S Tr GIÁO D C VÀ ÀO T O HÀ N I ng THPT chuyên Hà N i – Amsterdam K THI OLYMPIC HÀ N I - AMSTERDAM MƠN TỐN L P 10 Ngày thi : 25/03/2011 Th i gian : 150 phút Bài (4 m) Cho ph a Gi i ph ng trình x2 + mx - = x - (1), v i m tham s ng trình (1) m = b Tìm t t c giá tr c a m đ ph Bài (4 m) Gi i h ph ng trình (1) có nghi m nh t ng trình ba n s x, y, z : 2011 ì x = y + ï y ï 2011 ï í2 y = z + z ï 2011 ï ï2 z = x + x î Bài (4 m) Cho s x, y th a mãn h ph ìmx - y = m - ng trình í v i m î x + my = 3m - tham s Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a bi u th c A = x2 + y2 + 10 x Bài (4 m) Cho tam giác ABC nh n không cân, n i ti p đ M tđ ng tròn tâm O ng th ng thay đ i, song song v i BC c t hai c nh AB, AC c a tam giác ng th ng c t cung AB AC t i m M N Các m I J l n l t tâm đ ng tròn n i ti p tam giác ABM CAN i m P m gi a cung BC (có ch a m A) Ch ng minh r ng ln có PI = PJ Bài (4 m) Xét tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c tho ìa < b a +b+c Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M = í b-a ợ f ( x ) ,"x ẻ ¡ H T - DeThiMau.vn mãn ÁP ÁN Bài 1: a Khi m = 2, ph x2 + x - = x - ng trình (1) tr thành é x = -2 + < ìï x ³ ïì x ³ Ûí Û Û (khơng tho mãn ê í 2 x + x = x x + x + x = ïỵ ïỵ êë x = -2 - < u ki n V y ph b Ph ng trình vơ nghi m ìï x ³ ìï x ³ Û í 2 ïỵ2 x + mx - = x - x + ïỵ x + ( m + ) x - = ng trình (1) Û í (* ) t x – = t (t ³ 0), (*) tr thành t + ( m + ) t + + m = u c u tốn tr thành, tìm m đ ph ng trình t + ( m + ) t + + m = có nghi m nh t t ³ Ta có = ( m + ) + > ,"m V y ph ng trình ln có nghi m phân bi t Xét hai tr ng h p: TH1: Ph ng trình có nghi m phân bi t trái d u Û P < Û + m < Û m < -1 TH2: Ph ng trình có nghi m, có nghi m b ng 0, nghi m cịn l i nghi m âm ì P = ìm = -1 Ûí Ûí V y m = - tho mãn S < m > ỵ ỵ K t h p tr ng h p ta có m £ -1 Bài Ta có x + y + 16 = x + y Û ( x - ) + ( y - 3) = 2 2 Áp d ng b t đ ng th c bunhiakôpxki cho c p s (x – 4; y – 3) (4; 3), ta có: ( x + y - 25)2 = éë ( x - ) + 3( y - 3) ùû 2 £ é( x - ) + ( y - 3) ù éë 42 + 32 ùû = 225 ë û Û x + y - 25 £ 15 Û -15 £ x + y - 25 £ 15 Û 10 £ x + y £ 40 ìx-4 y-3 ï = 32 ì x = ïï ïï 2 V y Amax = 40 í( x - ) + ( y - 3) = Û í ï4 x + y = 40 ï y = 24 ïỵ ï ïỵ DeThiMau.vn ìx-4 y-3 ï = ì x = ïï ïï 2 Amin = -15 í( x - ) + ( y - 3) = Û í ï4 x + y = 10 ïy = ï îï ïî Bài i u ki n : x , y , z ¹ D th y x, y, z d u Ta xét tr T ph ng h p x, y, z > ng trình h , áp d ng cauchy ta có x ³ a Û x ³ a T ng t ta có y³ a; z ³ a t f (t ) = t + ) a v i t ẻ ộ a ; +Ơ Ta ch ng minh đ c f(t) hàm đ ng bi n ë t ì2 x = f ( y ) ï H ph ng trình có d ng í y = f ( z ) Gi s x = max{x, y, z}, f(t) đ ng bi n nên ta có f(x) ï ỵ2 z = f ( x) ³ f(y) Þ 2z ³ 2x Þ z ³ x Þ z = x T ng t ta suy x = y = z éx = y = z = a V y h có nghi m ê êë x = y = z = - a Bài Áp d ng công th c trung n hai tam giác MAC MBD, ta có : AC BD 2 2 MA + MC = MO + ; MB + MD = MO + 2 A 45 2 BD AC Suy , MA + MC + MB + MD = MO + + = 2 B O D 2 AO + BO 2 2 4r + = 4r + AB = 4r + 2a 2 a suy M t khác ta có: 2r = M 2 ỉ a 5a MA + MC + MB + MD = ỗ ữ + 2a = ố2 2ứ C 2 Bài 5: Vì f ( x ) ³ 0,"x Ỵ ¡ suy a > b2 = b - 4ac £ Þ c ³ 4a V i < a < b c > suy M > DeThiMau.vn 2 b2 a +b+ a +b+c 4a + 4ab + b a t t = b – a > 0, ta có M = ³ = b-a b-a 4a ( b - a ) a + 6a ( b - a ) + ( b - a ) 9a + 6at + t = = 4a ( b - a ) 4at 9a + t 9a 2t 3 + ³ + = + =3 4at 2at 2 ì b2 ïc = ng th c M = đ t đ c í hay b = c = 4a >0 4a ït = b - a = 3a ỵ -H T DeThiMau.vn = = ... x + ïỵ x + ( m + ) x - = ng trình (1) Û í (* ) t x – = t (t ³ 0), (*) tr thành t + ( m + ) t + + m = Yêu c u tốn tr thành, tìm m đ ph ng trình t + ( m + ) t + + m = có nghi m nh t t ³ Ta có =...ÁP ÁN Bài 1: a Khi m = 2, ph x2 + x - = x - ng trình (1) tr thành é x = -2 + < ìï x ³ ïì x ³ Ûí Û Û (khơng tho mãn ê í 2 x + x = x x + x + x = ïỵ ïỵ êë x = -2... y-3 ï = 32 ì x = ïï ïï 2 V y Amax = 40 í( x - ) + ( y - 3) = Û í ï4 x + y = 40 ï y = 24 ïỵ ï ïỵ DeThiMau.vn ìx-4 y-3 ï = ì x = ïï ïï 2 Amin = -15 í( x - ) + ( y - 3) = Û í ï4 x + y = 10 ïy = ï ỵï