Ôn thi Đại học & Cao đẳng môn Toán - Chương VIII: Phương trình lượng giác không mẫu mực

CHÖÔNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TOÅNG HAI SOÁ KHOÂNG AÂM AÙ p duï n g Baø i 156... Phương pháp đối lập..[r]

CHÖÔNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TOÅNG HAI SOÁ KHOÂNG AÂM AÙ p duï n g Baø i 156 Ta coù : ⎧A ≥ ∧ B ≥ thì A = B = ⎩A + B = Neá u ⎨ Giaû i phöông trình: cos2 x + 3tg x − cos x + 3tgx + = (*) ( (*) ⇔ cos x − ) +( 3tgx + ) =0 ⎧ ⎪cos x = ⎪ ⇔⎨ ⎪tgx = − ⎪⎩ π ⎧ ⎪⎪ x = ± + k2π, k ∈ ⇔⎨ ⎪tgx = − ⎪⎩ ⇔x=− Baø i 157 π + k2π, k ∈ Giaû i phöông trình: cos 4x.cos2 2x + − cos 3x + = ( *) Ta coù : ( *) ⇔ cos 4x (1 + cos 4x ) + + − cos 3x = ⇔ ( cos2 4x + cos 4x + 1) + − cos 3x = ⇔ ( cos 4x + 1) + − cos 3x = 1 ⎧ ⎧ ⎪cos 4x = − ⎪cos 4x = − ⇔⎨ 2⇔⎨ ⎪⎩cos 3x = ⎪⎩3x = k2π, k ∈ ⎧ ⎪⎪cos 4x = − ⇔⎨ ⎪ x = k2π , k ∈ (có đầ u ngọ n cung) ⎪⎩ Lop12.net ⎧ = − cos 4x ⎪⎪ ⇔⎨ π 2π ⎪x = − +m2π hay x = m2π hay x = + m2π , m ∈ ⎪⎩ 3 2π ⇔x=± + m2π, m ∈ (ta nhậ n k = ±1 và loạ i k = ) Baø i 158 Giaû i phöông trình: sin 3x sin x + cos 3x sin3 x + sin 3x cos3 x ) = sin x sin 3x ( *) ( 3sin 4x Ta coù : cos 3x.sin3 3x + sin 3x.cos3 x = ( cos3 x − cos x ) sin x + ( sin x − sin x ) cos3 x = −3 cos x sin x + sin x cos3 x = sin x cos x ( cos2 x − sin x ) 3 sin 2x cos 2x = sin 4x Vaä y: ( *) ⇔ sin2 x + sin2 3x = sin x sin2 3x vaø sin 4x ≠ = 1 ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ sin2 3x − sin x ⎟ − sin4 3x + sin2 3x = vaø sin 4x ≠ 4 ⎝2 ⎠ ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ sin2 3x − sin x ⎟ + sin2 3x (1 − sin2 3x ) = vaø sin 4x ≠ ⎝2 ⎠ ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ sin 3x − sin x ⎟ + sin 6x = vaø sin 4x ≠ 16 ⎝2 ⎠ ⎧sin 4x ≠ ⎪1 ⎪ ⇔ ⎨ sin2 3x = sin x ⎪2 ⎪⎩sin 3x = ∨ cos 3x = ⎧sin 4x ≠ ⎧sin 4x ≠ ⎪ ⎪ ⎪1 ⇔ ⎨sin 3x = ∨ ⎨ = sin x ⎪sin x = (VN) ⎪ ⎩ ⎪⎩sin 3x = ±1 ⎧sin 4x ≠ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨sin x = ⎪ ⎪⎩3 sin x − sin x = ±1 Lop12.net ⎧sin 4x ≠ ⎪ ⇔⎨ ⎪⎩sin x = ⎧sin 4x ≠ ⎪ ⇔⎨ π 5π ⎪⎩ x = + k2π ∨ + k2π, k ∈ π 5π ⇔ x = + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ 6 Trường hợp Phương pháp đối lập ⎧A ≤ M ≤ B thì A = B = M ⎩A = B Neáu ⎨ Baø i 159 Giaû i phöông trình: sin x − cos4 x = sin x + cos x (*) Ta coù : (*) ⇔ sin x − cos2 x = sin x + cos x ⇔ − cos 2x = sin x + cos x ⎧⎪cos 2x ≤ ⇔⎨ ⎪⎩cos 2x = + sin x cos x ⎧⎪cos 2x ≤ ⎧cos 2x ≤ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩− sin 2x = sin 2x ⎩sin 2x = (cos 2x = ± ) ⇔ cos 2x = −1 π ⇔ x = + kπ, k ∈ Caùc h khaù c Ta coù sin x − cos4 x ≤ sin x ≤ sin x ≤ sin x + cos x Do đó Baø i 160: ⎧⎪cos x = π (*) ⇔ ⎨ ⇔ cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ ⎪⎩sin x = sin x Giaû i phöông trình: ( cos 2x − cos 4x ) = + sin 3x (*) Ta coù : (*) ⇔ sin2 3x.sin2 x = + 2sin 3x • Do: sin2 3x ≤ vaø sin2 x ≤ neâ n sin2 3x sin2 x ≤ • Do sin 3x ≥ −1 neân + sin 3x ≥ Vaäy sin2 3x sin2 x ≤ ≤ + 2sin 3x Dấu = phương trình (*) đú n g và Lop12.net ⎧sin 3x = ⎧sin x = ⎪ ⎨sin x = ⇔ ⎨ ⎩sin 3x = −1 ⎪sin 3x = −1 ⎩ π ⎧ π ⎪ x = ± + k2π, k ∈ ⇔⎨ ⇔ x = + k2π, k ∈ 2 ⎪⎩sin 3x = −1 cos3 x − sin x = cos 2x (*) sin x + cos x Ñieà u kieän : sin x ≥ ∧ cos x ≥ Ta coù : (*) ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = ( cos2 x − sin x ) sin x + cos x Baø i 161 Giaû i phöông trình: ( ⎡ cos x − sin x = ⇔⎢ ⎢⎣1 + sin x cos x = ( cos x + sin x ) sin x + cos x π Ta coù : i (1) ⇔ tgx = ⇔ x = + kπ, k ∈ i Xeù t (2) Ta coù : sin x ≥ thì sin x ≥ sin x ≥ sin2 x ( cos x ≥ cos x ≥ cos2 x sin x + cos x ≥ vaø sin x + cos x ≥ Vaäy Suy veá phaû i cuûa (2) thì ≥ Maø veá traù i cuûa (2): + sin 2x ≤ 2 Do đó (2) vô nghiệm π Vaäy : (*) ⇔ x = + kπ, k ∈ Tương tự Baø i 162: Giaû i phöông trình: Ta coù : (*) − cos x − cos x + = (*) ⇔ − cos x = + cos x + ⇔ − cos x = + cos x + cos x + ⇔ −2 ( cos x + 1) = cos x + Ta coù : −2 ( cos x + 1) ≤ ∀x maø cos x + ≥ ∀x Do đó dấ u = củ a (*) xả y ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , k ∈ Lop12.net ) (1) (2) ) Baø i 163: Giaû i phöông trình: cos 3x + − cos2 3x = (1 + sin 2x ) (*) Do bấ t đẳ n g thức Bunhiacố p ski: AX + BY ≤ neâ n : A + B2 X + Y cos 3x + − cos2 3x ≤ cos2 3x + ( − cos2 3x ) = Daáu = xaûy ⇔ cos 3x = − cos2 3x ⎧cos 3x ≥ ⇔⎨ 2 ⎩cos 3x = − cos 3x Maë t khaùc : ⎧cos 3x ≥ ⇔⎨ ⇔ cos 3x = ⎩cos 3x = ±1 (1 + sin 2x ) ≥ daá u = xaû y ⇔ sin 2x = Vaäy : cos 3x + − cos2 3x ≤ ≤ (1 + sin 2x ) daá u = cuû a (*) chæ xaû y khi: cos 3x = ∧ sin 2x = ⎧cos 3x = ⎪ ⇔⎨ kπ ⎪⎩ x = , k ∈ ( có đầ u ngọ n cung ) ⇔ x = 2mπ , m ∈ Baø i 164: π⎞ ⎛ Giaû i phöông trình: tg x + cotg x = sin5 ⎜ x + ⎟ (*) 4⎠ ⎝ Ñieà u kieän : sin 2x ≠ • Do bấ t đẳ n g thức Cauchy: tg x + cotg x ≥ daá u = xaû y tgx = cotgx π⎞ ⎛ • Maë t khaùc : sin ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ neâ n sin5 ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ daá u = xaû y sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ Do đó : tg x + cotg x ≥ ≥ sin5 ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ ⎧tgx = cotgx ⎪ Daáu = cuûa (*) xaû y ⇔ ⎨ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x + ⎟ = ⎝ ⎠ ⎩ Lop12.net ⎧tg x = ⎪ ⇔⎨ π ⎪ x = + k2π , k ∈ ⎩ π ⇔ x = + k2π, k ∈ Trường hợp 3: AÙp duïng: ⎧ A ≤ M vaø B ≤ M ⎧A = M thì ⎨ ⎩A + B = M + N ⎩B = N ⎧sin u = sin u + sin v = ⇔ ⎨ ⎩sin v = ⎧sin u = sin u − sin v = ⇔ ⎨ ⎩sin v = − ⎧sin u = − sin u + sin v = − ⇔ ⎨ ⎩sin v = − Neáu ⎨ Tương tự cho các trường hợp sau sin u ± cos v = ± ; cos u ± cos v = ± Baø i 165: Ta coù : Giaû i phöông trình: cos 2x + cos ( *) ⇔ cos 2x + cos 3x =2 3x − = ( *) 3x ≤1 neâ n daáu = cuûa (*) chæ xaû y ⎧ x = kπ , k ∈ ⎧cos 2x = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ x = 8mπ, m ∈ 8hπ 3x ⎪⎩cos = ⎪⎩ x = , h ∈ 8hπ 8h Do : kπ = ⇔k= 3 để k nguyê n ta chọ n h = 3m ( m ∈ Ζ ) ( thì k = 8m ) Do cos 2x ≤ vaø cos Caù c h khaù c ⎧cos 2x = ⎪ ⇔ ⎨ 3x cos = ⎪⎩ Baø i 166: ⎧ x = kπ , k ∈ ⎪ ⎨ 3kπ ⎪⎩cos = ⇔ x = 8mπ, m ∈ Giaû i phöông trình: cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x.cos 2x.cos 3x + ( * ) Lop12.net cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos 3x cos x + cos2 3x − = cos 3x ( cos x + cos 3x ) − = cos 3x.cos 2x.cos x − 1 Vaäy : cos 3x.cos 2x.cos x = ( cos 2x + cos 4x + cos 6x + 1) Do đó : ( *) ⇔ cos 2x + cos 4x + cos 6x = ( cos2x + cos 4x + cos6x ) + 4 ⇔ ( cos 2x + cos 4x + cos 6x ) = 4 ⇔ cos 2x + cos 4x + cos 6x = ⎧cos 2x = ⎧2x = k2π, k ∈ (1) ⎪ ⎪ ⇔ ⎨cos 4x = ⇔ ⎨cos 4x = (2) ⎪cos 6x = ⎪cos 6x = (3) ⎩ ⎩ ⇔ 2x = k2π, k ∈ ⇔ x = kπ, k ∈ ( Theá (1) vaøo (2) vaø (3) ta thaáy hieån nhieâ n thoûa ) Baø i 167: Giaû i phöông trình: cos 2x − sin 2x − sin x − cos x + = ( * ) Ta coù : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ cos 2x + sin 2x ⎟⎟ + ⎜⎜ sin x + cos x ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( *) ⇔ = ⎜⎜ − π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ = sin ⎜ 2x − ⎟ + sin ⎜ x + ⎟ 6⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ ⎧ π⎞ ⎛ π π ⎧ 2x − = + k2π, k ∈ ⎪sin ⎜ 2x − ⎟ = ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ π ⎪sin ⎛ x + π ⎞ = ⎪ x + = π + h2π, h ∈ ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎪⎩ 6⎠ ⎝ π ⎧ ⎪⎪ x = + kπ, k ∈ π ⇔⎨ ⇔ x = + hπ, h ∈ ⎪ x = π + h2π, h ∈ ⎪⎩ Caù c h khaù c ⎧ π⎞ ⎛ ⎧ π⎞ ⎛ sin ⎜ 2x − ⎟ = ⎪sin ⎜ 2x − ⎟ = ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ 6⎠ ⎝ ( *) ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎪sin ⎛ x + π ⎞ = ⎪ x + π = π + h2π, h ∈ ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎪⎩ 6⎠ ⎝ Lop12.net ⎧ π⎞ ⎛ ⎪⎪sin ⎜ 2x − ⎟ = ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪ x = π + h2π, h ∈ ⎪⎩ Baø i 168: ⇔x= π + hπ, h ∈ Giaû i phöông trình: cos x − cos 2x − cos 4x = ( * ) Ta coù : ( * ) ⇔ cos x − ( cos2 x − ) − (1 − sin 2x ) = ⇔ 4cosx − cos2 x + sin x cos2 x = ⇔ cos x = hay − cos x + sin x cos x = ⇔ cos x = hay + cos x ( sin2 x − 1) = ⇔ cos x = hay − cos x cos 2x = ( * *) ⇔ cos x = hay − ( cos 3x + cos x ) = ⇔ cos x = ∨ cos 3x + cos x = ⎧cos 3x = ⇔ cos x = ∨ ⎨ ⎩cos x = ⎧cos x = ⇔ cos x = ⇔ ⎨ ⎩4 cos x − cos x = ⇔ cos x = ∨ cos x = π ⇔ x = + kπ ∨ x = k2π, k ∈ Caùc h khaù c ( * *) ⇔ cos x = hay cos x cos 2x = ⎧cos x = ⎧cos x = − ⇔ cos x = ∨ ⎨ ∨⎨ ⎩cos 2x = ⎩cos 2x = − ⎧ x = k2π, k ∈ ⎧ x = π + k2π, k ∈ π ⇔ x = + kπ, k ∈ ∨ ⎨ ∨⎨ ⎩cos 2x = ⎩cos 2x = − π ⇔ x = + kπ ∨ x = k2π, k ∈ Baø i 169: Giaû i phöông trình: tg2x + tg3x + = ( *) sin x cos 2x cos 3x Ñieà u kieän : sin 2x cos 2x cos 3x ≠ Lú c đó : sin 2x sin 3x + + =0 ( *) ⇔ cos 2x cos 3x sin x.cos 2x.cos 3x ⇔ sin 2x sin x cos 3x + sin 3x sin x.cos 2x + = ⇔ sin x ( sin 2x cos 3x + sin 3x cos 2x ) + = Lop12.net ( loạ i ) ⇔ sin x.sin 5x = −1 ( cos 6x − cos 4x ) = −1 ⇔ cos 6x − cos 4x = ⇔− ⎧cos 6x = ⇔⎨ ⇔ ⎩cos 4x = −1 ⎧t = cos 2x ⎪ ⎨4t − 3t = ⇔ ⎪ ⎩2t − = −1 ⎧t = cos 2x ⎪ ⎨4t − 3t = ⎪ ⎩t = Do đó : (*) vô nghiệm Caùc h khaù c ⎧sin x = ⎧sin x = − ⇔ sin x sin 5x = −1 ⇔ ⎨ hay ⎨ ⎩sin 5x = − ⎩sin 5x = π π ⎧ ⎧ ⎪ x = + k2π, k ∈ ⎪ x = − + k2π, k ∈ hay ⎨ ⇔⎨ 2 ⎪⎩sin 5x = − ⎪⎩sin 5x = ⇔ x ∈∅ Baø i 170: Giaû i phöông trình: cos2 3x.cos 2x − cos2 x = ( * ) 1 (1 + cos 6x ) cos 2x − (1 + cos 2x ) = 2 ⇔ cos 6x cos 2x = 1 ⇔ ( cos 8x + cos 4x ) = ⇔ cos 8x + cos 4x = Ta coù : ( *) ⇔ ⎧cos 8x = ⇔⎨ ⎩cos 4x = ⎧2 cos2 4x − = ⇔⎨ ⎩cos 4x = ⎧cos2 4x = ⇔⎨ ⎩cos 4x = ⇔ cos 4x = ⇔ 4x = k2π, k ∈ kπ ,k ∈ ⇔x= Caùc h khaù c ⇔ cos 6x cos 2x = ⎧cos 2x = ⎧cos 2x = −1 ⇔⎨ hay ⎨ ⎩cos 6x = ⎩cos 6x = −1 Lop12.net ⎧2x = k2π, k ∈ ⎧2x = π + k2π, k ∈ ⇔⎨ hay ⎨ ⎩cos 6x = ⎩cos 6x = −1 kπ x= ,k ∈ Caùc h khaù c ⎧cos 8x = ⎧cos 8x = ⇔⎨ ⎨ ⎩cos 4x = ⎩4x = k2π, k ∈ kπ ⇔x= ,k ∈ Trường hợp 4: DUØNG KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ x y = a laø haøm giaûm 0< a <1 Do đó ta có sin x m cos x m < sin x n < co s x sin x m ≤ sin x cos x m ≤ co s x n ⇔ n > m, ∀x ≠ n π ⇔ n > m, ∀x ≠ + kπ , k ∈ π + kπ , k ∈ ⇔ n ≥ m, ∀x n ⇔ n ≥ m, ∀x x2 = cos x ( *) Baø i 171: Giaû i phöông trình: − x2 + cos x Ta coù : ( *) ⇔ = x2 y= + cos x treâ n R Xeù t Ta coù : y ' = x − sin x y '' = − cos x ≥ ∀x ∈ R vaø Do đó y’(x) là hà m đồ n g biế n trê n R Vaäy ∀x ∈ ( 0, ∞ ) : x > neâ n y ' ( x ) > y ' ( ) = ∀x ∈ ( −∞, ) : x < neâ n y ' ( x ) < y ' ( ) = Do đó : x2 + cos x ≥ ∀x ∈ R Vaäy : y = Daáu = cuûa (*) chæ xaû y taï i x = Do đó ( * ) ⇔ x = • Lop12.net Baø i 172: Giaû i phöông trình sin x + sin x = sin x + sin10 x (*) Ta coù ⎪⎧sin x ≥ sin x vaø daá u =xaû y vaø chæ sin x = 1hay sinx = ⎨ 10 ⎪⎩ sin x ≥ sin x vaø daá u =xaû y vaø chæ sin x = hay sinx = ⇔ sin x = ∨ sinx = ⇔x= ± π + k 2π ∨ x = k 2π , k ∈ Caù c h khaù c (*) ⇔ sin x = hay 1+ sin x = sin x + sin x ⇔ sin x = hay sin x =1 BAØI TAÄP Giaû i caù c phöông trình sau lg ( sin x ) − + sin x = π⎞ ⎛ sin 4x − cos 4x = + sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ sin2 x + sin 3x = sin x sin 3x sin x π = cos x cos x + sin 10x = + cos 28x sin x ( cos 4x − cos 2x ) sin x + cos x = ( − sin 3x ) sin 3x ( cos 2x − sin 3x ) + cos 3x (1 + sin 2x − cos 3x ) = tgx + tg2x = − sin 3x cos 2x 10 log a ( cot gx ) = log ( cos x ) = + sin 3x 12 ⎡ π⎤ 2sin x = cos x vớ i x ∈ ⎢0, ⎥ ⎣ 2⎦ 13 14 cos x + sin x = 13 cos 2x − cos 6x + ( sin 2x + 1) = 14 sin x + cos x = ( − cos 3x ) 15 sin x + cos3 x = − sin x 16 17 cos2 x − cos x − 2x sin x + x + = sin x + sin x = sin2 x + cos x 18 cot g x + cos2 x − cot gx − cos x + = 11 Lop12.net