Đề thi olympic truyền thống 304 môn Toán lớp 11 Bài 548088

Sở Giáo dục Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30–4 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MƠN TỐN LỚP 11 Số phách Đường cắt phách Số phách I Câu số 5: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c M điểm tùy ý bên tam giác ABC Gọi x, y, z ba số dương Chứng minh: x.MB.MC + y.MC.MA + z.MA.MB ≥ min(xbc, yca, zab) II Đáp án câu số 5: x.MB.MC + y.MC.MA + z.MA.MB ≥ min(xbc, yca, zab) (1) MB.MC MC.MA MA.MB , Q ,R= bc ca ab ฀ ฀ ฀ AMB  , BMC   CMA   Ta có: (1)  Pp + Qq + Rr ≥ min(p; q; r) (2) A Pp  Qq  Rr Ta chứng minh (2): Ta có: ≥ min(p; q; r) (3) PQR   M Mặt khác ta chứng minh: P + Q + R ≥ (4)  Từ (3) (4) suy (2) Bây ta chứng minh (4): B C Ta có: MB.MC MC.MA MA.MB MA.MB.MC  a b c    (4)  + + ≥1    ≥1 bc ca ab abc  MA MB MC  b c  abc  a   (a.MA  b.MB  c.MC)   (a.MA  b.MB  c.MC)  MA.MB.MC  MA MB MC   MA MB   MB MC   MC MA      a2 + b2 + c2 + ab   + bc   + ca    MB MA   MC MB   MA MC  a bc ab c abc   ≥ MB.MC MC.MA MA.MB ab bc ca  a2 + b2 + c2 + (MA2+MB2 – c2)+ (MB2 + MC2 – a2) + (MC2 + MA2 – b2) ≥ MA.MB MB.MC MC.MA  a2 + b2 + c2 + 2abcosα + 2bc cos β + 2cacos  ≥  a  b  sin   cos    c  sin   cos    2ab cos   2bc cos(   ))  2ca cos  ≥ Đặt p = xbc, q = yca, r = zab, P =  a2 + b2cos2α + c2cos2 + 2abcosα + 2bccosα cos + 2cacos + b2sin2α – 2bcsinαsin + c2sin2 ≥ 2   a  b cos   c cos     b sin   c sin   ≥ (Đúng) Vậy (4) chứng minh Do (1) chứng minh DeThiMau.vn