Đề thi OLYMPIC Hà Nội Amsterdam năm 2011 Toán 10 Chuyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM MÔN TOÁN CHUYÊN LỚP 10 Ngày thi : 25/03/2011 Thời gian : 180 phút Bài (4 điểm). Cho n Î ¥ thoả mãn 3n + 3n +1 + 3n + + . + 32 n số phương. Chứng minh số n chia hết cho 4. Bài (4 điểm). Giải hệ phương trình ( ) ì y - ( x + 8) x2 + = ï í 2 ï y - ( x + ) 16 + 16 x - x = î ( ) Bài (4 điểm). Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn ìa < b . í f ( x ) ³ , " x Î ¡ î Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = a+b+c . b-a Bài (4 điểm). Cho tam giác ABC có O tâm đường tròn ngoại tiếp. Đường phân giác góc A theo thứ tự cắt đường thẳng vuông góc với BC B, C D E. Chứng minh đường thẳng AO, BE, CD đồng quy. Bài (4 điểm). Có hai cọc tiền xu, cọc có n đồng tiền cọc có k đồng tiền (với n, k số nguyên dương). Một rôbôt tự động chuyển tiền xu từ cọc sang cọc theo quy luật sau: Nếu cọc có số tiền chẵn chuyển nửa số tiền từ cọc sang cọc (nửa số tiền lại cọc tiền cũ); hai cọc có số tiền chẵn rôbốt chọn ngẫu nhiên cọc chuyển trên. Quá trình kết thúc số đồng tiền hai cọc số lẻ. Tìm điều kiện cần đủ n k để rôbốt ngừng làm việc sau hữu hạn lần chuyển vậy. ------------------HẾT--------------- . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM MÔN TOÁN CHUYÊN LỚP 10 Ngày thi : 25/03 /2011 Thời gian : 180 phút Bài. vẫn ở cọc tiền cũ); khi hai cọc đều có số tiền chẵn thì rôbốt chọn ngẫu nhiên một cọc và cũng chuyển như trên. Quá trình trên kết thúc nếu số đồng tiền ở hai cọc đều là số lẻ. Tìm điều kiện cần