Chuyên đề nâng cao hinh học Biên soạn: Phạm hinh Một số toán tổng hợp hình học phẳng kỳ i ( lớp 9) Bài toán hệ thức =1050, B =600 Trên BC lấy điểm E cho BE = 1.Cho ABC, AB = 1, A VÏ ED//AB ( D thuéc AC) Chøng minh r»ng: 1 2 AC AD 150 2.Cho hình thoi ABCD víi A = 120 Tia Ax t¹o víi tia AB thành xAB cắt cạnh BC M, cắt đường thẳng CD N Chứng minh rằng: 1 2 AM AN AB 3.Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt CD F Chứng minh r»ng: 1 2 AE FA AB 4.Cho hình chữ nhật ABCD với AD = mAB (m > 0) Lấy điểm M cạnh BC, đường thẳng AM cắt đường thẳng CD P Chøng minh r»ng: m2 2 AM AP AB 5.Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ cát tuyến cắt cạnh BC CD ( đường thẳng chứa cạnh đó) điểm E F Chứng minh rằng: 1 2 AE FA AD 6.Cho ABC vuông A Từ điểm O ë tam gi¸c ta vÏ OD BC, OE CA, OF AB HÃy xác định vị trÝ cđa ®iĨm O ®Ĩ OD2+OE2+OF2 nhá nhÊt =1200, BC = a, AC = b, AB = c Chøng minh r»ng: 7.Cho ABC cã A a2 = b2+c2+bc 8.Cho ABC cã BC = a, AC = b, AB = c đường cao tương ứng ha, hb, hc Chứng minh rằng: a b c a b c ha2 hb2 hc2 a b c ha2 Dấu = nào? 9.Cho ABC vuông cân đỉnh A, M điểm thuộc cạnh BC Chứng minh r»ng: 2MA2 = MB2 + MC2 =300 Dùng phía ABC, ACD Chứng minh 10.Cho ABC cã B r»ng: BD2= AB2 + BC2 11.Cho a, b, c số đo góc nhọn tho¶ m·n: cos2a+cos2b+cos2c≥2 Chøng minh: (tga tgb tgc)2 ≤ 1/8 12.Gọi A, B, C góc tam giác ABC Tìm điều kiện tam giác ABC để biÓu thøc: P sin A B C sin sin 2 DeThiMau.vn Chuyên đề nâng cao hinh học Biên soạn: Phạm hinh đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn ấy? 13.Cho ABC có đường trung tuyến MB, NC vuông gãc víi nhau, chøng minh r»ng: cotgB + cotgC ≥ Bài toán 1: Cho nửa đường tròn (O;R) ®êng kÝnh AB Tõ ®iĨm A, B kỴ hai tiÕp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ cắt tiếp tuyến Ax, By E, F Chứng minh A, E, M, O thuộc đường tròn Chứng minh EO OF Chøng minh EF = AE+BF AE.BF không đổi M di chuyển nửa đường tròn (O) Tìm vị trí M để chu vi tứ giác( diện tích) tứ giác AEFB nhá nhÊt Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn đường tròn ngoại tiếp EOF AM cắt OE P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình gì? sao? Gọi I giao điểm MO PQ Tìm quỹ tích I M di chuyển nửa đường tròn (O) KỴ MH AB( H thc AB) Chøng minh EB ®i qua trung ®iĨm cđa MH Cho EO = a TÝnh MH theo R vµ a 10 Gäi r bán kính đường tròn nội tiếp EOF Chøng minh r»ng: r R Bài toán 2: Cho đường tròn (O) đường kÝnh AB, vÏ c¸c tiÕp tuyÕn Ax, By Tõ M trên đường tròn khác A B) vẽ tiếp tuyến thứ cắt Ax C, cắt By D cắt đường thẳng BA E Gọi N giao điểm BC AD Chứng minh rằng: CN CM vµ suy MN AB NB MD COD 900 DM CM DE CE N trung điểm MH Cho OD = d; OB = R.TÝnh MH theo d R Bài toán 3: Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Người ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia vuông góc với CI C cắt tia By K đường tròn đường kính IC cắt IK P 1) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh AI.BK = AC.CB 3) Chứng minh ABP vuông 4) Giả sử A, B, I cố định HÃy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình ABKI lớn Bài toán 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy điểm M ( khác điểm A, B) vẽ tiếp tuyến xy M Kẻ AD, BC vuông góc với xy D, C Chøng minh MD = MC Chøng minh AD + BC không đổi M thay đổi nửa đường tròn (O) DeThiMau.vn Chuyên đề nâng cao hinh học Biên soạn: Phạm hinh Chứng minh AD, AB tiếp tuyến đường tròn (M) đường kính DC.( kẻ MH AB H Chứng minh r»ng DH HC vµ MH2 = AD.BC ) Tìm vị trí M nửa đường tròn cho diện tích tứ giác ABCD lớn Bài toán 5: Cho nửa đường tròn (O;R), AB = 2R VÏ d©y AC = R, BD = R Chøng minh r»ng AOC 600 ; OB OD Kẻ AE CD BF CD Chøng minh CE = DF TÝnh EF theo R Chøng minh r»ng S ABFE SACB SADB Bài toán 6: Từ điểm P nằm đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (O) với A, B hai tiếp điểm Gọi H chân đường vuông góc vẽ từ A đến đường kính BC đường tròn Chứng minh rằng, PC cắt AH trung điểm E AH Bài toán 7: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Bán kinh OC AB, M điểm nửa đường tròn (O) ( khác A, B) Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) M cắt OC cắt tiếp tuyến A D E, AE cắt BD F Chứng minh EA.EF = R2 Bài toán 8: Cho ABC nhọn Gọi O trung điểm BC dựng đường tròn tâm O đường kính BC, vẽ đường cao AD ABC tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Gọi E giao điểm MN AD Chứng minh AE.AD = AM2 Bài toán 9: Cho đường tròn (O;r) nội tiếp ABC tiếp xúc BC D vẽ đường kính DE; AE cắt BC M Chứng minh BD = MC Bài toán 10: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) H trực tâm ABC, vẽ OK BC Chøng minh r»ng AH = 2OK G trọng tâm ABC Chứng minh H, G, O thẳng hàng Bài toán 11: Cho ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Gọi D trung điểm AB E trọng tâm ACD Chứng minh OE CD Bài toán 12: Cho đường tròn đồng tâm O có bán kính R, r (R > r) A vµ M lµ ®iĨm thc ®êng trßn nhá ( A chun ®éng, M cố định) Qua điểm M, ta vẽ dây BC ®êng trßn lín cho BC AM Chøng minh rằng: MA2+MB2+MC2 không phụ thuộc vào vị trí điểm A Trọng tâm G ABC điểm cố định Bài toán 13: Cho đường tròn (O) ®êng kÝnh BC = 2R vµ ®iĨm A thay ®ỉi (O) ( A khác ABC cắt đường tròn (O) K (K khác A), B, C) Đường phân giác A hạ AH BC Đặt AH = x tính diện tích ABC theo R, x T×m x cho diƯn tÝch ABC đạt giá trị lớn DeThiMau.vn Chuyên đề nâng cao hinh học Biên soạn: Phạm hinh Chứng minh A thay đổi tổng AH2+HK2 đại lượng không đổi AH Tính B ABC, biết HK Bài toán 14: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẻ dây AC Gọi M điểm cung AC H giao điểm OM AC 1) Chøng minh OM//BC 2) Tõ C kỴ tia song song vµ cïng chiỊu víi tia BM, tia nµy cắt đường thẳng OM D Chứng minh MBCD hình bình hành 3) AM kéo dài cắt CD K Đường thẳng KH cắt AB P Chứng minh APH đồng dạng với ACB Bài toán 15: Cho nửa đường tròn đường kính AB, dây AC tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn ( Bx nửa mặt phẳng bờ AB) Đường phân giác góc CAB cắt BC F, cắt nửa đường tròn H, cắt Bx D 1) Chứng minh FB = BD HF = HD 2) Chứng minh HBD đồng dạng víi ∆CAF 3) Chøng minh DB2 = DH.DA 4) Gäi M giao điểm AC với Bx Chứng minh MB2= MC.MA Bài toán 16: Cho ABC vuông A Ta vẽ nửa đường tròn nằm tam giác, lấy AB AC làm đường kính Một cát tuyến qua A cắt nửa đường tròn AB D, nửa đường tròn AC E 1) Tứ giác BDEC hình gì? 2) Gọi F trung điểm DE Chứng minh đường vuông góc với DE F qua điểm cố định cát tuyến quay xung quanh A 3) Tìm quỹ tích điểm F 4) Với vị trí cát tuyến DAE, độ dài DE cực đại, tứ giác BDEC hình gì? Bài toán 17: Cho đường tròn (O;R) (O;r) tiếp xúc với A BC tiếp tuyến chung ngoài( B, C tiếp điểm (O) (O) với tiếp tuyến) Tiếp tuyến chung cắt BC I Chứng minh rằng, I trung điểm BC ABC OIO vuông A, I Các tứ giác DIEA ABKC hình chữ nhật.( D giao điểm AB OI, E giao điểm AC OI Kéo dài đường thẳng OO cắt (O) (O) ®iĨm thø lµ G, H Gäi K lµ giao điểm GB HC) Kéo dài AC cắt (O) F Chứng minh B, O, F thẳng hàng Gọi M trung điểm OO Chứng minh MI DE Bài toán 18: Cho hai đường tròn (O1;R1) (O2;R2) tiếp xúc A Lấy điểm B C 900 đường tròn (O1) vµ (O2) cho BAC Chøng minh O1B//O2C Nối BC cắt O1O2 D Tính O2D theo R1, R2 Gọi I trung điểm BC Chứng minh I thuộc đường tròn cố định DeThiMau.vn Chuyên đề nâng cao hinh học Biên soạn: Phạm hinh Chứng minh AH không vượt 2R1 R2 R1 R2 Bài toán 19: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB M điểm thuộc đoạn OA Vẽ đường tròn (O; MB ) đường kính MB Gọi I trung điểm đoạn MA, kẻ dây cung CD AB I Đường thẳng BC cắt (O) K ACMD hình gì? Vì Chứng minh D, M, K thẳng hàng Chứng minh MC DB Chứng minh đường thẳng IK tiếp tuyến đường tròn (O) Xác định vị trí M đoạn OA để diện tích IKO lớn Bài toán 20: Cho đường tròn (O;R) (O;r) cắt A B (R > r) Gọi I trung điểm OO Kẻ đường thẳng vuông góc với IA A, đường thẳng cắt đường tròn (O) (O) theo thứ tự C D ( khác A) Chứng minh AC = AD Gọi K điểm đối xøng víi ®iĨm A qua ®iĨm I Chøng minh r»ng KB AB Nối Avới O cắt (O) điểm thứ G, nối A với O cắt (O) điểm thứ Q Chứng minh AB GQ Bài toán 21: Cho hai đường tròn (O) (O) Kẻ tiếp tuyến chung AB vµ tiÕp tuyÕn chung EF (A, E thuéc (O) vµ B, D thuéc (O’)) Gäi M lµ giao điểm AB EF Chứng minh AOM đồng dạng BMO Chứng minh AE BF Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh ba điểm O, N, O thẳng hàng DeThiMau.vn ... minh AC = AD G? ?i K ? ?i? ??m đ? ?i xứng v? ?i ? ?i? ??m A qua ? ?i? ??m I Chøng minh r»ng KB AB N? ?i Av? ?i O cắt (O) ? ?i? ??m thứ G, n? ?i A v? ?i O cắt (O) ? ?i? ??m thứ Q Chứng minh AB GQ B? ?i toán 21: Cho hai đường tròn (O)... BC tiếp tuyến chung ngo? ?i( B, C tiếp ? ?i? ??m (O) (O’) v? ?i tiÕp tun) TiÕp tun chung c¾t BC I Chứng minh rằng, I trung ? ?i? ??m BC ABC OIO vuông A, I Các tứ giác DIEA ABKC hình chữ nhật .( D giao ? ?i? ??m... AB OI, E giao ? ?i? ??m AC OI Kéo d? ?i đường thẳng OO cắt (O) (O) ? ?i? ??m thứ G, H G? ?i K giao ? ?i? ??m GB HC) Kéo d? ?i AC cắt (O) F Chứng minh B, O, F thẳng hàng G? ?i M trung ? ?i? ??m OO Chứng minh MI DE B? ?i toán