Toán Kỳ thi chọn thi HSG - năm học 2016-2017 Thời gian : 12o phút Đề số 7: Bài Bài 2.: Bài 3: 1 1 2012 TÝnh P 2011 2010 2009 2011 a, Chứng minh tổng: 1 1 1 S n n 2002 2004 0,2 2 2 2 a c 5a 3b 5c 3d b, Chøng minh r»ng nÕu th× b d 5a 3b 5c 3d 1 1 49 a, Tìm x nguyên biết : 1.3 3.5 5.7 (2 x 1)(2 x 1) 99 b, T×m x biÕt x x c, T×m x biÕt: x x x Bài : : Bi : a) Tìm x nguyên để x chia hÕt cho x b) Tìm x Z để A Z tìm giá trị Tìm số tự nhiên n để phân số 7n có giá trị lớn 2n Bài : a) Sè A 101998 cã chia hÕt cho kh«ng ? cho kh«ng ? b) Chøng minh r»ng: A 3638 4133 chia hÕt cho Bài Chứng minh rằng: f(x) ax bx cx d có giá trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c d số nguyên Bài 8: Cho ABC cã Aˆ > 900 Gäi I lµ trung điểm cạnh AC Trên tia đối tia IB lÊy ®iĨm D cho IB = ID Nèi c víi D a Chøng minh AIB CID b Gọi M trung điểm BC; N trung ®iĨm cđa CD Chøng minh r»ng I lµ trung ®iĨm cña MN c Chøng minh AIB AIB BIC d Tìm điều kiện ABC để AC CD Hết - ThuVienDeThi.com H-dẫn giải : Đề7 1 1 2012 Bài : TÝnh P 2011 2010 2009 2011 HD: Nhận thấy 2011 + = 2010+2 = … 2012 2010 1 2011 2011 2012 2012 1 1 2012 2011 = 2012( ) 2011 2012 MS Bài a) Chứng minh tổng: 1 1 1 n n 2002 2004 0,2 2 2 2 2 a c 5a 3b 5c 3d b, Chøng minh r»ng nÕu th× b d 5a 3b 5c 3d a c HD : Đặt k a = kb, c = kd b d 5a 3b b(5k 3) 5k 5c 3d d (5k 3) 5k Suy : 5a 3b b(5k 3) 5k 5c 3d d (5k 3) 5k 5a 3b 5c 3d Vậy 5a 3b 5c 3d S Bài :Tìm x nguyên biết a) 1 1 49 1.3 3.5 5.7 (2 x 1)(2 x 1) 99 a) Tìm số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = b) Tìm x, y biết: 25 y 8( x 2012)2 HD : a) Từ x – y + 2xy = 2x – 2y + 2xy = (2x - 1)( 2y + 1) = 13 b) Từ 25 y 8( x 2012)2 y2 25 25 – y2 chia hết cho , suy y = y = y = , từ tìm x Bài 4: BI 5: a) Tìm x nguyên để x chia hÕt cho x b) Tìm x Z để A Z tìm giá trị A= 2x x 2( x 3) 2 HD: A = = x3 x3 x3 x3 7n có giá trị lớn 2n n 2(7 n 8) 14n 16 HD : Ta có (1 ) 2n 7(2n 3) 14n 21 14n 21 7n Để lớn lớn 14n 21 14n – 21 có giá trị nhỏ 14n 21 2n 21 n n nhỏ n = 14 Bài : a) Sè A 101998 cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? b) Chøng minh r»ng: A 3638 4133 chia hÕt cho Bài : Tìm số tự nhiên n để phân số ThuVienDeThi.com HD: a) Ta có 101998 = ( + 1)1998 = 9.k + ( k số tự nhiên khác không) = 3.1 + Suy : A 101998 = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho , khơng chia hết cho b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + ( k N*) 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – ( q N*) Suy : A 3638 4133 = 7k + + 7q – = 7( k + q) Bài 8: Chứng minh rằng: f(x) ax bx cx d có giá trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c d số nguyên HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d Nếu f(x) có giá trị nguyên với x d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d số nguyên Do d nguyên a + b + c nguyên (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên 2b nguyên 6a nguyên Chiều ngược lại cm tương tự Đề 19 : Bi 8: (3đ) Cho tam giác ABC có góc nhọn Dựng phía tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi M;N;P trung điểm BC; BD;CE a Chøng minh : BE = CD vµ BE víi CD b Chứng minh tam giác MNP vuông cân Li giải : DÔ thÊy ADC = ABE ( c-g-c) => DC =BE V× AE AC; AD AB mặt khác góc ADC = góc ABE => DC Víi BE b) Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN MP MN = 1 DC = BE =MP; 2 VËy MNP vuông cân M 21 Câu Cho ABC có A > 900 Gọi I trung điểm cạnh AC Trên tia đối tia IB lấy ®iĨm D cho IB = ID Nèi c víi D a Chøng minh AIB CID b Gäi M trung điểm BC; N trung điểm CD Chứng minh I trung điểm MN a b c Chøng minh AIB AIB BIC d Tìm điều kiện ABC để AC CD Li gii Tam giác AIB = tam giác CID cã (IB = ID; gãc I1 = gãc I2; IA = IC) Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c) ThuVienDeThi.com gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c) Gãc I3 = gãc I4 M, I, N thẳng hàng IM = IN Do vậy: I trung điểm MN c Tam giác AIB cã gãc BAI > 900 gãc AIB < 900 gãc BIC > 900 d NÕu AC vu«ng góc với DC AB vuông góc với AC tam giác ABC vuông A KT Bi Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE AB AC * Phân tích tìm lời giải a) Để cm AE = AF A ∆ANE = ∆ ANF ( c g c) Hoặc ∆AEF cân A ( Có AH vừa tia phân giác , vừa F đương cao) B C M b) Để cm BE = CF N cần tạo tam giác chứa BE( có cạnh = BE) mà tam giác MCF I E + Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆CMF( c g c) Để cm BEI ABF ( BE = CF ∆ BEI cân B E Có BIE AF E ∆AEF cân A cặp góc đồng vị ) mà E a) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC AE = AF AE = AB + AC hay AE AB AC Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A ( AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh : a) BA = BH ThuVienDeThi.com 450 b) DBK c) Cho AB = cm, tính chu vi tam giác B I DEK HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – K H góc nhọn) b) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với A D EK , cắt EK I C Ta có : ABI 900 , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh góc vng) B mà B B DBK 450 B c)Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = … = 2.4 = cm 450 chu vi ∆DEK = AB có chu vi * Từ ta thấy DBK ∆DEK = ta cm DBK 450 ThuVienDeThi.com E ... cho b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7. 185 + 1) 19 = 7. k + ( k N*) 4133 = ( 7. 6 – 1)33 = 7. q – ( q N*) Suy : A 3638 4133 = 7k + + 7q – = 7( k + q) Bài 8: Chứng minh rằng: f(x) ... 2( x 3) 2 HD: A = = x3 x3 x3 x3 7n có giá trị lớn 2n n 2 (7 n 8) 14n 16 HD : Ta có (1 ) 2n 7( 2n 3) 14n 21 14n 21 7n Để lớn lớn 14n 21 14n – 21 có giá... r»ng: A 3638 4133 chia hÕt cho Bài : T×m sè tù nhiên n để phân số ThuVienDeThi.com HD: a) Ta cú 101998 = ( + 1)1998 = 9.k + ( k số tự nhiên khác không) = 3.1 + Suy : A 101998 = ( 9.k + 1)