BAI 3: PHƯƠNG TRINH LƯƠNG GIAC KHÔNG MÂU MƯC Trong giai toan ta thương găp môt sô phương trinh ma cach giai ñăc thu cua tưng phương trinh, co thê goi đo la phương trinh khơng mâu mưc Môt sô PTLG thê hiên tinh không mâu mưc dang cua chung, cung co phương trinh ma thoat trông thây rât binh thương cach giai lai không mâu mưc (hay cach giai không mâu mưc thương hay hơn, gon cach giai mâu mưc) Trong dang phương trinh phương phap ñanh gia bât ñăng thưc rât thương găp No gôm môt sô dang nho sau: I PHƯƠNG PHAP TÔNG BINH PHƯƠNG: A = A + B2 = ⇔ B = Hê qua: f1 ( x ) = n f ( x ) = fi ( x ) = ⇔ ∑ i=1 f ( x ) = n Vơi fi ( x ) ≥ 0, i = 1, n Bài toán 1: Giai phương trinh: x + x sin ( xy ) + = (1) Giai x + x sin ( xy ) + = (1) ⇔ x + sin ( xy ) + cos x = x = −1 y = − π + k 2π Vơi ( k , l ∈ ⇔ = x π y = − + l ∈ x + = sin ( xy ) = ⇔ x − = sin ( xy ) = −1 ) Nhân xet: đơi vơi tốn ta dê nhin thây dang cua no no trơ nên dê dang Do đo mơt kinh nghiêm giai toan loai co le la cân thân nhân dang no Thưc hiên ñươc bươc bai toan xem ñươc giai khoang phân Bài toán 2: Giai phương trinh: cos x + cos x + cos x = −7 Giai cos x + cos x + cos x = −7 ⇔ ( cos x + 1) + ( cos x + ) + ( cos x + 1) = DeThiMau.vn ! "# $ % &' ( 1 + cos x = ⇔ 1 + cos x = 1 + cos x = vơ nghiêm Vây phương trinh đa cho vơ nghiêm Nhân xet: Trong tốn ta đa sư dung mơt bât thưc quen thc cua lương giac: cos x ≤ Môt sô BðT lương giac thương dung ñê ươc lương: sin x ≤ , cos x ≤ , a sin x + b cos x ≤ a + b Nêu m, n la cac sô tư nhiên lơn thi sin m x ± cos m x ≤ sin x + cos x = II PHƯƠNG PHAP ðÔI LÂP: (Con co tên goi la phương phap găp cưa-chăn chăn dươi vê): A ≥ M A = M B ≤ M ⇔ B = M A=B Bài toán 1: Giai phương trinh: cos5 x + x = Giai cos5 x + x = ⇔ x = − cos5 x Vi −1 ≤ cos x ≤ ⇒ ≤ x ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ π π Ma [ −1,1] ⊂ − ; ⇒ cos x >0 vơi −1 ≤ x ≤ 2 ⇒ − cos5 x + = , suy phương trinh vô nghiêm 2 4 Kêt luân: phương tinh đa cho vơ nghiêm Nhân xet: Bài tốn đa sư dung mơt phương phap tim nghiêm đai sơ ðo la phương phap chia khoang Phương phap thương ñươc dung cac bai toan giai phương trinh co tri tur đơi, co miên gia tri lơn xơn, hay cac bai toan bât phương trinh.đơi vơi phương phap ta chia miên xac ñinh tưng khoang ma khoang đo ham f khơng đơi dâu Bài tốn 4: Giai phương trinh: n n n tgx + cot gx = cos x + sin x ( n ∈ ; n >1) Giai cos x ≠ kπ ⇔x≠ ðiêu kiên: sin x ≠ Do tg va cotg cung dâu nên n n n tgx cot gx + cot = + cot tgx gx tgx gx =1 ≥2 4 Dâu ñăng thưc xay va vhi tgx = 1 1 cot gx ⇔ tg x = ⇔ tgx = ± ⇔ x = arctg ± + kπ 4 2 Vơi n ∈ ; n >1 ta xet vê phai : n = ⇒ sin n x + cos n x = sin + cos = DeThiMau.vn ! "# $ % &' ( n 1 ⇒ tgx + cot gx = ⇔ x = arctg ± + kπ 2 n >2 ta co: cos n x ≤ cos x sin n x ≤ sin x ⇒ cos n x + sin n x ≤ cos n x + sin n x ≤ cos x + sin x = kπ (loai) '='⇔ x= n kπ Vây cos x + sin x 2 phương trinh vô nghiêm., Kêt luân: nghiêm cua phương trinh la: 1 x = arctg ± + kπ , k ∈ 2 Nhân xet: qua toán ta thây viêc sư dung bât ñăng thưc kinh ñiên cac bai toan giup ta tim ñươc gia tri lơn nhât (hay nho nhât) cua mơt biêu thưc đê chăn no lai va ñem ap dung vao phương trinh bơi vi thơng thương điêu kiên xay đăng thưc không nhiêu giup ta co thê giai nhanh cac phương trinh Phương phap sư dung bât đăng thưc la mơt phương phap kinh điên đươc sư dung r t phơ biên Bài toán 5: Giai phương trinh: cos x.cos x.cos x + sin x.sin x.sin x = 1(1) Giai Sư dung bât ñăng thưc BCS ta co: cos x.cos x.cos 3x + sin x.sin x.sin 3x = 1(1) ⇔ cos x.cos x.cos x + sin x.sin x.sin x ≤ = ( cos ( cos x cos 2 x + sin x sin 2 x )( cos x + sin x ) x cos 2 x + sin x sin 2 x ) ≤ cos x + sin x = cos x cos x sin x = sin x sin x cos x ≥ ( ) '='⇔ 2 2 2 cos x cos x + sin x sin x = cos x + sin x ( 3) Ta xet ( 3) ⇔ sin x = ⇔ x = kπ thoa (2) Vây nghiêm cua (1) la: x = kπ , k ∈ Nhân xet: Bài tốn lam ta nhơ đên cac t ng hưu han bai trươc Ta cung co thê ap dung bât đăng thưc BCS (như Bài tốn nay) hay bât ñăng thưc Cauchy ñê tim ñươc gia tri nho nhât hay lơn nhât cua tơng đo ) * + DeThiMau.vn III PHƯƠNG PHAP PHAN CHƯNG: (Nguyên ly cưc biên) A ≤ A1 A=A1 ⇔ B ≤ B1 B=B1 A+B=A + B 1 Bài toán1: Giai phương trinh: sin12 x + cos16 x = Giai Ta co: sin12 x ≤ sin x ; cos16 x ≤ cos x ⇒ sin12 x + cos16 x ≤ 1∀x Vi thê sin12 x = sin x kπ ⇔x= sin12 x + cos16 x = ⇔ 16 (k ∈ 2 cos x = cos x ) Nhân xet: Bài tốn thc dang phương trinh tông quat sau: sin m x + cos n x = vơi m ,n tư nhiên m m sin x ≤ sin x sin x = sin x (1) ⇒ n Ta co: n 2 cos x ≤ cos x cos x = cos x ( ) Tư ño ta xet kha cho dang toan nay: 1.Nêu m,n cung chăn Khi ño: sin x = kπ sin x = ±1 ⇔x= (1)( ) ⇔ (k ∈ cos x = cos x = ±1 ) Nêu m,n cung le Khi ño: sin x = x = k 2π sin x = ⇔ (1)( ) ⇔ (k ∈ x = π + k 2π = cos x cos x = ) Nêu mchăn, n le Khi ño: sin x = sin x = ±1 ⇔ (1)( ) ⇔ cos x = cos x = x = k 2π (k ∈ x = π + k 2π Nêu m le, n chăn Khi ño: DeThiMau.vn ) ! "# $ % &' ( sin x = x = kπ sin x = ⇔ (1)( ) ⇔ (k ∈ x = π + k 2π cos x = cos x = ±1 ) Bài toán 2: Giai phương trinh: 1 + + =2 + cos x + cos x − cos x Giai cos x ≠ −1(1) ðiêu kiên: cos x ≠ −1( ) cos x ≠ 1( 3) ⇒ + cos x,1 + cos x,1 − cos x >0 Theo bât ñăng thưc Cauchy: (1 + cos x + + cos x + − cos x ) 1 + + ≥ ( 4) + cos x + cos x − cos x ðăt S = + cos x + + cos x + − cos x = + − 2sin 2 x = 2sin x sin x = 3+ = ⇒S≤ − ( sin x + cos x ) − 2sin 2 x − 2sin x sin x 2 1 − ( sin x + 2sin x ) − cos x 2 (5) 2sin x (1 + cos x ) = ( ) sin x + 2sin x = sin x = ⇔ ⇔ Dâu ñăng thưc xay ⇔ cos x = cos x = cos x = ( ) Hê phương trinh vô nghiêm ⇒ S < Tưc la 1 + + >2 + cos x + cos x − cos x Vây phương trinh đa cho vơ nghiêm ) * + DeThiMau.vn ... + > + = , suy phương trinh vô nghiêm 2 4 Kêt ln: phương tinh đa cho vơ nghiêm Nhân xet: Bài tốn đa sư dung mơt phương phap tim nghiêm đai sơ ðo la phương phap chia khoang Phương phap thương... xet: Bài toán co thê xem môt bai toan mâu Băng cach lâp luân tương tư ta giai ñươc cac phương trinh co dang tương tư: sin ax.sin bx = sin ax.sin bx = −1 cos ax.cos bx = cos ax.cos bx = −1 Bài toán. .. cos m x ≤ sin x + cos x = II PHƯƠNG PHAP ðÔI LÂP: (Con co tên goi la phương phap găp cưa-chăn chăn dươi vê): A ≥ M A = M B ≤ M ⇔ B = M A=B Bài toán 1: Giai phương trinh: cos5 x + x =