Đề thi olympic truyền thống 304 môn Toán lớp 11 Bài 648120

Sở Giáo dục Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30–4 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MƠN TỐN LỚP 11 Số phách Đường cắt phách Số phách I Câu số 6: Cho dãy số (an) xác định bởi: a   an a n 1  , n  N * Chứng minh với số nguyên dương m, dãy số dư chia số hạng dãy số (an) cho m dãy kể từ số II Đáp án câu số 6: Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo m  N*  Khi m = 1, ta thấy mệnh đề  Giả sử mệnh đề đến m = k – (k ≥ 2), ta chứng minh mệnh đề với m = k Thật vậy: * Trường hợp k số chẵn: Viết k dạng k = 2p.q với p, q  N* q lẻ Ta có: q < k nên theo giả thiết quy nạp, tồn số r cho với: i, j  N*, i > j > r ta có:  aj (mod q) Mặt khác với i, j  N*, i > j > r ta có:   aj (mod 2p) Lấy  = max (r, p) với i, j  N*, i > j >  ta có:  aj (mod k) ( (2p, q) = 1) * Trường hợp k số lẻ: Đặt s = (k), d (2, k) = nên theo định lí Euler ta có 2s  (mod k) Hiển nhiên s < k nên theo giả thiết quy nạp, tồn số h tồn số c cho  i  N*, i ≥ h ta có  c (mod s) Lấy n tùy ý lớn h, ta có: n–1≥h  an –  c (mod s)  an – = ds + c (d  N)  an = 2a n1 = 2ds + c = (2s)d 2c  2c (mod k)   n > h ta ln có an  2c (mod k) Vậy mệnh đề với m = k Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh DeThiMau.vn