2sin

sin sin

cos

2cos cos2 1 *

cos

2

x x

x

x x x

x x

x

x x x

x

x x x

x x

x

x x

x

   



  

     

 



    

  

Ta thấy cos2x 1 không thoả mãn điều kiện Do (*)

1

cos 2

2 3

x   x   k   x  k k

Vậy phơng trình có họ nghiệm Bài tập:

Bài 1: Giải phơng trình:

5sin x 4sinx Bài Giải phơng trình: cos2x 3cosx Bài 3: Giải phơng trình:

5

3tan 3tan

2

x x

Bài 4: Giải phơng trình: cos(4x2) 3sin(2 x1) Bài 5: Giải phơng trình:

4

tan 3x 3tan 3x 1

Bài 6: Giải phơng trình:

4 25

cos 6cos

16

x x

Bài 7: Giải phơng trình:

2

sin

tan 2cos 2sin

4

x

x

x 

Bài 8: Giải phơng trình

2

1 2sin sin sin 2sin cos

x x x

x x

  

 

Bµi 9: Giải phơng trình

4

cot 25

sin

x

x

 

a)Định nghĩa: Phơng trình asinx b cosx c (1) a, b, c  a2 b2 0 đợc gọi phơng trình bậc sin ,cosx x

b) Cách giải

Ta lựa chọn c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiƯn theo c¸c bíc Bíc 1:KiĨm tra

-NÕu a2 b2<c2 phơng trình vô nghiệm

-Nu a2 b2 c2 để tìm nghiệm phơng trình ta thực tiếp bớc Bớc 2: Chia vế phơng trình (1) cho a2 b2 , ta đợc

2 2 2

sin cos

a b c

x x

a b  a b  a b

V×

2

2 2

( a ) ( b )

a b  a b nên tồn góc cho

2 2

cos , sin

a b

a b   a b  

Khi phơng trình (1) có dạng

2 2

sin cosx sin cosx c sin(x ) c

a b a b

      

 

Đây phơng trình sin mà ta biết cách giải Cách 2: Thực theo bớc

Bíc 1: Víi

cos ( )

2

x

x  k  k

   

thử vào phơng trình (1) xem có nghiệm hay không?

Bớc 2: Với

cos ( )

2

x

x  k  k Z

 

Đặt

tan

x t

suy

2

2

2

sin , cos

1

t t

x x

t t



 

 

Khi phơng trình (1) có dạng

2

2

2

( ) (2)

1

t t

a b c c b t at c b

t t



       

 

* Dạng đặc biệt:

sin cos ( )

4

x x   x  k k 

sin cos ( )

4

x x  x k k 

Chú ý: Từ cách ta có kết sau

2 sin cos 2

a b a x b x a b

      từ kết ta áp dụng tìm GTLN

GTNN hàm số có dạng y a sinx b cosx,

sin cos sin cos

a x b x

y

c x d x

 

 phơng pháp đánh giá cho số phơng trình lợng giác

VÝ Dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phơng trình: sin 2x 3cos 2x3 (1) Gi¶i :

Cách 1: Chia hai vế phơng trình (1) cho 12 32  10 ta đợc

1 3

sin cos

10 x 10 x 10

Đặt

3

sin , cos

10   10   Lúc phơng trình (1) viết đợc dới dạng

cos sin sin cos2 sin sin(2 ) sin

2

2

2

x x x x

x k

x k

x k x k

   

    



    

    

  

  

 

  



     



 k  Vậy phơng trình có nghiệm

Cách 2:-Ta nhận thấy cosx0 nghiệm phơng trình -Với

cos ,

2

x   x  k k 

Đặt t tanx ,lúc

2

2

2

sin , cos2

1

t t

x x

t t





Phơng trình (1) có d¹ng

2

2

2

2

3 3(1 ) 3(1 )

1

t t

t t t t

t t



        

 

Cách 3: Biến đổi phơng trình dạng sin 3(1 cos2 ) 2sin cos 6cos

cos tan tan

(sin 3cos )cos

sin 3cos cos

x x x x x

x x

x x x

x x x



   

  

 

      

  

 

,

x k

k

x k

  

   



 

   

Vậy phơng trình có hai hä nghiƯm

Chú ý: Khi làm tốn dạng nên kiểm tra điều kiện trớc bắt tay vào giải phơng trình có số tốn cố tình tạo phơng trình khơng thoả mãn điều kiện Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải phơng trình 2 2(sinxcos )cosx x 3 cos2x  2 Gi¶i:

Ta biến đổi phơng trình (2)

Ta cã:

2 2

2

2 sin 2(1 cos ) cos 2 sin ( 1)cos

2 ; ;

2 ( 1) 2 (3 2) 11

x x x

x x

a b c

a b

c

    

    

    

         

Suy a2 b2<c2

Vậy phơng trình cho vơ nghiệm

Ngoài cần lu ý việc biến đổi lợng giác cho phù hợp với toán biểu diễn chẵn họ nghiệm Ta xột vớ d sau

Ví Dụ 3: Giải phơng trình (1 3)sinx(1 3)cosx2 (3) Giải :

Cỏch 1:Thc phép biến đổi (3)

1 3

( )sin ( )cos

2 x 2 x 2



Đặt

1 3

cos ; sin

2 x 2 x

 

Phơng trình (3) đợc viết thành

1

sin cos sin cos sin( ) sin

x    x   x  

2

4 ,

3

2

4

x k x k

k

x k x k

 

   

 

    

 

     

 

    

        

 

 



Vậy phơng trình có hai họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phơng trình dạng

(sin cos ) 3(sin cos ) 2 sin( ) cos( )

4

1

sin( ) cos( )

2 4

1 sin( )cos cos( )sin

4

sin( ) sin

4

2

3 12

5

2

12

x x x x x x

x x

x x

x

x k

x k

k

x k x k

 

 

   

  

  

 

  

  

        

    

    

   

 

 

   



    



      

 

 



Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Qua hai cách giải ta nhận thấy cách ta thu đợc nghiệm phơng trình chẵn Bài cĩng sử dụng cách đặt

tan

x t

ta thu đợc nghiệm chẵn

*Chú ý: Đối với phơng trình dạng asin ( )P x bcos ( )Q x csin ( )Q x dcos ( ) (*)P x a, b, c, d  thoả mãn a2 b2 c2 d2>0 P(x) ,Q(x) không đồng thời hàm số Bằng phép chia cho a2 b2 ta có (*) sin P x( ) sinQ x( )

(*) cos ( )P x  cosQ x( )  , góc phụ thích hợp Ta xét ví dụ sau:

Gi¶i:

(4) cos7x sin 7x cos5xsin 5x

1 3

cos7 sin cos5 sin5

2 x x x x

   

cos cos7 sin sin cos cos5 sin sin

3 x x x x

   

   

cos(7 ) cos(5 )

3

x  x 

   

7

3

7 (5 )

3

x x k

x x k

 



 

 



    

 

      

2

6 12

3

12

8

2

x k x k

k Z k

x

x k

 

 

  



 

   

 

    

     

 

 

VËy phơng trình có hai họ nghiệm Bài tập: Giải phơng trình sau :

1 sinxcosx 2 10cosx 24sin 2x13

3 sin2 x cosx3cos2x sinx 4 4cos3x sin 3x 1 3cosx 5 sin4 x cos4x 1 2 sin cosx x 6

4

2( 3sinx cos )x  sin 2x3(cos x sin )x

7

3

8sin

cos sin

x

x x

 

8 2 2(sinxcos )cosx x 3 cos2x 9 cosx2cos2x2 cos3 x 10

2

2 cos( ) sin( ) 2sin( ) 2sin( )

5 12 12 5

x  x  x  x 

      

1.2.3- Phơng trình bậc hai sinx cosx.

asin2x b sin cosx x c cos2x d (1) a, b, c, d   b) Cỏch gii :

Chia vế phơng trình (1) cho mét ba h¹ng tư

2

sin ,cosx x hc

sin cosx x Chẳng hạn chia cho cos2x

ta làm theo c¸c bíc sau: Bíc 1: KiĨm tra:

cos ,

2

x  x k k 

xem có phải nghiệm phơng trình(1) hay khơng? Bớc 2: Với cos x 0 chia hai vế cho cos2x lúc phơng trình (1) trở thành

2

2

tan tan (1 tan )

( ) tan tan

a x b x c d x

a d x b x c d

   

     

Đây phơng trình bậc hai theo tan ta biết cách giải Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

2 cos2 cos sin

sin ; cos ; sin cos

2 2

x x x

x  x  x x

đa phơng trình cho phơng trình bsin 2x(c a )cos2x d c a  

Đây phơng trình bậc sin cos ta biết cách giải *Chú ý: Đối với phơng trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát

(sin ,cos ,sinn n k cos ) 0h

A x x x x  k h n k h n  ; , ,   Khi ta làm theo bớc :

Bớc 1: Kiểm tra xem cosx0 có phải nghiệm phơng trình hay không?

Bc 2: Nu cosx0.Chia hai vế phơng trình cho cosn x ta đợc phơng trình bậc n theo tan Giải phơng trình ta đợc nghiệm phơng trình ban đầu Ví Dụ Minh Hoạ:

VÝ Dơ 1: Gi¶i phơng trình : 2 cos2x6sin cosx x 3 (1) Giải:

Cách 1: Phơng trình (1) 3(1 cos ) 3sin 2 x  x 3 3 cos2x sin 2x

1 3

cos sin cos(2 )

2 x x x



2 2

3

2

3 12

 

    

 

    

       

 





x k x k

k

x k x k

  

 

  

 

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm Cách 2: +) Thư víi

cos

2

x   x k  k 

vào phơng trình (1) ta có  v« lÝ.

VËy

2

x k k

không nghiệm phơngtrình

+)Vi cosx0 Chia c hai vế phơng trình cho cos2x ta đợc

2

2 tan x(3 3)(1 tan ) x  (3 3) tan x 6tanx 3 0

tan

4

3

tan tan

3



 

 

 

    



   

  





x

x k

k

x x k

  

  VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiƯm

* Chú ý: Khơng phải phơng trình dạng ta phải thực hiện số phép biến đổi thích hợp

Ví Dụ 2: Giải phơng trình:

sin ( ) sin

x   x

(2) Gi¶i :

Ta nhËn thÊy

sin( )

x 

biểu diễn đợc qua sinx cosx Luỹ thừa bậc ba biểu thức sinx cosx

ta đa phơng trình dạng biết cách gii

Phơng trình (2)

3

2 sin ( ) 4sin sin( ) 4sin

4

x  x  x   x

       

 

3

(sinx cos )x 4sinx

  

+) XÐt víi

cos

2

x  x k  k 

Khi phơng trình có dạng

sin ( ) 4sin( )

2 k k

 

 

    

Vậy phơng trình không nhận

2

x k 

lµm nghiƯm

+) Với cosx0 Chia hai vế phơng trình (2) cho cos3x ta đợc :

3

(tanx 1) 4(1 tan ) tan x x 3tan x3tan xtanx 0 . Đặt ttanx phơng trình có đợc đa dạng:

3 2

3 ( 1)(3 1)

1

4

t t t t t

t x  k k

       

   

Họ nghiệm thoả mÃn điều kiện phơng trình Vậy phơng trình có nhÊt hä nghiƯm

*Chú ý: Ngồi phơng pháp giải phơng trình nêu có phơng trình giải phơng pháp khác tuỳ thuộc vào toán để giải cho cách giải nhanh ,khoa học

VÝ Dụ 3: Giải phơng trình:

1 tan

1 sin tan

x

x x



 

 (3)

Giải :

Điều kiện

cos 2

tan

4

x k

x

k x

x k

  

 

  



 

 

 



   

 



Cách 1: Biến đổi phơng trình dạng :

 

 

2

3 cos sin

cos sin cos sin

cos sin cos sin

x x

x x

x x

x x x x



 



   

Chia hai vế phơng trình (3) cho cos3x0 ta đợc :

   

 

3

2

3

2

1 tan tan tan tan

tan tan tan tan tan tan (*)

x x x x

x x x

x x x

    

   

   

(dotan2xtanx 2 vô nghiệm) nên: Phơng trình (*) tanx x k  k Z

Cách 2: Biến đổi phơng trình dạng

 2

2

2 cos sin

cos sin cos sin

cos

2

4 2sin cot( )

4 1 cot ( )

sin

4

x x

x x

x x

x

x x

x x



 

 



 



    

   

      

      

Đặt

cot( )

t x

ta đợc :

  

3

2

2

1

cot( ) ( )

4 4

t t t t t t t

t

hay x  x   k x k k

            

      Vậy phơng trình có họ nghiệm

Bài tập :

Giải phơng tr×nh sau : 1)

2 3sinx 4sin cosx xcos x0 2)

3

2cos xsin x 11sin x 3cosx0

3)

1 4sin 6cos

cos

x x

x

 

4) sin 3x2sin3x

5) sin3x 5sin2 xcosx7sin cosx 2x 2cos3x0 6) sin sinx xsin3x6cos3x

7)

3

8cos

sin cos

x

x x

 

8)

2

(sin x 4cos )(sinx x 2sin cos ) 2x x  cos x

9) cos3x sin3xsinx cosx

a) Định nghĩa: Phơng trình đối xứng sinx cosx phơng trình dạng a(sinxcos )x bsin cosx x c 0 a b c, ,   (1)

b) Cách giải: Cách 1: Do

2

(sin ) sin cos

a x cosx   x x nên ta đặt

sin cos sin( ) cos( )

4

t  x x x    x

§iỊu kiƯn | |t  Suy

2 1 sin cos

2

t

x x 

phơng trình (1) đợc viết lại:

2 2 ( 2 ) 0

bt  at b c 

Đó phơng trình bậc hai biết cách giải Cách 2: Đặt

t   x

th×

sin cos cos( ) cos

4

x x    x  t

2

1 1

sin cos sin cos( ) cos cos

2 2 2

x x x   x t t

nên phơng trình (1) trở thµnh

cos cos

2

b

b x x  c

Đây phơng trình bậc hai biết cách giải *Chú ý: Hai cách giải áp dụng cho phơng trình

(sin cos ) sin cos

a x x b x x c  cách đặt tsinx cosx lúc đó

1 sin cos

2

t

x x 

VÝ Dơ Minh Ho¹ :

VÝ Dơ 1: Giải phơng trình sinxcosx 2sin cosx x (1) Gi¶i:

Cách 1: Đặt sinxcosx t điều kiện | |t  Lúc

2 1 sin cos

2

t

x x 

Khi phơng trình (1) có dạng

2 1

2( )

2

t

t   

2 2 0 (*)

2

t

t t

t

       



(*) t 1 sinxcosx1

2

2 sin( ) sin( )

4 2

x k

x x k

x k





 

  

  

       



  



Cách 2: Đặt z x

Khi phơng trình có dạng cos( ) sin

4 x x



   

 cosz sin 2(4 z)



   

 cosz sin(2 z)



   

 cosz cos 2z 2  cosz (2cos2 z 1) 0 

 2cos2z cosz 1

cos

2 cos

2

z z

 

  



(*) Ta thấy cosz không thoả m·n

Do (*’)

3

2

2 4

cos

3

2 2

4

z k

z

z k



 

 

  

   

   

3

2

4

3

2

4

x k

x k

 



 

 

   

 

    

2

2

x k

k

x k



   

  

 



  

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

*Chú ý: Ta đa số dạng phơng trình dạng phơng trình đối xứng xét trên Bài tốn 1: Giải phơng trình

2tan 2cot ( sin cos ) (1) 0

   

a x b x c a x b x ab

Cách giải: Phơng trình (1) cã thÓ viÕt

2sin2 2cos2

( sin cos ) sin cos



 

a x b x

c a x b x

x x

   

sin cos

sin cos sin cos

  

 

 

 

a x b x

a x b x c x x

*Quy íc: Khi cã nhiỊu dÊu   mét biĨu thøc hay hệ hiểu lấy dòng lấy dòng dới

Ví Dụ 2: Giải phơng trình tanx 3cotx4(sinx cos ) (2)x Giải:

§iỊu kiƯn:

sin cos

2

k

x x   x  k 

Ta cã (2)

2

1

(sin 3cos ) 4(sin cos )

sin cosx x x x x x

   

 (sinx cos )(sinx x cos ) 4(sinx  x cos )sin cosx x x  (sinx cos ) (sinx  x cos )sin 2x x 0

sin cos (4)

sin cos sin (3)

x x

x x x

  

 

  

 Ta cã (3)

tan (5)

3

x x  k

    

(4)

1

sin cos sin

2 x x x

   cos sin sin cos sin

3 x x x

 

  

2

3 sin( ) sin

3 2 2

3

x x l

x x

x x l



 



 



   

    

     

2

2

x l

l

x l



 

 

  

  

   

 (6) Các gía trị x (5) (6) thoả mãn điều kiện phơng trình Vậy theo phơng trình có hai họ nghim

Bài toán 2: Giải phơng trình:

  

(tan sin ) (cot cos ) (  ) 0

a x x b x x a b

Ta cã:

   

   

 

(tan sin 1) (cot cos 1)

(sin sin cos cos ) (sin sin cos cos )

cos sin

( )(sin sin cos cos )

cos sin

     

      

    

a x x b x x

a b

x x x x x x x x

x x

a b

x x x x

x x

   

0 tan

cos sin

sin sin cos cos sin sin cos cos

 

  

 

 

 

     

 

 

a b b

x

x x a

x x x x x x x x

Đến biết cách gii

Tơng tự cho phơng trình a(tanx sin )x b(cotx cos )x  a b 0 VÝ Dô 3: Giải phơng trình

tanx cotx sinx cosx 1 0 (3) Gi¶i:

§iỊu kiƯn

sin

2

k

x  x  k 

(3) tanx sinx 3(cotx cos ) 1x   0

1

(sin sin cos cos ) (sin sin cos cos )

cosx x x x x sinx x x x x

      

1

( )(sin sin cos cos )

cosx sinx x x x x

    

 

1

0 (4)

cos sin

sin sin cos cos

x x

x x x x



 

  

   



Gi¶i (4)

tan

3

x x  k k

      

Gi¶i (5): Đặt

sin cos cos( ) | |

4

t  x x   x t 

(*) Suy

2 1 sin cos

2

t

x x

Phơng trình (5) trë thµnh

2

0

2

t

t    t  t 

1

1

t t

    

Kết hợp với điều kiện (*) t bị loại Với t ta cã

1

2 cos( ) cos( ) cos

4 x x

 

 

      

2

4 x l x l

 

   

       

 , l

Các nghiệm phơng trình (4) (5) thoả mãn điều kiện phơng trình Vậy phơng trình có ba họ nghiệm

Chú ý: Ta áp dụng phơng pháp phơng trình hỗn hợp chứa biểu thức đối xứng sinx cosx với bậc lớn

VÝ dô 4: Giải phơng trình:

4

cos sin sin (1)

2

x x

x

 

Gi¶i :

Ta cã:

4 2 2

cos sin (cos sin )(cos sin ) cos

2 2 2

x x x x x x

x

    

Ph¬ng trình (1) có dạng

cos sin cos 2sin cos

2

sin

cos (1 2sin ) 2

6 cos

2

x x x x x

x k

x

x x x k k

x

x k



 

 



  



  

 

  

       

 



 

   



VËy ph¬ng trình có họ nghiệm

Ví Dụ 5: Giải phơng trình:

6

2

sin cos

8 tan cot

sin 

 

x x

x x

Giải:

Điều kiện: sin 2x0

Phơng trình (2)

2

2

2

3 sin cos

8(1 sin ) 2sin ( )

4 cos sin

x x

x x

x x

   

2

2 1 sin

2 6sin 4sin

sin

x

x x

x



  

 (8 6sin )sin 2 x x  4 2sin 22 x  3sin 23 x sin 22 x 4sin 2x 2

 (sin 2x 1)(3sin 22 x2sin 2x 2) 0



sin

3sin 2sin 2

x

x x

  



  





sin

1

sin

3

sin sin

3

x x

x 



 



 

 

 



  

 (lo¹i)

4

x k

x k k

x k

       

  



    

    





Các nghiệm thoả mãn điều kiện sin 2x0 Vậy phơng trình có họ nghiệm

Bµi tập:

Giải phơng trình sau: 1.

20 1

( tan )cos2

sin 2x 2(sinx cos )x  xsinxcosx x

2 2(tanx sin ) 3(cotx  x cos ) 0x   3.

3

1 cos x sin xsin 2x

sinxcosx( 1)cos2 x 5

2

2cos (1 sin ) cos

x

x x

3

sin xcos xsin 2xsinxcosx

7.

4

4(sin xcos )x  3sin 4x 2

8

8 17

sin cos

32

x x

9

3 4

sin cos cos sin cos sin

4

x x x x x x

10

3 5

sin xcos x2(sin xcos )x

11

8 10 10

sin cos (sin cos ) cos

4

x x x x  x

1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa biểu thức đối xứng tanx cotx. * Phơng trình có dạng

1

(tan cot ) (tan cot ) ( 0; 2)

n

k k k

k k

p x  x q x  x r  k



    

Cách giải:

Bớc 1: Đặt ẩn phụ

tan cot | | 2

tan cot

t x x t

t x x t

 

   



  

 

đa phơng trình cho dạng đại số F t( ) 0

Bíc 2: Gi¶i phơng trình F t( ) loại nghiệm không thoả mÃn điều kiện toán

Bc 3: Với nghiệm t tìm đợc bớc vào bớc để tìm x Ví dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phơng trình

3 2

Phơng trình (1)

3 2

tan x cot x 3tan cot (x x tanx cotx) 3(tan x cot x 2)

        

3

(tanx cot )x 3(tanx cot ) (2)x

     

Đặt ttanx cotx , phơng trình (2) trở thành 3 4 0 ( 1)( 4 4) 0

t  t   t t  t 

2

( 1)( 2)

2

t

t t

t

       



 hay

tan cot

tan cot

x x

x x

  

  



1 2

cot cot 2

2

2

cot 4

8

x k x k

x

k

x k

x x k



  





  



   

  

 

 

    

    

  

 





Vậy phơng trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 2: Giải phơng trình:

tan3xtan2xtanxcot3xcot2xcotx6 (2) Giải:

Điều kiện

sin cos

2

x x  x k 

Ta có: Phơng trình (2)

3

2

tan cot 3tan cot (tan cot )

tan cot tan cot 2(tan cot )

x x x x x x

x x x x x x

 

      

     

3

(tanx cot )x (tanx cot )x 2(tanx cot ) 0x

   (3)

Đặt ttanxcotx t| | , phơng trình (3) có dạng t3t2  2t 0  t3  8t2  2t0

2

(t 2)(t 2t 4) t t( 2)

        (t 2)(t2 2t 4 t) 0  (t 2)(t2  t 4) 0 Víi | | 2t  th× t2   t nªn (4)  t 0  t

Suy

tan cot sin

4

x x  x  x k

( tho¶ m·n ®iỊu kiƯn(2)) VËy

x k

Bài tập:Giải phơng trình sau:

7

2(tanxcot ) tanx  xcot x

2

3 2

tan xtan xcot xcot x 0

2

5(tanxcot ) 3(tanx  xcot ) 0x  

4

2

11

tan 2(tan cot )

3 sin

   

x x x

x

5

2

2

tan cot tan sin x  x x x 

6 sinxcosx tanxcotx

4

8(tan xcot ) 9(tanx  xcot )x  10

1.3- Vấn đề loại nghiệm khơng thích hợp PTLG.

Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn Khi đó, trớc kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem nghiệm tìm đợc có thoả mãn điều kiện đặt hay khơng, để ta loại nghiệm khơng thích hợp

Chóng ta cã thĨ xét ba phơng pháp sau: 1.3.1 Phơng pháp loại nghiệm trùc tiÕp

Giả sử ta cần tìm nghiệm phơng trình (1) thoả mãn điều kiện (*) Trớc hết ta giải phơng trình (1) sau thay nghiệm phơng trình (1) tìm đợc vào (*) để loại nghiệm khơng thích hợp

VÝ Dơ: Giải phơng trình

1 sin sin

x x





(1) Giải:

Điều kiện sin 4x0 (*)

Khi (1)

1 sin sin ,

2

x x x  k  k

         

Thay

2

x k

vào (*) xem có thoả m·n hay kh«ng ?

sin 4( ) sin( 2 ) ( )

2 k k sin



   

 

       

 

 

Suy

2

x  k 

Vậy phơng trình (1) vô nghiệm

1.3.2- Phơng pháp hình học (dùng đờng trịn lợng giác).

Giả sử ta cần tìm nghiệm phơng trình (1) thoả mãn điều kiện (*) Gọi L tập cung không thoả mãn điều kiện (*), N tập nghiệm phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối cung thuộc hai tập L N lên đờng tròn lợng giác Chẳng hạn điểm cuối cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối cung thuộc N ta đánh dấu (.) Khi cung có điểm cuối đợc đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) nghiệm phơng trình

VÝ Dơ: Gi¶i phơng trình: cos cot 2x xsinx (1) Giải:

§iỊu kiƯn

sin 2 ( ) (*)

2

      

x x n x n n

Khi phơng trình (1)

cos

cos sin

sin

x

x x

x

 

 cos cos2x xsin sin 2x x

cos cos 2x x sin sin 2x x

  

cos3 (**)

2

x x  k x  k k

         

Biểu diễn họ nghiệm (*) (** ) lên đờng tròn lợng giác

Từ ta có nghiệm phơng trình (1)

6

x k

k

x k

  

 

  

 

   



sin

1.3.3- Phơng pháp đại số.

Phơng pháp ta kiểm tra nghiệm cách chuyển phơng trình (thờng ph-ơng trình nghiệm nguyên) bất phph-ng trỡnh i s

* Ví Dụ: Giải phơng tr×nh: cos8

0 (1) sin

x

x 

Gi¶i:

Điều kiện sin 4x 0 4x n  (n ) Khi (1)

cos8 ,

2 16

x x  k x  k k

         

Gía trị nghiệm (1)

1

16 k n k n

  

    

Điều 2 k số lẻ 4n số chẵn Vậy nghiệm phơng trình

,

16

x  k k

Bài tập:

Bài 1: Tìm c¸c nghiƯm thc ;3 

  

phơng trình

5

sin(2 ) 3cos( ) 2sin

2

x   x   x

Bài 2: Giải phơng trình:

sin cot cot

x x

x

Bài 3: Giải phơng trình:

cos 2sin cos

3 2cos sin

x x x

x x



  

Bài 4: Giải phơng trình:

sin 5sin

x

x

Bài 5: Giải phơng trình: cos2 cot

sin

x x

x





Bài 6: Giải phơng trình:

2

sin3xcos cos2 (tanx x xtan )x

Đứng trớc PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn làm để giải nó, vấn đề nảy sinh phải đa phơng trình phơng trình mà ta biết cách giải Và để giải phơng trình ta phải thực phép biến đổi theo hớng

-Nếu phơng trình chứa nhiều hàm lợng giác khác biến đổi tơng đơng phơng trình chứa hàm

-Nếu phơng trình chứa hàm lợnggiác nhiều cung khác biến đổi tơng đ-ơng phđ-ơng trình chứa cung

Dới số phơng pháp biến đổi tuỳ thuộc vào toán khác mà ta lựa chọn phơng pháp cho phù hợp

2.1 - Phơng pháp biến đổi tơng đơng

Phơng pháp: Sử dụng công thức lợng giác học thực phép biến đổi đại số lợng giác đa phơng trình dạng quen thuộc biết cách giải

Chú ý : Ta phải ý đến mối liên hệ cung hàm lợng giác Vì mối liên hệ đờng cho cách biến đổi phơng trình

VÝ dơ Minh Ho¹:

Ví dụ 1: Giải phơng trình

3

3sin 3x cos9( x) 4sin 3  x (1) Gi¶i:

Nhận xét: Ta nhận thấy tốn có số hạng 3sin ,4sin 3x x ta sử dụng đợc cơng thức góc nhân ba

Ta cã

3

(1) 3sin 3x 4sin 3x cos9x1

1

sin cos9 sin cos9

2 2

1

sin sin9 cos cos9 cos( ) cos

6 6

x x x x

x x x

   

     

     

2

6 ( )

2

6

x k x k

k

x k x k

  

 

  

 

 

    

 

    

       

 





Vậy phơngtrình có họ nghiệm

Ta cã:

2 3

cos3xcos (4cosx x 3)sin cos3x x sin cos (4cosx x x 3)

2 2 2

sin cos (4sin cos 3sin ) sin (sin 3sin ) (1)

x x x x x x x x

   

T¬ng tù ta còng cã

3 2

cos sin sin (3cos sin ) (2)

x x x x x

Cộng vế với vế (1) (2) ta đợc

 

3

2 2

2

sin cos3 cos sin

sin (sin 3sin 3cos sin )

3 3

sin cos sin sin cos2 sin

2

x x x x

x x x x x

x x x x x x



   

   

Từ ta có :

3

3

sin sin 3sin sin

4 x  x  x x

sin12 12 ( )

12

k

x x k x  k

   

Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phơng trình 2 cosx sinx 1 (1) Gi¶i :

Ta cã :

2

(1)  cosx  1 sinx  4cos x (1 sin )x

 5sin2x 2sinx 0

2

sin

2 ( )

3

sin sin

( )

5



  

 

 

     

  

    

 



x k

x

x k k

x

x k





Vậy phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 4: Giải phơng trình:

2

6

10 10

log x x (sin3x sin ) logx x x sin 2x (1)

   

2

0 0 6

10

(1) sin sin

sin sin sin 2sin cos sin

x x

x

x x

x x x x x x

 

 

   



 

     

    

 

 

0

sin

cos (*)

2

x x x



   

   

 



Gi¶i (*): ta cã

2 (*)

2

x k

x k



 

 

  

 

   

Víi

2

x  k 

lo¹i sin 2x0 Víi

2

x k 

xÐt víi ®iỊu kiƯn

6

x 

 

Ta xÐt

0

3 k 

   

ta thấy có giá trị k 0 thoả mãn Vậy phơng trình cho có nghiệm

x

Nhận xét : Phơng pháp biến đổi tơng đơng đòi hỏi phải sử dụng nhiều cơng thức lợng giác việc nắm công thức vận dụng linh hoạt vào toán cần thiết

2.1- Phơng pháp đặt ẩn phụ. Phơng pháp :

Có loại đặt ẩn phụ

(1) Đặt ẩn phụ , đa phơng trình cho phơng trình dễ giải (2) Đặt ẩn phụ đa phơng trình cho hệ phơng trình đại số

Phụ thuộc vào phơng trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ cách khéo léo để có đợc phơng trình đơn giản dễ giải

Thông thờng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thờng gặp loại đặt ẩn phụ sau:

+) Đổi biến dới hàm lợng giác

+) Đặt biểu thức lợng giác làm ẩn phụ 2.1.1- Đổi biến dới hàm lợng giác

Khi biểu thức dới hàm lợng giác có mối liên hệ đặc biệt : bù nhau,

k

, biểu thức gấp hai, ba lần biểu thức thờng giải phơng pháp đổi biến Ví dụ 1: Giải phơng trình

2

cos cos

3

x

x



(1) Gi¶i:

Ta cã

4 cos2 cos

3

x x

Đặt

2

3

x t

t  x

Lúc ta có

1 cos3 cos2

2

t

t  

3

2

2cos 4cos 3cos 2(2cos 1) 4cos 3cos

4cos 4cos 3cos

t t t t t t

t t t

        

     

3

(cos 1)(cos 3)

cos

( ) (*)

cos

4

2

t t

t t k

k

t k

t

  

   



  

 

  

    

 





ThÕ trë l¹i Èn x ta cã

(*)

2

3

3 ( )

2

2 4 2

3

x

x k k

k

x k x k

 

  

 



 





   

     



Vậy phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình

3

sin( ) sin ( )

10 2 10

x x

 

  

(1) Ta nhËn thÊy

3

sin ( )

10

x

 

cã thÓ biÓu diÔn

3

sin ( ) sin3( )

10 10

x x

 



 

   

 

 

Nh phơng trình đợc đa phơng trình chứa hàm lợng giác chứa cung Từ ta sử cơng thức nhân ba để biến đổi

Gi¶i: Ta cã:

3 3

sin( ) sin sin 3( )

10 10 10

x x x

  



 

    

Đặt

3

( )

10

x

t    x   t

phơng trình (2) trở thành

2

sin (4sin 1) sin (2cos 1)

2

sin

1 2 2 2 2

cos

3

2

t t t t

t k t k

t

t k t k

t

 

 

 

     

 

  



 



  

 

     

  

3

2

5

3

2

5

t k

t k

 



  

 

   

 

    

 hay

3

2

2 ( )

5 14

2

x k

x k k

x k



 

 

 

  



   

 

  

Vậy phơng trình có họ nghiệm

2.1.2- Đặt biểu thức lợng giác làm Èn phô.

Chú ý số phơng pháp đặt ẩn phụ phơng pháp đại số sau +Phơng trình trùng phơng

4 0 ( 0)

ax bx c a

Đặt

2 0

t x t

+Phơng trình bậc bốn

4

(x a ) (x b ) c

Đặt

a b

t x

+ Phơng trình bậc bốn

(x a x b x c x d )(  )(  )(  )k víia b c d  Đặt t(x a x b )( )

+ Phơng trình bậc bốn đối xứng ax4 bx3 cx2 bx a 0 Chia hai vế cho

2 ( 0)

x x

Đặt

1

t x x

  VÝ dơ Minh Ho¹

Ví dụ1: Giải phơng trình

§iỊu kiƯn

sin

sin

cos

x

x x k k

x

 



    



 



Ta cã: (1)

2

2

9

(tan ) 3(tan )

tan tan

x x

x x

Đặt

3

tan

tan

t x t

x

  

(*) Do

2 2

2

9

tan 6 tan

tan tan

t x t x

x x

      

Ph¬ng trình (1) trở thành

2 3 4 0

4

t t t

t

      



 (2) Do (*) nên ta có (2)  t Lúc ta có

2

tan tan tan

tan

     

x x x

x

tan

( )

4 tan tan



  

 

   

  

  





x x k

k

x x k

Vậy phơng trình có hä nghiƯm

Chú ý: Một số phơng trình có cách đặt ẩn phụ khơng tồn phần ,nghĩa sau đặt ẩn phụ ẩn cũ ẩn cung tồn phơng trình Bộ phận cũ lại đợc xem tham số phng trỡnh

Ví dụ 2: Giải phơng trình

4

(sin 3)sin (sin 3)sin

2

x x

x  x  

(1) Gi¶i:

Cách 1: Đặt

sin

2

x

t t

  

phơng trình (1) trở thành 

2

sinx3 t  (sinx3)t 1 (*)

Do sinx 3 nên phơng trình (*) phơng trình bậc hai t

2

(sin 3) 4(sin 3) (sin 1)(sin 3)

x

x x

    

   

Do vËy (*)

2

0 sin sin

1 cos2

sin

2 2 2

x x

b x x

t

a

   

  

  

      

  

  

 sin

sin

cos

x

x x k

x



 



      

(k )

Vậy phơng trình cã hä nghiƯm C¸ch 2:

(2)

2

(sin 3)sin (sin 1)

2

x x

x

    

2

1 (sin 3)sin cos

2

x x

x

   

2

3 2

4 (sin 3)sin

sin 3sin (sin 1)(sin 2)

sin ( )

2

x x

x x x x

x x  k  k

   

       

 

Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phơng trình cosx cos x 2 (1) Gi¶i:

Đặt u  cos x điều kiện 1 u ta có

2 2 cos (*)

u   x

Tõ (*) vµ (1) ta cã hƯ

2

2 cos

cos

u x

x u

   



  



Ta cã u2 cos2x u cosx  cos2xcosx u  u

 

(cos )(cos ) cos

cos

cos (cos 1)

cos

x u x u x u

x u

x u x u

x u

     

 

      

  

-Với u  cosx vào (*) ta đợc

2 cos

cos cos 2 ( )

cos ( )

x

x x x k k

x vn  

 

        

 

2

cos cos

1

cos ( )

2 2 ( )

5

cos cos

2

x x

x vn

x k k

x                        

Vậy phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 4: Giải phơng trình

2

16sin x 16cos x 10

 

Gi¶i:

Cách 1: Viết lại phơng trình

2 2

2

1 16

16 16 10 16 10

16

sin x sin x sin x

sin x





Đặt

2

16sin x

t , điều kiện 1 t 16 0sin x2 1 nªn 16o 16sin x2 161

Khi phơng trình có dạng

2

2 16

16

10 10 16

2 16 2

sin x

sin x

t

t t t

t t                   2 4

2 4 2

2

1

2 2

4

sin x

sin x

sin x cos x

cos x sin x cos x

                            

4

2

cos x x  k x  k k

          

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm Cách 2: Đặt 2 16 16 16 sin x cos x u u, v v          Khi đó:

2 2

16sin x16cos x 16sin x cos x 16

u v   

Phơng trình tơng đơng với

10 16 u v uv      

Khi u, v nghiệm phơng trình: t2  10t16 0

2 2

2

2

2

2

16

2 3 1 1

2

8 16 4 4 2

3

8 16 8 2

4

4

2 16 2

1

sin x

cos x

sin x

cos x

sin x u

cos x sin x cos x v

u

sin x cos x sin x

v

cos x

 

  

  

     

 

 

        

 

  



         



       



      

  

    

 

   

22 4 4 2

4

cos x cos x x  k x  k ( k )

           

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 5: Giải phơng trình

6 sin cos sin cos

sin 2 sin cos

x x x x

x x x

   

(1) Giải:

Đặt tsin cosx x sinxcosx , suy 2tsin 2x2 sinxcosx

Phơng trình (1) trở thành

2

6

2

3

t

t t t

t t

         

  -Víi t1 ta cã: sin cosx x2 sinxcosx 1

sinxcosx  1 sin cosx x a( ) Do sin cos x x0 nªn (a)

2

(sinx cos )x (1 sin cos )x x

   

2 2sin cos 2sin cos (sin cos )

sin cos (sin cos 4)

sin cos sin 2 ( )

2

x x x x x x

x x x x

x x x x k x k k

    

  

         

-Víi t3 ta cã sin cosx x sinxcosx 3  sinxcosx  3 sin cosx x ( )b

Ta nhËn thÊy  3 sin cosx x   2 sinxcosx , suy phơng trình (b) vô nghiệm Vậy phơng trình có họ nghiệm

2

2

sin sin

9

2(cos 2) 4cos

81 x  x x  x 

(1) Giải:

Đặt

2

2

1 2sin cos

sin sin

3

0 3

9

x x

x t t x



    

2

1 2sin cos cos 2 sin

9

9 (3 )

81

x x x

x t



Phơng trình (1) trở thµnh

2 2(cos 2 2) 4cos2 3 0

t  x t x 



2 2(cos 2 2) 2cos 2 5 0

t  x t x 

1

5 2cos2

t

t x

     

 -Víi t 1 lo¹i

-Víi t 5 2cos2x ta cã 3cos 2x  5 2cos2x  cos

3 x 2cos 2x (*) Đặt y cos ,x y 1phơng trình (*) trở thành

y y

Đặt ( )

y

f x   y Rõ ràng f y( ) hàm đồng biến trờn

Mặt khác ta có f(1) suy y1 nghiệmduy phơng trình (*) Víi y1ta cã cos2x 1 2x k 2  x k (k )

Vậy phơng trình có nhÊt hä nghiÖm NhËn xÐt:

Dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải phơng trình lợng giác đợc vận dụng linh hoạt ,ta phải khéo léo biến đổi biểu thức cho số dạng phơng trình lợng giác mà ta biết cách giải Với ẩn phụ đặt ta thiết phải tìm điều kiện lu ý ta phải thử lại xem nghiệm có thoả mãn điều kiện phơng trỡnh hay khụng

2.3- Giải phơng trình lợng giác sử dụng công thức hạ bậc Phơng pháp: Ta thực hiƯn theo c¸c bíc sau:

Bớc 1:Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa.

*Hạ bậc đơn:

   

   

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1 sin cos2 sin 3sin sin

2

1

2 cos cos2 cos 3cos cos3

2

sin cos2 3sin sin3

3 tan tan

cos cos2 3cos cos3

cos cos2 3sin sin

4 cot cot

sin cos2 3cos cos

x x x x x

x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x x

   

   

 

  

 

 

  

  3x

* H¹ bËc toµn cơc

4

4

6

6

3

sin cos cos4

4

sin cos cos2

5

sin cos cos

8

1

sin cos cos cos2

4

x x x

x x x

x x x

x x x x

       

  

* Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng :

3

sin cos3 sin cos

A x x x x

Ta cã thÓ lùa chän theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã :

   

3

2

sin cos3 sin cos

1 cos sin cos3 sin sin cos

sin cos3 sin3 cos (cos cos3 sin sin )sin cos

1

sin cos sin sin sin sin

2 4

A x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x

 

   

   

    

C¸ch 2: Ta cã :

1

(3sin sin3 )cos3 (3cos cos3 )sin

4

3

(sin cos3 sin sin

4

A x x x x x x

x x consx x x

   

  

Chú ý: (+) Tuỳ thuộc bậc toán ta lựa chọn việc hạ bậc cho phù hợp Chẳng hạn phơng trình bậc lẻ nhân tử bậc cao (giả sử 3) thông thờng ta không hạ bậc tất nhân tử mà chọn hai nhân tử để hạ bậc

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình:

2 2

sin xcos xcos 3x

Gi¶i.

Phơng trình đợc biến đổi dới dạng

2

2

1 cos cos2

cos 2cos (cos4 os )

2

2cos 2cos3 cos (cos3 os5 )cos3 2cos cos cos3

x x

x x x c x

x x x x c x x

x x x

 

    

     

 

cos 2

cos 2 4 2

cos

cos3

3 cos3

6

2

 



    

 

 



         



      

 

  



x x k x k

x

x k

x

x k

x k

x

  



  

 VËy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình

4 4

sin sin ( ) sin ( )

4

x x  x  

(1) Gi¶i.

Ta cã:

(1)

2

2 cos(2 ) cos(2 )

1 cos2 4 4

2 2

x x

x         



 

       

     

   

2 2

2

2

9 (1 cos2 ) (1 sin ) (1 sin )

2 2cos2 cos 2(1 sin )

2 2cos 4cos2

x x x

x x x

x x

      

     

   

6 cos

2

cos ( )

2

cos cos 2 2 ( )

2

x

x loai

x  x  k  x  k k



  

 



  



           

Ví dụ 3: Giải phơng trình:

3 3

sin xcos xsin cotx xcos tanx x 2sin 2x

(2)

Gi¶i Ta cã: (2)

3 2

sin x cos x sin cosx x cos nx si x 2sin 2x

    

2

2

sin (sin cos ) s (cos n ) 2sin (sin s )(sin cos ) 2sin

sin cos 2sin (3)

x x x co x x si x x

x co x x x x

x x x

    

   

  

§iỊu kiƯn

sin cos sin cos sin

(*)

sin sin cos cos

x x x x x

x x x x

    

  

 

  



Bình phơng hai vế phơng trình (3) ta có:

2

(sinxcos )x 2sin 2x

1 2sin cos sin 2sin sin

2

2

x x x x x

x  k  x  k k

     

     

Các giá trị

x k

thỏa mãn điều kiện (*) k 2m Vậy phơng trình cho có họ nghim nht

Ví Dụ 4: Giải phơng trình:

7 5

sin cos (sin cos )sin sin cos

x x x x x x x

(4) Gi¶i:

Ta cã

7 5

(4) sin xcos x(sin xcos )sin cosx x xsinxcosx

7

sin x cos x sin xcosx sin cosx x sinx cosx

     

7

6

6

6

(sin sin cos ) (cos sin cos ) sin cos sin (sin cos ) cos (sin cos ) sin cos

sin cos (5)

(sin cos )(sin cos 1)

sin cos (6)

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x x x

x x

     

     

 



     

 



Ta cã (5)

tan

4

x x  k k

      

L¹i cã:

6

6 2

4

cos cos

cos sin sin cos

sin sin

x x

x x x x

x x

 



    



 

Dâú đẳng thức xảy sinx0 cosx 0

Bëi thÕ (6)

sin

cos

x

x k k

x

 



   

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 5: Giải phơng trình :

4

2

sin cos 1 sin

2 tan sin tan

1 sin

x x

x

x x x

x





  

 (7)

Gi¶i:

§iỊu kiƯn: cosx0 Ta cã:

4 2 2

sin cos (sin cos ) 2sin cos

2 2 2

x x x x x x

    

2

1 cos

1 sin

2

x

x 

  

4

2

sin cos 1 cos

2

1 sin 2(1 sin )

x x

x

x x





 

  .

Thay vào (7) ta thu đợc

2

2

2

1 cos sin

tan sin tan

2(1 sin )

1 cos sin

(1 sin ) tan 2(1 sin )

x x

x x x

x

x x

x x

x

 

   



 

   



2

2

2

2 2

2 2 2

1 cos (1 sin )(1 2tan )

2(1 sin )

1 cos (1 sin )(1 sin )(1 tan )

2(1 sin ) 2(1 sin )

1 cos (1 sin )(1 sin )(1 2tan ) cos (1 sin )(1 tan )

1 cos cos (1 tan ) cos cos 2sin )

x x x

x

x x x x

x x

x x x x

x x x

x x x x x x

  

 



   

 

 

     

    

       

1 2sin2 cos2

2

x x x  k x  k k

          

Ví Dụ 6: Giải phơng trình:

3

3

6

tan cot

sin sin

x x

x x

  

(8) Gi¶i: Ta cã:

3

3 3

8

(tan cot ) sin 4x (2sin cos2 )x x (sin cos2 )x x  x x

3

3

tan cot 3tan cot (tan cot ) tan cot

sin

x x x x x x

x x

x

   

  

Do vËy (8) 

3 3

tan cot tan cot

sin sin

x x x x

x x

    

3

0 sin 2x

 

(v« nghiƯm )

Vậy phơng trình cho vơ nghiệm

Nh ận xét: Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ hữu hiệu có chứa hạng tử bậc cao, khó giải Vì để sử dụng tốt phơng pháp đòi hỏi học sinh cần nắm vững công thức hạ bậc nêu trên, đồng thời phải sử dụng đẳng thức cách linh hoạt

2.4- Biến đổi phơng trình lợng giác thành phơng trình tích

Có nhiều cách đa phơng trình lợng giác phơng trình tích ta sử dụng phép biến đổi dạng nh sau:

Dạng 1: Biến đổi tổng hiệu thành tích Dạng 2: Biến đổi tích thành tổng

Dạng 3: Lựa chọn phép biến đổi cho cos x2 Dạng 4: Phơng pháp tách hệ số

Dạng : Phơng pháp số biến thiên Dạng 6: Phơng pháp nhân

Dng 7: S dng phép biến đổi hỗn hợp Ta đa phơng trình cần giải dạng

1

1

( ) ( ) ( )

( )

n

n

f x

f x f x

f x

 

  



 

Sau ta xét tõng d¹ng

2.4.1- Phơng pháp biến đổi tổng , hiu thnh tớch:

Ví Dụ 1: Giải phơng trình: 1 cos xcos2xcos3x0 (1) Gi¶i:

Cách 1: Biến đổi tổng thành tích:

Ta cã: (1)  

2

(1 cos2 ) cos3x x cosx 2cos x 2cos2 cosx x

      

3

(cos cos2 )cos 2cos cos cos

2

x x

x x x x

    

cos

cos

2

cos 3

2

2 cos

2

3 2 3

cos

2

x

x x k x k

x

k

x x k

x k

x

 

 

 

  

   

    



  

 

       



   

   



  

 



Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Cách 2: Biến đổi phơng trình chứa hàm lợng giác (1) 1 cosx2cos2x 1 4cos3x 3cosx0

3 2

4cos 2cos 2cos (2cos cos 1)cos

cos 2

2

cos

2

cos 3

2

x x x x x x

x k

x x k

x x k k

k x

x x k



 

  

 





       

 

  



   

 



         

 

  



    



 



Ví Dụ 2: Giải phơng trình: 1 sin xcos3xcosxsin 2xcos 2x (2) Gi¶i:

Ta cã (2) (1 cos2 ) sin x  x(cos3x cos ) sin 2x  x0

2sin sin 2sin sin 2sin cos (2sin 4sin cos 2cos )sin (2sin 1)(1 2cos )sin

x x x x x x

x x x x x

x x x

    

    

2 cos sin sin 2 x k x x k x k x k x x k                                    

Vậy phơng trình có họ nghiệm Ví Dụ 3: Giải phơng trình

2 4

sinxsin xsin xsin xcosxcos xcos xcos x (3)

Gi¶i: (3)

2 3 4

(sinx cos ) (sinx  x cos ) (sinx  x cos ) (sinx  x cos ) 0x 

     

   

(sin cos ) sin cos sin cos sin cos

sin cos 2 sin cos sin cos

x x x x x x x x

x x x x x x

          

       

 

sin cos (1)

2 sin cos sin cos (2)

x x

x x x x

 

  

   



Giải (1) ta đợc

sin cos tan

4

x x x x k k

Giải (2): Đặt sinxcosx t | |t  (*) suy

2 1 sin cos

2

t

x x 

Khi phơng trình có dạng

2

2

1

2

3

t t

t t t

t              

Kết hợp với điều kiện (*) phơng trình tơng đơng với

1

sin cos sin( ) sin( )

4

x x  x   x 

2 4 2 x k x k k x k x k                           

Vậy phơng trình cã hä nghiÖm

VÝ Dụ 1: Giải phơng trình: sin sin 3x xsin sin8x x0 (1) Gi¶i:

Ta cã (1) cos 4x cos 2xcos12x cos 4x0

12 2 5

cos12 cos

12 2

7

k x

x x k

x x k

x x k k

x

 

 

    



      

 

  

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 2: Giảiphơngtrình:

cos2xcos4xcos6xcos cos cos3x x x2 (2) Gi¶i:

Ta cã:

 

2

4cos cos2 cos3 2cos 2(cos cos3 ) 2cos2 cos cos4 2cos 2cos2 cos cos cos cos6

x x x x x x x x x

x x x x x x

  

     

Do vËy (2)

1

cos cos4 cos6 (1 cos cos cos6 )

x x x x x x

       

cos2x cos 4x cos6x

   

cos

cos cos cos6

x

x x x k k

x

 

 

       

 





Vậy phơng trình có họ nghiệm 2.4.3- Lựa chọn phép biến đổi cho cosx.

Gi¶i:

 

 

3 2

2

2

(1) 2cos 2cos sin 2(cos 1)cos sin

2(cos 1)(1 sin ) sin (1 sin ) 2(cos 1)(1 sin )

(1 sin ) 2sin cos 2(sin cos ) (1 sin ) (sin cos ) 2(sin cos ) (1 sin )(sin co

         

     

     

     

 

       

  

x x x x x x

x x x

x x x

x x x x x

x x x x x

x x s )(sin cos 2)

1 sin sin 1

sin cos

sin( )

sin cos ( )

2

4

  

 

  

 

    

  

    



 

   

 

    

     

 

 



x x x

x x

x x

x

x x vn

x k x k

k

x k x k



 

 

 

 

VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiƯm

Nhận xét: Trong lời giải lựa chọn phép biến đổi cos2x 2cos2x hai nhân tử lại 2cos3x(cos có hệ số 2) sinx(sincó hệ số 1),thực phép biến đổi để nhóm nhân tử chung đa phơng trình dạng tích

Cơ thĨ ta xÐt vÝ dơ sau:

Ví Dụ 2: Giải phơng trình 2sin3x cos2xcosx0 (2) Gi¶i:

Ta cã:

 

3 2

2

2

(2) 2sin 2sin cos 2( 1)

2(sin 1)(1 cos ) cos 2( 1)( 1)

(1 cos ) (sin cos ) 2(sin cos ) (1 cos )(sin cos )(sin cos 2) cos

sin cos

sin cos

         

          

 

      

     

 

 



x x x sinx sin x cosx

x x x sinx cosx

x x x x x

x x x x x

x

x x

x

cos

sin( )

2 ( ) 4

    

     

      

    





x x k

k

x x k

x vn

Vậy phơng trình cã hä nghiÖm

Nhận xét: Nh có đợcphơng pháp suy luận việc lựa chọn hớng biến đổi cos2x

Cuối trờng hợp hệ số đối xứng ta lựa chọn phép biến đổi cos 2xcos2x sin2 x

Cơ thĨ ta xÐt vÝ dơ sau:

VÝ Dơ 3: Giải phơng trình: sin3xcos3xcos2x (1) Giải:

Phơng trình (1) sin3xcos3xcos2x sin2 x

(cosxsin )(1 cos sinx  x xcosx sin ) 0x 

cos sin (2)

1 cos sin cos sin (3)

 



     



x x

x x x x

Giải (2): Ta đợc

sin cos tan

4

x x x  x  k k 

Giải (3): Ta đặt sinx cosx t t | | 2, suy

2 1 sin cos

2

t

Khi (3) có dạng:

2

1

2 

 t   t t  t 

( 1) sin cos sin( )

4

1

sin( )

4 2

                        

t t x x x

x k x k x k       VËy ph¬ng trình có hai họ nghiệm 2.4.4- Phơng pháp tách hệ số.

Ví dụ 1: Giải phơng trình: cosxcos3x2cos5x0 (1) Gi¶i.     2

1 cos5 cos (cos3 cos5 ) 2cos3 cos 2cos cos

(4cos 3cos ).cos cos cos3 [(4cos 3)cos cos ] os

{[2(1 cos ) 3]cos2 2cos 1}.cos (cos cos 1)cos

cos 17 cos                               

x x x x

x x x x

x x x x x

x x x c x

x x x x

x x x

x x 1 2 2

cos 2

8

2

1 17

cos cos2 2

8                                              x k x k

x k x k k

x k x k x           Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

sin sin

3

x x

 Giải Biến đổi phơng trình dạng

3

5sin3 3sin 2sin 3(sin in3 ) 2(3sin 4sin ) 6cos sin

x x x x s x

x x x x

             2

(3 sin 3cos4 )sin

3 cos2 cos sin 3cos cos 2 sin

x x x

x x x

x x x

   

 

      

cos

2

cos cos2

2

cos

3

sin cos

2 2

( )

 



  

 

  

 

 

 



   

 

    

 

 



x

x x

x x

x k x k

k

x k x k



 

Vậy phơng trình có hä nghiƯm

Chó ý:Ta cịng cã thĨ gi¶i phơng pháp tách dần.

2 sin 3sin 4sin

sin sin( ) sin cos sin cos

sin cos 2cos sin cos2 sin cos 4cos sin cos2

 

   

   

x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x x

2.4.5- Phơng pháp số biến thiên Ví dụ 1: Giải phơng trình:

   

4

sin sin sin sin

2

x x

x  x  

(1) Gi¶i.

Ta cã thĨ lùa chän cách sau Cách 1: Phơng pháp số biến thiên. Đặt

2 sin

2

x t

®iỊu kiƯn 0 t

Khi (1) có dạng    

sinx3 t  sinx3 t 1

Ta cã        

2

sinx sinx sinx sinx

        

( sin x 1) Do phơng trình đợc chuyển thành

2

0 sin sin 1

1 1 cos 1

sin

2 2

sin ( )

2

x x

b x x

t

a

x x  k k

   

 

 

 

 

  

 

  

 



     

Cách 2: Phơng pháp phân tích

1 sin2 sin sin

2

x x

x

 

      

  2

2

2

sin sin cos

2

(sin 1)(sin 4sin 4)

(sin 1)(sin 2) sin ( )

2

x x

x

x x x

x x x x  k  k

    

    

       

Ví dụ 2: Giải phơng trình:  

2sin sin

3 x 3sinx 10 x sinx



Giải. Đặt

sin

3 x ,

t  t

 

Khi phơng trình tơng đơng với  

3t  3sinx10 t 3 sinx0

 2    2

1

3sin 10 4.3 sin 3sin

3 sin

t

x x x

t x

  

       

   

-Víi

t

ta đợc

 

sin

3 sin sin

3

x x x x  k k

 

          

-Với t 3 sinx ta đợc sin

3 x sinx   Ta đoán đợc nghiệm sinx2và

0

3 2 

Vì VT hàm đồng biến VP hàm nghịch biến, sinx2 nghiệm phơng trình Nhng phơng trình sinx2 vơ nghiệm

2.4.6- Phơng pháp nhân. Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh:

 

2cos 8cos

cos

x x

x

Giải.

Điều kiện: cosx0 Nhân hai vế phơng trình (1) víi cosx0 ta cã

2

2cos cosx x8cos x7cosx1

2

2cos (2cos 1) 8cos 7cos  x x  x  x

3

2

4cos 8cos 5cos

(cos 1)(4cos 4cos 1)

    

    

x x x

x x x

2

2 cos

(cos 1)(2cos 1) 1 ( )

2 cos

3



 



 

      



   

 



x k x

x x k

x k

x

 



Các họ nghiệm thỏa mÃn điều kiện Vậy phơng trình có hai họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình

5

sin 5cos sin

2

x x

x

 Gi¶i.

+) Víi

cos

x



ta đợc

2

cos 2cos 1

2

x

x  

vµ

sin

2

x

VP

  

Khi phơng trình (2) có dạng:

sin

2

x



v« nghiƯm

+)Víi  

cos

2 2

x x

k x k k



  

      

(*) Nhân hai vế phơng trình (2) với

cos

x



ta đợc

5

2sin cos 10cos sin cos

2 2

x x x x

x

3

3

3

2

3

sin sin 5cos sin

3sin 4sin 2sin cos 5cos sin 3sin 4sin 2sin cos 5cos sin (3 4sin cos 5cos )sin (5cos 4cos 2cos 1)sin

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

  

   

   

    

    

2

5cos cos (5cos cos 1)(cos 1)sin cos

sin

x x

x x x x x

x

   



        

  

 

 

*

1 21

cos cos

10

2 21

cos cos

10 sin

2 2

 

 



   

  

      



  

 

  

  

    

  

 

x

x k

x x k

x k x

x k

x k k

x k



 

  



   



2.4.7- Sử dụng phép biến đổi. Ví dụ 1: Giải phơng trình:

2

cos10x2cos 4x6cos3 cosx xcosx8cos cos x x

Gi¶i.

Biến đổi phơng trình dạng

 

3

cos10 cos8 cos 2(4cos 3cos3 )cos 2cos9 cos cos 2cos9 cos

cos

x x x x x x

x x x x x

x x k k

    

   

     

VÝ dô 2: Giải phơng trình:

2

cos xsin xcosx0 Gi¶i.

 

 

2 2

2 cos cos sin sin (cos 1)(1 cos )sin (cos 1)[cos cos sin ]

x x x x x x x

x x x x

       

    

   

cos 1

sin cos sin cos

x

x x x x

 

 

  



Giải (1): Ta đợc x  k2 , k  Giải (2): Đặt

2 1 sin cos , sin cos

2

t

x x t t   x x 

 

 

 

2

2

2

2

1

sin cos

1

1

2 sin sin sin

4

2

4

3

2

4

t

t t t

t

x x

t loai

x x

x k x k

k

x k x k

 



 

   

 

    



         

     

  



   

         

   

 

     

 

    

        

 

 

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm Ví dụ 3: Giải phơng trình:

3

cos xsin xcosxsin 2xsinx (3)

Gi¶i.

 3  (cosxsin )(1 cos sin ) cosx  x x  xsin 2xsinx

 

1

(cos sin )sin sin (cos sin 2)sin 2

sin 2

2

      

       

x x x x x x x

x x k x k k

2.5- Biến đổi phơng trình lợng giác thành tổng đại lợng không âm.

Phơng pháp: Ta cần nhớ đại lợng không âm lợng giác, bao gồm 2, , cos , sin

A B  x  x

để sử dụng phơng pháp giải PTLG ta thực theo bớc sau

Bớc 1: Biến đổi phhơng trình ban đầu dạng A A1 2  An0  1

Bớc 2: Dùng lập luận Ai 0,  i 1,n Bớc 3: Khi đó

   

1

2

0

1 :

0

n

A A

I A

     

    

Bíc 4: Gi¶i hƯ  I VÝ Dô Minh Häa:

VÝ dô 1: Giải phơng trình:

2 2

cos 4xcos 8xsin 12xsin 16x2 Gi¶i.

 

 

2 2

2 2

1 sin sin sin 12 sin 16 sin sin sin 12 sin 16

sin sin8

sin 4

sin12

sin16

x x x x

x x x x

x x

x x k x k k

x x

 

       

    

 

 



       

 



 



VÝ dô 2: Giải phơng trình:

cos 2x cos6x4(3sinx 4sin x 1) Gi¶i Ta cã:

 

2 2

2 cos2 cos6 4sin

(1 cos2 ) (1 cos6 ) 4sin

2cos 2sin 4sin cos (sin 1)

x x x

x x x

x x x x x

    

      

        

 

cos 2

2

sin3

2

x k

x

x k k

x

x k

 



 

 

  



 

       



   

 



Vậy phơng trình có họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phơng trình:

2

4cos x3tan x cosx2 tanx 4 Giải.

Nhận xét: Ta nhận thấy phơng trình có hạng tử

2

cos , cos ,x x tan ,x tan2 x

vậy ta biến đổi phơng trình dạng tổng bình phơng hai biểu thức

Gi¶i. Ta cã:

 

   

 

2

2

3 (4cos cos 3) (3tan tan 1)

2cos 3 tan

3 cos

2cos 2

1 tan 3 tan

3

6 2

6

      

    



 

  

 

   

 

 

 

  

  



     

   





x x x x

x x

x x

x x

x k

x k k

x k







Vậy phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 4: Giải phơng trình

 

tan cot

sin

x x

x

§iỊu kiƯn:

tan cot sin

x x x

 



 

 

 C¸ch 1:

   

2

1

4 tan cot tan cot

2

[(tan 1) tan 1] [(cot 1) cot 1 ] ( tan 1) ( cot 1)

tan 1

tan cot cot 1

x x x x

x x x x

x x

x

x x

x

     

          

      

    

    

   



tan cotx x

(mâu thuẫn) Vậy phơng trình vô nghiƯm

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cơ si ta đợc tan tan

1(tan 1)

2

1 t t

1(cot 1)

2

1

tan cot (tan cot )

2 sin

x x

x

co x co x

x

x x x x

x

  

  

  

 

   

 

      

Do vËy

 4 tan 1 tan cot

cot 1

x

x x

x

   

    

  

(mâu thuẫn).

Vậy phơng trình vô nghiệm Ví dụ 5: Giải phơng trình

2 2

tan xtan ycot (x y ) 1 Gi¶i.Ta cã

  tan tan

cot( )

tan tan

(tan tan )cot( ) tan tan

tan tan tan cot( ) tan cot( ) *

x y

x y

x y

x y x y x y

x y x x y y x y

  



    

     

   

 

   

2 2

2 2

5 tan tan cot

tan tan tan cot( ) tan cot( )

[(tan tan ) (tan cot ) (tan cot( )) ]

tan tan cot

x y x y

x y x x y y x y

x y x x y y x y

x y x y

   

    

        

   

Tõ (5) vµ (6) ta cã:

 

tan tan cot

3

x y x y 

6

x k

y k

  

 

  

 

   

 hc

6

x k

y k

  

 

  

 

   



VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiƯm

Chó ý: Víi mäi x y, lµm tan , tan , tanx y x y  cã nghÜa ta lu«n cã

   

tan tanx ytan cotx x y tan coty x y Ví dụ 6: Giải phơng tr×nh

  sin sin

4 x 2 x.cos xy 2y

   (6)

Gi¶i.

     

 

 

2

sin sin

2 sin

sin

6 2.2 cos 1

2 (2 1)

2 sin

0

2

y

x x

y x

x y

x y

x x k

k

y y



     

    

     



      

 

  

Vậy phơng trình có hä nghiƯm

Nhận xét: Để giải phơng trình lợng giác phơng pháp đòi hỏi học sinh phải có t duy, nhận xét qua tốn xem đa đẳng thức số hạng khơng âm Với phơng pháp có tác dụng tích cực tới t sáng tạo cho học sinh

2.6- Giải phơng trình lợng giác phơng pháp đánh giá. Phơng pháp: Xét phơng trình f x g x  x D (1)

Nếu  x D f x,   k g x  k k, số phơng trình tơng đơng với

h Ư

 

   2

f x k

g x k

 

 

 

Nh ta quy ớc việc giải PTLG (1) giải hệ PTLG (2) Để đánh giá phơng trình ta dựa cỏc dng sau:

Dạng 1: Tính chất hàm số lợng giác biểu thức lợng giác. Dạng 2: PTLG d¹ng Pitago

Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi.

Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Bunhicôpski. Sau ta xét dạng

2.6.1- Tính chất hàm số lợng giác biểu thức lợng giác Ví dụ 1: Giải phơng trình sinx cos sin 3x x2 (1)

Gi¶i.

Ta cã nhËn xÐt

| sin cos |

(sin cos )sin sin3

x x

x x x

x

  



  



 



Do phơng trình (1) tơng dơng với sin( )

sin cos 3

sin sin

sin cos sin( ) 1

3 sin

sin

x

x x

x x

x x x

x

x



  

  

   

 

 



 



 

   



   



   

  

 



2 sin

5

2 sin

x k

x

x k

x







  

  

  

 

   



    

   

 

2

5

2

x k

x k k

x k





  

 

  

     

   



VËy phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình:

8 10 10

sin cos 2(sin cos ) cos2

4

x x x x  x

(2) Gi¶i.

 2 (1 2sin )sin2 (2cos2 1)cos8 5cos

x x x x x

    

8

cos2 sin cos cos cos2

x x x x x

   

8

8

cos2

5

(sin cos ) os2 cos2 5

4 sin cos 4

4

x

x x c x x

x x

 



   

  



Giải (3) ta đợc  

2

2

x  k  x  k k 

Gi¶i (4): Ta cã nhËn xÐt

VT =  

8 8

sin x cos xsin x1 

v« nghiệm Vậy phơng trình có họ nghiệm

Nhn xét: Hầu hết phơng trình lợng giác dạng ban đầu cha thể khẳng định đợc có thuộc loại đánh giá hay khơng Tất đợc khẳng định sau biến đổi l-ợng giác mà biết

VÝ dơ 3: Gi¶i phơng trình

3

log sin

2

2

3.sin x x log (sin x 1) log sinx

   (3)

Giải.

Điều kiện sinx 0 Ta thÊy

3

2

log sin log sin x 2.2 x 2sin x

 

Ta cã

 

2 log sin

2

2

sin

3 3.sin log

sin

x x

x

x

 

  

(4)

Víi sinx0 ta cã

 

2

2

2

sin sin

sin 2sin log

sin sin

x x

x x

x x

 

    

Dấu = xảy

6

10 10

2

1 sin cos

(sin cos ) (1)

4 sin 4cos

x x

x x

x x



 



sin x 1 2sinx

 

(sinx 1) sinx *

    

Tõ (4) vµ (5)

2 3

3sin x 2sin x 2sin x 3sin x

      

2

(sinx 1) (2sinx 1) (6)

   

Do sinx 0 2sinx 1 (6)

2 (sinx 1)

sin ( ) (**)

2

x  x k  k 

Tõ (*) vµ (**) ta suy

2 ( )

2

x k  k 

là họ nghiệm phơng trình cho 2.6.2 Phơng trình lợng giác dạng Pitago.

2.6.3 VÝ dơ 1: Gi¶i phơng trình

6

10 10

2

sin cos

sin cos (1)

sin 4cos

x x

x x

x x



 

 Gi¶i:

Ta cã nhËn xÐt :

VP=  

2

3 2

2

2 2

3 sin

(sin cos ) 3sin cos 4

4 3sin 4 sin cos 3sin

x

x x x x

x

x x x



 

 

Mặt khác:

10

10 10 2

10

cos cos 1

(sin cos ) (sin cos )

4 4

sin sin

x x

VT x x x x

x x

 



     



 



Do đó: (1)

10

10

cos

cos

cos cos

4 sin sin sin

sin

x x

x x

VT

x

x x

x

   

 

 

     



 



 



  

cos

sin 2 ( )

sin

x

x x k x k k

x

 

 

        

 



Nh vËy b»ng nhËn xÐt

2

cosn x cos x , sinnx sin x n( 2, n )

   và ta giải toán cách dễ dàng

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

2007 2008 sin x cos x1 Gi¶i: Ta cã:

2

2007

sin sin sin sin sin

sin sin ( )

x x x x x

x x a

      

 

2

2008

cos cos cos cos cos

cos cos ( )

x x x x x

x x b

      

 

Tõ (a) vµ (b)

2007 2008 2

sin x cos x sin x cos x

    

DÊu “=” x¶y

3

3

sin sin

sin sin sin

sin cos

cos cos

2 cos

x

x k x

x x x

k

x x k

x

x x

x

 

  

   

   

  

       



  



 

 

  



  



2.6.3 Sử dụng bất đẳng thức Cosi: Ví dụ 1: Giải phơng trình:

8

sin cos (1)

x  x 

Gi¶i:

Cách 1: Sử dụng giải PTLG hỗn hợp chứa biểu thức đối xứng sin ,cosx x Ta có:

8 4 4

2

2 2 2 4

2 4

sin cos (sin cos ) 2sin cos (sin cos ) 2sin cos 2sin cos

1 1

(1 sin ) sin sin sin

2 8

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

   

 

    

     

Lúc (1)

4 4

1

sin sin sin 8sin

8 x x x x

       

 

2

2

sin

cos4 sin ( )

4

2

x

x

x vn

x  k x  k k

 

 



 

       

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cosi Ta có nhận xét

8 4

8 4

1 1

cos ( ) ( ) ( ) cos

2 2

1 1

sin ( ) ( ) ( ) sin

2 2

x x

x x



   

  

    

Céng vÕ víi vÕ

8 2

sin cos ( ) (sin cos )

2

x x x x

    

8

sin cos

x x

  

Do đó: (1)

8

2

8

1 cos ( )

1

2 sin 2 cos 2 cos 4 0

1

sin ( )

x

x x x

x



 



      

 

 

4 ( )

2

x  k x  k k

     

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

1

(tan cot ) sin cos 2, (2)

4

n n n

x  x  x  x n n 

Gi¶i:

§iỊu kiƯn:

cos

sin 2 ,

sin

x

x x k x k k

x

 

 

      



 



+) Với n 2 phơng trình cho trở thành

2 2

1

(tan cot ) sin cos

4

x  x  x  x 

Ta cã:

2 2

(tan cot ) tan cot

6

x  x  x  x  

DÊu “=’’ x¶y ra:

2

tan cot

6

tan tan ( )

2

x x

x  x  k k

 

      

+) Víi n2 ta cã

1

| tan cot | (| tan | | cot |)

4

n n

x  x  x  x 

(Theo bÊt d¼ng thøc Cosi) Mặt khác: n

2

2 |sin | sin

|sin | | cos | | cos | cos

n

n n

n

x x

x x

x x

 



  



 

1 |sin cos | |sin | | cos | | tan cot |

4

nx nx nx nx x x n

     

DÊu “=” x¶y

2 | sin | sin

| cos | cos 2

1

| tan | | cot | | tan | | cot |

4

n n

x k

x x

x k

x x

x x x x

 

  





 





  

    

 

   



Hệ vô nghiệm

Vy phng trỡnh cho có hai họ nghiệm 2.6.3 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Ví dụ 1: Giải phơng trình

2

sinx  sin x sinx sin x 3

(1) Gi¶i:

Ta cã:

 

2 2

2 2

(1.sin sin sin sin )

(1 sin sin ) sin sin

VT x x x x

x x x x VT

     

         

Vậy phơng trình có nghiệm

sin ( )

2

x x  k k

       VÝ dụ 2: Giải phơng trình :

2

tanx  tan 2x  cot 3x Giải:

Điều kiện

cos sin 4 0

cos2 1

cos3

sin

x x

x

x x



  

 

 

 

    

 Ta cã:

tan tan

tan (2 )

1 tan tan cot

tan tan tan cot cot tan

x x

x x

x x x

x x x x x x



  



   

2 2 tan tan x x  tan cot3x xcot3 tanx x tan x tan 2x cot 3x

DÊu “=” x¶y  tanx tan 2x cot 3x

2 tan

tan tan tan

1 tan cot tan

cot tan tan

cot cot

x

x

x x

x

x x

x x

x x k

x x

 

 

 



   



  



 

 

   

 

 

Hệ phơng trình vơ nghiệm Vậy phơng trình cho vơ nghiệm 2.7- Dùng phơng pháp khảo sát hàm số

Phơng pháp ta dùng tính chất biến thiên ( đồng biến hay nghịch biến) cực trị hàm số để tìm nghiệm phơng trình Để hiểu rõ vấn đề ta xét số ví dụ cụ th

Ví dụ 1: Giải phơng trình:

1 cos (1)

2

x

x x 

   

Phơng trình cho tơng đơng với

1 cos

2

x

x

  

XÐt hµm sè

2

'

( ) cos ( ) sin

2

x

f x    x  f x  x  x

"

( ) cos 0 ;

2

f x x x   

       

 

B¶ng biÕn thiªn x

0  ( )'

f x  ( )''

f x

0

2   ( )

f x

0

8

Dựa vào bảng biến thiên ta suy

( ) 0 ;

2

f x    x   

 

Vậy phơng trình cho có nghiệm x0 Ví dụ 2: Giải phơng trình:

2 cos 2

1 sin sin cos

2

x

x x x

  

(2) Gi¶i:

Ta cã : (2) 

2 cos 2

2sin 2x x sin 2x 2(1 cos2 ) 2x

   

cos 2

cos

cos

cos

(1 cos2 )( (1 cos ) 2(1 cos ) (1 cos2 ) (1 cos )

(1 cos2 )(2 cos 1)

1 cos (2)

2 cos (3)

x x x

x

x x x

x x

x x

x x

      

 

       

    

 

  

  



Ta cã: (2)  cos 2x  1 2x k 2 x k k (4)

Đặt cos 2x t t phơng trình (3) trở thành ( )

t

f t   t 

Rõ ràng f t( ) hàm số đồng biến  Lại có f(0) 0  t 0 nghiệm (3) 1; 1

Víi t 0 ta suy

cos 2 ( ) (5)

2

x  x  k  x k k 

Từ (4) (5) suy phơng trình cho có hai tập nghiệm Ví dụ 3: Giải phơng trình :

log2 sin x(4 sin ) log 5 x  (1) Gi¶i:

Ta cã:

3 5

5

log (4 sin )

(1) log log (4 sin ) log 5.log (2 sin )

log (2 sin )

x

x x

x



     



 

5

log sinx log (2 sin )x

 

Đặt log sin5 x log (2 sin )3  x t

Lúc ta có:

2 sin sin

t t

x x

   



 



1

2 2( ) ( ) (3)

5

t t t t

     

XÐt hµm sè

1

( ) 2( ) ( )

5

t t

f t  

Ta thÊy r»ng f t( ) hàm nghịch biến

(1)

f   t lµ nghiƯm phơng trình (3)

Với t1 vµo (2) ta cã

sin ( )

2

x  x  k  k

Vậy phơng trình có họ nghiệm nhÊt

Nhận xét: Phơng trình f x( ) m f x( ) hàm đồng biến (hoặc nghịch biến ) miền xác định phơng trình , có nghiệm nghiệm

Phơng trình f x( ) g x( ) miền xác định phơng trình ,2 hàm số ( )

f x g x( ) có tính đồng biến nghịch biến trái ngợc ,nếu có nghiệm nghiệm ú l nht

Ví dụ 4: Giải phơng tr×nh :

2

sin cos

n

nx n x n

  víi 0 x 2 ,n 

  

Giải: Xét hàm số

2 ( ) sin cos

n

n n n

f x x x



   víi 0 x 2 ,n 

  

Ta cã

1 2

( )' sinn cos sin cosn sin cos (sinn cosn )

f x n  x x n x  x n x x  x  x

   

2

( )' sin cos

4

n n

f x  x  x x 

     

B¶ng biÕn thiªn:

x

0 

 ( )'

f x   ( )

f x

2

n

Dựa vào bảng biến thiên

2 ( ) ( )

4

n

f x f 



Từ ta có

2 ( )

4

n

f x x 



     0; 2

Vậy phơng trình có nghiƯm nhÊt lµ:

x

Nhận xét : Với phơng pháp khảo sát hàm số ta thờng áp dụng để chứng minh nghiệm duy ta nhẩm nghiệm dựa vào bảng biến thiên để suy nghiệm ph-ơng trình Do địi hỏi học sinh cần tinh ý xem tốn nên áp dụng phph-ơng pháp Đặc biệt phơng pháp thờng đợc áp dụng để tìm nghiệm PTLG dng i s

2.8- Biện luận phơng trình lợng gi¸c chøa tham sè

Cũng nh phơng trình có chứa tham số khác ,việc giải biện luận PTLG có chứa tham số quan trọng chơng trình tốn phổ thơng nh đề thi Đại Học.Thờng tốn lợng giác chứa tham số yêu cầu tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm tìm điều kiện tham số để phơng trình có n nghiệm thuộc khoảng D Để có nhìn tổng quan phơng pháp giải phơng trình ta xét dạng

Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệmx D

Cho phơng trình Q m x( , ) (1) phụ thuộc vào tham số m ,x D Tìm m để phơng trình có nghiệm

Cách 1: Phơng pháp đạo hàm

Bớc 1: Đặt ẩn phụ t h x( ) h x( ) biểu thức thích hợp phơng trình (1)

Bớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t tập xác định D Gọi miền giá trị

t lµ D1

Bíc 3: Đa phơng trình (1) phơng trình f m t( , ) 0

Bíc 4: LËp b¶ng biến thiên hàm số f m t( , ) trªn miỊn D1

Bớc 5: Căn vào bảng biến thiên kết bớc mà định giá trị m Cách 2: Phơng pháp tam thức bậc hai

( ¸p dụng đa Q m x( , ) dạng tam thøc bËc hai )

Bớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t tập xác định D Gọi miền giá trị t l D1

Bớc 3: Đa phơng trình (1) phơng trình

2

( , )

f m t at bt c 

Bớc 4: Giải tìm điều kiện để tam thức f m t( , ) có nghiệm t U Bớc 5: Kết luận

Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình có nghiệm

0;

x  

 

2

cos 4sin cos

m x  x x m   (1) Gi¶i:

Víi

0;

x  

   cosx 0.

Chia hai vế phơng trình cho

cos x 0 ta đợc

2

4tan ( 2) (1 tan )

( 2) tan tan 2 (2)

m x m x

m x x m

    

  

Đặt t tanx

0;

x  

  nên t 0; 1 ta đợc

 

(m 2) t  t 2 m 0

Khi (1) có nghiệm

0;

x  

Cách 1: +) Với m 0  m 2, (3) có dạng  

1

4 0 ;

2

t t

      Vậy m2 thỏa mãn đề

+)Với m 0  m 2 (3) có nghiệm t 0; 1  (3) có nghiệm  0; 1 (3) có nghiệm  0; 1

2

(3 8)(2 2) (1) (2)

'

8

(1) (3 8)( 2) 1

3

(0) ( 2)(2 2)

2

0 1

2

m m

f f

m m

af m m m

af m m

S

m

  

  

 

    

 





 

     

      

     



 



      

 

  

 

VËy víi

8

3

m



phơng trình có nghiệm

0;

x  

 

C¸ch 2: Viết lại phơng trình dới dạng :

2

2

2

t t

m t

   

Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm

0;

x  

 

 đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số

2

2

2

t t

y

t

  

 trªn 0 ;1

XÐt hµm sè (C)

2

2

2

t t

y

t

  

 trªn 0 ;1

Đạo hàm

2 2

4 4( 1)( 2)

' 0;1

( 2) ( 2)

t t t t

y t

t t

     

    

 

tức hàm số đồng biến 0 ;1

Do đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số(C) khoảng 0 ;1

(0) (1)

3

y m y m

     

VËy víi

8

3

m

phơng trình có nghiÖm

0;

x  

Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

4 6

4(sin xcos ) 4(sinx  xcos ) sin 4x  x m (1) Gi¶i:

Ta có:

6

4

2

3

sin cos sin

4

sin cos sin

2

sin 4sin 4sin

x x x

x x x

x x x

     

 

Do phơng trình đợc biến đổi dạng

 

2 2

4

3

4(1 sin ) 4(1 sin ) 4sin 4sin

4

4sin sin

x x x x m

x x m

     

  

Đặt

2

sin

t x  t Khi phơng trình có dạng 4t2  3t m (2) Cách 1: phơng trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm 0 ; 1

 (2) cã nghiƯm hc (2) cã nghiƯm 0 ; 1

(0) (1)

(1 )

' 9 16 0

0

9

(0) 0 1

9

16

(1) 1 0

16

0 0 1

2 8

f f

m m

m m

af m m

m

af m

S

 

  

 

 

  

      



   



         



   

 

    



 

  

   

 

 

VËy víi

1 16 m   

phơng trình có nghiệm

Cỏch 2: Phơng trình (1) có nghiệm  đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số

2

4

y t t

trên đoạn 0;1 XÐt hµm sè

2

4

y t t đoạn 0;1

Đạo hàm

3 ' , '

8

y  t y   t 

t

  0

3

8  '

y  

y

16 

Dựa vào bảng biến thiên ta đợc điều kiện

1 16 m   

VËy víi

1 16 m   

th× phơng trình có nghiệm Ví dụ 3: Cho phơng trình

2

cos2x m tan cos x x (1)

Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc 0;

3       Giải:

Điều kiện

cos (*)

tan

x x

 

Đặt ttanx

2 cos2

1

t x

t

 

 vµ

2 cos

1

x

t

 

Khi phơng trình có dạng

2

2

1

1 1

1

t

m t t m t

t t



     

 

V×

0;

x  

  suy t0 ; 3

Do 1 t nên phơng trình đợc viết lại dới dạng (1 t) t m

Để phơng trình (1) cã nghiÖm

0;

x  

0 ;

t 

  , suy đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số y  (1 t) 1t trên đoạn ;

 

 

XÐt hµm sè y  (1 t) 1t D ; Đạo hàm

1 2(1 )

'

2 2

t t t t

y t t D

t t t

      

       



Hàm số nghịch biến

Do điều kiện f( 3) m f(0) (1 3) 1  m Vậy với (1 3) 1  m thoả mãn điều kiện đề

Nhận xét: Với toán dạng cần phải nhớ đặt ẩn phụ, ta nên nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ từ ta xét điều kiện cho ẩn ban đầu

Dạng 2: Tìm điều kiện để phơng trình có k nghiệm thuộc D

Cho phơng trìnhQ m x( , ) (1) phụ thuộc vào tham số m , x D Tìm m để phơng trình có k k( 1) nghim thuc D

Cách giải:

Cách 1: Phơng pháp đạo hàm

Bớc 1: Đặt ẩn phụ t h x( ) h x( ) biểu thức thích hợp phơng trình

Bớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t tập xác định D Gọi miền giá tr ca t l U

Bớc 3: Đa phơng trình (1) phơng trình f m t( , )

Bớc 4: Tìm mối tơng quan số lợng t U x D phơng trình t h x( ) Hay nãi thĨ h¬n xét xem với to U phơng trình to h x( ) cã bao nhiªu nghiƯm

x D

Bớc 5: Lập bảng biến thiên hàm sè f m t( , ) trªn miỊn U

Bớc 6: Căn vào bảng biến thiên kết bớc mà xác định giá trị m Cách 2: Phơng pháp tam thức bậc hai

Bớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t tập xác định D Gọi miền giá trị t U

Bíc 3: Đa phơng trình phơng trình bậc hai theo t

Bớc 4: Tìm tơng quan số lợng t U x D phơng trình t h x( ) Hay nói cụ thể xét xem với to U phơng trình to h x( ) cã bao nhiªu nghiƯm

x D

Bớc 5: Giải tốn tìm điều kiện để tam thức f m t( , ) có đủ nghiệm t U gây nên k nghiệm x D

Chó ý: Gọi k số nghiệm phơng trình Q x( ) D, m số nghiệm phơng trình t h x( ) D, n số nghiệm phơng trình f t( ) U k m n

Ví dụ 1: Cho phơng trình

3

cos xsin x m (1)

Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

; 4

x    

 

Gi¶i:

Ta cã : (1) (cosx sin )(1 cos sin )x x x m Đặt

2

cos sin cos( ) sin

4

t x x x  x  t

Víi

0 cos( )

4 x x x t

    

             

Khi phơng trình (1) trở thành

2

1

1 (1 )

2

t   t  m t t  m

Ta nhận thấy với giá trị t0; 2 phơng trình

2 cos( )

t  x

cã

đúng nghiệm

; 4

x    

Do (1) có nghiệm phân biệt

; 4

x    

  (2) có nghiệm 0; 2

t

XÐt hµm sè

3 ( )

f t  t t víi t0; 2

2

( )' 3 ( )'

f t   t f t t

Bảng biến thiên t

0 f t( )'  

( )

f t

0 Dựa vào bảng biến thiên suy (2) có nghiệm t0; 2

2

2 2

2

m m

    

Vậy giá trị m cần tìm

1 m Ví dụ 2: Cho phơng trình

tan tan

(3 2) x (3 2) x

   

Tìm m để phơng trình có nghiệm

; 2  

 

  

 

Gi¶i : §iỊu kiƯn

cos

2

x  x k k 

Ta thÊy

tan tan

(3 2) x.(3 2) x

  

Do đặt

tan

(3 2) x

t   t  th×

tan (3 2) x

t

 

Khi phơng trình có dạng

2

1

t m t mt

t

Cách 1: Để phơng trình có nghiệm

( ; ) 2    

(2)

 cã nghiƯm d¬ng ph©n biƯt 

2

0

(0)

/ /

m

af m

S m



   



 

    

 

   

 

Vậy với m2 thoả mãn điều kiện đầu Cách 2: Để phơng trình có nghiệm ( 2; )

   

 đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số

1

y t t



(0;) điểm phân biệt XÐt hµm

1

y t t



D(0;)

Đạo hàm 2

1

' ' 1

y y t

t t

         B¶ng biÕn thiªn :

t    '

y  

y   

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m2 thoả mÃn điều kiện toán Ví dụ 3: BiÖn luËn theo m sè nghiÖm

3 0;

2      

cña phơng trình msinxcosx2m (1)

Giải:

Biến đổi phơng trình (1) dạng

cos cos (2 sin )

2 sin

x

m x m

x

   



Số nghiệm phơng trình số giao điểm đờng thẳng y m Với đồ thị hàm số

cos sin

x y

x



 trªn

3 0;

2

D  

 

XÐt hµm sè

cos sin

x y

x



 Miền xác định

3 0;

2

D  

Đạo hàm

2

sin (2 sin ) cos cos 2sin '

(2 sin ) (2 sin )

x x x x x

y

x x

   

 

 

1 ' 2sin sin

2

y    x  x

víi x D ta cã

6

x x

  

    

Bảng biến thiên:

x

0 

6 

2 

'

y +  

y

3 0

2

3 

KÕt luËn:Víi

1

m

phơng trình vô nghiệm Với

1

m

hc

1

2

m

phơng trình cã nghiƯm D Víi

1

0

3 m

  

hc

1

2  m phơng trình có nghiệm D

Nhn xột chung: Khơng có phơng pháp giải cụ thể cho tốn lợng giác Vì việc nắm phơng trình lợng giác số phơng trình lợng giác thờng gặp điều cần thiết, đồng thời ta phải nắm vững phơng pháp giải số phơng trình lợng giác khơng mẫu mực để có hớng đắn cho toán

Bài tập củng cố:

Giải phơng trình sau 1

2

sin ( ) 3sin

2 x x



    

2

8cos ( ) cos3

3

1 cot tan

sin

x x

x

 

4

1 sin( ). tan cos

1 x 3.4 x x

 

 

5

4

sin sin log x.log x 4

6 2

3sin 2sin

( ) 2

sin cos

7

log log

x x

x x

x x



  

7

sin 5sin cos3

3

x  x  x

   

   

   

   

8

6

32sin sin

4

x  x

 

  

   

9

sin sin sin

4

x  x x 

   

  

   

   

10

2

2

1

18cos 5(3cos )

cos cos

x x

x x

    

11 cosx 4cos 2x 3 cosx 4cos 2x 5 12 sinx cosx 4sin 2x1

13

2 cos tan

1 sin

x x

x

 



14    

sin sin

7 4

x x

   

15

cot cos

3

2log x log x

 16

2

(3sin 2) 2

log x 3cos x



17

( cos 1)

log

2 x 2cosx

18

3

cos 2x cos6x4(3sinx 4sin x1) 0 19 3sinx  2sin2x 4cosx 6

20 4sin2xsin 33 x4sin sin 3x x 21

2 2 cos 2sin 2 0

22 sinxsinysinz 6 sin  x  sin y  sin z 23

5 sin sin sin3

2

x x x

24

1

cot cot

sin3 sin sin

x x

x x x

  

25 cosx sin 2x sinx cosx 4 26

2 2 sin 1 0

x  x xy 

27

4

4

1 sin

sin cos

sin cos

y

x x

x x

    

28

3 3 81

sin sin cos cos cos

2 2

x x x x

x

 

   

   

   

   

29 cosx 4cos 2x 3 cosx 4cos 2x 5 30 sinxcosx  sin x2cos2x 2

31

3

8cos

sin cos

x

x x

 

32

1 1 tan tan

cos cos2 cos cos3 sin

x x

x x x x x



 



33

6

2008 2008

4

sin cos

sin cos

3cos cos cos2

x x

x x

x x x



 

 

34

3 sin cos sin cos sin cos ln

4 sin cos

x x

x x x x

x x

 

   

 35

sin

2

log log

sinx3 x (sin )x

37 Cho phơng trình mcosx 2cosx cos4x1 Xác định m để phơng trình có nghiệm

;

x    . 38 Cho phơng trình 4(cosx sin ) sin 2x  x m

39 Cho phơng trình

3 2

sin (3 4)sin cos (3 7)sin cos ( 3)cos

m x m x x m x x m x

Xác định m để phơng trình có nghiệm phân biệt thuộc

;0   

     . 40 Cho phơng trình

sin ( 1)cos

cos

m

m x m x

x

  

a Xác định m phng trỡnh cú nghim

b Giả sử mlà giả thiết làm cho phơng trình có nghiệm x x1, 2 tho¶ m·n

2

x x  k

TÝnh cos2(x1x2) theo m 41 Cho ph¬ng tr×nh

4

(cosx 2) (1 cos ) x m

Xác định m để phơng trình có nghiệm 42 Cho phơng trình sin 4x m tanx

Xác định m để phơng trình có nghiệm x k k (  ) 43 Cho phơng trình sin3x m cos2x (m1)sinx m 0(1)

Xác định m để phơng trình (1) có nghiệm

0;

x  

 

44 Cho phơng trình

2

( 1) tan

cos

m x m

x

   

Xác định giải thiết m để phơng trình có nhiều nghiệm

0;

x  

 . 45 Cho phơng trình

2

cos2 2( 1)sin

2

x

x m  m 

Xác định m để phơng trình có nghiệm

; 3

x    

 