Đề thi OLYMPIC Hà Nội Amsterdam năm 2011 Toán 11 Chuyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM MÔN TOÁN CHUYÊN LỚP 11 Ngày thi : 25/03/2011 Thời gian : 180 phút Bài (4 điểm). Cho n số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: 10 - 70 - n.Cnn--13 = Cnn - - 20 . n-2 Giải phương trình 1Cn1 x (1 - x ) n -1 + 2Cn2 x (1 - x ) n-2 + 3Cn3 x3 (1 - x ) n -3 + + nCnn x n = n . ìï x0 = n Bài (4 điểm). Cho dãy số í . Tìm giới hạn lim x0 x1 x2 .xn . ïî xn +1 = xn - , n Î ¥ Bài (4 điểm). Cho hai dãy số nguyên dương { xn } ,{ yn } thoả mãn điều kiện ìï x1 , y1 ,x2 , y2 > í 2 * ïî xn + = xn + xn +1; yn + = yn + yn +1 , víi n Î ¥ Chứng minh với giá trị n đủ lớn xn > yn . Bài (4 điểm). Cho tam giác ABC nhọn đường cao AH, ( H Î BC ). Điểm P di chuyển đoạn AH. Gọi E F hình chiếu H lên AB AC. a. Chứng minh B, E, F, C nằm đường tròn tâm O’. b. Chứng minh đường thẳng PO’ luôn qua điểm cố định P di chuyển đoạn AH. Bài (4 điểm). Có hai cọc tiền xu, cọc có n đồng tiền cọc có k đồng tiền ( với n, k số nguyên dương). Một Rôbôt tự động chuyển tiền xu từ cọc sang cọc theo quy luật sau: Nếu cọc có số tiền chẵn chuyển nửa số tiền từ cọc sang cọc (nửa số tiền lại cọc tiền cũ); hai cọc có số tiền chẵn Rôbốt chọn ngẫu nhiên cọc chuyển trên. Quá trình kết thúc số đồng tiền hai cọc số lẻ. Tìm điều kiện cần đủ n k để Rôbốt ngừng làm việc sau hữu hạn lần chuyển vậy. --------Hết --------- . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM MÔN TOÁN CHUYÊN LỚP 11 Ngày thi : 25/03 /2 011 Thời gian : 180 phút Bài 1. vẫn ở cọc tiền cũ); khi hai cọc đều có số tiền chẵn thì Rôbốt chọn ngẫu nhiên một cọc và cũng chuyển như trên. Quá trình trên kết thúc nếu số đồng tiền ở hai cọc đều là số lẻ. Tìm điều kiện cần