ôn tập vào lớp 10 năm học 2013-2014 45 toán tổng hợp hình học lớp Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H cắt đường tròn (O) M,N,P A N Chøng minh r»ng: Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp Bèn ®iĨm B,C,E,F cïng n»m đường tròn E P AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC F H vµ M đối xứng qua BC O H Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Lời giải: ( B C XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: D ( Gãc CEH = 900 ( V× BE đường cao) CDH = 900 ( Vì AD đường cao) M => CEH + CDH = 1800 Mµ CEH vµ CDH lµ hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đường cao => BE AC => BEC = 900 CF đường cao => CF AB => BFC = 900 Nh vËy E vµ F cïng nhìn BC góc 900 => E F nằm đường tròn đường kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn Xét hai tam giác AEH ADC ta có: AEH = ADC = 900 ;  góc chung AE AH => AEH ADC => => AE.AC = AH.AD AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: BEC = ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC => BEC ADC => => AD.BC = BE.AC AD AC Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phơ víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× hai góc nội tiếp chắn cung BM) => C1 = C2 => CB tia phân giác cđa gãc HCM; l¹i cã CB HM => CHM cân C => CB đương trung trực HM H M đối xứng qua BC Theo chứng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn => C1 = E1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BF) Cũng theo chứng minh CEHD tứ giác nội tiếp C1 = E2 ( hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) E1 = E2 => EB tia phân giác góc FED Chứng minh tương tự ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE Tính độ dài DE biÕt DH = Cm, AH Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp = Cm Bèn ®iĨm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh ED = BC Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) ThuVienDeThi.com Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 ( Vì BE đường cao) CDH = 900 ( Vì AD đường cao) => CEH + CDH = 1800 Mµ CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do A CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đường cao => BE AC => BEA = 900 AD đường cao => AD BC => BDA = 900 O Như E D nhìn AB díi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m đường tròn đường kính AB E Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn H Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đường cao nên đường trung tuyến D B C => D trung điểm BC Theo ta có BEC = 900 Vậy tam giác BEC vuông E có ED trung tuyến => DE = BC Vì O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => E1 = A1 (1) Theo DE = BC => tam giác DBE cân D => E3 = B1 (2) Mµ B1 = A1 ( v× cïng phơ víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mµ E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE t¹i E Vậy DE tiếp tuyến đường tròn (O) E Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông E ta có ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N Chøng minh AC + BD = CD y Chøng minh COD = 900 x D AB / I Chøng minh AC BD = M 4 Chøng minh OC // BM / C Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kÝnh CD N Chøng minh MN AB Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Lời giải: A O B Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà AOM BOM lµ hai gãc kỊ bï => COD = 900 Theo COD = 900 nên tam giác COD vuông O có OM CD ( OM tiếp tuyến ) ThuVienDeThi.com áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có OM2 = CM DM, AB Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = 4 Theo trªn COD = 900 nªn OC OD (1) Theo tÝnh chÊt hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cđa BM => BM OD (2) Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( Vì vuông góc với OD) Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO bán kính Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC AB; BD AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đường trung bình hình thang ACDB => IO // AC , mµ AC AB => IO AB O => AB tiếp tuyến O đường tròn đường kính CD CN AC CN CM Theo AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nªn suy BN BD BN DM => MN // BD mµ BD AB => MN AB ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vuông góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK A Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét đường tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O) Tính bán kính đường tròn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Lời giải: (HD) Vì I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp I góc A nên BI BK hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B 1 C B Do ®ã BI BK hayIBK = 90 H T¬ng tù ta cịng cã ICK = 900 nh vËy B vµ C cïng n»m o đường tròn đường kính IK B, C, I, K nằm đường tròn Ta có C1 = C2 (1) ( CI phân giác góc ACH K C2 + I1 = 900 (2) ( v× IHC = 900 ) I1 = ICO (3) ( tam giác OIC cân O) Tõ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC VËy AC lµ tiÕp tuyến đường tròn (O) Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20 12 = 16 ( cm) CH 12 CH2 = AH.OH => OH = = (cm) AH 16 OC = OH HC 12 225 = 15 (cm) Bài Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp Chứng minh OI.OM = R2; OI Chứng minh năm ®iĨm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét IM = IA2 đường tròn ThuVienDeThi.com Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Lời giải: (HS tự làm) Vì K trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đường kính Và dây cung) => OKM = 900 Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900 nh vËy K, A, B cïng nh×n OM góc 900 nên nằm đường tròn đường kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn Ta có MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cđa AB => OM AB t¹i I Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nªn tam d A giác OAM vuông A có AI đường cao P áp dụng hệ thức cạnh đường cao => OI.OM = K D OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI IM = IA2 N Ta cã OB MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC MB (gt) H M O => OB // AC hay OB // AH I OA MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH C => Tø gi¸c OAHB hình bình hành; lại có OA = OB B (=R) => OAHB hình thoi Theo OAHB hình thoi => OH AB; theo OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đường thẳng vuông góc với AB) (HD) Theo OAHB hình thoi => AH = AO = R VËy M di động d H di động cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Gọi HD đường kính đường tròn (A; AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E Chứng minh tam giác BEC cân E D Gọi I hình chiếu cđa A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đường trßn (A; AH) Chøng minh BE = BH + DE A Lêi gi¶i: (HD) I AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2) Vì AB CE (gt), AB vừa đường cao vừa đường trung tuyến B H C BEC => BEC tam giác cân => B1 = B2 Hai tam giác vuông ABI ABH có cạnh huyền AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH AI = AH BE AI I => BE tiếp tuyến (A; AH) I DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, tõ P kỴ tiÕp tun tiÕp xóc víi (O) t¹i M Chøng minh r»ng tø giác APMO nội tiếp đường tròn Chứng minh BM // OP Đường thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM ThuVienDeThi.com N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Lời giải: (HS tù lµm) Ta cã ABM néi tiÕp chắn cung AM; AOM góc tâm chắn cung N J AM => ABM = P AOM I (1) OP tia phân M giác AOM ( t/c hai tiÕp K tuyÕn c¾t ) => ( ( AOM A B O AOP = (2) Tõ (1) vµ (2) => ABM = AOP (3) Mµ ABM vµ AOP hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4) XÐt hai tam gi¸c AOP OBN ta có : PAO=900 (vì PA tiếp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB) => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) (5) => OBNP hình bình hành ( có hai cạnh đối song song nhau) Tứ giác OBNP hình bình hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON AB => ON PJ Ta còng cã PM OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ (6) Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật có PAO = AON = ONP = 900 => K trung điểm PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật) (6) AONP hình chữ nhật => APO = NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t Ta có PO tia phân giác APM => APO = MPO (8) Từ (7) (8) => IPO cân I có IK trung tuyến đông thời ®êng cao => IK PO (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K thẳng hàng Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K X 1) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp I 2) Chøng minh r»ng: AI = IM IB 3) Chứng minh BAF tam giác cân 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi F 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Lời giải: M Ta cã : AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nửa đường tròn ) H E => KMF = 900 (vì hai góc kề bù) AEB = 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) K => KEF = 900 (vì hai góc kề bù) 2 => KMF + KEF = 1800 Mà KMF KEF hai góc đối B A O tứ giác EFMK EFMK tứ gi¸c néi tiÕp Ta cã IAB = 900 ( AI tiếp tuyến ) => AIB vuông A có AM IB ( theo trên) áp dụng hệ thức cạnh đường cao => AI2 = IM IB Theo giả thiết AE tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ ……) X ThuVienDeThi.com => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE tia phân giác góc ABF (1) Theo trªn ta cã AEB = 900 => BE AF hay BE đường cao tam giác ABF (2) Từ (1) (2) => BAF tam giác cân B BAF tam giác cân B có BE đường cao nên đồng thời đương trung tuyến => E trung điểm AF (3) Tõ BE AF => AF HK (4), theo AE tia phân giác góc IAM hay AE tia phân giác HAK (5) Từ (4) (5) => HAK tam giác cân A có AE đường cao nên đồng thời đương trung tuyến => E trung điểm HK (6) Từ (3) , (4) (6) => AKFH hình thoi ( có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường) (HD) Theo AKFH hình thoi => HA // FH hay IA // FK => tứ giác AKFI hình thang Để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn AKFI phải hình thang cân AKFI hình thang cân M trung điểm cung AB Thật vậy: M trung điểm cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ) (7) Tam giác ABI vuông A có ABI = 450 => AIB = 450 (8) Tõ (7) vµ (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau) Vậy M trung điểm cung AB tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Bài Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E, F (F B E) Chứng minh AC AE không đổi Chứng minh ABD đồngdạng DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp X Lời giải: E C thuộc nửa đường tròn nên ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BC AE ABE = 900 ( Bx lµ tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông B có BC đường cao => AC AE = AB2 (hệ thức cạnh đường cao ), mà AB đường kính nên AB = 2R không đổi ®ã AC AE kh«ng ®ỉi C F D ADB cã ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa đường tròn ) => ABD + BAD = 900 (vì tỉng ba gãc cđa mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ) => AFB + BAF = 900 (v× tỉng ba gãc cđa mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) O A B Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phơ víi BAD) Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 ECD + ACD = 1800 ( Vì hai góc kề bù) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD) Theo ABD = DFB => ECD = DFB Mà EFD + DFB = 1800 ( Vì hai góc kề bù) nên suy ECD + EFD = 1800, mặt khác ECD EFD hai góc đối tứ giác CDFE tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn cho AM < MB Gọi M điểm ®èi xøng cđa M qua AB vµ S lµ giao điểm hai tia BM, MA Gọi P chân đương vuông góc từ S đến AB Chứng minh bốn điểm A, M, S, P nằm đường tròn Gọi S giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PSM cân Chứng minh PM tiếp tuyến đường tròn ThuVienDeThi.com S Lêi gi¶i: Ta cã SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AMS = 900 Nh vËy P vµ M cïng nhìn AS góc 900 nên nằm đường tròn đường kính AS Vậy bốn điểm A, M, S, P nằm đường tròn Vì Mđối xứng M qua AB mà M nằm đường tròn nên M nằm đường tròn => hai cung AM AM có số đo M 4( )1 ) ( A P H O B M' S' => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung nhau) (1) Cũng Mđối xứng M qua AB nên MM AB H => MM// SS ( cïng vu«ng gãc víi AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2) => Tõ (1) (2) => ASS = ASS Theo bốn ®iĨm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng tròn => ASP=AMP (nội tiếp chắn AP ) => ASP = AMP => tam giác PMS cân P Tam giác SPB vuông P; tam giác SMS vuông M => B1 = S1 (cùng phụ với S) (3) Tam giác PMS cân P => S1 = M1 (4) Tam giác OBM cân O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mµ M3 + M2 = AMB = 900 nªn suy M1 + M2 = PMO = 900 => PM OM M => PM tiếp tuyến đường tròn M Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh : Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän BD BM DF // BC Tø gi¸c BDFC néi tiÕp CB CF Lêi gi¶i: A (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã AD = AF => tam giác ADF cân A => ADF = AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => DEF < 900 ( v× gãc DEF nội tiếp chắn cung DE) Chứng minh tương tự ta cã DFE < 900; EDF < 900 Nh vËy tam gi¸c D F DEF cã ba gãc nhän O AD AF Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => => DF // BC AB AC I DF // BC => BDFC hình thang lại có B = C (vì tam giác ABC M C B E cân) => BDFC hình thang cân BDFC nội tiếp đường tròn Xét hai tam giác BDM CBF Ta có DBM = BCF ( hai góc đáy tam giác cân) BDM = BFD (nội tiếp chắn cung DI); CBF = BFD (vì so le) => BDM = CBF BD BM => BDM CBF => CB CF Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh : Tø gi¸c OMNP néi tiÕp ThuVienDeThi.com Tø giác CMPO hình bình hành CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định Lời giải: Ta cã OMP = 900 ( v× PM AB ); ONP = 900 (vì NP tiếp tuyến ) Như M N nhìn OP góc 900 => M N nằm đường tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM = ONM (nội tiếp chắn cung OM) Tam giác ONC cân O có ON = OC = R => ONC = OCN C M A O B N A' P D B' => OPM = OCM XÐt hai tam giác OMC MOP ta có MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD AB; PM AB => CO//PM (2) Tõ (1) vµ (2) => Tứ giác CMPO hình bình hành Xét hai tam giác OMC NDC ta có MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => MOC =DNC = 900 lại có C góc chung => OMC NDC CM CO => => CM CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN CD CN =2R2 không đổi hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí cđa ®iĨm M ( HD) DƠ thÊy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy đường thẳng cố định vuông góc với CD D Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A B song song AB Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ gi¸c néi tiÕp AE AB = AF AC Chøng minh EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa đường tròn Lời giải: A Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) E => AEH = 900 (vì hai góc kÒ bï) (1) I 1( F CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) => AFH = 900 (vì hai góc kề bù).(2) )1 EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông A) (3) O1 O2 B H C Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE hình chữ nhật ( có ba góc vuông) Tứ giác AFHE hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thiết AH BC nên AH tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (O1) (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (vì hai góc kề bù) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC EFC hai góc đối tứ giác BEFC BEFC tứ giác nội tiếp Xét hai tam giác AEF ACB ta có A = 900 gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng AE AF minh trªn) => AEF ACB => => AE AB = AF AC AC AB ThuVienDeThi.com * HD c¸ch 2: Tam giác AHB vuông H có HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông t¹i H cã HF AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE AB = AF AC Tứ giác AFHE hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân I => E1 = H1 O1EH cân O1 (vì có O1E vàO1H bán kính) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chøng minh t¬ng tù ta cịng cã O2F EF VËy EF lµ tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vÒ phía AB nửa đường tròn có đường kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã tâm theo thứ tự O, I, K Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đường tròn (I), (K) Chøng minh EC = MN Lêi gi¶i: Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa ®êng Ta cã: BNC= 900( néi tiÕp ch¾n nưa tròn (I), (K) đường tròn tâm K) Tính MN Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn => ENC = 900 (vì hai gãc kÒ bï) (1) AMC = 900 ( néi tiÕp chắn nửc đường tròn tâm I) E => EMC = 900 (vì hai góc kề bù).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) N hay MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN hình chữ nhật => EC H = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhËt ) M Theo gi¶ thiÕt EC AB C nên EC tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (I) (K) I O A C K B => B1 = C1 (hai góc nội tiếp chắn cung CN) Tứ giác CMEN hình chữ nhật nên => C1= N3 => B1 = N3.(4) Lại có KB = KN (cùng bán kính) => tam giác KBN cân K => B1 = N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN N => MN tiếp tuyến (K) N Chứng minh tương tự ta có MN tiếp tuyến (I) M, Vậy MN tiếp tuyến chung nửa đường tròn (I), (K) Ta cã AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nưc đường tròn tâm O) => AEB vuông A có EC AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta có diện tích phần hình giới hạn ba nửa đường tròn S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 Bµi 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC đường thẳng BM cắt đường tròn (O) D đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S ThuVienDeThi.com Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Lêi gi¶i: C C 12 O O D S E M H×nh a A D B F M 1 2 F E S 2 A H×nh b B Ta cã CAB = 900 ( tam giác ABC vuông A); MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => CDB = 900 nh vËy D vµ A nhìn BC góc 900 nên A D nằm đường tròn đường kính BC => ABCD tứ giác nội tiếp ABCD tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB) EM => C2 = C3 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung b»ng D1= C3 => SM nhau) => CA lµ tia phân giác góc SCB Xét CMB Ta cã BACM; CD BM; ME BC nh vËy BA, EM, CD ba đường cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy EM => D1= D2 => DM tia phân giác cđa gãc ADE.(1) Theo trªn Ta cã SM Ta có MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => MEB = 900 Tứ giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đường tròn => A2 = B2 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => A1= A2 => AM tia phân giác gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (Hình b) Câu : ABC = CME (cùng phụ ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS CS SM EM => SCM = ECM => CA tia phân giác góc SCB => CE Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường thng CD, AE cắt đường tròn F, G Chứng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp AC // FG Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy 10 ThuVienDeThi.com Lời giải: Xét hai tam giác ABC EDB Ta có BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => DEB = BAC = 900 ; lại có ABC góc chung => DEB CAB Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kỊ bù); BAC = 900 ( ABC vuông A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà hai góc đối nên ADEC tứ gi¸c néi tiÕp B O E F D G S A C * BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay BFC = 900 nh vËy F vµ A cïng nhìn BC góc 900 nên A F nằm đường tròn đường kính BC => AFBC tứ giác nội tiếp Theo ADEC tứ giác nội tiếp => E1 = C1 lại có E1 = F1 => F1 = C1 mà hai góc so le nên suy AC // FG (HD) DƠ thÊy CA, DE, BF lµ ba đường cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Bài 17 Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M không trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với cạnh AB AC Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp hÃy xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác Chøng minh r»ng MP + MQ = AH Chøng minh OH PQ Lêi gi¶i: A Ta cã MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt) => AQM = 90 nh vËy P Q nhìn BC góc 900 nên P Q nằm đường tròn đường kính AM => APMQ tứ giác nội tiếp * Vì AM đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ O trung điểm AM P Tam giác ABC có AH đường cao => SABC = BC.AH 2 Q Tam giác ABM có MP đường cao => SABM = AB.MP M B H C Tam gi¸c ACM có MQ đường cao => SACM = AC.MQ 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 Mµ AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH HQ ( Tam gi¸c ABC có AH đường cao nên đường phân giác => HAP = HAQ => HP tính chất gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc tâm) => OH tia phân giác góc POQ Mà tam giác POQ cân O ( OP OQ bán kính) nên suy OH đường cao => OH PQ 11 ThuVienDeThi.com Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H không trùng O, B) ; đường thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M đường tròn ; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao ®iĨm cđa AD vµ BC Chøng minh MCID lµ tứ giác nội tiếp Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp Lời gi¶i: M Ta cã : ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) _ => MCI = 900 (vì hai góc kề bù) K C ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) _ => MDI = 90 (vì hai góc kề bù) D => MCI + MDI = 180 mà hai góc đối tứ giác MCID nên I MCID tứ giác nội tiếp Theo Ta có BC MA; AD MB nên BC AD hai A B đường cao tam giác MAB mà BC AD cắt I nên I trực O H tâm tam giác MAB Theo giả thiết MH AB nên MH ®êng cao cđa tam gi¸c MAB => AD, BC, MH đồng quy I OAC cân O ( OA OC bán kính) => A1 = C4 KCM cân K ( KC KM bán kính) => M1 = C1 Mà A1 + M1 = 900 ( tam giác AHM vuông t¹i H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( góc ACM góc bĐt) hay OCK = 900 XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mµ OHK vµ OCK lµ hai góc đối nên KCOH tứ giác nội tiếp Bài 19 Cho đường tròn (O) đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD Chứng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp D Chøng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng I Chøng minh MI lµ tiÕp tun cđa (O’) Lêi gi¶i: 1 A / / O B C BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BID = 900 M O' (vì hai góc kề bù); DE AB t¹i M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà hai góc đối tứ giác MBID nên MBID tứ giác nội tiếp Theo giả thiết M trung điểm AB; DE AB M nên M trung điểm DE (quan hệ đường kính dây cung) E => Tứ giác ADBE hình thoi có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD DC; theo trªn BI DC => BI // AD (1) Theo giả thiết ADBE hình thoi => EB // AD (2) Tõ (1) vµ (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B có đường thẳng song song với AD mà thôi.) I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông I => IM trung tuyến ( M trung điểm DE) =>MI = ME => MIE cân M => I1 = E1 ; OIC cân O ( OC OI bán kÝnh ) => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phơ víi gãc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 Mµ I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI O’I I => MI tiếp tuyến (O) 12 ThuVienDeThi.com Bài 20 Cho đường tròn (O; R) (O; R) có R > R tiếp xúc C Gọi AC BC hai đường kính qua điểm C (O) (O) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M cđa AB Gäi giao ®iĨm thø hai cđa DC với (O) F, BD cắt (O) G Chứng minh r»ng: Tø gi¸c MDGC néi tiÕp D Bốn điểm M, D, B, F nằm đường tròn G Tứ giác ADBE hình thoi B, E, F thẳng hàng M C DF, EG, AB ®ång quy B A O' O MF = 1/2 DE MF tiếp tuyến (O) F Lời giải: BGC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nưa đường tròn ) E => CGD = 900 (vì hai gãc kỊ bï) Theo gi¶ thiÕt DE AB t¹i M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mà hai góc đối tứ giác MCGD nên MCGD tứ giác nội tiếp BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BFD = 900; BMD = 900 (v× DE AB M) F M nhìn BD góc 900 nên F M nằm đường tròn đường kính BD => M, D, B, F nằm đường tròn Theo giả thiết M trung điểm AB; DE AB M nên M trung điểm DE (quan hệ đường kính dây cung) => Tứ giác ADBE hình thoi có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD DF ; theo tứ giác ADBE hình tho => BE // AD mà AD DF nên suy BE DF Theo trªn BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BF DF mà qua B có đường thẳng vuông góc với DF đo B, E, F thẳng hàng Theo DF BE; BM DE mà DF BM cắt C nên C trực tâm tam giác BDE => EC đường cao => ECBD; theo CGBD => E,C,G thẳng hàng Vậy DF, EG, AB đồng quy Theo DF BE => DEF vuông F có FM trung tuyến (vì M trung điểm DE) suy MF = 1/2 DE ( v× tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh hun) (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF cân M => D1 = F1 OBF cân O ( OB OF bán kính ) => F3 = B1 mµ B1 = D1 (Cïng phơ víi DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 Mµ F3 + F2 = BFC = 900 => F1 + F2 = 900 = MFO’ hay MF OF F => MF tiếp tuyến (O) Bài 21 Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I trung điểm OA Vẽ đường tron tâm I qua A, (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) Q Q Chứng minh đường tròn (I) (O) tiếp xúc t¹i A Chøng minh IP // OQ Chøng minh r»ng AP = PQ P X¸c định vị trí P để tam giác AQB có diƯn tÝch lín nhÊt Lêi gi¶i: Ta cã OI = OA IA mà OA IA bán kính đường A B O H I tròn (O) đường tròn (I) Vậy đường tròn (O) đường tròn (I) tiếp xúc A OAQ cân O ( OA OQ bán kính ) => A1 = Q1 IAP cân I ( IA IP bán kính ) => A1 = P1 => P1 = Q1 mà hai góc đồng vị nên suy IP // OQ 13 ThuVienDeThi.com APO = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => OP AQ => OP đường cao OAQ mà OAQ cân O nên OP ®êng trung tuyÕn => AP = PQ (HD) Kẻ QH AB ta có SAQB = AB.QH mà AB đường kính không đổi nên SAQB lớn QH lín nhÊt QH lín nhÊt Q trùng với trung điểm cung AB Để Q trùng với trung điểm cung AB P phải trung điểm cung AO Thật P trung ®iĨm cđa cung AO => PI AO mµ theo PI // QO => QO AB O => Q trung điểm cung AB ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lớn Bài 22 Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K Chứng minh BHCD tứ giác nội tiếp TÝnh gãc CHK B A Chøng minh KC KD = KH.KB Khi E di chuyển cạnh BC H di chuyển đường nào? Lời giải: H Theo giả thiết ABCD hình vuông nên BCD = 900; BH DE O E t¹i H nên BHD = 900 => H C cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nên H C nằm đường tròn đường kính BD => BHCD tứ giác nội tiếp ) BHCD tứ giác nội tiếp => BDC + BHC = 1800 (1) D C K BHK lµ gãc bĐt nªn KHC + BHC = 1800 (2) Tõ (1) vµ (2) => CHK = BDC mµ BDC = 450 (vì ABCD hình vuông) => CHK = 450 XÐt KHC vµ KDB ta cã CHK = BDC = 450 ; K lµ gãc chung KC KH => KHC KDB => => KC KD = KH.KB KB KD (HD) Ta lu«n cã BHD = 900 BD cố định nên E chuyển động cạnh BC cố định H chuyển động cung BC (E B th× H B; E C H C) Bài 23 Cho tam giác ABC vuông A Dựng miền tam giác ABC hình vuông ABHK, ACDE E Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác M ABC F, chứng minh FBC tam giác vuông c©n Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M giao điểm BF K ED, Chứng minh điểm b, k, e, m, c nằm F A đường tròn Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp H tam giác ABC Lêi gi¶i: O C Theo gi¶ thiÕt ABHK hình vuông => BAH = 450 B 0 Tứ giác AEDC hình vuông => CAD = 45 ; tam giác ABC vuông A => BAC = 90 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iĨm H, A, D thẳng hàng Ta có BFC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên tam giác BFC vuông F (1) FBC = FAC ( nội tiếp chắn cung FC) mà theo CAD = 450 hay FAC = 450 (2) Tõ (1) vµ (2) suy FBC tam giác vuông cân F D 14 ThuVienDeThi.com Theo trªn BFC = 900 => CFM = 900 ( hai góc kề bù); CDM = 900 (t/c hình vuông) => CFM + CDM = 1800 mà hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp đường tròn suy CDF = CMF , mà CDF = 450 (vì AEDC hình vu«ng) => CMF = 450 hay CMB = 450 Ta có CEB = 450 (vì AEDC hình vuông); BKC = 450 (vì ABHK hình vuông) Như K, E, M cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng BC => điểm b, k, e, m, c nằm đường tròn CBM có B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC BC C => MC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 24 Cho tam gi¸c nhän ABC cã B = 450 Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm O, đường tròn cắt BA BC D E A Chøng minh AE = EB Gäi H giao điểm CD AE, Chứng minh ®êng D trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH F Chøng minh OD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam O H giác BDE / _ Lời giải: _K 1 / I AEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nửa đường tròn ) B E C => AEB = 900 ( hai góc kề bù); Theo giả thiết ABE = 450 => AEB tam giác vuông cân E => EA = EB Gọi K trung điểm HE (1) ; I trung điểm HB => IK đường trung bình tam giác HBE => IK // BE mà AEC = 900 nên BE HE E => IK HE K (2) Từ (1) (2) => IK lµ trung trùc cđa HE VËy trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH theo trªn I thc trung trùc cđa HE => IE = IH mà I trung điểm BH => IE = IB ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nửa đường tròn ) => BDH = 900 (kề bù ADC) => tam giác BDH vuông D có DI trung tuyến (do I trung điểm BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE bán kính ID Ta có ODC cân O (vì OD OC bán kính ) => D1 = C1 (3) IBD cân I (vì ID IB bán kính ) => D2 = B1 (4) Theo trªn ta cã CD AE hai đường cao tam giác ABC => H trực tâm tam giác ABC => BH đường cao tam giác ABC => BH AC t¹i F => AEB cã AFB = 900 Theo trªn ADC cã ADC = 900 => B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5) Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO => OD ID D => OD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE Bài 25 Cho đường tròn (O), BC dây (BC< 2R) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) B C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đường vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q Chứng minh tam giác ABC cân Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp Theo tứ giác BIMK nội tiếp => B1 = I1 ( néi tiÕp Chøng minh MI2 = MH.MK Chøng minh PQ MI cïng chắn cung KM); tứ Lời giải: Theo tính chất hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã AB = AC => ABC cân A giác CHMI nội tiếp => H1 = C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n Theo gi¶ thiÕt MI BC => MIB = 900; MK AB => MKB = 900 => MIB + MKB = 180 mà hai góc đối => tứ giác BIMK nội tiếp cung IM) Mà B1 = C1 ( ) => I1 = * ( Chøng minh tứ giác CIMH nội tiếp tương tự tứ giác BIMK ) = 1/2 sđ BM Theo tứ gi¸c BIMK néi tiÕp => KMI + KBI = 1800; tø gi¸c H1 (2) CHMI néi tiÕp => HMI + HCI = 1800 mà KBI = HCI ( tam giác ABC cân A) => KMI = HMI (1) 15 ThuVienDeThi.com Tõ (1) vµ (2) => MKI MIH => MI MK => MI2 = MH.MK MH MI A H K M B P Q C I O Theo trªn ta cã I1 = C1; cịng chøng minh t¬ng tù ta cã I2 = B2 mµ C1 + B2 + BMC = 1800 => I1 + I2 + BMC = 1800 hay PIQ + PMQ = 1800 mà hai góc đối => tứ giác PMQI nội tiếp => Q1 = I1 mµ I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( có hai góc đồng vị nhau) Theo giả thiết MI BC nên suy IM PQ Bài 26 Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Vẽ dây cung CD AB H Gọi M điểm cung CB, I giao điểm CB OM K giao điểm AM CB Chứng minh : J KC AC AM lµ tia phân giác CMD Tứ giác OHCI nội tiÕp C / KB AB M K Chøng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC tiếp tuyến đường _ I tròn M A => MB MC B Lêi gi¶i: Theo giả thiết M trung điểm BC H O => CAM = BAM (hai gãc néi tiÕp chắn hai cung nhau) => AK tia KC AC phân giác góc CAB => ( t/c tia phân giác tam giác ) D KB AB => CMA = DMA => MA tia phân (HD) Theo gi¶ thiÕt CD AB => A trung điểm CD giác góc CMD => OM BC t¹i I => OIC = 900 ; CD AB H (HD) Theo giả thiết M trung điểm BC => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mà hai góc đối => tứ giác OHCI nội tiếp KỴ MJ AC ta cã MJ // BC ( vuông góc với AC) Theo OM BC => OM MJ t¹i J suy MJ tiếp tuyến đường tròn M Bài 27 Cho đường tròn (O) điểm A đường tròn Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) B C Gọi M điểm tuỳ ý đường tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH BC, MK CA, MI AB Chøng minh : Tø gi¸c ABOC néi tiÕp BAO = BCO MIH MHK MI.MK = MH2 Lêi gi¶i: 16 ThuVienDeThi.com I B I H B M M O A H O A K C C K (HS tự giải) Tứ giác ABOC nội tiÕp => BAO = BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO) Theo gi¶ thiÕt MH BC => MHC = 900; MK CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mà hai góc đối => tứ giác MHCK nội tiếp => HCM = HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM) Chøng minh tương tự ta có tứ giác MHBI nội tiếp => MHI = MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM) ) => HKM = MHI (1) Chøng minh t¬ng tù ta cịng cã Mµ HCM = MBI ( = 1/2 sđ BM KHM = HIM (2) Từ (1) (2) => HIM KHM MI MH Theo trªn HIM KHM => => MI.MK = MH2 MH MK Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC; E điểm đối xứng H qua BC; F điểm đối xứng H qua trung ®iĨm I cđa BC A Chøng minh tø gi¸c BHCF hình bình hành E, F nằm đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BCFE hình thang cân = B' Gọi G giao ®iĨm cđa AI vµ OH Chøng minh G lµ träng tâm tam giác ABC O Lời giải: C' H G = Theo giả thiết F điểm đối xøng cđa H qua trung ®iĨm I cđa / BC => I trung điểm BC HE => BHCF hình bình hành có hai / / B C A' đường chéo cắt trung điểm đường I / (HD) Tứ giác AB’HC’ néi tiÕp => BAC + B’HC’ = 180 mµ F E BHC = B’HC’ (®èi ®Ønh) => BAC + BHC = 1800 Theo BHCF hình bình hành => BHC = BFC => BFC + BAC = 1800 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O) * H E đối xứng qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC => BEC + BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) Ta cã H vµ E ®èi xøng qua BC => BC HE (1) IH = IE mà I trung điểm cđa HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vuông E hay FE HE (2) Từ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ hình thang (3) Theo E (O) => CBE = CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4) Theo F (O) FEA =900 => AF đường kÝnh cña (O) => ACF = 900 => BCF = CAE ( phụ ACB) (5) Từ (4) (5) => BCF = CBE (6) Tõ (3) vµ (6) => tứ giác BEFC hình thang cân Theo AF đường kính (O) => O trung điểm AF; BHCF hình bình hành => I trung điểm HF => OI đường trung bình tam giác AHF => OI = 1/ AH 17 ThuVienDeThi.com Theo giả thiết I trung ®iĨm cđa BC => OI BC ( Quan hƯ đường kính dây cung) => OIG = HAG GI OI (vì so le trong); lại có OGI = HGA (đối đỉnh) => OGI HGA => mà OI = AH GA HA GI => mà AI trung tuyến tam giác ABC (do I trung điểm BC) => G trọng tâm GA tam giác ABC Bài 29 BC dây cung đường tròn (O; R) (BC 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H A Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC Gọi A trung điểm BC, Chứng minh AH = 2OA Gọi A1 trung điểm EF, Chứng minh R.AA1 = AA’ OA’ = E Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vÞ trÝ A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn A1 O F Lời giải: (HD) H = Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => AEF = ACB (cïng bï BFE) / / / AEF = ABC (cïng bï CEF) => AEF ABC B C D A' / VÏ ®êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cùng vuông góc AC) => BHKC hình bình hành => A trung điểm K HK => OK đường trung bình AHK => AH = 2OA’ ¸p dơng tÝnh chÊt : nÕu hai tam giác đồng dạng tỉ số hia trung tuyến, tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng ta có : R AA ' AEF ABC => (1) R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC; R bán kính R ' AA1 đường tròn ngoại tiếp AEF; AA trung tuyến ABC; AA1 trung tuyến AEF Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên đường tròn ngoại tiếp AEF A 'O AH Tõ (1) => R.AA1 = AA’ R’ = AA’ = AA’ 2 VËy R AA1 = AA’ AO (2) Gọi B, Clần lượt trung ®iĨm cđa AC, AB, ta cã OB’AC ; OC’AB (b¸n kính qua trung điểm dây không qua tâm) => OA, OB, OC đường cao cđa c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ BC’ + OB’ AC + OC’ AB ) 2SABC = OA’ BC + OB’ AC’ + OC’ AB (3) AA1 AA1 Theo (2) => OA’ = R mà tỉ số trung tuyến hai tam giác đồng dạng AEF ABC AA ' AA ' AA1 FD ED EF nªn = T¬ng tù ta cã : OB’ = R ; OC = R Thay vào (3) ta AC AB AA ' BC EF FD ED 2SABC = R ( BC AC AB ) 2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R không đổi nên (EF + FD + DE) đạt gÝ trÞ lín nhÊt SABC Ta cã SABC = AD.BC BC không đổi nên SABC lớn AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt A điểm giỡa cung lớn BC Bài 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt (O) M Vẽ đường cao AH bán kính OA 18 ThuVienDeThi.com Chứng minh AM phân giác góc OAH Gi¶ sư B > C Chøng minh OAH = B - C Cho BAC = 600 vµ OAH = 200 Tính: a) B C tam giác ABC b) Diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC theo R Lời giải: (HD) CM => M AM phân gi¸c cđa BAC => BAM = CAM => BM A D O trung điểm cung BC => OM BC; Theo gi¶ thiÕt AH BC => B C H OM // AH => HAM = OMA ( so le) Mà OMA = OAM ( tam giác OAM cân O có OM = OA = R) => HAM = OAM => AM M lµ tia phân giác góc OAH Vẽ dây BD OA => AB AD => ABD = ACB Ta có OAH = DBC ( góc có cạnh tương øng vu«ng gãc cïng nhän) => OAH = ABC - ABD => OAH = ABC - ACB hay OAH = B - C a) Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trªn B C = OAH => B - C = 200 B C 1200 B 700 => 0 B C 20 C 50 R R R R (4 3) R = 3600 2 12 Bµi 31 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt BAC = 600 TÝnh sè ®o gãc BOC vµ ®é dµi BC theo R A VÏ ®êng kÝnh CD cđa (O; R); gäi H giao điểm ba đường cao tam giác ABC Chøng minh BD // AH vµ AD // BH D TÝnh AH theo R Lêi gi¶i: =1200 ( t/c gãc néi tiÕp ) H Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => s® BC b) Svp = SqBOC - S BOC = R 1202 => BOC = 1200 ( t/c gãc ë t©m) =1200 => BC cạnh tam giác ®Ịu néi tiÕp * Theo trªn s® BC B (O; R) => BC = R CD lµ ®êng kÝnh => DBC = 900 hay DB BC; theo giả thiết AH đường cao => AH BC => BD // AH Chøng minh t¬ng tù ta AD // BH Theo DBC = 900 => DBC vuông B có BC = R ; CD = 2R O M C => BD2 = CD2 – BC2 => BD2 = (2R)2 – (R )2 = 4R2 – 3R2 = R2 => BD = R Theo trªn BD // AH; AD // BH => BDAH hình bình hành => AH = BD => AH = R Bài 32 Cho đường tròn (O), ®êng kÝnh AB = 2R Mét c¸t tuyÕn MN quay quanh trung ®iĨm H cđa OB Chøng minh MN di động , trung điểm I MN nằm I trung điểm MN => OI đường tròn cố định MN I ( quan hệ đường kính Từ A kẻ Ax MN, tia BI cắt Ax C Chứng minh tứ giác dây cung) = > OIH = 900 CMBN hình bình hành Chứng minh C trực tâm tam giác AMN Khi MN quay quanh H C di động đường Cho AM AN = 3R2 , AN = R Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm tam giác AMN Lời giải: (HD) 19 ThuVienDeThi.com N D K C A I H O B M OH cố định nên MN di động I di động nhìn OH cố định góc 900 I di động đường tròn ®êng kÝnh OH VËy MN di ®éng , trung điểm I MN nằm đường tròn cố định Theo giả thiết Ax MN; theo OI MN I => OI // Ax hay OI // AC mà O trung điểm AB => I trung điểm BC, lại có I trung điểm MN (gt) => CMBN hình bình hành ( Vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường ) CMBN hình bình hành => MC // BN mà BN AN ( ANB = 900 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => MC AN; theo AC MN => C trực tâm tam giác AMN Ta có H trung điểm OB; I trung điểm BC => IH đường tung bình OBC => IH // OC Theo gi¶ thiÕt Ax MN hay IH Ax => OC Ax t¹i C => OCA = 900 => C thuộc đường tròn đường kính OA cố định Vậy MN quay quanh H C di động đường tròn đường kính OA cố định Ta cã AM AN = 3R2 , AN = R => AM =AN = R => AMN cân A (1) Xét ABN vuông N ta cã AB = 2R; AN = R => BN = R => ABN = 600 ABN = AMN (néi tiÕp cïng ch¾n cung AN) => AMN = 600 (2) 3R Tõ (1) vµ (2) => AMN tam giác => SAMN = 3R R (4 3 => S = S(O) - SAMN = R = 4 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đường tròn M ( Chứng minh OM BC Chøng minh MC = MI.MA N KỴ đường kính MN, tia phân giác góc B C A cắt đường thẳng AN P Q Chøng minh ®iĨm P, C , B, Q thuộc đường tròn Q Lời giải: AM phân giác BAC => BAM = CAM O CM => M trung điểm cung BC => OM BC => BM Bµi 33 K XÐt MCI vµ MAC cã MCI =MAC (hai gãc néi tiÕp chắn hai cung nhau); M góc chung MC MI => MCI MAC => => MC2 = MI.MA MA MC 2 B ( C I M 20 ThuVienDeThi.com P ... = 450 (vì AEDC hình vuông) => CMF = 450 hay CMB = 450 Ta còng cã CEB = 450 (vì AEDC hình vuông); BKC = 450 (vì ABHK hình vuông) Như K, E, M nhìn BC góc 450 nên cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 ... giải: O C Theo giả thiết ABHK hình vuông => BAH = 450 B 0 Tứ giác AEDC hình vuông => CAD = 45 ; tam giác ABC vuông A => BAC = 90 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba điểm H, A,... cïng n»m đường tròn CBM có B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC BC C => MC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 24 Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đường tròn đường kính AC