Đề thi OLYMPIC Hà Nội Amsterdam năm 2011 Toán 10

S GIO DC V O TO H NI Trng THPT chuyờn H Ni Amsterdam K THI OLYMPIC H NI - AMSTERDAM MễN TON LP 10 Ngy thi : 25/03/2011 Thi gian : 150 phỳt Bi (4 im). Cho phng trỡnh x + mx - = x - (1), vi m l tham s. a. Gii phng trỡnh (1) m = 2. b. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú nghim nht. Bi (4 im). Gii h phng trỡnh ba n s l x, y, z : 2011 ỡ x = y + ù y ù 2011 ù . ớ2 y = z + z ù 2011 ù ù2 z = x + x ợ ỡmx - y = m - Bi (4 im). Cho s x, y tha h phng trỡnh vi m l ợ x + my = 3m - tham s. Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc A = x + y + 10 x. Bi (4 im). Cho tam giỏc ABC nhn v khụng cõn, ni tip ng trũn tõm O. Mt ng thng thay i, song song vi BC v ct hai cnh AB, AC ca tam giỏc. ng thng ny ct cỏc cung AB v AC ti cỏc im M v N. Cỏc im I v J ln lt l tõm cỏc ng trũn ni tip cỏc tam giỏc ABM v CAN. im P l im chớnh gia cung BC (cú cha im A). Chng minh rng luụn cú PI = PJ . Bi (4 im). Xột cỏc tam thc bc hai f(x) = ax2 + bx + c tho ỡa < b a+b+c . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc M = . b-a ợ f ( x ) ,"x ẻ Ă ------------------HT------------------- P N Bi 1: a. Khi m = 2, phng trỡnh (1) tr thnh 2x2 + x - = x - ộ x = -2 + < ỡù x ùỡ x (khụng tho 2 x + x = x x + x + x = ùợ ùợ ờở x = -2 - < iu kin. Vy phng trỡnh vụ nghim. ỡù x ỡù x 2 ùợ2 x + mx - = x - x + ùợ x + ( m + ) x - = b. Phng trỡnh (1) (* ) t x = t (t 0), (*) tr thnh t + ( m + ) t + + m = Yờu cu bi toỏn tr thnh, tỡm m phng trỡnh t + ( m + ) t + + m = cú nghim nht t 0. Ta cú = ( m + ) + > ,"m . Vy phng trỡnh luụn cú nghim phõn bit. Xột hai trng hp: TH1: Phng trỡnh cú nghim phõn bit trỏi du P < + m < m < -1 TH2: Phng trỡnh cú nghim, ú cú nghim bng 0, nghim cũn li l nghim õm. ỡ P = ỡm = -1 ớ . Vy m = - tho món. S < m > ợ ợ Kt hp trng hp trờn ta cú m Ê -1 . Bi Ta cú x + y + 16 = x + y ( x - ) + ( y - 3) = p dng bt ng thc bunhiakụpxki cho cp s (x 4; y 3) v (4; 3), ta cú: ( x + y - 25)2 = ộở ( x - ) + 3( y - 3) ựỷ 2 Ê ộ( x - ) + ( y - 3) ự ộở 42 + 32 ựỷ = 225 ỷ x + y - 25 Ê 15 -15 Ê x + y - 25 Ê 15 10 Ê x + y Ê 40 ỡx -4 y -3 ù = 32 ỡ x = ùù ùù 2 Vy Amax = 40 ớ( x - ) + ( y - 3) = ù4 x + y = 40 ù y = 24 ùợ ù ùợ ỡx -4 y -3 ù = ỡ x = ùù ùù 2 Amin = -15 ớ( x - ) + ( y - 3) = ù4 x + y = 10 ùy = ù ợù ùợ Bi iu kin : x , y , z 0. D thy x, y, z cựng du. Ta xột trng hp x, y, z > 0. T phng trỡnh h, ỏp dng cauchy ta cú x a x a .Tng t ta cú y a; z a . t f ( t ) = t + ) a vi t ẻ ộ a ; +Ơ . Ta chng minh c f(t) l hm ng bin. t ỡ2 x = f ( y ) ù H phng trỡnh cú dng y = f ( z ) . Gi s x = max{x, y, z}, f(t) ng bin nờn ta cú f(x) ù ợ2 z = f ( x ) f(y) ị 2z 2x ị z x ị z = x. Tng t ta suy x = y = z. ộx = y = z = a Vy h cú nghim ờở x = y = z = - a Bi p dng cụng thc trung tuyn hai tam giỏc MAC v MBD, ta cú : AC BD 2 2 MA + MC = MO + ; MB + MD = MO + 2 A 45 BD AC Suy , MA + MC + MB + MD = MO + + = 2 B O D AO + BO 2 2 4r + = 4r + AB = 4r + 2a . 2 a suy Mt khỏc ta cú: 2r = M ổ a 5a MA + MC + MB + MD = ỗ ữ + 2a = ố2 2ứ C b2 Bi 5: Vỡ f ( x ) 0,"x ẻ Ă suy a > v = b - 4ac Ê ị c . 4a Vi < a < b v c > suy M > 0. b2 a+b+ a+b+c 4a + 4ab + b a t t = b a > 0, ta cú M = = b-a b-a 4a ( b - a ) a + 6a ( b - a ) + ( b - a ) 9a + 6at + t = = 4a ( b - a ) 4at 9a + t 9a 2t 3 + + = + =3 4at 2at 2 ỡ b2 ùc = ng thc M = t c hay b = c = 4a >0 4a ùt = b - a = 3a ợ -----------------HT-------------- = = . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM MÔN TOÁN LỚP 10 Ngày thi : 25/03 /2011 Thời gian : 150 phút Bài 1 (4. trình (1) có nghiệm duy nhất. Bài 2 (4 điểm). Giải hệ phương trình ba ẩn số là x, y, z : 2011 2 2011 2 2011 2 x y y y z . z z x x ì = + ï ï ï = + í ï ï = + ï î Bài 3 (4 điểm). Cho 2 số x, y. x x m x * ³ ì ï Û í + + - = ï î Đặt x – 1 = t (t ³ 0), (*) trở thành ( ) 2 4 1 0 t m t m + + + + = Yêu cầu bài toán trở thành, tìm m để phương trình ( ) 2 4 1 0 t m t m + + + + = có nghiệm