Sở Giáo dục Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30–4 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MƠN TỐN LỚP 11 Số phách Đường cắt phách Số phách I Câu số 5: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c M điểm tùy ý bên tam giác ABC Gọi x, y, z ba số dương Chứng minh: x.MB.MC + y.MC.MA + z.MA.MB ≥ min(xbc, yca, zab) II Đáp án câu số 5: x.MB.MC + y.MC.MA + z.MA.MB ≥ min(xbc, yca, zab) (1) MB.MC MC.MA MA.MB , Q ,R= bc ca ab AMB , BMC CMA Ta có: (1) Pp + Qq + Rr ≥ min(p; q; r) (2) A Pp Qq Rr Ta chứng minh (2): Ta có: ≥ min(p; q; r) (3) PQR M Mặt khác ta chứng minh: P + Q + R ≥ (4) Từ (3) (4) suy (2) Bây ta chứng minh (4): B C Ta có: MB.MC MC.MA MA.MB MA.MB.MC a b c (4) + + ≥1 ≥1 bc ca ab abc MA MB MC b c abc a (a.MA b.MB c.MC) (a.MA b.MB c.MC) MA.MB.MC MA MB MC MA MB MB MC MC MA a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca MB MA MC MB MA MC a bc ab c abc ≥ MB.MC MC.MA MA.MB ab bc ca a2 + b2 + c2 + (MA2+MB2 – c2)+ (MB2 + MC2 – a2) + (MC2 + MA2 – b2) ≥ MA.MB MB.MC MC.MA a2 + b2 + c2 + 2abcosα + 2bc cos β + 2cacos ≥ a b sin cos c sin cos 2ab cos 2bc cos( )) 2ca cos ≥ Đặt p = xbc, q = yca, r = zab, P = a2 + b2cos2α + c2cos2 + 2abcosα + 2bccosα cos + 2cacos + b2sin2α – 2bcsinαsin + c2sin2 ≥ 2 a b cos c cos b sin c sin ≥ (Đúng) Vậy (4) chứng minh Do (1) chứng minh DeThiMau.vn