Bài I: Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A tù) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD = CE Trên tia đối CA lấy điểm I cho CI = CA 1: Chøng minh: a) ABD ICE b) AB + AC < AD + AE 2: Từ D E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB; AI theo thứ tù t¹i M; N Chøng minh BM = CN 3: Chứng minh chu vi tam giác ABC nhỏ chu vi tam gi¸c AMN CM: A M O B C E D N I 1: C©u a: Chøng minh VABD VICE cgc C©u b: cã AB + AC = AI V× VABD VICE AD EI (2 cạnh tương ứng) áp dụng bất đẳng thức tam gi¸c VAEI cã: AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC 2: Chøng minh V vBDM = BM = CN V CEN (g.c.g) v Câu 3: Vì BM = CN AB + AC = AM + AN (1) cã BD = CE (gt) BC = DE Gäi giao ®iĨm cđa MN víi BC lµ O ta cã: ThuVienDeThi.com MO OD MO NO OD OE NO OE MN DE MN BC Tõ (1) vµ (2) chu vi VABC nhỏ chu vi VAMN Bài II: Cho tam gi¸c ABC (AB > AC ) , M trung điểm BC Đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A M cắt cạnh AB , AC E F Chøng minh : a) EH = HF b) · µ 2BME ·ACB B c) d) FE AH AE BE = CF A C/m AEH AFH (g-c-g) Suy EH = HF (đpcm) F Từ AEH AFH Suy E XÐt CMF cã ·ACB lµ gãc ngoµi suy · µ CMF ·ACB F µ lµ gãc ngoµi suy BME cã E · µ µ BME E B E B M C H D F · · µ) ( E µ B µ) vËy CMF BME ( ·ACB F · µ (đpcm) hay 2BME ÃACB B áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : ta có HF2 + HA2 = AF2 hay FE AH AE (®pcm) C/m AHE AHF ( g c g ) Suy AE = AF µ F µ vµ E Tõ C vÏ CD // AB ( D EF ) C/m ®ỵc BME CMD( g c g ) BE CD µ CDF · vµ cã E (cặp góc đồng vị) (1) ThuVienDeThi.com à F CDF cân CF CDF = CD ( 2) Tõ (1) vµ (2) suy BE = CF Bài III:Cho đoạn thẳng AB có O trung điểm Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AB kẻ hai tia Ax // By Lấy hai điểm C,E D,F Ax By cho AC = BD; CE = DF Chứng minh: a Ba điểm: C, O, D thẳng hàng; E, O, F thẳng hàng b ED = CF Bµi IV: Tam giác ABC cân C Cµ 1000 ; BD phân giác góc B Từ A kẻ tia Ax tạo với AB góc 300 Tia Ax cắt BD M, cắt BC lại E BK phân giác góc CBD, BK cắt Ax N a Tính số đo góc ACM b So sánh MN v CE Câu V : Cho tam giác nhọn ABC; có đường cao AH Trên mặt phẳng bờ AC chứa điểm B vẽ tia AE AC AE = AC Trên mặt phẳng bờ Ab chứa ®iĨm C vÏ tia AF AB vµ AF = AB a) C/M : EB = FC b) Gäi giao ®iĨm cđa EF víi AH lµ N C/M : N trung điểm EF Câu VI: Cho VABC có ¢ = 600; BM, CN (M thuéc Ac vµ N thuộc AB) tia phân giác ÃABC ÃACB ; BM CN cắt I · · · a) TÝnh BIN b) Chøng minh : INM IMN Câu VII: Cho VABC A/ B / C / cã AB = A/B/, AC = A/C/ M thuéc BC cho MC = MB, M/ thuéc B/C/ cho M/C/ = M/B/ vµ AM = A/M/ Chøng minh : VABC = A/ B / C / Bài VIII µ C µ 400 ) Kẻ phân giác BD ( D AC ) Trên tia AB lấy Cho tam giác ABC cân A ( B điểm M cho AM = BC a) Chứng minh BD + AD = BC Tính · AMC ThuVienDeThi.com Bài (4 điểm) A D E F B C M N a) Từ D kẻ DE//BC, BC lấy điểm F cho BD = BF (1) 0.5 đ Chứng minh DE = BE (tam giác BED cân) Do tam giác AED cân nên AD =AE suy BE = CD Vậy DE = CD · · · Tam giác BDF cân có DBF 200 nên BFD 800 DFC 1000 suy · · DFC EAD 1000 · Vậy tam giác DFC có FDC 400 Chứng minh ADE FCD ( g c.g ) AD CF (2) Từ (1) (2) suy đpcm b) Dựng tam giác AMN cho N C phía so với AB · Vì AC chung ; BC AN ( AM ); ·ACB CAN 400 BAC NCA Suy AC = CN = AB MC trung trực AN Nên · AMC · AMN 300 Câu IX: Cho tam giác ABC Ở phía ngồi tam giác vẽ tam giác vng cân A ABD ACE a) Chứng minh CD = BE CD vng góc với BE b) Kẻ đường thẳng qua A vng góc với BC H Chứng minh : Đường thẳng AH qua trung điểm DE ThuVienDeThi.com c) Lấy điểm K nằm tam giác ABD cho góc ABK 300, BA = BK Chứng minh: AK = KD 4(7,0) Vẽ hình E N F D M A I B H C · · ( 900 BAC · ); a(3,0) ADC ABE (c.g.c) có: AD =AB(gt); DAC BAE AC = AE (gt) ¶ B µ( góc tương ứng) Suy DC = BE ( cạnh tương ứng); D 1 Gọi I l giao im ca DC v AB ả B à( c/m trên) Ta có: Iµ1 Iµ2 ( đ đ); D 1 ả 90 suy Ià B µ 900 Mà Iµ1 D Suy DC vng góc với BE b(2,0) Kẻ DM EN vng góc với đường thẳng AH M N Gọi F giao điểm DE đường thẳng AH Ta c/m ABH DAM (cạnh huyền – góc nhọn) Suy AH = DM AHC ENA ( cạnh huyền – góc nhọn) suy AH = EN Từ ta c/m DMF ENF ( g.c.g) Suy DF = DE Hay đường thẳng AH qua trung điểm DE c(1,5) ThuVienDeThi.com E D K A P 30° B H C Vẽ tam giác BPD cho P A nằm phía BD APB APD(c.c.c) ·APB ·APD 300 · Ta có: ·ABP DBK 150 suy KDB APB(c.g c) · Suy KDB ADK 150 (1) ·APB 300 suy · · Tam giác BAK cân B có góc B = 300 nên BAK 750 suy · KAD 150 (2) Từ (1) (2) suy tam giác KDA cân K suy KA = KD Bài X: Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D thuộc cạnh BC H I thứ tự hình chiếu B C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) BH = AI b) BH2 + CI2 có giá trị khơng đổi c) Đường thẳng DN vng góc với AC d) IM phân giác góc HIC C/M Bài 6: (3 điểm): a AIC = BHA BH = AI (0,75đ) b BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75đ) c BHM = AIM HM = MI BMH = IMA (0,5đ) mà : IMA + BMI = 900 BMH + BMI = 900 HMI vuông cân HIM = 450 mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450 IM phân giác HIC ThuVienDeThi.com B H D M I N A C Câu XI:ho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc BAC N cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng: 1)AE = AF 2) BE = CF Câu (5 điểm) (1,5đ) A x K F M B C N E - Xét ANE ANF có : · ANE · ANF 900 AN chung · · (gt) EAN FAN Suy : ANE = ANF (g – c - g) AE = AF (2 cạnh tương ứng) (2đ) - Từ C kẻ tia Cx // AB, cắt tia EF K - Xét BME CMK có : MB = MC (gt) · · (đối đỉnh) BME CMK · · (so le trong) BEM CKM Suy ra: BME = CMK (g – c - g) BE = CK (2 cạnh tương ứng) (1) - Vì AE = AF nên tam giác AEF cân A, suy ra: Eµ Fµ1 µ K µ (so le trong) µ (đối đỉnh) E Mà: Fµ1 F µ Suy ra: Fµ K tam giác CFK cân C CF = CK (2) Từ (1) (2) suy ra: BE = CF (đpcm) Ta có: AE = AB + BE (1,5đ) AF = AC – FC Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC – FC = AB + AC Mà: AE = AF, suy ra: 2.AE = AB + AC AE AB AC ThuVienDeThi.com (đpcm) Câu XII: Cho tam giác ABC vuông cân A Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A, bờ BC vẽ tia Bx Cy vng góc với BC Lấy M thuộc cạnh BC ( M khác A B); đường thẳng vuông góc với AM A cắt Bx, Cy H K a, Chứng minh: BM = CK b, Chứng minh A trung điểm HK c, Gọi P giao điểm AB MN, Q giao điểm AC MK Chứng minh: PQ song song với BC Câu XIII: Cho góc xOy 600 vẽ phâ giác Az góc Từ điểm B thuộc tia Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az C Vẽ BH; CM vuông góc với Ay (H; M thuộc Ay) BK vng góc với AC (K thuộc AC) Chứng minh rằng: a) K trung điểm AC b) BH = AC c) Tam giác KMC ThuVienDeThi.com ... = AI b) BH2 + CI2 có giá trị khơng đổi c) Đường thẳng DN vng góc với AC d) IM phân giác góc HIC C/M Bài 6: (3 điểm): a AIC = BHA BH = AI (0 ,75 đ) b BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0 ,75 đ) c BHM... = 300 nên BAK 75 0 suy · KAD 150 (2) Từ (1) (2) suy tam giác KDA cân K suy KA = KD Bài X: Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D thuộc cạnh BC H I thứ tự hình chiếu B C xuống... ( E µ B µ) vËy CMF BME ( ·ACB F à (đpcm) hay 2BME ÃACB B áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : ta cã HF2 + HA2 = AF2 hay FE AH AE (®pcm) C/m AHE AHF ( g c g )